1. Geometria Espacial

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Introdução a Geometria
Geometria
Geo + metros significa medir a terra.
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introdução
		Sistematizando os conhecimentos que outros povos antigos haviam adquirido de forma desordenada através do tempo. Euclides deu-lhes ordem lógica, estudando a fundo as propriedades das figuras geométricas, as áreas e os volumes. Para Euclides a Geometria era uma ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas hipóteses básicas: os axiomas ou postulados.
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		A Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, em que estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro, esfera. Se observarmos cada figura citada acima, iremos perceber que cada uma tem a sua forma representada em algum objeto na nossa realidade, como: Prisma: caixa de sapato, caixa de fósforos. Cone: casquinha de sorvete. Cilindro: cano PVC, canudo. Esfera: bola de isopor, bola de futebol. Essas figuras ocupam um lugar no espaço, então a geometria espacial é responsável pelo cálculo do volume (medida do espaço ocupado por um sólido) dessas figuras e o estudo das estruturas das figuras espaciais.
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Noções primitivas
	As noções geométricas são estabelecidas por meio de definição. As noções primitivas são adotadas de forma intuitiva sem definição. Adotaremos sem definir as noções de: PONTO, RETA E PLANO.
 
	Representação de ponto, reta e plano:
a) Com letras
Ponto - letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C.
Reta - letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c.
Plano - letras gregas minúsculas: α,β...
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b) Notações gráficas
 
Postulados
 
	Nos estudos dedutivos da Matemática consideramos certas proposições que são aceitas sem demonstração, inspiradas na experiência e na observação, e que são chamadas postulados.
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Postulados da reta
P1: Qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem e pontos que não pertencem a reta.
 
A figura ao lado mostra uma reta
 r e os pontos A, B, P, R, S e M, 
sendo que A, B e P estão em r 
ou a reta r passa por A, B e P.
 
Obs: Os pontos A, B e P estão sobre uma mesma reta, portanto eles são colineares.
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P2: Por um ponto passam infinitas retas.
 
P3: Dois pontos distintos determinam uma reta que os contém.
Espaço – é o conjunto de todos os pontos.
 
 
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Postulados do plano
P1: Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.
Obs: Os pontos A, B e C 
pertencem a um mesmo plano,
 portanto, eles são coplanares.
 
P2: Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente contida nesse plano.
 
 
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P3: Três pontos não-colineares determinam um único plano.
P4: Uma reta de um plano divide-o em duas regiões denominadas semiplanos. A reta é a origem dos semiplanos que são chamados opostos.
 
  
 
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P5: Um plano divide o espaço em duas regiões denominadas semi-espaços que são chamados opostos. 
	
Uma reta que passa de uma dessas regiões à outra intercepta necessariamente o plano.
 
P6: Por uma reta passam infinitos 
planos.
 
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 Postulado da Intersecção
	Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então eles têm pelo menos um outro ponto comum.
Teorema: Se dois planos distintos têm um ponto comum, então a intersecção desses planos é uma única reta que passa por aquele ponto.
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 Postulados da Separação
 	
	Um ponto de uma reta divide-a em duas regiões denominadas semirretas. O ponto é a origem das semirretas que são chamadas opostas.
 
	
	Determinação do plano (três pontos não colineares, por uma reta e um ponto fora dela, duas retas concorrentes ou duas retas paralelas)
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	Um plano fica determinado de quatro maneiras distintas:
1.Por três pontos distintos e não alinhados (postulado P3 do plano);
 
2. Por uma reta e um ponto fora dela;
 
 
 
 
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3. Por duas retas concorrentes;
 
 
4.Por duas retas paralelas.
 
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Posições relativas de duas retas no espaço (concorrentes, paralelas distintas, coincidentes, reversas, perpendiculares e ortogonais)
 
Retas concorrentes
	Duas retas são concorrentes se são coplanares e apresenta um único ponto em comum.
 
 
 
 
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Retas paralelas distintas
	Duas retas são paralelas distintas, quando forem coplanares e não tiverem ponto em comum.
Retas paralelas coincidentes
	Duas retas são paralelas coincidentes quando tiverem todos os seus pontos em comum.
 
 
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Posições relativas de uma reta e um plano no espaço (reta contida no plano, reta concorrente com o plano e reta paralela ao plano)
 
Reta contida no plano
	Uma reta está contida em um plano 
quando ela tem dois pontos 
Distintos pertencentes ao plano 
(Postulado da Inclusão)
 
 Reta concorrente com o plano
	Uma reta e um plano são 
concorrentes ou secantes quando têm um 
único ponto em comum.
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Reta paralela ao plano
 	Uma reta é paralela a um plano quando eles não têm ponto em comum.
 
 
 
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Posições relativas de dois planos no espaço (concorrentes, paralelos distintos ou paralelos coincidentes)
 
Planos concorrentes
	Dois planos são concorrentes ou secantes se têm uma única reta em comum.
Observação: Se dois planos concorrentes não forem perpendiculares dizemos que eles são oblíquos.
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Planos paralelos coincidentes
	Dois planos são paralelos coincidentes se têm todos os pontos em comum.
 
 
Planos paralelos distintos
	Dois planos são paralelos distintos quando não têm ponto em comum.
 
 
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Teorema Fundamental do Perpendicularismo entre Reta e Plano
	
	Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao plano.
Tese: r é perpendicular ao plano alfa
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Planos perpendiculares
 Dois planos são perpendiculares se um deles contém uma reta perpendicular ao outro.
Observação: Por um ponto fora do plano passa uma única reta perpendicular a esse plano.
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Referências Bibliográficas
 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2000. Volume 2.
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações. 3. ed. São Paulo: Editora Ática, 2008. Volume 2.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: geometria espacial. 6. ed. São Paulo: Editora Atual, 2005. Volume 2.
SÓ MATEMÁTICA. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/retas.php> . Acesso em: 20 set. 2016.
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