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<p>GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Alexandra Cemin</p><p>2GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>SUMÁRIO Esta é uma obra coletiva organizada por</p><p>iniciativa e direção do CENTRO SUPERIOR</p><p>DE TECNOLOGIA TECBRASIL LTDA –</p><p>Faculdades Ftec que, na forma do art. 5º,</p><p>VIII, h, da Lei nº 9.610/98, a publica sob sua</p><p>marca e detém os direitos de exploração</p><p>comercial e todos os demais previstos em</p><p>contrato. É proibida a reprodução parcial</p><p>ou integral sem autorização expressa e</p><p>escrita.</p><p>CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC</p><p>Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107.</p><p>Caxias do Sul/ RS</p><p>REITOR</p><p>Claudino José Meneguzzi Júnior</p><p>PRÓ-REITORA ACADÊMICA</p><p>Débora Frizzo</p><p>PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO</p><p>Altair Ruzzarin</p><p>DIRETOR DE ENSINO A DISTÂNCIA (EAD)</p><p>Rafael Giovanella</p><p>Desenvolvido pela equipe de Criações para o</p><p>ensino a distância (CREAD)</p><p>Coordenadora e Designer Instrucional</p><p>Sabrina Maciel</p><p>Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem</p><p>Igor Zattera, Thaís Munhoz</p><p>Revisora</p><p>INTRODUÇÃO 3</p><p>O QUE É GEOMETRIA ANALÍTICA? 5</p><p>ESTUDO DAS CÔNICAS 34</p><p>CÁLCULO VETORIAL 57</p><p>DEPENDÊNCIA E COMBINAÇÃO LINEAR 73</p><p>PRODUTO ESCALAR 83</p><p>PRODUTO VETORIAL 102</p><p>EQUAÇÕES DE RETAS E PLANOS 114</p><p>REFERÊNCIAS 127</p><p>3GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Caro aluno, seja bem-vindo a unidade curricular Geometria</p><p>Analítica e a Álgebra Linear. Desejo-lhe proveito do material</p><p>que foi elaborado com muito carinho para você, será um prazer</p><p>estar aqui com você!</p><p>Organize-se, dedique um tempo de qualidade para tra-</p><p>balhar com a geometria e a álgebra. Faça resumos, refaça os</p><p>exemplos, exercite, confira as respostas, monte mapas men-</p><p>tais com as aprendizagens consolidadas e divirta-se. Nunca</p><p>esqueça que só usamos na vida, o que de fato aprendemos e o</p><p>conhecimento na maioria da vezes não é perceptível de for-</p><p>ma direta, mas de forma oculta ele está em tudo, inclusive na</p><p>forma como nos relacionamos com o meio que vivemos. Imbu-</p><p>ído deste espírito, extraia da geometria e da álgebra a melhor</p><p>forma de observar a natureza e resolver problemas no contexto</p><p>global. Lembrando que o conhecimento nos torna poderosos,</p><p>pois podemos observar o micro e escalar no macro, para isso,</p><p>4GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>fique atento e aprenda o máximo que</p><p>conseguir na geometria e resolva com</p><p>a álgebra.</p><p>Com a popularização dos computa-</p><p>dores praticamente todas as atividades</p><p>de engenharia tem feito uso intensivo</p><p>dos métodos computacionais na resolu-</p><p>ção de problemas reais, para os quais as</p><p>soluções manuais são inviáveis.</p><p>Ao longo da disciplina será sugerido</p><p>o uso do software MATLAB® como</p><p>ferramenta de apoio ao cálculo, o que</p><p>pode favorecer nos os cálculos e projetos</p><p>de um(a) futuro(a) engenheiro(a). Você</p><p>poderá baixar o aplicativo em seu celular</p><p>gratuitamente, ou usar no seu computa-</p><p>dor. Os métodos serão apresentados com</p><p>um exemplo e cálculo algébrico e, em</p><p>seguida, alguns exemplos e/ou aplicações</p><p>serão resolvidas com o uso do software.</p><p>Convido-lhes a utilizar livros didá-</p><p>ticos para complementar esse material</p><p>que é apenas um guia-resumo de alguns</p><p>conteúdos da geometria e da álgebra.</p><p>Ao final de cada capítulo é apresen-</p><p>tada uma lista com alguns exercícios, não</p><p>perca oportunidade de aprender mais. E</p><p>ainda contamos com um pequeno resu-</p><p>mo do que foi apresentado na unidade.</p><p>Bom estudo, e aproveite para fazer</p><p>ótimas experimentações, exercite bas-</p><p>tante, refaça os exemplos e explore todas</p><p>as atividades sugeridas!</p><p>5GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>O QUE É GEOME-</p><p>TRIA ANALÍTICA?</p><p>A geometria, como ciência dedutiva, faltava</p><p>operacionalidade, isto só foi conseguido</p><p>mediante a álgebra como princípio unificador.</p><p>Estudante, viaje aqui, saiba mais sobre a evolução histórica</p><p>e das relações entre a geometria e a álgebra. A geometria, como</p><p>a entendemos hoje, surgiu na Grécia antiga há aproximadamente</p><p>2.600 anos. A Geometria Analítica surgiu muito posterior-</p><p>mente com Descartes (1506-1650) no século XVII. Descartes</p><p>se propõe a encontrar um método capaz de resolver qualquer</p><p>problema. Numa primeira etapa, ele duvida de todas as coisas e</p><p>depois procura aquelas verdades. Em seguida, procura estudar</p><p>as coisas desconhecidas comparando-as com as verdades claras</p><p>e distintas. Descartes elabora três aplicações para ilustrar seu</p><p>método: a geometria, a dióptrica e os meteoros.</p><p>6GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Você deve estar se perguntando, e isso ainda é válido? Veja bem, ainda no final</p><p>do século XIX e o princípio do século XX ocorreram grandes transformações das</p><p>ciências, de uma forma geral, e da matemática, em particular. O surgimento da cha-</p><p>mada física moderna com a teoria da relatividade proposta por Einstein e a mecânica</p><p>quântica proposta por Schroedinger fez com a matemática adotasse um tratamento,</p><p>primordialmente, “vetorial” e “matricial.” E o surgimento do que conhecemos como</p><p>álgebra linear que vai permear todos os ramos da matemática e de outras ciências.</p><p>E atualmente, onde aplico isso? Como estamos nos comunicando neste exato</p><p>momento que eu escrevo esse e-book, e você o lê virtualmente. Nos anos 70 do século</p><p>XX devido ao avanço da ciência da computação e de suas múltiplas aplicações a todos</p><p>os ramos do conhecimento, a Geometria Analítica passa a conhecer outras aplicações</p><p>até então inimagináveis. O que acontece agora? Surgem ramos do conhecimento como</p><p>computação gráfica e visão computacional. Todos temos contato com estas duas áreas</p><p>da ciência da computação. A computação gráfica estuda o tratamento de imagens uti-</p><p>lizando computadores. E largamente utilizada em propaganda televisiva, por exemplo,</p><p>onde estamos habituados a ver imagens que se deformam ou giram segundo vários</p><p>eixos. E no futuro? Cabe a nós estudantes desvendarmos, para isso, precisamos co-</p><p>nhecer!! Bora aprender um pouquinho sobre geometria plana? Veremos os conceitos e</p><p>7GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>aplicações de plano cartesiano, ponto, distância entre dois pontos,</p><p>ponto médio, alinhamento, reta, equações da reta, paralelismo,</p><p>intersecções, retas perpendiculares e circunferência.</p><p>Plano cartesiano</p><p>Analise os conjuntos finitos de números reais A = {3, 4} e B =</p><p>{1, 2}, podemos representar graficamente através da reta real, veja:</p><p>A operação entre conjuntos é chamada de produto carte-</p><p>siano, a qual tem como resultado um outro conjunto, em que</p><p>os novos elementos são entidades matemáticas, formadas por</p><p>duas partes, uma oriunda do conjunto A e a outra do conjunto</p><p>B. Essa entidade matemática é denominada par ordenado. Para</p><p>facilitar no seu entendimento, veja um exemplo aqui:</p><p>Exemplo 1:</p><p>Tomando-se os conjuntos A = {3, 4} e B = {1, 2} como finitos</p><p>de números reais determine o produto cartesiano e apresente</p><p>o plano cartesiano.</p><p>Solução:</p><p>Tem-se que o produto cartesiano entre os conjuntos A e</p><p>B é A x B= {(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}. Veja que nos elementos de</p><p>A x B, o primeiro número no par ordenado é advindo do con-</p><p>junto A, enquanto que o segundo veio do conjunto B. Vamos</p><p>definir uma maneira de representar o conjunto AxB e para</p><p>isso utilizaremos também retas reais, porém numa disposição</p><p>diferente.</p><p>Utilizando-se de retas reais, dispostas uma perpendicular</p><p>a outra, podemos representar esse resultado do conjunto A x B.</p><p>A essas retas, nessa disposição, chamamos eixos coordenados.</p><p>8GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Na reta que está na posição horizontal, representaremos os ele-</p><p>mentos advindos do conjunto A e na reta vertical os elementos</p><p>advindos do conjunto B. Como podemos perceber, os quatro</p><p>elementos do conjunto A x B foram representados fazendo-se</p><p>o cruzamento de um número advindo do conjunto A com o</p><p>seu respectivo no conjunto B.</p><p>Suponha agora que o conjunto A seja do tipo: A={x є R /</p><p>3 ≤ x ≤ 4} e que o conjunto B seja expresso da forma B={x є R /</p><p>1≤x≤2}. Fazendo-se agora a operação A x B, chega-se em uma</p><p>nova figura mostrada a seguir:</p><p>O resultado dessa operação foi uma região, um contorno</p><p>geométrico fechado e seu interior. Agora imagina o que acontece</p><p>se definirmos</p><p>tesiano xy e extremidades os pontos (1, 0) e (0, 1), conhecidos</p><p>respectivamente como vetores e .</p><p>A base formada pelos vetores e é chamada de base canônica</p><p>que é particularmente importante por estar associada à represen-</p><p>tação cartesiana usual da geometria plana. Os vetores e os pares</p><p>ordenados compartilham os mesmos pontos do plano cartesiano.</p><p>Conhecidos os vetores e , de módulo 1 (versor), qualquer</p><p>vetor do plano cartesiano pode ser decomposto segundo as</p><p>direções de e , ou seja, temos que determinar dois vetores</p><p>cujas direções sejam e , e cuja soma seja . Considerando</p><p>a multiplicação de um vetor por um escalar (número real),</p><p>podemos indicar o vetor como a soma dos vetores e</p><p>multiplicados pelos escalares a e b convenientes.</p><p>Temos então, o vetor , que pode ser representado</p><p>no plano usando as projeções ortogonais das extremidades de</p><p>sobre os eixos coordenados x e y, determinando ali os com-</p><p>ponentes escalares a e b, da representação vetorial.</p><p>96GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Assim, qualquer vetor no plano xy pode ser expresso em fun-</p><p>ção da base padrão e . Um vetor bidimensional</p><p>pode ser representado genericamente por um par ordenado</p><p>= (a, b) ou .</p><p>Exemplo 38</p><p>Vejamos a representação genérica de vetores com base</p><p>ortogonal e para os vetores.</p><p>Solução</p><p>a) = (1, 0)</p><p>b) = (0, 1)</p><p>c) = 2 + 3 = (2, 3)</p><p>d)</p><p>Exemplo 39</p><p>Se = 2 + 3 e = 4 + , calcule:</p><p>a) +</p><p>b) 2</p><p>c) 3 - 2</p><p>Solução</p><p>a) + = (2, 3) + (4, -1) = (6, 2), ou seja, + = 6 + 2</p><p>b) 2 = 2 ∙ (2, 3) = (4, 6), ou seja, 2 = 4 + 6</p><p>c) 3 - 2 = 3 ∙ (2, 3) -2 ∙ (4, -1) = (-2, 11), ou seja, 3 - 2</p><p>= -2 + 11</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dados = 2 + 3 e = 4 + , determine:</p><p>a) +</p><p>b) - 3</p><p>c) -3 + 2</p><p>d) -</p><p>2. Dados = 3 + e = 2 + 2 , obtenha:</p><p>a) +</p><p>b) 2 +</p><p>c) - 2</p><p>d) -2( + )</p><p>3. Represente graficamente no plano o vetor .</p><p>98GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>VETORES NO ESPAÇO</p><p>Quando estivermos tratando com vetores no espaço tri-</p><p>dimensional ( ), vamos utilizar como base os vetores cujas</p><p>origens são a origem do plano cartesiano xyz e extremidades</p><p>os pontos (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1), constituindo os vetores</p><p>, e , denominada base canônica, representados na figura</p><p>a seguir:</p><p>Assim como no plano, qualquer vetor do espaço tridi-</p><p>mensional pode ser decomposto segundo as direções de ,</p><p>e , ou seja, podemos determinar três vetores cujas direções</p><p>sejam , e , cuja soma seja .</p><p>Considerando a multiplicação de um vetor por um escalar</p><p>(número real), podemos indicar o vetor como a soma dos</p><p>vetores , e multiplicados pelos escalares a, b e c con-</p><p>venientes. Temos que o vetor , que pode ser</p><p>representado no sistema cartesiano xyz usando as projeções</p><p>ortogonais das extremidades de sobre os eixos coordenados</p><p>x, y e z, determinando ali os componentes escalares a, b e c,</p><p>da representação vetorial, conforme segue:</p><p>Dessa forma, qualquer vetor no espaço xyz pode ser ex-</p><p>presso em função da base padrão , e .</p><p>Um vetor tridimensional pode ser repre-</p><p>sentado genericamente por uma tripla ordenada = (a, b, c)</p><p>ou .</p><p>99GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 40</p><p>Se = 2 - + 6 e = - 2 - , calcule:</p><p>a) +</p><p>b)</p><p>Solução</p><p>a) , ou seja,</p><p>b) , ou seja,</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dados = - 2 + 3 e = - 2 + 4 - , determine:</p><p>a) +</p><p>b) + 2</p><p>c) - + 3</p><p>d) -</p><p>2. Dados = 2 + + 3 e = - - , determine:</p><p>a) +</p><p>b) -</p><p>c) 3 +</p><p>d) 3( + )</p><p>3. Dados = 2 + e = - + 2 , obtenha:</p><p>a) +</p><p>b) 3 - 2</p><p>4. Represente graficamente no plano o vetor</p><p>.</p><p>101GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Resumo</p><p>Abaixo consta uma tabela com as principias fórmulas e/ ou propriedades e/ou condições sobre produto escalar:</p><p>Propriedades do produto</p><p>escalar</p><p>Ângulo entre dois</p><p>vetores</p><p>Paralelismo entre dois</p><p>vetores</p><p>Vetores Ortogonais</p><p>Projeção de um vetor</p><p>102GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>PRODUTO</p><p>VETORIAL</p><p>Produto vetorial é uma operação binária</p><p>sobre vetores em um espaço vetorial.</p><p>Neste capítulo vamos estudar o produto vetorial, proprie-</p><p>dades e interpretações geométricas, aproveite!</p><p>Vamos definir um produto entre dois vetores, cujo resultado</p><p>é um vetor. A este produto damos o nome de Produto Vetorial.</p><p>Este produto tem aplicação, por exemplo, na Física: a força</p><p>exercida sobre uma partícula com carga unitária mergulhada</p><p>num campo magnético uniforme é o produto vetorial do vetor</p><p>velocidade da partícula, pelo vetor campo magnético. Outro</p><p>exemplo é possível obter da Mecânica: uma força provoca um</p><p>movimento de rotação em um corpo através do produto veto-</p><p>rial entre a força e o vetor de posição do ponto de aplicação,</p><p>tomado como referência o eixo de rotação do corpo.</p><p>103GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Produto vetorial</p><p>Considere dois vetores e pertencentes ao espaço .</p><p>Define-se o produto vetorial x (ou ˄ ) como sendo um</p><p>terceiro vetor , com as seguintes características:</p><p>I. O módulo de é dado numericamente por:</p><p>II. A direção de é perpendicular ao plano dos vetores</p><p>e .</p><p>III. O sentido do vetor é dado pela regra da mão esquerda.</p><p>OBS.: significa produto vetorial ou</p><p>produto externo.</p><p>significa produto escalar ou produto interno.</p><p>REGRA DA MÃO ESQUERDA</p><p>PRODUTO VETORIAL</p><p>Dados os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2), o produto</p><p>vetorial de por , nesta ordem, é calculado por:</p><p>O produto vetorial ˄ será o vetor = (x, y, z) = x +y +z .</p><p>OBS.: O produto vetorial não está definido no</p><p>Dispondo-se os dedos médio e indicador</p><p>da mão esquerda, apontando no mesmo</p><p>sentido dos vetores e , o dedo polegar</p><p>apontará o sentido do vetor .</p><p>104GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓD. DO PRODUTO</p><p>VETORIAL</p><p>O módulo (ou norma) do produto vetorial de dois vetores</p><p>e é igual à área do paralelogramo cujos lados são determi-</p><p>nados pelos vetores e .</p><p>Como:</p><p>temos:</p><p>Lembre-se: a área do triângulo ABC é igual a metade da</p><p>área do paralelogramo:</p><p>Exemplo 41</p><p>Sejam dois vetores e , dados por = +2 -2 e =3</p><p>+ , determinar o produto vetorial ˄ e o módulo do vetor</p><p>resultante.</p><p>Solução</p><p>Pelos dados do problema obtemos a seguinte matriz:</p><p>O vetor resultante é:</p><p>Com estas componentes, podemos calcular o módulo do</p><p>vetor resultante:</p><p>105GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 42</p><p>Calcular a área do triângulo cujos vértices são os pontos:</p><p>A=(2, 1, -1), B=(1, -1, 0) e C=(-1, 1, 2).</p><p>Solução</p><p>Consideremos a figura a seguir:</p><p>Pela figura, podemos definir os vetores:</p><p>Obtemos, assim, a matriz:</p><p>O módulo de será:</p><p>Como já sabemos, o módulo deste vetor no dá a área do</p><p>paralelogramo. A área do triângulo será, então, a metade da</p><p>área deste paralelogramo:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determinar ˄ , sabendo que =(1, -2, 4) e =(4, 2, -5).</p><p>2. Dados os pontos A=(1, -2, 0), B=(2, -1, -2) e C=(4, 2, 1),</p><p>calcular .</p><p>3. Dados os vetores = 3 +4 +2 e = 2 + + , determinar:</p><p>a) ˄</p><p>b) ˄</p><p>4. Dados os pontos A=(3, 2, 0), B=(0, 4, 3) e C=(1, 0, 2),</p><p>determinar a área do triângulo ABC.</p><p>5. Dados os pontos A=(2, 1, 3), B=(6, 4, 1) e C=(-6, 2, 6),</p><p>determinar:</p><p>a) A área do paralelogramo determinado pelos vetores</p><p>b) A área do triângulo de vértices A, B e C.</p><p>6. Sendo = 2 - + e = + -2 , calcular ˄ .</p><p>7. Conhecidos = 2 +3 + e = - +2 , pede-se:</p><p>a) ˄ b) ˄</p><p>c) | ˄ | d) | ˄ |</p><p>8. No hexágono regular a seguir, a medida de cada lado</p><p>vale 2. Calcular |(A - B)˄(C - B)|.</p><p>9. A medida do ângulo, em radianos, entre e é .</p><p>Sendo | |=7 e | |=1, determinar | ˄ |.</p><p>10. Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores</p><p>=(-2, 3) e =(5, 1).</p><p>107GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Propriedades do produto vetorial</p><p>I. Anti-comutativa:</p><p>A justificativa é apresentada pela figura.</p><p>OBS.:</p><p>II. Associativa:</p><p>III. Distributiva em relação à adição de vetores:</p><p>( ) ( ) ( )vkuvukvuk </p><p>∧=∧=∧</p><p>( ) wuvuwvu </p><p>∧+∧=+∧</p><p>Produto misto</p><p>Dados os vetores =(x1, y1, z1), =(x2, y2, z2) e =(x3, y3, z3),</p><p>chama-se produto misto destes três vetores, o escalar (número</p><p>real) representado por ( , , ) e calculado por ˄ ∙ .</p><p>OBS.: O produto vetorial não está definido no .</p><p>INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO</p><p>MISTO</p><p>O módulo (ou norma) do produto misto ( , , ) é igual</p><p>ao volume do paralelepípedo cujos lados são determinados pelos</p><p>vetores , e .</p><p>108GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Sabe-se da geometria espacial que o volume do paralelepí-</p><p>pedo é o produto da área da base pela altura:</p><p>Como θ é o ângulo formado entre o vetor ˄ e o vetor</p><p>, tem-se:</p><p>CONVENÇÃO DE SINAL</p><p>O volume do paralelepípedo pode estar afetado pelo sinal</p><p>positivo ou negativo, conforma o ângulo θ seja agudo ou ob-</p><p>tuso, respectivamente.</p><p>109GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>VOLUME DO TETRAEDRO</p><p>O volume do tetraedro Vt equivale a</p><p>6</p><p>1</p><p>do volume de um paralelepípedo Vp cons-</p><p>truído sobre os mesmos vetores , e .</p><p>PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO</p><p>I. Cíclica: a permuta circular ou cíclica dos fatores não</p><p>altera o produto misto. Por outro lado, o produto misto troca</p><p>de sinal quando se permuta não ciclicamente seus fatores:</p><p>II. Permuta dos sinais: o produto misto não se altera quan-</p><p>do se permuta os símbolos da multiplicação interna e externa.</p><p>Exemplo 43</p><p>Dados os vetores =3 -2 +6 , =-3 -5 +8 e = + ,</p><p>calcular:</p><p>a) O volume do paralelepípedo construído sobre , e :</p><p>b) O volume do tetraedro construído sobre , e :</p><p>Solução</p><p>a) O volume do paralelepípedo construído sobre , e :</p><p>b) O volume do tetraedro construído sobre , e :</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dados os vetores =(-2, 1, 2), =(1, -1, 1) e =(1, 1, 1),</p><p>calcular:</p><p>a) ( , , )</p><p>b) ( , , )</p><p>c) ( , , )</p><p>2. Dados os pontos A(1, 0, -1), B(0, 2, -1), C=(1, 1, -1) e</p><p>D=(0, 0, 1), determinar:</p><p>a) O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores</p><p>;</p><p>b) A área do paralelogramo determinado pelos vetores</p><p>;</p><p>c) O volume do tetraedro determinado pelos vetores</p><p>.</p><p>3. Dados os vetores =(m, 5, 0), =(3, -2, 1) e =(1, 1, -1),</p><p>calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo</p><p>determinado por , e seja 24 u.v.</p><p>4. Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos</p><p>vetores: =(2, -2, 0), =(0, 1, 0) e =(2, -1, -1).</p><p>5. Calcular o volume do tetraedro de arestas = 3 -2 -6 ,</p><p>=2 - e = +3 +4 .</p><p>111GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Produto duplo</p><p>Dados os vetores , e chama-se duplo produto vetorial</p><p>ou duplo produto externo ao vetor ( ˄ ) ˄ ou ao vetor</p><p>˄ ( ˄ ). Estes dois vetores na maioria esmagadora das vezes</p><p>são distintos, não se verificando a propriedade associativa. É</p><p>imprescindível, portanto, o uso dos parênteses.</p><p>Sem muita dificuldade podemos visualizar o vetor ( ˄ )</p><p>˄ . Na figura representa-se e coplanarmente a α; não</p><p>pertence ao plano e ( ˄ ) é um vetor ortogonal a α.</p><p>Efetuando-se o produto externo entre ( ˄ ) e tem-se</p><p>um vetor ortogonal a eles e em decorrência coplanar a α. Assim,</p><p>os vetores , e ( ˄ ) ˄ são coplanares.</p><p>Com base nestas informações o vetor ( ˄ ) ˄ pode ser</p><p>expresso como combinação linear de e , assim:</p><p>Exemplo 44</p><p>Dados os vetores =(-2, 1, 2) =(1, -1, 1) e =(1, 1, 1),</p><p>determinar: ( ˄ ) ˄</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dados os vetores =3 -2 -6 , =2 - e = +3 +4 ,</p><p>achar:</p><p>a) ∙</p><p>b) | ˄ |</p><p>c) ˄ ∙</p><p>d) ( ˄ ) ∙</p><p>e) ˄ ( ˄ )</p><p>2. Dados os vetores =(2, 0, 0), =(1, 1, 1) e =(3, 2, 1),</p><p>calcular:</p><p>a) ( ˄ ) ˄</p><p>b) |( ˄ ) ˄ |</p><p>c) o vetor ( ˄ ) ˄ como combinação linear de e .</p><p>113GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Resumo</p><p>Abaixo consta uma tabela com as principias fórmulas e/ ou condições sobre produto vetorial:</p><p>Produto Vetorial</p><p>Propriedades do produto</p><p>vetorial</p><p>Volume do tetraedro</p><p>Propriedades do produto</p><p>misto</p><p>Produto duplo</p><p>114GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>EQUAÇÕES</p><p>DE RETAS E</p><p>PLANOS</p><p>Na geometria analítica temos</p><p>os conceitos geométricos</p><p>relacionados com a álgebra.</p><p>Nesse capítulo vamos estudar as equações de</p><p>reta, planos, interpretação geométrica e cálculo</p><p>relacionados. Bom estudo!</p><p>115GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Equações da reta</p><p>Seja r uma reta passante por P=(x, y, z) e paralela ao não</p><p>nulo vetor .</p><p>O vetor é denominado vetor diretor da reta .</p><p>Um ponto P=(x, y, z) pertence à reta r se, e somente se,</p><p>os vetores (P- PO) e forem paralelos.</p><p>Assim, ( ) ( )ℜ∈=− trtPP o</p><p> , ou:</p><p>Esta é a equação vetorial da reta. (t é chamado parâmetro).</p><p>Ex.: Obter a equação vetorial da reta que passa pelos pontos</p><p>A=(-5, 2, 3) e B=(4, -7, -6):</p><p>Ou ainda:</p><p>116GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA</p><p>Introduzindo as coordenadas de P, PO e na equação ve-</p><p>torial da reta, obtém-se as seguintes equações cognominadas</p><p>equações paramétricas da reta:</p><p>Exemplo 45</p><p>Obter as equações paramétricas da reta que passa pelo</p><p>ponto A=(1, 1, 1) e tem a direção do vetor =(2, 3, 4).</p><p>Solução</p><p>Temos que as equações são:</p><p>EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA</p><p>Se nenhuma das coordenadas do vetor diretor é nula, po-</p><p>demos isolar t no primeiro membro de cada uma das equações</p><p>paramétricas da reta e obter:</p><p>Denominadas equações simétricas da reta r.</p><p>Exemplo 46</p><p>Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto</p><p>A=(2, 2, -1) e é paralela ao vetor =(-3, 2, 2):</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Obter as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto</p><p>A=(2, 0, -1) e tem a direção do vetor =(1, -1, 3).</p><p>2. Dar as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos</p><p>A=(1, 1, 1) e B=(2, 3, 5).</p><p>3. Determinar a equação vetorial e as equações paramétricas</p><p>da reta que passa pelos pontos A=(-2, 3, -2) e tem a direção do</p><p>vetor =3 +2 .</p><p>4. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto</p><p>A=(1, 3, 0) e é paralela ao vetor =(3, 4, -1).</p><p>5. Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos</p><p>pontos A=(1, 3, 2) e B=(5, 2, 2).</p><p>6. Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto</p><p>A=(1, 2, 0) e tem a direção do vetor =3 + -</p><p>7. Seja r a reta determinada pelos pontos A=(1, 0, 1) e</p><p>B=(3, -2, 3), obter as equações de r na forma vetorial, paramétrica</p><p>e simétrica.</p><p>118GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Equações do plano</p><p>Se π é um plano e , vetores LI, paralelos a esse plano,</p><p>então todo paralelo a π pode ser escrito como combinação</p><p>linear de e . Com isso, dado um ponto PO ϵ π, para qualquer</p><p>P ϵ π existem escalares α, β tais que . Recipro-</p><p>camente, se , então P ϵ π. Assim o plano π é o</p><p>lugar geométrico dos pontos P tais que , para</p><p>algum α ϵ e algum β ϵ . Escrevemos:</p><p>E dizemos que essa é a equação vetorial do plano π.</p><p>Os vetores e são os vetores diretores de π. Esses veto-</p><p>res orientam todo plano paralelo a eles e, dado um ponto A</p><p>um, e só um, desses planos contém A.</p><p>Exemplo 47</p><p>Considere o plano P=(2, 1, 2) + α(1, 1, 0) + β(-1, 3, 1), então:</p><p>• Para α=0 e β=0:</p><p>• Para α=1 e β=-1:</p><p>• Para α=-1 e β=2:</p><p>Solução</p><p>Temos que:</p><p>• Para α=0 e β=0:</p><p>• Para α=1 e β=-1:</p><p>• Para α=-1 e β=2:</p><p>E assim por diante.</p><p>119GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>EQUAÇÃO GERAL DO PLANO</p><p>Notemos que P=(x, y, z) ϵ π se, e somente se é LD,</p><p>ou seja, se PO=(xO, yO, zO), e ,</p><p>então:</p><p>A resolução deste determinante conduz a uma equação</p><p>linear a três variáveis, cognominada equação geral do plano.</p><p>Partindo deste estudo, a equação geral do plano pode ser</p><p>obtida:</p><p>I. Por um ponto e por dois vetores:</p><p>II. Por dois pontos e um vetor:</p><p>III. Por três pontos não colineares:</p><p>120GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 48</p><p>Obter a equação geral do plano que contém os pontos</p><p>A=(3, 0, 1), B=(2, 1, 1) e C=(3, 2, 2).</p><p>Solução</p><p>OBS.: Se o vetor dado for perpendicular ao plano, deno-</p><p>minado vetor normal , ou seja, , o pla-</p><p>no passa pelo ponto PO=(xO, yO, zO) do vetor. Assim:</p><p>Então:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Obter a equação geral do plano que contém o ponto</p><p>A=(3, 0, 1) e é paralelo aos vetores =(1, 2, 0) e =(0, 3, 1).</p><p>2. Achar a equação geral do plano que passa pelos pontos</p><p>P=(1, 2, 3) e Q=(1, 2, 0) e tem a direção do vetor =2 +3</p><p>3. Obter a equação geral do plano que contém os pontos</p><p>, e .</p><p>4. Encontrar a equação do plano que passa pelo ponto</p><p>PO=(1, -2, -2) e é perpendicular ao vetor .</p><p>5. Estabelecer a equação geral do plano que contém os pontos</p><p>A=(2, 1, -1), B=(0, -1, 1) e C=(1, 2, 1).</p><p>6. Escrever a equação do plano que contém o ponto P=(1, 1,</p><p>1) e é perpendicular ao vetor .</p><p>7. Determinar a equação geral do plano que contém o ponto</p><p>P=(2, 0, 0) e é paralelo aos vetores =(1, 1, 1) e =(1, 3, -1).</p><p>8. Determinar o vetor normal ao plano 2x -3y -z +5=0.</p><p>9. Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto</p><p>A=(2, 1, -2) e é paralela a reta</p><p>122GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DO PLANO</p><p>O plano α : ax + by + cz + d = 0, com a, b, c, d ≠ 0, corta</p><p>os eixos cartesianos em três pontos distintos P, Q e R, que</p><p>determinam os três segmentos OP, OQ e OR. Indicando por</p><p>p, q e r, respectivamente, as medidas desses segmentos, temos:</p><p>Denominada equação segmentária do plano, por interceptar</p><p>os eixos x, y e z em segmentos p, q e r.</p><p>A equação segmentária nos ajuda a visualizar um esboço</p><p>do plano no .</p><p>Exemplo 49</p><p>Obter a equação segmentária do plano 4x - 3y + 2z - 12 = 0</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Obter a equação segmentária do plano 2x + 3y - 4z - 24 = 0.</p><p>2. Obter os pontos de interseção do plano x + 2y - 4z + 5 = 0</p><p>com os eixos coordenados.</p><p>3. Determinar o volume do tetraedro limitado pelo plano</p><p>3x + 2y + 2z - 6 = 0 e pelos planos coordenados.</p><p>124GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO</p><p>Além das equações do plano abordadas, podemos também</p><p>caracterizar os pontos de um plano da seguinte forma:</p><p>Considere um plano π, um ponto PO = (xO, yO, zO) perten-</p><p>cente a π e dois vetores =(v1, v2, v3) e =(w1, w2, w3), não co-</p><p>lineares, paralelos a π. Um ponto P=(x, y, z) pertencerá ao plano</p><p>π se, e somente se, o vetor POP=(x-xO, y-yO, z-zO) for uma com-</p><p>binação linear de e , ou seja, se existem escalares t e s tais que:</p><p>Escrevendo em termos de componentes esta expressão</p><p>pode ser escrita como:</p><p>Estas equações são chamadas de equações paramétricas</p><p>do plano.</p><p>De uma forma geral, a construção das equações paramé-</p><p>tricas é feita da seguinte maneira:</p><p>Exemplo 50</p><p>Obter as equações paramétricas do plano que passa pelo</p><p>ponto e é paralelo aos vetores e</p><p>.</p><p>Solução</p><p>Temos que:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Obtenha as equações paramétricas do plano em cada caso.</p><p>a) contém o ponto A=(9, -1, 0) e é paralelo aos vetores</p><p>=(1, 1, 1) e =(0, 1, 0).</p><p>b) contém os pontos B=(1, 0, 1), C=(-1, 0, 1) e D=(2, 1, 2).</p><p>2. Obter a equação geral do plano que tem as seguintes</p><p>equações paramétricas:</p><p>3. Obtenha equações paramétricas do plano α : x + 2y - z</p><p>-1 = 0. (dica: isolar z)</p><p>126GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Resumo</p><p>Abaixo consta uma tabela com as principias fórmulas e/ ou condições sobre equações de reta e plano:</p><p>Equações paramétricas</p><p>da reta</p><p>Equações simétricas da reta</p><p>Equação vetorial do plano</p><p>Equação geral do plano</p><p>Equação segmentária do plano</p><p>127GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>• BOLDRINI, C.; FIGUEIREDO, W. Álgebra Linear. Harbra, 3ª Ed. 1986.</p><p>• CHAPMAN, Stephen J. Programação em Matlab para Engenheiros - 2ª Ed. Editora: Cengage Learning, 2011.</p><p>• GILAT, Amos. Matlab com aplicações para engenharia. 3 ed. LTC, 1999.</p><p>• HOWARD, A. Álgebra Linear com Aplicações. 8ª Ed. Bookman. 2001.</p><p>• LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. Harbra, V1. 1994. 1178p.</p><p>• LEITHOLD, Louis. O cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. Harbra, V2. 1994. 1178p.</p><p>• SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. 1ª Ed. Pearson Makron Books, V. 1. 1987. 829p.</p><p>• SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. 1ª Ed. Pearson Makron Books, V. 2. 1988. 807p</p><p>• STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Introdução à Álgebra Linear. 1ª Ed. Pearson Education do Brasil, 1997. VIII,</p><p>245p.</p><p>• THOMAS, George B. Cálculo. 10ª Ed. Pearson, V2. 2004.</p><p>Introdução</p><p>O que é Geometria Analítica?</p><p>Estudo das Cônicas</p><p>Cálculo</p><p>vetorial</p><p>Dependência e combinação linear</p><p>Produto</p><p>escalar</p><p>Produto</p><p>vetorial</p><p>Equações</p><p>de retas e</p><p>planos</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>o conjunto A como sendo os reais e o conjunto</p><p>B também. Como é de se esperar, se fizermos o produto car-</p><p>tesiano dos reais com o próprio conjunto dos reais, teremos o</p><p>que chamamos de plano cartesiano ou ainda de A².</p><p>Ponto</p><p>Podemos definir o ponto com sendo o resultado do pro-</p><p>duto cartesiano entre dois conjuntos unitários, ou ainda como</p><p>sendo um elemento de produto cartesiano entre dois conjuntos</p><p>não vazios.</p><p>9GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>O ponto pode ser entendido como o “endereço” de certa</p><p>posição num dado plano. Como se podem representar pontos</p><p>com pares de números reais, é possível definir operações al-</p><p>gébricas com esses pontos.</p><p>P é um ponto qualquer, do plano xÔy e para cada P está</p><p>associado um par ordenado, par esse que é representado da</p><p>seguinte forma:(xP , yP ), onde xP é a posição relativa ao eixo x</p><p>e yP é a posição relativa ao eixo y.</p><p>O ponto é representado no eixo cartesiano por uma coorde-</p><p>nada x ,denominada de abscissa e uma coordenada y, chamada</p><p>ordenada.</p><p>Distância entre dois pontos no plano</p><p>Sejam A(xA , yA ) e B(xB , yB ) dois pontos do plano. A dis-</p><p>tância entre esses dois pontos é exatamente o valor da hipote-</p><p>nusa do triângulo retângulo ABC conforme ilustração abaixo.</p><p>Aplicando-se o Teorema de Pitágoras, temos que:</p><p>Exemplo 2</p><p>Um móvel está sobre uma mesa e o ponto inicial que ele</p><p>se encontra é o ponto P(2, 3). Ele se desloca em linha reta</p><p>e para no ponto Q(-6, -3). Calcular a distância que o móvel</p><p>percorreu.</p><p>( ) ( ) ( )22, ABAB yyxxBAd −+−=</p><p>10GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Solução:</p><p>Exemplo 3</p><p>Duas circunferências são tangentes externamente. O</p><p>centro de uma circunferência está no ponto C1(3, 5) e o cen-</p><p>tro da outra está no ponto C2(0, 1) . Calcule a soma dos raios</p><p>dessas circunferências.</p><p>Solução:</p><p>( ) ( ) ( )22, QPQP yyxxQPd −+−=</p><p>( ) ( )( ) ( )( )22 3362, −−+−−=QPd</p><p>( ) ( ) ( )22 68, +=QPd</p><p>( ) ( ) ( )22</p><p>21 1503, −+−=CCd</p><p>( ) ( ) ( )22</p><p>21 2121</p><p>, CCCC yyxxCCd −+−=</p><p>( ) ( ) ( )22</p><p>21 43, +=CCd</p><p>Usando o MATLAB®</p><p>Para o cálculo da distância entre dois pontos, dado no</p><p>exemplo 2 pode-se usar o seguinte algoritmo no Matlab, teste</p><p>você também.</p><p>Ainda é possível no Matlab criar um algoritmo, em que</p><p>você apenas coloca como entrada os pontos, e o programa</p><p>calcula a distância entre eles. Veja aqui!</p><p>>> sqrt((2-(-6)).ˆ2+(3-(-3)).ˆ2)</p><p>ans =</p><p>10</p><p>11GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Com base nesses conceitos vamos fazer um programa que: Calcula a distância</p><p>entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) em um plano de coordenadas cartesianas, para</p><p>tanto temos a seguinte equação:</p><p>Veja no software: Executando obtem-se a resposta:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Calcule a distância entre os pontos abaixo:</p><p>a) A (0, 0) e B (3, 4)</p><p>b) M (1, 13) e N (6, 1)</p><p>c) P (7, 0) e Q (1, 8)</p><p>d) R (-6, 13) e S (-1, 1)</p><p>2. Dado um triângulo ABC, com vértices A (0, 0), B (12, 5)</p><p>e C (3, 4). Calcule o seu perímetro.</p><p>3. Seja um hexágono, tal que, A (10, 0), B (5, 5√3), C (-5, 5√3),</p><p>D (-10, 0), E (-5, -5√3), e F (5, -5√3), são seus vértices. Determine</p><p>os valores das diagonais AC, BD, CE, DF, EA e FB. O que pode</p><p>se concluir sobre esse hexágono?</p><p>4. Determine os valores de x e y que tornam A e B o</p><p>mesmo ponto:</p><p>a) A (1+x, y-2x+2) e B (-3, -1+3y).</p><p>b) A (2x+y, y-5) e B (x2-4, 2y-9).</p><p>c) A (x-y-3, x+y-3) e B (2x, 3y).</p><p>5. A distância do ponto P (a, 1) ao ponto A (0, 2) é igual</p><p>a 3. Calcule o número a.</p><p>6. Sabe-se que as coordenadas do baricentro de um triân-</p><p>gulo qualquer são dadas por:</p><p>Calcule as coordenadas do baricentro de um triân-</p><p>gulo ABC, com vértices A (-6, 0), B (6, 0) e C (0, 6√3).</p><p>Mostre que GA = GB = GB = 4√3.</p><p>xG= xA + xB + xC</p><p>3</p><p>e yG= yA + yB + yC</p><p>3</p><p>Respostas</p><p>1. a) 5 b) 13 c) 10 d) 13</p><p>2. p= 18+√82</p><p>3. AC=BD=CE=DF=EA=FB=10√3.</p><p>Esse hexágono é regular.</p><p>4. a) x=-4; y=5,5; b) x=4 ou x=-2; y=4; c) x=-1; y=-2;</p><p>5. a=±2√2</p><p>6. G= (0, 2√3)</p><p>13GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Assim, o ponto médio têm coordenadas: M(xM, yM)</p><p>Exemplo 4</p><p>Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento</p><p>AB. Dados: A(0, 8) , B(2, 2).</p><p>Solução</p><p>Logo, M(1, 5)</p><p>Exemplo 5</p><p>Seja o triângulo ABC. A(0, 0), B(4, 2) e C(6, 4). Deter-</p><p>mine o valor da base média relativa ao lado AB.</p><p>Ponto médio de um segmento</p><p>Em muitos problemas, precisamos determinar as coor-</p><p>denadas do ponto médio de um segmento AB em função das</p><p>coordenadas das extremidades A e B do segmento. O segmento</p><p>de reta possui inúmeros pontos alinhados, mas somente um</p><p>deles irá dividir o segmento em duas partes iguais.</p><p>Podemos definir o ponto médio como o ponto que divide</p><p>o segmento de reta exatamente no meio tendo dois novos</p><p>segmentos iguais , logo:</p><p>14GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Solução</p><p>N é o ponto médio de AC e M o ponto médio de BC. A</p><p>base média é o e segmento NM.</p><p>Assim, M(5, 3)</p><p>Assim, N(3, 2)</p><p>O comprimento de MN é dado pela distância de M à N.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Obtenha, em cada caso, as coordenadas do ponto médio</p><p>do segmento AB.</p><p>a) A (1, 7) e B (11, 3)</p><p>b) A (-2, 5) e B (-4, -1)</p><p>c) A (0, 3) e B (0, -3)</p><p>d) A (-6, 9) e B (-2, -5)</p><p>2. Sabe-se que M (a, b) é o ponto médio do segmento AB.</p><p>Se A (11, -7) e B (-9, 0), calcule as coordenadas do ponto M.</p><p>3. Uma das extremidades de um segmento é o ponto cujas</p><p>coordenadas são (-2, -2). O ponto médio desse segmento tem</p><p>coordenadas (3, -2). Determine as coordenadas x e y da outra</p><p>extremidade do segmento.</p><p>4. Uma das extremidades de um segmento é o ponto</p><p>A (13, 19). Sendo M (-9, 30) o ponto médio do segmento, cal-</p><p>cular as coordenadas do ponto B, que é a outra extremidade</p><p>do segmento.</p><p>5. O quadrilátero ABCD está definido pelos pontos</p><p>A (-1, 1), B (1, 1), C (3, 1) e D (-1, -3). Calcule o perímetro</p><p>desse quadrilátero.</p><p>6. Os vértices de um triângulo são os pontos A (0, 4),</p><p>B (2, -6) e C (-4, 2). Calcular o comprimento das medianas</p><p>do triângulo.</p><p>Respostas</p><p>1. a) M(6, 5) b) M(-3, 2) c) M(0, 0) d) M(-4, 2)</p><p>2.</p><p>3. (8, -2)</p><p>4. B(-31, 41)</p><p>5. p=4 + 6√2</p><p>6. √37 , √97 , √34 .</p><p>16GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Condições de alinhamento de três pontos</p><p>A figura a seguir nos mostra três pontos A(x1, y1), B(x2, y2),</p><p>e C(x3, y3) que estão alinhados, ou seja, são pontos de uma</p><p>mesma reta.</p><p>Assim, dados três pontos A(x1, y1), B(x2, y2), e C(x3, y3),</p><p>dizemos que os pontos estão alinhados se e somente se:</p><p>Exemplo 6</p><p>Determine o valor de m para que os pontos A(m, 3), B(-2,</p><p>-5) e C(-1, -3) sejam colineares.</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Verifique se os pontos abaixo estão alinhados:</p><p>a) A (0, 2), B (-3, 1) e C (4, 5)</p><p>b) A (-2, 6), B (4, 8) e C (1, 7)</p><p>c) A (-1, 3), B (2, 4) e C (-4, 10)</p><p>2. Dados os pontos A (0, 0) e B (5, 5). Seja um ponto</p><p>Q (r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Deter-</p><p>mine uma relação entre r e s.</p><p>3. Dados os pontos A (0, 2) e B (2, 0). Seja um ponto</p><p>Q (r, s) que está alinhado com A e B ao mesmo tempo. Deter-</p><p>mine uma relação entre r e s.</p><p>Respostas</p><p>1. a) não b) sim c) não</p><p>2. s = r</p><p>3. s = -r + 2</p><p>18GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Reta</p><p>Podemos definir uma reta como sendo uma</p><p>sucessão de infinitos pontos, distintos, alinhados.</p><p>O fato de estarem alinhados confere a existência</p><p>de uma direção constante. Assim sendo pode-se</p><p>afirmar que para existir uma reta é necessário</p><p>da existência de dois pontos distintos, ou ainda</p><p>um ponto e uma direção. A reta não tem fim</p><p>e divide o plano que a contém em duas partes.</p><p>Equações da reta</p><p>Determina-se a equação de uma reta se sou-</p><p>bermos dois pontos pelos quais ela passa. Sendo</p><p>dados esses dois pontos, ou seja, conhecemos as</p><p>suas coordenadas integralmente, já sabemos que</p><p>por eles vai passar uma reta única.</p><p>19GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>No segmento</p><p>formado por A e B todos os pontos estão</p><p>alinhados, assim, podemos achar a equação de uma reta relacio-</p><p>nando as coordenadas genéricas e de tal forma que, aplicadas</p><p>na condição de alinhamento, a ordenada tem como resultado a</p><p>abcissa ou vice versa.</p><p>Da figura acima, pode-se ver que foi construído um triân-</p><p>gulo retângulo ABD com o prolongamento dos segmentos que</p><p>formam os pontos A e B. O ângulo α que aparece como ângu-</p><p>lo interno do triângulo ABD é exatamente o ângulo que a reta</p><p>AB forma com a horizontal, pois se tem a situação de duas</p><p>retas paralelas cortadas por uma mesma transversal que forma</p><p>ângulos correspondentes. O cateto oposto a α, BD, tem valor</p><p>yB - yA e o cateto adjacente AD tem valor xB - xA . Podemos</p><p>então achar o valor da tangente de α da seguinte maneira:</p><p>Veja, o valor do coeficiente que multiplica o “x” na equação</p><p>reduzida é numericamente igual à tangente do ângulo que a</p><p>reta faz com a horizontal. Devido a esse fato, esse coeficiente</p><p>recebeu um nome de COEFICIENTE ANGULAR. Trata-</p><p>-se da parte da reta que dá a sua direção. O outro coeficiente</p><p>da equação reduzida “n” é chamado de COEFICIENTE</p><p>(Equação Geral da Reta)</p><p>20GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>LINEAR e ele tem um significado. Se substituirmos “x = 0”</p><p>na equação reduzida, resulta-se em “y = n”, ou seja, esse “n” é</p><p>o ponto em que a reta corta o eixo Oy. Assim, conhecendo-se</p><p>o coeficiente angular e um ponto P(x1, y1) em que uma reta</p><p>passa é possível encontrar sua equação da seguinte maneira:</p><p>Vamos agora partir da equação encontrada acima e isolar o</p><p>termo “y”, ou seja, vamos escrever o y como uma função de “x”:</p><p>Exemplo 7</p><p>Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis</p><p>fósseis é o SO2 (dióxido de enxofre). Uma pesquisa realizada na</p><p>Noruega e publicada na revista "Science" em 1972 conclui que</p><p>o número (N) de mortes por semana, causadas pela inalação</p><p>de SO2, estava relacionado com a concentração média (C) em</p><p>μg/m3, do SO2 conforme o gráfico. Os pontos (C, N) dessa</p><p>relação estão sobre o segmento de reta da figura. Determine</p><p>a relação entre N e C(100 ≤ C ≤ 700).</p><p>Solução</p><p>y - y1 = m(x - x1) (Equação da Reta)</p><p>y = mx + n (Equação Reduzida da Reta)</p><p>21GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 8</p><p>Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$</p><p>20,00 mais um custo variável por unidade produzida, segundo o</p><p>gráfico. Sendo x o número de unidades produzidas, quantas devem</p><p>ser produzidas para que o custo total seja R$ 260,00. Dado: tg 31° = 0,6</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determine as equações das retas que passam pelos pontos</p><p>indicados abaixo:</p><p>a) A (0, 0) , B (2, 4)</p><p>b) A (-1, 1) , B (5, 5)</p><p>c) A (0, 3) , B (-2, 1)</p><p>d) A (2, 7) , B (-2, -13)</p><p>e) A (8, 3) , B (-6, -4)</p><p>f) A (0, 0) , B (-3, 0)</p><p>2. Determinar a equação geral da reta que passa pelos</p><p>pontos A (0, 6) e B (6, 0).</p><p>3. Dados dos pontos, A (0, 2) e B (-3, -1), determinar a</p><p>equação reduzida da reta que contém o segmento AB.</p><p>4. Sejam os pontos A (0, 0), B (0, 4), C (4, 4) e D (4, 0) os</p><p>vértices de um quadrilátero. Determine:</p><p>a) A reta suporte que contem a diagonal AC;</p><p>b) A reta suporte que contem a diagonal BD;</p><p>c) A reta suporte que contem o segmento determinado pelo</p><p>ponto A e o ponto médio do lado CD;</p><p>d) A reta suporte que contem o segmento determinado</p><p>pelo ponto médio do lado BC e o ponto médio do lado CD.</p><p>5. Determine a equação da reta que passa pelo ponto</p><p>A (2, -3) e tem coeficiente angular .</p><p>6. Ache a equação da reta r em cada caso:</p><p>7. Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente</p><p>angular m = 2 e que cruza o eixo y no ponto (0, -3).</p><p>8. Os pontos A (2, 0), B (0, 4) e C (4, 2) são os vértices de</p><p>um triângulo ABC. Determine as equações das retas suportes</p><p>dos lados desse triângulo.</p><p>9. A intensidade da corrente elétrica I que percorre uma</p><p>resistência depende da tensão aplicada V. Determine a equação</p><p>da função que relaciona a intensidade da corrente elétrica com</p><p>a tensão aplicada representada no gráfico ao lado e calcule a</p><p>intensidade da corrente elétrica para uma tensão de 120V.</p><p>10. O valor de uma máquina decresce linearmente com o</p><p>tempo, devido ao desgaste. Sabendo-se que hoje ela vale R$</p><p>10.000,00 e daqui a 5 anos valerá R$ 1.000,00.</p><p>a) Definir a função depreciação em relação ao tempo.</p><p>b) Calcule o valor da máquina daqui a 3 anos.</p><p>c) Qual o sinal do coeficiente angular da função obtida.</p><p>d) Esboce o gráfico e faça uma análise do item (c).</p><p>Respostas</p><p>1. a) y – 2x = 0 b) 2x – 3y + 5 = 0 c) y – x – 3 = 0</p><p>d) y – 5x + 3 = 0 e) 2y – x + 2 = 0 f) y = 0</p><p>2. x + y – 6 = 0</p><p>3. y = x + 2</p><p>4. a) y = x b) y = – x + 4 c) y = x/2 d) y = – x + 6</p><p>5. x – 2y – 8 = 0</p><p>6. a) b) x + y = 0</p><p>7. y = 2x – 3</p><p>8. – 2x – y + 4 = 0 ; – x + y + 2 = 0 ; x + 2y – 8 = 0</p><p>9. 7,2ª</p><p>10. a) D = -1800t + 10000 b) D(3) = 4600</p><p>c) Negativo, é igual a -1800 d) Use um software.</p><p>24GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Condições de paralelismo entre retas</p><p>Sejam as retas r1 = m1x + n1 e r2 = m2x + n2, contidas no</p><p>plano, de inclinações α1 e α2, respectivamente. Pode ocorrer:</p><p>• 1º caso:</p><p>Neste caso, r1 e r2 são paralelas, conforme podemos observar</p><p>nas figuras seguintes:</p><p>• 2º caso:</p><p>Neste caso particular r1 e r2 são retas verticais</p><p>• 3º caso:</p><p>Neste caso, r1 e r2 são concorrentes:</p><p>Exemplo 9</p><p>Determinar a equação da reta r, que é paralela à reta s de</p><p>equação y - 3x + 5 = 0 e que passa pelo ponto P(2, 3).</p><p>Solução</p><p>y - y1 = m(x - x1)</p><p>y - 3 = 3(x - 2)</p><p>y - 3 = 3x - 6</p><p>-3x + y + 3 = 0</p><p>3x - y - 3 = 0</p><p>3053053 =∴=−=⇒=+− mxyxy</p><p>α1 = α2</p><p>α1 ≠ α2</p><p>α1 = α2 = 90°</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto</p><p>A (3, -5) e é paralela à reta de equação 8x - 2y + 1 = 0.</p><p>2. A figura ABCD é um quadrado. Determinar a equação</p><p>da reta suporte do lado AB.</p><p>3. As retas r e s são dadas na forma de determinantes. Para</p><p>que valores de α as retas são paralelas?</p><p>4. Ache a equação da reta r que é paralela à reta 3x-2y+1=0</p><p>e que passa pelo ponto A (-2, 5).</p><p>e</p><p>a</p><p>yx</p><p>0</p><p>10</p><p>121</p><p>1</p><p>= 0</p><p>11</p><p>111</p><p>1</p><p>=</p><p>− a</p><p>yx</p><p>Respostas</p><p>1. 4x – y – 17 = 0</p><p>2. x + 2y – 10 = 0</p><p>3. a = – 1 ou a = 3</p><p>4. 3x – 2y +16 = 0</p><p>26GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Intersecção de retas</p><p>Sabemos que duas retas não paralelas e nem coincidentes</p><p>se interceptam uma única vez. Assim, dadas duas retas, achar</p><p>a sua intersecção é determinar o x e o y, que satisfazem ao</p><p>mesmo tempo as duas equações.</p><p>Para obtermos as coordenadas (x, y) do ponto, resolvendo</p><p>o sistema de primeiro grau formado pelas equações das duas</p><p>retas.</p><p></p><p></p><p></p><p>=++</p><p>=++</p><p>=∩</p><p>0</p><p>0</p><p>222</p><p>111</p><p>21 cybxa</p><p>cybxa</p><p>rr</p><p>Exemplo 10</p><p>As retas r e s, de equações x + y - 4 = 0 e 2x - y + 1 = 0,</p><p>respectivamente, se interceptam num ponto P(x, y). Determine</p><p>as coordenadas do ponto P.</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determine as intersecções entre os pares de retas abaixo:</p><p>a) 2x + y - 1 = 0 e 3x + 2y - 4 = 0</p><p>b) y = 3x - 4 e y - x + 6 = 0</p><p>c) y + 8x - 4 = 0 e y + x + 7 = 0</p><p>d) y - 4x + 5 = 0 e o eixo Ox</p><p>e) y - 5x + 2 = 0 e o eixo Oy</p><p>2. Uma reta r é determinada pelos pontos A (2, 0) e B (0, 4),</p><p>e uma reta s é determinada pelos pontos C (-4, 0) e D (0, 2).</p><p>Seja P (a, b) o ponto de intersecção das retas r e s. Determine</p><p>as coordenadas do ponto P.</p><p>3. As equações das retas suportes dos lados de um triângulo</p><p>são: x + 6y - 11 = 0, 3x - 2y + 7 = 0 e x - 6y -5 = 0. Determinar</p><p>as coordenadas dos vértices do triângulo.</p><p>4. Mostre que as retas de equação 2x + 3y - 1 = 0, x + y = 0</p><p>e 3x + 4y - 1 = 0 concorrem no mesmo ponto.</p><p>Respostas</p><p>1. a) (-2, 5) b)</p><p>(-1, -7) c)</p><p>d) e) (0, -2)</p><p>2.</p><p>3. A(-1, 2) , ,</p><p>4. P (-1, 1)</p><p>28GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Retas perpendiculares</p><p>Já mencionado anteriormente, a parte da equação de uma</p><p>reta que está vinculada com a sua direção é o coeficiente an-</p><p>gular, assim sendo, esse resultado que estamos querendo sai</p><p>em função desses coeficientes, que são de antemão conhecidos.</p><p>Duas retas r1 e r2 , concorrentes, de coeficientes m1 e m2,</p><p>respectivamente, são perpendiculares se, e somente se:</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>m</p><p>m −=</p><p>Exemplo 11</p><p>Determinar o valor de k para que a reta r de equação kx - 9y</p><p>- 1 = 0, seja perpendicular à reta s, de equação 2x - 6y - 3 = 0.</p><p>Solução</p><p>Sejam</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dada a reta r de equação 2x - y + 5 = 0 e o ponto P (3, 5),</p><p>determinar a equação da reta s que passa pelo ponto P e é per-</p><p>pendicular à reta r.</p><p>2. Dados os pontos A (1, 3) e B (-3, -5), determinar a equa-</p><p>ção da mediatriz desse segmento.</p><p>3. As retas de equação x + 2y - a = 0 e 4x + ay - 7 = 0, são</p><p>perpendiculares. Determine a.</p><p>4. Determine a equação da reta que passa pelo ponto</p><p>A (-3, 2) e é perpendicular à reta de equação 3x + 4y = 4.</p><p>5. Escreva a equação reduzida da reta que pas-</p><p>sa pelo ponto A (5, 0) e é perpendicular à reta de equação</p><p>6. A equação de uma reta r é dada por</p><p>Determine a equação da reta que passa pelo ponto (4, 7) e é</p><p>perpendicular a r.</p><p>Respostas</p><p>1. x + 2y – 13 = 0</p><p>2. x+ 2y + 3 = 0</p><p>3. a = -2</p><p>4. 4x – 3y + 18 = 0</p><p>5.</p><p>6. x +2y – 18 = 0</p><p>30GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Circunferência</p><p>Denomina-se CIRCUNFERÊNCIA o conjunto de todos</p><p>os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo P(x, y).</p><p>Essa distância fixa é chamada RAIO. Veja sua equação:</p><p>Desenvolvendo a equação reduzida, encontramos a equação</p><p>geral da circunferência:</p><p>Exemplo 12</p><p>Determinar a equação reduzida da circunferência com o</p><p>centro no ponto C(4, 7) e raio r = 2.</p><p>Solução</p><p>(x - xC )2 + (y - yC )2 = r 2</p><p>(x - 4)2 + (y - 7)2 = 22</p><p>(x - 4)2 + (y - 7)2 = 4</p><p>Exemplo 13</p><p>Determinar a equação geral da circunferência com centro</p><p>no ponto C(2, 3) e passa pelo ponto P(-1, 2).</p><p>Solução</p><p>(x - xC)2 + (y - yC)2 = r 2</p><p>(equação reduzida da circunferência)</p><p>x2 + y2 - 2xCx - 2yCy + = xC</p><p>2 + yC</p><p>2 - r 2) = 0</p><p>(equação geral da circunferência)</p><p>31GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 14</p><p>Determinar as coordenadas do centro e o raio da circun-</p><p>ferência de equação x2 + y2 - 4x - 8y + 19 = 0.</p><p>Solução</p><p>Primeiro vamos olhar para o coeficiente do termo em x.</p><p>Basta dividi-lo por -2 e obtemos o xC . Fazemos o mesmo com</p><p>o coeficiente do termo em y. Assim:</p><p>, logo, C(2, 4)</p><p>Para achar o raio basta calcular:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dadas as equações de circunferências abaixo, identificar</p><p>o raio e as coordenadas do centro:</p><p>a) x2 + y2 - 8x - 6y + 10 = 0</p><p>b) x2 + y2 - 5x + 11y + 1 = 0</p><p>2. Determine a equação da circunferência com centro no</p><p>ponto C e que passa pelo ponto P, nos seguintes casos.</p><p>a) C(-1, 2) e P(2, 0)</p><p>b) C(0, 1) e P(1, 2)</p><p>c) C(1, 2) e P(-2, 6)</p><p>3. Achar a equação reduzida da circunferência cujas extre-</p><p>midades de um diâmetro são os pontos A(0, -8) e B(6, 0).</p><p>4. Determinar a forma geral da equação da circunferência</p><p>com centro no ponto Q (-1, 2) e raio r = 2.</p><p>5. Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos</p><p>A(0, 1) e B(1, 4) e tem centro sobre a reta de equação x = 2.</p><p>Respostas</p><p>1. a) C(4, 3) r = √15 b)</p><p>2. a) (x + 1)2 + (y - 2)2 = 13</p><p>b) x2 + (y - 1)2 = 2</p><p>c) (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25</p><p>3. (x - 3)2 + (y + 4)2 = 25</p><p>4. x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0</p><p>5. (x - 2)2 + (y - 2)2 = 5</p><p>33GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Resumo</p><p>Abaixo consta uma tabela com as principias fórmulas e/ ou condições sobre geometria analítica:</p><p>y - y1 = m(x - x1)</p><p>y = mx + n</p><p>1° caso: α1 = α2 2° caso: α1 = α2 = 90° 3° caso: α1 ≠ α2</p><p>(x - xC)2 + (y - yC)2 = r 2 (equação reduzida)</p><p>x2 + y2 - 2xCx - 2yCy + = xC</p><p>2 + yC</p><p>2 - r 2) = 0 (equação geral)</p><p>Distância entre dois pontos ( ) ( ) ( )22, ABAB yyxxBAd −+−=</p><p>ax + by + c = 0</p><p>Ponto Médio 2</p><p>BA</p><p>M</p><p>xxx +</p><p>=</p><p>2</p><p>BA</p><p>M</p><p>yyy +</p><p>=</p><p>Equação geral da reta</p><p>Coeficiente angular m</p><p>xx</p><p>yy</p><p>aadjacentecateto</p><p>aapostocateto</p><p>AB</p><p>AB =</p><p>−</p><p>−</p><p>==</p><p>α</p><p>ααtan</p><p>Equação da reta</p><p>Equação reduzida da reta</p><p>Paralelismo entre retas</p><p>Intersecção de retas</p><p></p><p></p><p></p><p>=++</p><p>=++</p><p>=∩</p><p>0</p><p>0</p><p>222</p><p>111</p><p>21 cybxa</p><p>cybxa</p><p>rr</p><p>Retas perpendiculares</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>m</p><p>m −=</p><p>Condições de alinhamento</p><p>entre três pontos 0</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>33</p><p>22</p><p>11</p><p>=</p><p>yx</p><p>yx</p><p>yx</p><p>Circunferência</p><p>34GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>ESTUDO DAS</p><p>CÔNICAS</p><p>As inúmeras aplicações das</p><p>cônicas na Física e nas áreas de</p><p>engenharia torna o estudo delas</p><p>relevante</p><p>Nesse capítulo vamos estudar as cônicas:</p><p>parábola, elipse e hipérbole, as quais tem</p><p>grande aplicação na Física. Uma secção cônica</p><p>ou, simplesmente, uma cônica é uma curva</p><p>obtida cortando-se qualquer cone de duas</p><p>folhas por um plano que não passa pelo vér-</p><p>tice, chamado de plano secante. Dependendo</p><p>do corte no cone, as intersecções podem ser:</p><p>círculo, parábola, hipérbole e elipse. Veja as</p><p>figuras abaixo:</p><p>35GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Quando se toma um cone duplo e se faz um corte através</p><p>de um plano paralelo à base desse cone, a figura resultante é</p><p>o que chamamos de circunferência. Se o plano secante não</p><p>é paralelo a uma geratriz, e corta só uma das duas folhas do</p><p>cone, a cônica é uma elipse. Se o plano secante é paralelo a uma</p><p>geratriz do cone, a cônica é uma parábola. Se o plano secante</p><p>não é paralelo a uma geratriz e corta ambas folhas do cone, a</p><p>cônica é uma hipérbole.</p><p>OBS.: No caso de um plano que passa pelo vértice do cone</p><p>obtemos, como é fácil visualizar, um ponto, uma reta ou um par</p><p>de retas concorrentes. Estas são chamadas cônicas degeneradas.</p><p>Definição das cônicas como lugar geométrico¹</p><p>Estudaremos as secções cônicas como curvas planas. Para</p><p>isso, utilizaremos definições que se referem somente ao plano</p><p>no qual está a curva e que dependem de pontos especiais desse</p><p>plano, chamados focos da curva.</p><p>• Parábola: conjunto de todos os pontos P do plano tais</p><p>que a distância d1 de P a um ponto fixo F, chamado foco</p><p>da parábola, é igual à distância d2 de P a uma reta fixa D,</p><p>chamada diretriz da parábola.</p><p>¹ Lugar Geométrico (L.G.) é uma região do plano ou uma geometria em que todos os pontos obedecem a</p><p>uma lei ou propriedade.</p><p>36GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>• Elipse: conjunto de todos os pontos P do plano tais que é</p><p>constante a soma d1 + d2 das distâncias d1 e d2, respectiva-</p><p>mente, de P a dois pontos fixos F1 e F2, chamados focos da</p><p>elipse.</p><p>• Hipérbole: conjunto de todos os pontos P do plano tais que</p><p>é constante o módulo da diferença | d1 - d2 | das distâncias</p><p>d1 e d2, respectivamente, de P a dois pontos fixos F1 e F2,</p><p>chamados focos da hipérbole.</p><p>Equação canônica das cônicas</p><p>A fim de determinar mais facilmente as equações cônicas,</p><p>escolhemos inicialmente, para a elipse e a hipérbole, um siste-</p><p>ma de coordenadas tal que os focos estejam no eixo x. Para a</p><p>parábola escolhemos um sistema tal que o foco esteja no eixo x</p><p>e a origem equidistante do foco e da diretriz. Assim obtemos</p><p>as equações a seguir, chamadas equações cônicas.</p><p>37GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Parábola</p><p>Parábola é o nome dado ao lugar geométrico dos pontos</p><p>de um plano equidistantes de um ponto fixo F, chamado foco,</p><p>e de uma reta fixa d do plano.</p><p>Para obtermos a equação da parábola, devemos considerar</p><p>dois casos:</p><p>• 1º caso: Fixamos um sistema de coordenadas cartesianas,</p><p>com origem no vértice V da parábola e com o eixo de simetria</p><p>contido no eixo x.</p><p>• Foco: F (p, 0)</p><p>• Vértice: V (0, 0)</p><p>• Diretriz: D : x = -p</p><p>Determinada pelo seu foco F (p, 0) e por sua diretriz</p><p>D: x = -p, uma parábola tem a seguinte equação:</p><p>y2 = 4px</p><p>(forma padrão da equação da parábola</p><p>de foco F (p, 0) e</p><p>diretriz D : x = -p )</p><p>38GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 15</p><p>Uma parábola tem o foco F na intersecção das retas y = 0</p><p>e x = 8 e o vértice na origem dos eixos coordenados.</p><p>a. Determinar a equação da diretriz dessa parábola;</p><p>b. determinar a equação dessa parábola.</p><p>Solução</p><p>Equação da parábola:</p><p>• 2º caso: Fixamos um sistema de coordenadas cartesianas,</p><p>com origem no vértice V da parábola e com o eixo de sime-</p><p>tria contido no eixo y.</p><p>Logo,</p><p>• Foco: F (0, p)</p><p>• Vértice: V (0, 0)</p><p>• Diretriz: D : y = -p</p><p>• Diretriz: : x = -8</p><p>x2 = 4py</p><p>(forma padrão da equação da parábola de foco F (0, p) e</p><p>diretriz D : y = -p )</p><p>39GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 16</p><p>Determinar a equação da parábola cujo vértice é a origem</p><p>dos eixos de coordenadas, e o eixo de simetria é o eixo y e passa</p><p>pelo ponto P(-3, 7).</p><p>Solução</p><p>• Se o eixo de simetria é o eixo y, temos:</p><p>• Transportando o valor de p para a forma padrão:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz</p><p>d, nos seguintes casos:</p><p>a) F (1, 0) e D : x = -1</p><p>b) F (0, 3) e D : y = -3</p><p>c) F (-4, 0) e D : x -4 = 0</p><p>d)</p><p>2. Determine as coordenadas do foco e a equação da reta</p><p>diretriz das seguintes parábolas:</p><p>a) y 2 - 6x = 0</p><p>b) y 2 + 20x = 0</p><p>c) x 2 - 4y = 0</p><p>d) x 2 + y = 0</p><p>3. Numa parábola, o vértice é o ponto (0, 0) e o eixo de</p><p>simetria é o eixo x. Determine a equação da parábola, sabendo</p><p>que ela passa pelo ponto P (3, -6).</p><p>4. Determine a equação da parábola cujo vértice é o ponto</p><p>V (0, 0) e o eixo de simetria é o eixo y, sabendo que ela passa</p><p>pelo ponto P (-2, 4).</p><p>5. Determine os pontos de intersecção da parábola, de</p><p>equação x2 - 4y = 0, com a reta de equação y - 9 = 0.</p><p>Respostas</p><p>1. a) y2 - 4x = 0 b) x2 - 12y = 0</p><p>c) y2 + 16x = 0 d) x2 + 6y = 0</p><p>2. a) b) F (-5, 0) e (d) : x - 5 = 0</p><p>c) F (0, 1) e (d) : y = -1 d)</p><p>3. y2 - 12x = 0</p><p>4. x2 - y = 0</p><p>5. (6, 9) e (-6, 9)</p><p>41GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Elipse</p><p>A elipse é o nome dado ao Lugar Geométrico dos pontos</p><p>do plano, tais que a soma das distâncias de qualquer ponto</p><p>desse conjunto a dois pontos fixos, chamados focos, é cons-</p><p>tante e igual a 2a. Para achar a equação de uma elipse, vamos</p><p>introduzir sistemas convenientes de coordenadas para estudar</p><p>analiticamente uma elipse.</p><p>1º caso: A origem do sistema de coordenadas é o centro</p><p>da elipse e o eixo maior está no eixo x.</p><p>Focos: F1 (+ c, 0), F2 (- c, 0)</p><p>Vértices: V1 (+ a, 0), V2 (- a, 0)</p><p>M1 (0, + b), M2 (0, - b)</p><p>Centro: C (0, 0)</p><p>Semieixo maior:</p><p>Semieixo menor:</p><p>Relação fundamental:</p><p>Considere a elipse da figura acima, sendo assim:</p><p>a2 = b2 + c2</p><p>42GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>2º caso: A origem do sistema de coordenadas é o centro</p><p>da elipse e o eixo maior está no eixo y.</p><p>Focos: F1 (0, + c), F2 (0, - c)</p><p>Vértices: V1 (0, + a), V2 (0, - a)</p><p>M1 (+ b, 0), M2 (- b, 0)</p><p>Centro: C (0, 0)</p><p>Semieixo maior:</p><p>Semieixo menor:</p><p>(Equação reduzida da elipse com foco no</p><p>eixo x e centro na origem)</p><p>43GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Pela elipse da figura acima, temos:</p><p>Desenvolvendo algebricamente como no caso anterior,</p><p>obtemos a equação:</p><p>EXCENTRICIDADE DA ELIPSE</p><p>Denomina-se excentricidade de uma elipse o quociente</p><p>entre sua semidistância focal e o semieixo maior.</p><p>Como c < a, temos: 0 < e < 1</p><p>A excentricidade de uma elipse mede seu maior ou menor</p><p>achatamento.</p><p>Exemplo 17</p><p>Encontrar a equação de uma elipse que está centrada na</p><p>origem, com eixo focal coincidente com o eixo Ox, de excen-</p><p>tricidade 0,5 e que passa pelo ponto (10, 0).</p><p>Solução</p><p>• Como a excentricidade é 0,5:</p><p>• Pela relação fundamental obtemos c:</p><p>(Equação reduzida da elipse com foco no</p><p>eixo y e centro na origem)</p><p>44GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>• Coordenadas do centro e do ponto da elipse:</p><p>C (0, 0)</p><p>P (10, 0)</p><p>• Cálculo da semidistância focal:</p><p>• Equação da elipse:</p><p>Exemplo 18</p><p>Determinar a equação da elipse de focos F1 (0, -3) e</p><p>F2 (0, +3), sabendo-se que o comprimento de eixo menor é 2.</p><p>Solução</p><p>Como os focos estão no eixo y, a forma padrão da equação é:</p><p>• De acordo com os dados do problema, temos:</p><p>• Da relação fundamental obtemos a2:</p><p>• Equação da elipse:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Numa elipse o eixo maior está contido no eixo x e seu</p><p>comprimento é 16. Sabendo-se que a distância entre os focos</p><p>é 10, determinar a equação da elipse.</p><p>2. Determinar as coordenadas dos focos e dos vértices, e a</p><p>excentricidade da elipse de equação: 4x2 + 25y2 = 100.</p><p>3. Determinar a equação da elipse de vértices V1 (0, +6) e</p><p>V2 (0, -6) e passa pelo ponto P (3, 2).</p><p>4. Determinar a excentricidade da elipse de equação</p><p>x2 + 5y2 = 20.</p><p>5. Determinar a equação da elipse de focos F1 (3, 0) e</p><p>F2(-3, 0) sabendo que o comprimento do eixo maior é 8.</p><p>6. Determinar as medidas do eixo maior e do eixo menor</p><p>da elipse de equação .</p><p>46GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Hipérbole</p><p>A hipérbole é o nome dado ao lugar geométrico dos pontos</p><p>P do plano, tais que a diferença de suas distâncias a dois pon-</p><p>tos fixos F1 e F2, chamados focos, do plano é uma constante</p><p>positiva e menor que a distância entre esses pontos fixos.</p><p>Focos: F1 (+ c, 0), F2 (- c, 0)</p><p>Vértices: V1 (+ a, 0), V2 (- a, 0)</p><p>Centro: C (0, 0)</p><p>Eixo real:</p><p>Eixo imaginário:</p><p>Excentricidade: (e > 1)</p><p>EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE</p><p>1ºcaso: Consideremos a hipérbole na qual os focos perten-</p><p>cem ao eixo das abscissas e a origem do sistema de coordenadas</p><p>é o ponto médio do segmento cujas extremidades são os focos.</p><p>Relação fundamental: c 2 = a2 + b2</p><p>47GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>O ponto P(x, y) pertence à hipérbole se, e somente se:</p><p>2ºcaso: Caso os focos da hipérbole pertençam ao eixo</p><p>das ordenadas, a forma padrão da equação da hipérbole será:</p><p>(Equação reduzida da hipérbole com foco</p><p>no eixo x e centro na origem)</p><p>(Equação reduzida da hipérbole com foco no</p><p>eixo y e centro na origem)</p><p>48GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>ASSÍNTOTAS DA HIPÉRBOLE:</p><p>Observando a hipérbole da figura, temos um retângulo</p><p>ABCD cujos lados medem 2a e 2b.</p><p>As retas r1 e r2 que contém as diagonais desse retângulo,</p><p>são chamadas assíntotas da hipérbole:</p><p>e</p><p>Exemplo 19</p><p>Determinar a equação da hipérbole de focos F1 (5, 0) e</p><p>F2 (-5, 0) e de vértices V1 (3, 0) e V2 (-3, 0).</p><p>Solução</p><p>• Pelos dados do problema, temos: .</p><p>• Da relação fundamental obtemos b:</p><p>• Como os focos pertencem ao eixo das abscissas, temos:</p><p>Exemplo 20</p><p>Determinar a equação da hipérbole de focos F1 (0, 4) e</p><p>F2 (0, -4), sabendo-se que o comprimento do eixo real é 6</p><p>unidades.</p><p>49GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Solução</p><p>• Pelos dados do problema, temos:</p><p>• Pela relação fundamental, obtemos c:</p><p>• Como os focos pertencem ao eixo das ordenadas, a forma</p><p>padrão é:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determine a equação da hipérbole de focos F1 (0, 6) e</p><p>F2 (0, -6), sabendo que o eixo imaginário tem 8 unidades de</p><p>comprimento.</p><p>2. Numa hipérbole, a distância focal é 16 e o comprimento</p><p>do eixo real é 12. Determine a equação da hipérbole, sabendo</p><p>que os focos pertencem ao eixo das abscissas.</p><p>3. Determine a equação da hipérbole de focos F1 (0, 4) e</p><p>F2 (0, -4) e de vértices V1 (0, 1) e V2 (0, -1).</p><p>4. Os focos de uma hipérbole são F1 (4, 0) e F2 (-4, 0), e o</p><p>eixo imaginário tem 2√3</p><p>unidades de comprimento. Determine</p><p>a equação da hipérbole.</p><p>5. Determinar a medida do eixo real, do eixo imaginário</p><p>e da distância focal da hipérbole de equação 9x2 - 16y2 = 144.</p><p>6. Determinar a excentricidade e a equação das assíntotas</p><p>da hipérbole de equação 4x2 - y2 = 16.</p><p>7. Determine a equação da hipérbole de focos F1 (5, 0) e</p><p>F2 (-5, 0) e de excentricidade .</p><p>51GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>• As equações respectivas com centro ou vértice genérico</p><p>em (h, k), mas focos na reta x = h, são obtidas trocando y - k</p><p>por y - k nas equações acima:</p><p>Exemplo 21</p><p>Determinar as coordenadas do vértice V (h, k), a distância</p><p>p do vértice ao foco e a equação da parábola de foco F (1, 4) e</p><p>cuja diretriz é a reta de equação y + 2 = 0.</p><p>Solução</p><p>• Diretriz: , então e eixo de simetria</p><p>da parábola é vertical.</p><p>Equação canônica das cônicas com centro</p><p>genérico (h,k)</p><p>As equações canônicas das cônicas descritas anteriormente</p><p>têm todas focos no eixo x ou y e, centro ou vértice em (0, 0).</p><p>Analisamos agora o caso em que o centro ou o vértice é um</p><p>ponto (h, k) qualquer do plano e os focos estão na reta y = k</p><p>paralela ao eixo x, ou na reta x = h paralela ao eixo y.</p><p>• As equações com um centro genérico em (h, k) e focos</p><p>na reta y = k são:</p><p>Parábola</p><p>Parábola</p><p>Hipérbole</p><p>Hipérbole</p><p>Elipse</p><p>Elipse</p><p>(x-h ) 2=4p (y-k )</p><p>(y-k ) 2=4p (x-h )</p><p>Foco: F (h , k+p )</p><p>Diretr iz : D :y=k-p</p><p>Foco: F (h+p , k )</p><p>Diretr iz : D :x=h-p</p><p>Focos: F 1(h , k+ c ) , F 2(h , k- c )</p><p>Vér t ices : V 1(h , k+a ) , V 2(h , k-a )</p><p>Focos: F 1(h+ c , k ) , F 2(h- c , k )</p><p>Vér t ices : V 1(h+a, k ) , V 2(h-a, k )</p><p>Focos: F 1(h , k+ c ) , F 2(h , k- c )</p><p>Vér t ices : V 1(h , k+a ) , V 2(h , k-a )</p><p>M 1(h+b, k), M 2(h-b, k)</p><p>Focos: F 1(h+c , k ) , F 2(h-c , k )</p><p>Vér t ices : V 1(h+a , k ) , V 2(h-a , k )</p><p>M 1(h , k+b), M 2(h , k-b)</p><p>52GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>• Cálculo das coordenadas do vértice:</p><p>• Distância do vértice ao foco:</p><p>• Equação da parábola:</p><p>Exemplo 22</p><p>Dada a equação da elipse , determine o</p><p>valor do semieixo maior, do semieixo menor, as coordenadas</p><p>dos focos, dos vértices, do centro e o valor da excentricidade.</p><p>Solução</p><p>Como o maior parâmetro está em baixo do termo de</p><p>x, a elipse tem eixo focal paralelo ao eixo Ox.</p><p>• Semieixo maior:</p><p>•Semieixo menor:</p><p>• Da relação fundamental, obtemos c:</p><p>• Coordenadas do centro são:</p><p>• Coordenadas dos focos:</p><p>53GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>• Coordenadas dos vértices:</p><p>• Excentricidade:</p><p>Exemplo 23</p><p>Achar a equação da hipérbole de centro (4, -2) e eixo real</p><p>paralelo ao eixo x, sabendo que 2a = 10 e 2b = 4.</p><p>Solução</p><p>• Calculo de a e b:</p><p>• Equação da hipérbole:</p><p>Se o eixo real é paralelo ao eixo x, a equação tem a forma:</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determine as coordenadas do foco, as coordenadas do</p><p>vértice e a equação da diretriz das seguintes parábolas:</p><p>a) y2 - 6y - 12x + 21 = 0</p><p>b) y2 - 4y - 4x - 8 = 0</p><p>c) x2 + 4x + 8y + 12 = 0</p><p>d) x2 - 2x - y + 4 = 0</p><p>2. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz</p><p>d, nos seguintes casos:</p><p>a) F (2, -2) e D : y + 6 = 0</p><p>b) F (4, 6) e D : y - 1 = 0</p><p>c) F (-4, -3) e D : x = - 8</p><p>3. Determinar as coordenadas do vértice, as coordena-</p><p>das do foco e a equação da diretriz da parábola de equação</p><p>y2 - 4y - 8x + 28 = 0.</p><p>4. Determinar as coordenadas do vértice, as coordenadas</p><p>do foco e a equação da diretriz da parábola de equação x2 + 2x</p><p>+ 4y - 15 = 0.</p><p>5. Determinar as coordenadas do centro, as coordenadas</p><p>dos focos e as medidas dos semieixos da elipse de equação</p><p>6. Escrever a equação da elipse 9x2 + 5y2 + 54x - 40y - 19=0.</p><p>7. Determinar a equação da elipse de eixo maior vertical,</p><p>sabendo que as coordenadas do centro são (2, -7) e os semieixos</p><p>valem a = 8 e b = 1.</p><p>8. Determinar as coordenadas do centro, do vértice e do</p><p>foco da hipérbole y2 - x2 + 2y - 2x - 1 = 0.</p><p>9. Ache a equação da hipérbole de centro (-3, 4) e eixo real</p><p>paralelo ao eixo y, nos seguintes casos:</p><p>a) 2a = 20 e 2b = 10</p><p>b) 2b = 6 e 2c = 12</p><p>10. Determinar as coordenadas do centro da hipérbole de</p><p>equação: 4x2 - 9y2 - 8x - 54y - 221 = 0.</p><p>11. Identifique a cônica de equação 4x2 + 9y2 - 16x + 18y</p><p>- 11 = 0, seus elementos e faça um esboço de seu gráfico.</p><p>12. Identifique a cônica de equação 25x2 - 36y2 - 100x</p><p>- 72y - 836 = 0, seus elementos e faça um esboço de seu gráfico.</p><p>56GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Resumo</p><p>Abaixo consta uma tabela com as principias fórmulas e/ ou condições sobre cônicas:</p><p>Parábola y2 = 4px (forma padrão da equação da</p><p>parábola de foco F (0, p) e diretriz x = -p)</p><p>x2 = 4py (forma padrão da equação da</p><p>parábola de foco F (0, p) e diretriz y = -p)</p><p>Elipse</p><p>(Equação reduzida da elipse com</p><p>foco no eixo x e centro na origem)</p><p>(Equação reduzida da elipse com</p><p>foco no eixo y e centro na origem)</p><p>Excentricidade:</p><p>Hipérbole (Equação reduzida da hipérbole com foco no eixo x e centro na origem)</p><p>(Equação reduzida da hipérbole com foco no eixo y e centro na origem)</p><p>Assíntotas:</p><p>57GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>CÁLCULO</p><p>VETORIAL</p><p>As grandezas físicas são classificadas como</p><p>escalares ou vetoriais. Vetoriais faz-se</p><p>necessário: módulo, direção e sentido.</p><p>Estudante, você já deve ter percebido que a história da</p><p>matemática raramente apresenta eventos bombásticos. As for-</p><p>mulações inicialmente tênues e difusas percorrem um espinhoso</p><p>trajeto até atingir a magnitude de seu desenvolvimento.</p><p>O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro</p><p>Simon Stevin - o "Arquimedes holandês". Em 1586 apresentou</p><p>em sua Estática e Hidrostática, o problema da composição de</p><p>forças e enunciou uma regra empírica para se achar a soma de</p><p>duas forças aplicadas num mesmo ponto. Tal regra, a conhe-</p><p>cemos hoje, como regra do paralelogramo.</p><p>58GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Os vetores aparecem considerados como "linhas dirigidas"</p><p>na obra Ensaio Sobre a Representação da Direção publicada</p><p>em 1797 por Gaspar Wessel, matemático dinamarquês.</p><p>A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX</p><p>com os trabalhos do irlandês William Hamilton (notavelmen-</p><p>te precoce: aos 5 anos lia grego, latim e hebraico), do alemão</p><p>Hermann Grassmann e do físico norte-americano Josiah Gibbs.</p><p>Neste capítulo iremos explorar o módulo, as operações e</p><p>propriedades de um vetor, acompanhe os exemplos e interprete</p><p>as imagens expostas. Bom estudo!</p><p>Reta e segmentos</p><p>Uma reta r é orientada quando fixamos nela um sentido</p><p>de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.</p><p>SEGMENTO ORIENTADO</p><p>Um segmento orientado é determinado por um par orde-</p><p>nado de pontos, o primeiro chamado origem do segmento, o</p><p>segundo chamado extremidade.</p><p>59GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>SEGMENTOS OPOSTOS</p><p>Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado</p><p>BA é oposto de AB.</p><p>DIREÇÃO E SENTIDO</p><p>Dados dois segmentos orientados AB e CD, como os mos-</p><p>trados abaixo, dizemos que eles têm a mesma direção quando</p><p>os segmentos AB e CD são paralelos ou coincidentes.</p><p>Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos</p><p>possuem o mesmo sentido quando, além de terem a mesma</p><p>direção possuem a mesma orientação. Quando a orientação é</p><p>oposta, dizemos que os segmentos são opostos.</p><p>SEGMENTO EQUIPOLANTES</p><p>Dizemos que dois segmentos orientados AB e CD são</p><p>equipolentes quando eles possuem o mesmo comprimento, a</p><p>mesma direção e o mesmo sentido.</p><p>60GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Vetores</p><p>Existem grandezas físicas que ficam completamente</p><p>espe-</p><p>cificadas por um único número (e a unidade correspondente)</p><p>chamadas escalares. Exemplos familiares de escalares são den-</p><p>sidade, volume e temperatura. Matematicamente, escalares são</p><p>tratados como números reais comuns. Eles obedecem a todas as</p><p>regras algébricas regulares de adição, subtração, multiplicação,</p><p>divisão e assim por diante.</p><p>No entanto, outras precisam mais do que isso. Tais gran-</p><p>dezas necessitam uma direção, um sentido e uma intensidade</p><p>(módulo). Estas grandezas são chamadas vetores. Assim, usamos</p><p>vetores quando queremos trabalhar com grandezas que possuem</p><p>módulo e orientação, como: força, velocidade e deslocamento.</p><p>Também podemos associar ao conceito de vetor as soluções</p><p>de sistemas lineares ou de equações diferenciais, por exemplo.</p><p>VETOR</p><p>Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.</p><p>Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por</p><p>três aspectos bastante definidos:</p><p>• comprimento (denominado módulo ou norma)</p><p>• direção (AB)</p><p>• sentido (de A para B)</p><p>Assim, chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os</p><p>segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto</p><p>infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mes-</p><p>mo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.</p><p>61GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>ETIMOLOGIA</p><p>Provém do verbo latino vehere: transportar, levar. Vetor</p><p>é o particípio passado de vehere, significando transportado,</p><p>levado. Apesar de primitiva e até bizarra, a palavra vetor é</p><p>pertinente: o ponto A é "transportado" até B.</p><p>VETORES NO PLANO</p><p>Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apre-</p><p>sentar uma origem e uma extremidade. Dados dois pontos P</p><p>e Q quaisquer no plano, podemos considerar o segmento de</p><p>reta orientado , com ponto inicial P e final Q.</p><p>Note que, embora como conjunto de pontos os segmen-</p><p>tos e sejam iguais, como segmentos orientados eles</p><p>são distintos. Dizemos que eles são segmentos opostos. Dois</p><p>segmentos orientados são equivalentes se tiverem mesmos</p><p>comprimento, direção e sentido. Por exemplo, na figura a seguir:</p><p>Os únicos segmentos com orientação equivalentes são</p><p>e .</p><p>Para qualquer segmento orientado no plano existe outro</p><p>equivalente a este cujo ponto inicial é a origem.</p><p>é equivalente a</p><p>62GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0, 0) são</p><p>chamados de vetores no plano, e são muito mais fáceis de tra-</p><p>balhar. Vamos passar a considerar agora, somente os segmentos</p><p>orientados com ponto inicial na origem. Para representá-lo,</p><p>basta indicar o par ordenado que corresponda à sua extremi-</p><p>dade. Assim, para cada ponto do plano P (a, b), está associado</p><p>um único vetor .</p><p>Para representar um vetor com ponto inicial na ori-</p><p>gem, usa-se a notação de coordenadas v = (a, b), mas também</p><p>existe a notação de matriz coluna e matriz linha v = [a b].</p><p>OBS.: a definição serve para vetores no espaço, caso em</p><p>que a origem dos vetores é o ponto (0, 0, 0), e assim por diante.</p><p>Exemplo:</p><p>Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do</p><p>vetor por um escalar são operações que ficam bem mais simples.</p><p>MÓDULO DE UM VETOR</p><p>O módulo ou norma (comprimento) do vetor é</p><p>um número real não negativo, definido por:</p><p>Exemplo 24</p><p>Considere o vetor , calcule seu módulo:</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Traçar 4 vetores equivalentes a .</p><p>2. Determine o módulo do vetor:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>64GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>VETORES IGUAIS</p><p>Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se, tiverem</p><p>a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento</p><p>(equipolentes).</p><p>VETOR NULO</p><p>O vetor nulo ou vetor zero é o vetor representado por um</p><p>segmento nulo. Indica-se o vetor nulo por , ou (0, 0).</p><p>VETORES OPOSTOS</p><p>Dado um vetor , o vetor é oposto a e se</p><p>indica por ou por .</p><p>VETOR UNITÁRIO</p><p>Um vetor é unitário se .</p><p>Então:</p><p>VERSOR</p><p>O versor de um vetor não nulo é o vetor unitário que</p><p>tem a mesma direção e o mesmo sentido de .</p><p>Os vetores e da figura são vetores unitários, pois</p><p>ambos têm módulo 1. No entanto, apenas tem a mesma</p><p>direção e o mesmo sentido de . Portanto, este é o versor de .</p><p>65GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>VETORES COLINEARES</p><p>Dois vetores e são colineares se tiverem a mesma di-</p><p>reção. Em outras palavras e são colineares se pertencerem</p><p>a uma mesma reta ou a retas paralelas.</p><p>VETORES COPLANARES</p><p>Os vetores , e são coplanares se tiverem imagens</p><p>geométricas paralelas ao mesmo plano. Cumpre enfatizar:</p><p>dois vetores são sempre coplanares, enquanto que três vetores</p><p>podem ou não ser coplanares.</p><p>Operações com vetores</p><p>MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR ESCALAR</p><p>Multiplicar um vetor por um número k > 0 é consi-</p><p>derar um novo vetor , que possui a mesma orientação</p><p>de e tem como comprimento k vezes o comprimento de .</p><p>Se k < 0 o vetor é igual ao oposto do vetor .</p><p>• k > 0</p><p>Os vetores e são equiversos.</p><p>• k < 0</p><p>Os vetores e são contraversos.</p><p>66GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Observe que a multiplicação de um número por um vetor</p><p>corresponde à multiplicação da matriz-linha (ou coluna) por</p><p>esse número. Assim, se , temos:</p><p>Exemplo 25</p><p>Se , calcule e :</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dado os vetores e , encontre o vetor</p><p>, tal que:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>68GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>ADIÇÃO DE VETORES</p><p>Consideremos dois vetores e e um ponto qualquer A.</p><p>Quando se toma o ponto A, e a ele se soma o vetor obtemos</p><p>um segundo ponto, que aqui vamos chamar de B. Quando se</p><p>soma ao ponto B o vetor , encontramos um terceiro ponto,</p><p>que chamaremos de C. Podemos dizer que existe um terceiro</p><p>vetor que ao ser somado ao ponto A encontramos o ponto C.</p><p>Podemos dizer, então que o vetor é soma</p><p>do vetor com o vetor .</p><p>Podemos escrever então que:</p><p>Supondo, agora, que temos duas forças e atuando</p><p>no mesmo objeto. Podemos representar graficamente o resul-</p><p>tado (soma) destas duas forças por uma única força , usando</p><p>a regra do paralelogramo:</p><p>A força resultante é representada pelo vetor diagonal do</p><p>paralelogramo construído a partir dos vetores e .</p><p>Denotada por a força resultante da soma de com ,</p><p>temos:</p><p>Se e as coordenadas da força resul-</p><p>tante são:</p><p>69GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>OBS.: A diferença entre dois vetores e , pode ser en-</p><p>tendida como a soma do primeiro com o oposto do segundo</p><p>vetor:</p><p>Quando se toma o ponto A e a ele se soma o vetor ,</p><p>obtemos o ponto B. Quando se soma ao ponto A o vetor ,</p><p>encontramos um terceiro ponto, que chamaremos de D.</p><p>Observa-se, que existe um vetor</p><p>que somado ao vetor fornece um vetor</p><p>.</p><p>Podemos, então, escrever:</p><p>Assim, podemos dizer que o vetor é a diferença entre</p><p>o vetor e o vetor .</p><p>Exemplo 26</p><p>Dados os vetores e , conforme a figura, determine o</p><p>vetor tal que:</p><p>Calcule:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>Solução</p><p>70GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 27</p><p>Sendo = (1, 2) e = (3, 5), calcule :</p><p>Solução</p><p>Usando o MATLAB®</p><p>Uma operação básica com vetores é na determinação do</p><p>número de elementos, a partir da função length, assim como</p><p>no cálculo do seu módulo, usando a função norm, ambas de-</p><p>finidas abaixo.</p><p>• length</p><p>Definição: Retorna o número de elementos que compõem</p><p>o vetor. Sintaxe: length (A) ͢ Calcula o número de termos</p><p>do vetor A</p><p>• norm</p><p>Definição: Retorna o módulo do vetor. Sintaxe: norm</p><p>(A) ͢ Calcula o módulo do vetor A.</p><p>>> A = [8 9 5 7];</p><p>>> length(A)</p><p>% ans =</p><p>% 4</p><p>>> x = [0 5 1 7];</p><p>>> sqrt(0+5^2+1^2+7^2) %Forma Euclidiana</p><p>%ans =</p><p>% 8.6603</p><p>>> norm(x) %Usando norm</p><p>%ans =</p><p>% 8.6603</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Dados os vetores , e , conforme a figura, deter-</p><p>mine o vetor tal que:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>f)</p><p>g)</p><p>2. Dados os vetores , , e , conforme a figura, de-</p><p>termine o vetor tal que:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>3. Dado os vetores = (1, -4)e = (2, 0), encontre o vetor</p><p>, tal que:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>e)</p><p>72GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Resumo</p><p>Abaixo consta uma tabela com as principias fórmulas</p><p>e/ ou condições sobre cálculo vetorial:</p><p>Módulo de um vetor</p><p>Operações com vetores</p><p>Propriedade de vetores</p><p>ADIÇÃO:</p><p>• Comutativa:</p><p>• Associativa:</p><p>• Existência do elemento neutro:</p><p>• Qualquer que seja o vetor , existe um só vetor tal que: .</p><p>MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR:</p><p>• Associativa:</p><p>• Distributiva em relação à adição de escalares:</p><p>• Distributiva em relação à adição de vetores:</p><p>• Identidade:</p><p>Multiplicação de um vetor por um escalar:</p><p>Adição de vetores: Se e as coordenadas da força resul-</p><p>tante são</p><p>73GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>DEPENDÊNCIA</p><p>E COMBINAÇÃO</p><p>LINEAR</p><p>O conceito de combinações lineares é</p><p>central para a álgebra linear e campos</p><p>relacionados da matemática.</p><p>Nesse capítulo vamos estudar o espaço vetorial,</p><p>combinação linear e dependência de linearidade.</p><p>Explore cada exemplo selecionado para você!</p><p>74GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>ESPAÇO VETORIAL REAL</p><p>Um espaço vetorial V é um conjunto, cujos elementos são</p><p>ditos vetores, onde estão definidas duas operações, uma chamada</p><p>adição e outra multiplicação por escalar, que devem satisfazer aos</p><p>oito axiomas (propriedades), quatro deles referentes à adição e</p><p>quatro à multiplicação por escalar.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Um conjunto não vazio V munido de duas operações, a</p><p>adição de vetores e a multiplicação de um escalar (real) por</p><p>um vetor é um espaço vetorial real, para quaisquer vetores u, v</p><p>e w pertencentes a V e quaisquer α e β pertencente aos , se,</p><p>e somente se, forem verificadas as propriedades dos vetores.</p><p>Combinação linear</p><p>Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente</p><p>a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que somar estes ve-</p><p>tores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor</p><p>pertencente a V. Também foi mostrado que multiplicar cada</p><p>vetor por um escalar também gera um resultado pertencente</p><p>a V, caso contrário V não seria um espaço vetorial.</p><p>De fato, sejam e sejam os esca la-</p><p>res . Então qualquer vetor v da forma:</p><p>, é um elemento do mesmo espaço vetorial V.</p><p>Por ter sido gerado pelos vetores primitivos , o</p><p>vetor é denominado o resultado de uma combinação linear</p><p>de .</p><p>O conjunto de escalares {α1, . . . , αn} é arbitrário, mas sendo</p><p>um conjunto de números reais, o vetor sempre pertencerá a V.</p><p>75GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>O vetor não é único, pois para cada combinação de es-</p><p>calares pode gerar um vetor diferente.</p><p>Exemplo 28</p><p>Verifique, em se o vetor = (10, 16) é uma combinação</p><p>linear dos vetores :</p><p>Solução</p><p>É uma combinação linear, pois .</p><p>Exemplo 29</p><p>Verifique se o vetor = (3, 2, 1) pode ser escrito como uma com-</p><p>binação linear dos vetores :</p><p>Solução</p><p>Devemos verificar se existem números a, b, c, tais que</p><p>, ou seja: (3, 2 1) = a(1, 1, 1) + b(1, -1, 1) +</p><p>c(1, 1, -1).</p><p>Devemos então resolver o sistema:</p><p>Este sistema tem uma única solução: ;</p><p>portanto pode ser escrito como combinação de ,</p><p>da forma .</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Considere, no , os seguintes vetores: e</p><p>. Escreva o vetor abaixo como combinação linear</p><p>dos vetores e :</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>2. Considere, no , os seguintes vetores: e</p><p>. Escreva o vetor como com-</p><p>binação linear dos vetores e :</p><p>(use: )</p><p>3. Considere os vetores = (1, -3, 2) e = (2, -1, 1) em .</p><p>a) Escreva (1, 7, -4) como combinação linear de e .</p><p>b) Escreva (1, -8, 5) como combinação linear de e .</p><p>c) Procure uma condição para a, b e c de modo que (a, b, c)</p><p>se uma combinação linear de e .</p><p>4. Determinar o valor de k para que o vetor = (-1, k, -7)</p><p>seja combinação linear de .</p><p>5. Considere os vetores = (2, 1, -3), = (1, 1, 1) e =</p><p>(-2, 1, 2), em .</p><p>a) escreva (1, 2, -5) como combinação linear de , e .</p><p>b) escreva (-12, 1, 20) como combinação linear de , e .</p><p>c) escreva (9, 7, -1) como combinação linear de , .</p><p>d) escreva (6, -5, -5) como combinação linear de e .</p><p>e) escreva (-8, 1, 4) como combinação linear de e .</p><p>77GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Dependência e independência linear</p><p>Um conjunto de vetores é dito linearmente independente</p><p>(LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma</p><p>combinação linear dos outros (lembrar o conceito de combinação</p><p>linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto</p><p>de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos</p><p>um de seus elementos é combinação linear dos outros.</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Seja V um espaço vetorial e . Dizemos que</p><p>o conjunto é linearmente independente (LI), se</p><p>a equação:</p><p>Admite, pelo menos, uma solução, a solução trivial.</p><p>Se existir algum ai ≠ 0, dizemos que ou que</p><p>os vetores são linearmente dependentes (LD).</p><p>Em outras palavras, o conjunto é LD se, e</p><p>somente se um destes vetores for combinação linear dos outros.</p><p>Para determinarmos se um conjunto é LI ou LD, devemos</p><p>fazer a combinação linear do conjunto de vetores e igualar esta</p><p>combinação linear ao vetor nulo do espaço. É muito importan-</p><p>te ter conhecimento do vetor nulo do espaço em que estamos</p><p>trabalhando.</p><p>Exemplo 30</p><p>Verifique, no espaço vetorial , se os vetores = (0, 1) e</p><p>= (1, 0) são LI ou LD:</p><p>78GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Solução</p><p>Fazendo a combinação linear a seguir:</p><p>Isto é, a = b = 0 e os vetores e são LI.</p><p>OBS.: Podemos obter esta mesma solução utilizando o</p><p>seguinte método:</p><p>Fazendo a combinação linear a seguir:</p><p>a (0, 1) + b (1, 0) = (0, 0)</p><p>Obtemos o sistema homogêneo:</p><p>Como o sistema admite somente a solução trivial, a = b</p><p>= 0, os vetores e são LI.</p><p>Exemplo 31</p><p>Verifique, no espaço vetorial , se os vetores = (1, 4) e</p><p>= (2, 8) são LI ou LD:</p><p>Solução</p><p>Fazendo a combinação linear a seguir:</p><p>a(1, 2) + b(4, 8) = (0, 0)</p><p>Obtemos o sistema homogêneo:</p><p>O sistema admite a solução a = -4b (um vetor é múltiplo</p><p>do outro). Fazendo-se, por exemplo, a = 8, obtemos b = -2 e a</p><p>equação fica:</p><p>8 (1, 2) - 2 (4, 8) = (0, 0)</p><p>79GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Como se verifica, a equação acima é valida para coeficientes</p><p>de e diferentes de zero, além da solução trivial, logo os</p><p>vetores são LD.</p><p>OBS.: Quando um conjunto tem dois vetores, ele é LD,</p><p>apenas quando um dos vetores é múltiplo do outro. Claramente,</p><p>este é o caso de .</p><p>Portanto, são LD.</p><p>INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA</p><p>Seja V = e . , são LD se e somente se</p><p>e estiverem na mesma reta quando colocados com seus</p><p>pontos iniciais na origem são paralelos:</p><p>Exemplo 32</p><p>Considere o espaço vetorial e os conjuntos de vetores:</p><p>Os conjuntos α e β acima são LI ou LD?</p><p>Solução</p><p>Fazendo a combinação linear do conjunto α:</p><p>a(1, 2, 3) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 0) = (0, 0, 0)</p><p>Temos o sistema homogêneo:</p><p>80GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Utilizando o método de escalonamento, obtemos a seguin-</p><p>te matriz ampliada:</p><p>Operando esta matriz obtemos a seguinte matriz na</p><p>forma escada:</p><p>Assim, este conjunto admite uma única solução, que é</p><p>a = b = c = 0 (solução trivial). Portanto o conjunto α é LI.</p><p>• Para o conjunto β</p><p>a(1, 2, 3) + b(1, 1, 1) + c(3, 5, 7) = (0, 0, 0)</p><p>Temos o sistema homogêneo:</p><p>Utilizando o método de escalonamento, obtemos a seguin-</p><p>te matriz ampliada:</p><p>Operando esta matriz obtemos a seguinte matriz na</p><p>forma escada:</p><p>Assim, o sistema possui infinitas soluções. Portanto</p><p>além da solução trivial (que todo sistema homogêneo tem) este</p><p>sistema possui outras soluções diferentes da solução nula, logo</p><p>o conjunto β é LD.</p><p>81GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA</p><p>Seja V = e . são LD se estes</p><p>3 vetores estiverem no mesmo plano quando colocados com</p><p>seus pontos iniciais na origem:</p><p>Resumo</p><p>Os sistemas podem ser linearmente dependentes ou inde-</p><p>pendentes, dependem das soluções encontradas.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Verifique, no espaço vetorial se o conjunto {(-5, 2),</p><p>(5, -2)} é LI ou LD.</p><p>2. Verifique, no espaço vetorial se o conjunto {(1, 0, 0),</p><p>(0, 1, 0) , (0, 0, 1)} é LI ou LD.</p><p>3. Determine se o conjunto {( , , )}, onde (1, 2, 0),</p><p>(3, 0, 1) e (2, -2, 1) é LI ou LD, em .</p><p>4. Verifique, no espaço vetorial se os vetores</p><p>(1, 2, 1)</p><p>e (12, -6, 5) são LI ou LD.</p><p>5. Os vetores (2, 2, 0), (0, 5, -3) e (0, 0, 4) são LI ou LD?</p><p>6. Para quais valores de a o conjunto de vetores {(3, 1, 0),</p><p>(a2 + 2, 2, 0)} é LD?</p><p>7. Verifique se os conjuntos de vetores α, β e λ, são LI ou LD:</p><p>Respostas:</p><p>1. LD</p><p>2. LI</p><p>3. LD</p><p>4. LI, visto que um vetor não é múltiplo do outro.</p><p>5. LI</p><p>6. ±2</p><p>7. α = LD; β = LD; λ = LI</p><p>83GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>PRODUTO</p><p>ESCALAR</p><p>Em álgebra linear, o produto escalar é</p><p>uma função binária definida entre dois</p><p>vetores que fornece um número real</p><p>Neste capítulo vamos explorar espaços vetoriais,</p><p>produto escalar, propriedades, ângulos, entre outros</p><p>conceitos. Dedique-se e refaça os exemplos, assim</p><p>como os exercícios propostos.</p><p>84GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Base de um espaço vetorial</p><p>Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um</p><p>subconjunto B desse espaço tal que B gere V por combinação</p><p>linear. Notem que para um espaço particular V, B não é único,</p><p>vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio</p><p>V pode gerar ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com</p><p>conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande conjunto</p><p>V em um pequeno conjunto B. Foi verificado que dentro de B</p><p>quaisquer elementos formados por combinações lineares dos</p><p>outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe</p><p>pelo menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para</p><p>tornar B menor e mais simples. O processo pode continuar</p><p>até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V é</p><p>denominado base.</p><p>Produto escalar</p><p>Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de</p><p>dois vetores e o número real representado por ∙ e</p><p>calculado pela soma dos produtos das componentes corres-</p><p>pondentes dos vetores.</p><p>Exemplo 33</p><p>Seja = (-1, 2) e = (2, 3), então ∙ é igual a?</p><p>Solução</p><p>Exemplo 34</p><p>Seja = (-1, 2, 5) e = (2, 3, -1), então ∙ é igual a?</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Determine o produto interno usual dos seguintes con-</p><p>juntos do :</p><p>a) {(2, -3) , (1, 4)}</p><p>b) {(-5, 0) , (1, 0)}</p><p>c) {(3, -2) , (-2, 3)}</p><p>d) {(3, 1) , (2, -8)}</p><p>e) {(-2, 3) , (6, 4)}</p><p>f) {(1, 1, 1) , (-1, -1, 1)}</p><p>g) {(2, 5, -2) , (3, 1, 4)}</p><p>h) {(9, -11, 1) , (1, 0, -3)}</p><p>i) {(4, 3, 2) , (1, -2, 1)}</p><p>j) {(2, -2, 1) , (1, 0, 1)}</p><p>k) {(3, 2, 2, 5) , (-4, 0, -1, 3)}</p><p>l) {(1, 1, 0, 2) , (-1, 0, -1, 2)}</p><p>2. Dados = (1, 2), = (5, 3) e = (-3, 4) de , calcular:</p><p>a) ∙</p><p>b) ∙</p><p>c) ∙</p><p>d) ∙ ( + )</p><p>e) ∙ + ∙</p><p>3. Dados = (2, -3, -1) e = (1, -1, 4) do , calcular:</p><p>a) 2 ∙ (- )</p><p>b) ( + 3 ) ∙ ( - 2 )</p><p>c) ( + ) ∙ ( - )</p><p>d) ( + ) ∙ ( - )</p><p>Respostas:</p><p>1. a) -10 b) -5 c) -12 d) -2</p><p>e) 0 f) -1 g) 3 h) 6</p><p>i) 0 j) 3 k) 1 l) 3</p><p>2. a) 11 b) 5 c) -3 d) 16 e) 16</p><p>3. a) -2 b) 21 c) -4 d) 4</p><p>86GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Propriedades do produto escalar</p><p>Sejam , e vetores quaisquer e k um escalar. O pro-</p><p>duto interno satisfaz às seguintes propriedades:</p><p>I. Simetria: ∙ = ∙</p><p>II. Homogeneidade: k( ∙ ) = (k ) ∙</p><p>III. Distributividade: ∙ ( + ) = ∙ + ∙</p><p>OBS.: Note que essas propriedades são verificadas também</p><p>se um dos vetores for o vetor nulo.</p><p>Ângulo entre dois vetores</p><p>O ângulo de dois vetores , não nulos, é o</p><p>ângulo θ formado pelas semirretas</p><p>Sejam dois vetores não nulos e . O ângulo θ formado</p><p>por e pode ser calculado pela fórmula:</p><p>Aplicando a lei dos cossenos ao tri-</p><p>ângulo AOB, temos:</p><p>Mas sabemos que:</p><p>Comparando (1) e (2), obtemos:</p><p>87GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Exemplo 35</p><p>Determinar o ângulo entre os vetores</p><p>Solução</p><p>OBS.: é interessante sempre construir um gráfico com</p><p>esses objetos matemáticos.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Calcular os ângulos entre os vetores e , sendo:</p><p>a) = (1, 2) e = (-1, 2)</p><p>b) = (2, -1) e = (1, 2)</p><p>c) = (0, 2) e = (0, 1)</p><p>d) = (1, 1, 4) e = (-1, 2, 2)</p><p>e) = (2, -1, 2) e = (-1, 2, 2)</p><p>f) = (0, 2, 4) e = (0, 1, 2)</p><p>2. Determine o ângulo formado entre = (1, 3) e = (-2, 4).</p><p>3. Sabendo que o ângulo entre os vetores = (2, 1, -1) e</p><p>= (1, -1, m + 2) é , calcular m.</p><p>4. Dado o triângulo de vértices A(0, 2), B(√3, 5) e C(0, 6),</p><p>calcular a medida do ângulo interno Â.</p><p>5. Dado o triângulo ABC, conforme figura abaixo, calcular</p><p>a medida dos seus ângulos internos.</p><p>6. Calcular a medida dos três ângulos internos do triângulo</p><p>ABC, dados A(1, 2), B(2, 0) e C(0, -1).</p><p>89GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Paralelismo entre dois vetores</p><p>Se dois vetores e são paralelos, então existe um número</p><p>α tal que = α ∙ .</p><p>No , se = (x1, y1) e = (x2, y2), então, (x1, y1) = α (x2,</p><p>y2) e portanto, x1 =αx2 e y1 = αy2.</p><p>Logo: , isto é:</p><p>No ,</p><p>OBS.:</p><p>a) O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor do espaço.</p><p>b) Se uma das componentes de um vetor é nula, a com-</p><p>ponente correspondente de qualquer vetor paralelo a também</p><p>é nula.</p><p>c) Três pontos são colineares se dois vetores formados por</p><p>eles são paralelos.</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Encontre o valor de x para que os vetores e , sejam</p><p>paralelos:</p><p>a) = (-6, 4) e = (x, 2)</p><p>b) = (1, x) e = (-1, 2)</p><p>c) = (x, -2, 1, 0) e = (1, 3, 0)</p><p>d) = (0, 5, 10) e = (x, 2, 4)</p><p>e) = (5, 0) e = (x, 2)</p><p>2. Determinar m e n de modo que os vetores = (1, -2, m)</p><p>e = (4, n, -5), sejam paralelos.</p><p>3. Determinar m e n de modo que os vetores = (m+1, 3, 4)</p><p>e = (10, 3, m+5n), sejam paralelos.</p><p>4. Obter três vetores do plano que sejam paralelos ao vetor</p><p>= (3, 5). Construa geometricamente estes vetores.</p><p>91GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Vetores ortogonais</p><p>Dois vetores e são ortogonais, e se representa por</p><p>u + v, se, e somente se, ∙ = 0.</p><p>• O vetor é ortogonal a qualquer vetor</p><p>• Se u + v, então αu + v, para todo .</p><p>• Se u1 + v e u2 + v, então (u1 + u2) + v.</p><p>Ex.: Os vetores = (2, 7) e = (-7, 2) de , munidos do</p><p>produto interno usual, são ortogonais:</p><p>BASE ORTOGONAL</p><p>Uma base de um espaço V é ortogonal</p><p>se os seus vetores são dois a dois ortogonais:</p><p>Exemplo 36</p><p>Verifique se o conjunto B= {(1, 2, -3) , (3, 0, 1) , (1, -5, -3)},</p><p>é uma base ortogonal do :</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Verifique se os conjuntos de vetores do e , são</p><p>ortogonais:</p><p>a) {(2, -6), (6, 2)}</p><p>b) {(3, 2), (-1, 1)}</p><p>c) {(1, -1, 1), (-1, 1, 2)}</p><p>d) {(2, -2, 2), (-2, 2, 2)}</p><p>2. Dados os vetores = (1, -2, 2) e = (4, m, -5), calcular</p><p>m para que e sejam ortogonais.</p><p>3. O triângulo de vértices A (5, 1, 5), B (4, 3, 2) e</p><p>C (-3, -2, 1) é retângulo?</p><p>4. Determinar um vetor ortogonal ao vetor = (-3, 1, 2).</p><p>5. Para que valor de m os vetores = (1, m) e = (-2, 2) são</p><p>ortogonais?</p><p>6. Qual deve ser o valor da incógnita x para que o vetor</p><p>= (x, 3), seja ortogonal à = (-3, 7).</p><p>7. Qual deve ser o valor da incógnita x para que o vetor</p><p>= (x, 2), seja paralelo à = (-2, 7).</p><p>93GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Projeção de um vetor</p><p>Seja a projeção de sobre .</p><p>Como: ( - ) ∙ = 0 (1)</p><p>E, = α ∙ (2)</p><p>Substituindo (2) em (1) e isolando α, vem :</p><p>Substituindo o α encontrado em (2), conclui-se que:</p><p>Exemplo 37</p><p>Encontre a projeção do vetor = (3, 2) e = (-1, 2) de .</p><p>Solução</p><p>EXERCÍCIOS</p><p>1. Encontre a projeção do vetor sobre o vetor , sendo:</p><p>a) = (1, 1) e = (2, 0)</p><p>b) = (1, 1, 1) e = (3, 3, 0)</p><p>2. Dados os vetores = (2, -1, 3) e = (-2, 1, 2), determine</p><p>a projeção do vetor sobre o vetor .</p><p>3. Determine a projeção do vetor = (-2, 3, 1) na direção</p><p>do vetor = (1, 1, 2).</p><p>95GEOMETRIA ANALÍTICA E</p><p>ÁLGEBRA LINEAR</p><p>Vetor em função dos versores do eixos</p><p>coordenados</p><p>A expressão cartesiana de e são de extraordinária im-</p><p>portância. Num sistema cartesiano ortogonal são conhecidos</p><p>os vetores e por suas expressões cartesianas. Veja:</p><p>VETORES NO PLANO</p><p>Para representar vetores no plano ( ), podemos utilizar</p><p>como base os vetores cujas origens são a origem do plano car-</p>