SÉRIES INFINITAS III

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SÉRIES INFINITAS III 
SÉRIES INFINITAS III
  Em séries infinitas I e séries infinitas II, estudamos os testes de convergência e divergência das séries. Antes dos exercícios, veremos um resumo dos testes de convergência.
RESUMO DOS TESTES DE CONVERGÊNCIA
  Concluímos os artigos de série com um resumo e exercícios. A habilidade de escolher um teste adequado é desenvolvida com muita prática. Algumas vezes o teste pode ser inconclusivo, nestes momentos, devemos aplicar outro teste.
	RESUMO DOS TESTES DE CONVERGÊNCIA
NOME              
                                    AFIRMAÇÃO                               
  COMENTÁRIO              
	série geométrica (teorema - séries infinitas I)
	 converge se |r| < 1 e diverge r ≥ 1.
	 Quando |r| < 1, a série geométrica converge para soma .
	 teste da divergência (teorema 1 - séries infinitas I)
	 se , então a 
série  diverge.
	 se , então 
a série  pode ou não divergir.
	 teste da integral (teorema 2 - séries infinitas I) 
	 seja  uma série com termos positivos. Se f é uma função que é decrescente e contínua no intervalo [a,+ ∞) e tal que uk = f (k) para k ≥ a, então
e 
ambas convergem ou ambas divergem.
	 Este teste aplica-se apenas a séries de termos positivos.
  Tente este teste quando f(x) for fácil de integrar.
	 Convergência de séries p (teorema 3 - �� HYPERLINK "http://blogengenhariarodrigo.blogspot.com.br/2014/11/series-infinitas-i.html" \t "_blank" séries infinitas I)
	 converge se p > 1 e diverge se 0 < p ≤ 1.
	 Usado para séries p de qualquer formato.
	 teste da comparação (teorema 5 - séries infinitas II)
	 Sejam e séries de termos não-negativos e suponha que
a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, a3 ≤  b3 , ...... , ak ≤ bk, .....
Se a "série maior" convergir, então a "série menor" também convergirá, ou se a "série menor"  divergir, então a "série maior"  também divergirá.
	Este teste aplica-se somente a séries de termos não negativos.
   Tente este teste em último caso; outros testes são frequentemente mais fáceis de aplicar. 
	 teste de comparação no limite (teorema 6 - séries infinitas II)
	 Sejam e série de termos positivos e suponha que 
a) Se c for finito e c > 0, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
b) Se c = 0 e converge, então  converge.
c) Se c = +∞ e divergir, então  diverge.
	 Isso é mais fácil de aplicar do que o teste de comparação, mas ainda requer alguma habilidade na escolha da série  para comparação.
	 teste da razão (teorema 7 - séries infinitas II)
	 Seja uma série de termos positivos e suponha que
(a) Se c < 1 a série converge.
(b) Se c > 1 ou c = +∞, a série diverge.
(c) Se c = 1, a série pode convergir ou divergir.
	 Tente este teste quando uk envolver fatorias ou potências k-ésimas.
	 teste da raiz (teorema 8 - �� HYPERLINK "http://blogengenhariarodrigo.blogspot.com.br/2014/11/series-infinitas-ii.html" \t "_blank" séries infinitas II)
	 Seja uma série de termos positivos e suponha que
(a) Se c < 1 a série converge.
(b) Se c > 1 ou c = +∞, a série diverge.
(c) Se c = 1, a série pode convergir ou divergir.
	 Tente este teste quando uk envolver potências k-ésimas.
	 testa da série alterna ou teste de Leibniz (teorema 9 - séries infinitas II)
	 Se as duas condições abaixo, estiverem satisfeita a série converge.
(a) a1 ≥  a2 ≥  a3 ≥ .... ≥ ak ≥ .....    ou  ak  ≥ ak+1. (função decrescente)
(b) 
	 Este teste aplica-se apenas a séries alternadas.
	 série absolutamente convergente (teorema 10 - séries infinitas II)
	 Uma série  é chamada absolutamente convergente se a série de valores absolutos  for convergente.
      Se a série for absolutamente convergente então temos certeza que ela será convergente. No entanto, se a série for convergente não significa que ela é absolutamente convergente.
	 Este teste aplica-se, quando a série não é nem alternada nem termo positivo.
LEMBRANDO:que quando o módulo for usado e tivermos o valor absoluto da série, podemos usar qualquer teste de convergência adequado ao tipo da série.
	 teste da razão para a convergência absoluta (teorema 11 - séries infinitas II)
	 seja  uma série de termos não-nulos e suponha que
(a) Se c < 1 a série converge.
(b) Se c > 1 ou c = +∞, a série diverge.
(c) Se c = 1, a série pode convergir ou divergir.
	A série não necessita ter termos positivos e não precisa ser alternada para usar este teste.
EXERCÍCIOS
1) Uma bola é largada de uma altura de 10 metros. Cada vez que bate no chão, ela repica verticalmente até uma altura que é 3/4 da altura precedente. Encontre a distância total que a bola percorre, supondo que repique indeterminadamente.
RESOLUÇÃO:
   Quando a bola é largada, ela realiza o percurso de descida, mas quando começa a picar ela faz dois percursos subida e descida.
   Portanto quando começa a picar em vez de fazer 10 metros vai realizar 2 vezes essa altura , portanto, 20 metros. Considerando que ela repica e não perde altura, obtemos uma série geométrica com razão 3/4, ou seja, r = 3/4, portanto |r| < 1 é uma série convergente (veja quadro acima). Vamos calcular sua soma.
  Não esqueça que calculamos como descida e subida e quando largamos a bola só tínhamos descida, portanto devemos diminuir 10 metros desse resultado.
D = 80 - 10 = 70 metros. Logo, a distância será de 70 metros.
2) Se a k-ésima soma parcial de uma sériefor , encontre:
a) A soma dos três primeiros termos.
b) A soma da série .
c) O termo geral da série: ak, para n ≥ 1.
RESOLUÇÃO: (essa questão é do material de séries infinitas I)
a) Para soma dos três primeiros  primeiros termos, basta substituir na fórmula.
b) Se o limite convergir a um número finito, a soma convergirá a este número, portanto:
A soma da série é 2/3.
c) Lembrando:
Então:
3) Encontre todos os valores de x para os quais a série abaixo é convergente:
RESOLUÇÃO:
  Observe que é uma série geométrica de razão (x - 3)/2, ou seja, r = (x - 3)/2 e sabemos que ela converge |r| < 1 (tabela acima). 
   Resolvendo a inequação, obtemos:   
   A série converge para todos valores de x no intervalo 1 < x < 5.
4) verifique se a série é convergente ou divergente. No caso de ser convergente, calcule a sua soma.
RESOLUÇÃO:
(a) Para verificarmos a convergência, vamos simplificar a série usando frações parciais. Não é fácil encontrar a soma (Sk), mas podemos usar artifícios como nesta série em que usamos o exemplo do teste da divergência, visto em séries infinitas I,  conhecido como série telescópica. Obtemos:
   Aplico o limite para calcular a soma e a convergência, pois lembrando se o limite for finito é convergente e a soma converge a este valor.
(b) Observe abaixo o desenvolvimento da soma através do teorema 4, visto em séries infinitas I, usaremos essas propriedade.
   Note que a série  a série converge para um número finito. A série , é uma série p com p = 1, portanto a série diverge para um número infinito. 
   Note que no teorema 4 letra (c) nos diz que a convergência e a divergência não são afetadas pela retirada de um número finito de termos. Podemos tirar a série  já que converge para um número finito sem alterar a divergência da série  . Portanto a série   diverge.
(c) Ajustando os termos, obtemos uma série geométrica.
Série geométrica de r = 4/7, portanto convergente e sua soma é 448/3.
(d) Pelo teste da divergência teorema 1 (resumo acima):
  A série diverge.
(e) Nesta questão, usamos um procedimento que comentamos em nosso estudo de séries, cada número que diminuo no índice aumenta na mesma medida na fórmula geral da fórmula. Observe, abaixo, na resolução diminui 1 no índice do somatório e aumentei 1 na fórmula geral.
   É uma série geométrica com r = 2/5, portanto convergente e calculamos sua soma.
5) Verifique se as seguintes séries convergem ou divergem. 
RESOLUÇÃO:
(a) Usarei o teste da comparação direta,
teorema 5, para testar a convergência da série como é uma série de termo não negativo: 
   No teste da comparação a série converge, pois é uma série geométrica com |r| < 1. Portanto, se bk a maior série converge a menor também convergirá.
(b) Esta série é um pouco complicada, portanto usarei o teste de comparação no limite, teorema 6.
   No infinito o limite comporta-se como o termo de maior grau nos polinômios do numerador e denominador, pelo resultado c= 1, ambas séries divergem ou convergem. A série bk é uma série p, com p = 1, portanto série harmônica divergente. Logo, a série diverge.
(c) Observe que para o teste de convergência, usarei o teste da integral (teorema 2), pois a função é fácil de integrar e ela é uma série de termos positivos.
       Substituirei k por x e transformarei em uma função f(x) pelo teste da primeira derivada verifico pelo sinal se a função é decrescente no intervalo [1,+ ∞). Lembrando que para ser decrescente a derivada tem que ser negativa na substituição de qualquer valor do intervalo.
     Para qualquer valor que substituir em f '(x) no intervalo de [1,+ ∞), será sempre negativo. Portanto, nossa função é decrescente, e calcularemos a integral. (usarei integração por partes para calcular a integral)
  O resultado foi 2/e, logo o valor é um valor finito, portanto a série converge.
(d) Como esta série só possui polinômios no denominador e numerador, o teste mais fácil de utilizar é o teste da divergência (teorema 1). Lembre-se que limite no infinito, o polinômio se comporta como seu termo de maior grau.
   Logo pelo teste da divergência a série diverge.
(e) Nesta questão temos fatorial e potências, nesse caso, o teste recomendado é o teste da razão (teorema 7).
Obtemos c = 0, portanto pelo teste da razão, c < 1, a série converge.
(f) É uma série alternada usarei o teste de Leibniz (teorema 9).
 As duas condições satisfeitas pelo teste de Leibniz, portanto a série converge.
(g) Observe que esta série não é alternada nem série de termos positivos, pois quem dá o sinal da função será o valor de sen(k) e tem uma faixa de valores positivos e uma faixa de valores negativos, alternando entre esses intervalos.
    Usaremos o teorema 10 a série de série absolutamente convergente. Quando tiro o módulo, a série ficará sempre com seus valores absolutos, ou seja, valores positivos e usarei o teste da comparação (teorema 5) para fazer o teste.
  Pelo teste da comparação a série bk converge, pois é uma série p (teorema 3) com p > 1 e convergente. Logo as duas séries convergem e nossa série é absolutamente convergente, portanto convergente.