4. Área e volume de um prisma

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Área e volume de um prisma
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Área de um prisma
		Em um prisma, distinguimos dois tipos de superfícies: as faces e as bases. Assim, temos de considerar as seguintes áreas:
a) área de uma face (AF): área de um dos paralelogramos que constitui a face lateral;
b) área lateral (AL): soma das áreas dos paralelogramos que formam as faces laterais do prisma.
    	
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		    No prisma regular, temos:
AL = n . AF (n = número de lados do polígono da base)
c) área da base (AB): área de um dos polígonos das bases;
d) área total (AT): soma da área lateral com as áreas das bases:
AT = AL + 2AB.
    	
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		  Exemplos:
 
1) Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h, temos:
     
    	
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2) Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3 cm e a aresta da face lateral mede 6 cm. Calcule a área total. 
3) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é 20 cm e que o lado do polígono da base mede 16 cm. Calcule a área de papelão necessária para construir essa embalagem. Admita que se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado, devido às sobras de papelão e para que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa. (Use ). 
    	
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Generalização do volume de um prisma 
(Princípio de Cavalieri - matemático italiano, 1598 - 1697)
      
	Coloque em cima de uma mesa uma resma de papel. Estando ainda perfeitamente bem arrumada, ela é um paralelepípedo retângulo e, portanto, podemos calcular seu volume. Encostando uma régua nas faces laterais, podemos transformar o paralelepípedo retângulo em um outro oblíquo ou, usando as mãos, poderemos moldar um sólido bem diferente.
    	
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	Sabemos que esses três sólidos têm volumes iguais, mas ainda faltam argumentos para explicar esse fato que intuitivamente percebemos. De uma forma mais geral, suponha que dois sólidos A e B estão apoiados em plano horizontal e que qualquer outro plano também horizontal corte ambos segundo seções de mesma área. O Princípio de Cavalieri afirma que o volume de A é igual ao volume de B.
    	
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	Se imaginarmos os dois sólidos fatiados no mesmo número de fatias muito finas, todas com mesma altura, duas fatias correspondentes com mesma área terão, aproximadamente, mesmo volume. Tanto mais aproximadamente quanto mais fina forem. Sendo o volume de cada sólido a soma dos volumes de suas fatias, concluímos que os dois sólidos têm volumes iguais. 
    	
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Resumindo:
 	Dados dois sólidos com mesma altura e um plano α, se todo plano β, paralelo a α, intercepta os sólidos e determinam secções de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
      
	
	
    	
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 	Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
    Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto da área da base pela medida da altura:
Vprisma = ABh
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Exemplo: 
1) Um prisma reto tem como base um triângulo retângulo isósceles cujo cateto mede 3 cm. A área total do prisma é 48 cm². Calcule a altura e o volume do prisma.
 
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Exemplo: 
2) A área lateral de um prisma triangular regular é 36 cm². A altura do prisma é o triplo da aresta da base. Calcule o volume do prisma.
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Referências Bibliográficas
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática: uma nova abordagem, vol.2. São Paulo: FTD, 2000.
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações, vol. 2. São Paulo: Editora Ática, 3ª edição, 2008.
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: geometria espacial, vol.10. São Paulo: Editora Atual, 6ª edição, 2005.
SOMA MATEMÁTICA. Disponível em: <<http://www.somatematica.com.br/emedio /espacial/espacial9.php>>. Acesso em: 24/09/2013.
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