Lista de Exercícios

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Lista de Exercícios - Autovalores e Autovetores -Diagonalização de operadores 
 
1) Encontre os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes (BOLDRINI et al., 
2010): 
 
a) 𝐴 = [
1 2
0 −1
] 
b) 𝐴 = [
1 2 3
0 1 2
0 0 1
] 
c) 𝐴 = [
1 0 2
−1 0 1
1 1 2
] 
d) 𝐴 = [
1 3 −3
0 4 0
−3 3 1
] 
e) 𝐴 = [
−1 −4 14
2 −7 14
2 −4 11
] 
f) 𝐴 = [
2 0 1 0
0 2 0 1
12 0 3 0
0 −1 0 0
] 
 
2) Determinar os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares 
(STEINBRUCH & WINTERLE, 1995): 
 
a) 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 2𝑦, −𝑥 + 4𝑦) 
b) 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 2𝑦, 𝑥 + 3𝑦) 
c) 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (5𝑥 − 𝑦, 𝑥 + 3𝑦) 
d) 𝑇: ℝ2 → ℝ2, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑦, −𝑥) 
e) 𝑇: ℝ3 → ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 𝑧, 2𝑦 + 3𝑧) 
f) 𝑇: ℝ3 → ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, −2, −𝑦, 2𝑥 + 𝑦 + 2𝑧) 
g) 𝑇: ℝ3 → ℝ3, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑦, 𝑧) 
 
3) Se 𝜆 é autovalor da transformação linear 𝑇: 𝑉 → 𝑉 e v é um autovetor associado a ele, 
mostre que (BOLDRINI et al., 2010) 
a) 𝑘v é outro autovetor associado a 𝜆 se 𝑘 ≠ 0. 
b) O conjunto formado pelos autovetores associados a 𝜆 e o vetor nulo é subespaço de 𝑉. 
 
4) Determine o operador linear 𝑇: ℝ2 → ℝ (STEINBRUCH & WINTERLE, 1995) 
a) Cujos valores próprios são 𝜆1 = 1 e 𝜆2 = 3 associados aos vetores próprios v1 = (𝑦, −𝑦) e 
v2 = (0, 𝑦), respectivamente 
b) Cujos valores próprios são 𝜆1 = 3 e 𝜆2 = −2 associados aos vetores próprios v1 = 𝑥(1,2) e 
v2 = 𝑥(−1,0), respectivamente 
 
Quais os valores próprios e os vetores proprios da matriz identidade (STEINBRUCH & 
WINTERLE, 1995)? 
 
5) Se 𝜆1 = 4 e 𝜆2 = 2 são valores próprios de um operador linear 𝑇: ℝ
2 → ℝ2 associados aos 
vetores próprios u = (2,1) e v = (−1,3), respectivamente, determine 𝑇(3u − v) 
(STEINBRUCH & WINTERLE, 1995). 
 
6) Mostrar que se u e v são vetores próprios de uma transformação linear associados a 𝜆, então 
𝛼u − 𝛽v é também vetor próprio associado ao mesmo 𝜆 (STEINBRUCH & WINTERLE, 
1995). 
 
7) Sejam 
𝐴 = [
1 2 1
0 −1 1
0 0 −1
] e 𝐵 = [
1 3 1
0 2 0
0 0 3
] 
matrizes inversíveis (BOLDRINI et al., 2010). 
a) Calcule 𝐴𝐵 e 𝐵𝐴 e observe que estes produtos são distintos. 
b) Encontre os autovalores e autovetores de 𝐴𝐵 e os de 𝐵𝐴. O que você observa? 
 
8) Verifique quais das matrizes associadas as transformações são diagonalizaveis dos 
exercícios 1 e 2 
 
9) Encontre o polinômio minimal das matrizes dos exercícios 1 e 2. 
 
10) Para quais valores de 𝑎 as matrizes abaixo são diagonalizáveis? 
a) 𝐴 = [
1 1
0 𝑎
] 
b) 𝐴 = [
1 𝑎
0 1
] 
 
 
Soluções: 
1) a) 𝜆1 = 1, v1 = (𝑥, 0); 𝜆2 = −1, v2 = (−𝑦, 𝑦) 
b) 𝜆 = 1, v = (𝑥, 0,0) 
c) 𝜆1 = 1, v1 = (−𝑦, 𝑦, 0); 𝜆2 = −1, v2 = (𝑥, 2𝑥, −𝑥); 𝜆3 = 3, v3 = (𝑥, 0, 𝑥) 
d) 𝜆1 = 4, v1 = (𝑦 − 𝑧, 𝑦, 𝑧); 𝜆2 = −2, v2 = (𝑥, 0, 𝑥) ou 𝜆1 = 4, v1 = (𝑦, 𝑦, 0); 𝜆2 = 4, 
v2 = (−𝑧, 0, 𝑧); 𝜆3 = −2, v3 = (𝑥, 0, 𝑥) 
e) 𝜆1 = −3, v1 = (2𝑦 − 7𝑧, 𝑦, 𝑧); 𝜆2 = 9, v2 = (𝑥, 𝑥, 𝑥) 
f) 𝜆1 = 1, v1 = (0, 𝑦, 0, −𝑦); 𝜆2 = −1, v2 = (𝑥, 0, −2𝑥, 0); 𝜆3 = 6, v3 = (𝑥, 0,4𝑥, 0) 
2) a) 𝜆1 = 3, v1 = (𝑦, 𝑦); 𝜆2 = 2, v2 = (2𝑦, 𝑦) 
b) 𝜆1 = 1, v1 = 𝑦(−2,1); 𝜆2 = 4, v2 = 𝑥(1,1) 
c) 𝜆1 = 𝜆2 = 4, v = 𝑥(1,1); 
d) Não existem. 
e) 𝜆1 = 𝜆2 = 1, v = (𝑥, 𝑦, −𝑦); v3 = 𝑥(1,1,2) 
f) 𝜆1 = 1, v1 = 𝑧(3, −3,1); 𝜆2 = −1, v2 = 𝑧(0, −3,1); 𝜆3 = 2, v3 = 𝑧(0,0,1) 
g) 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆3 = 1, v = (𝑥, 0, 𝑧), 𝑥 e 𝑧 não simultaneamente nulos. 
4) a) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 2𝑥 + 3𝑦) 
b) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (−2𝑥 +
5
2
𝑦, 3𝑦) 
5) 𝜆 = 1, todos os vetores do espaço com exceção do vetor nulo. 
6) (26,6) 
10) a) 𝑎 ≠ 1 b) 𝑎 = 0 
Referências 
 
■ BOLDRINI, José Luiz et al. Álgebra linear. 3.ed. ampl. e rev. São Paulo: Harper & Row do 
Brasil, 1980. 411p. 
■ STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 1995. 583p