2.. Projeção ortogonal e Ângulo diedro

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Projeção Ortogonal e Ângulo Diedro
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Projeção ortogonal
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Casos particulares:
1) projeção ortogonal de uma reta sobre um plano: pode ser uma reta ou um ponto.
Exemplo: Desenhe essas possibilidades
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2) projeção ortogonal de um segmento sobre um plano: pode ser um segmento ou um ponto.
 
Exemplo: Desenhe essas possibilidades
Resolver 3ª atividade (Questões 1 a 9).
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Distâncias
 	A distância entre um ponto e um plano é a medida  do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano. 
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	A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
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	A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
 
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	A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:
 
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Observações:
Não se pode definir distância entre duas retas concorrentes;
Não se pode definir distância de uma reta a um plano quando ela é oblíqua a ele;
Não se pode definir distância entre dois planos concorrentes;
Se um ponto pertence ao plano qual é a distância entre o ponto e o plano? 
Se uma reta está contida no plano qual é a distância entre a reta e o plano?
Quando a distância entre dois planos é zero?
Resolver 3ª atividade (Questões 10 e 11).
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Secção de um diedro - é a intersecção do diedro com um plano secante à aresta. 
 
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Triedros
	Três semirretas não-coplanares, com origem num mesmo ponto, determinam três ângulos que formam uma figura geométrica chamada ângulo triédrico, ou simplesmente triedro:
	A figura 
geométrica definida
ao lado é chamada 
setor triedral ou 
ângulo sólido de 
três arestas. Seguindo
essa orientação, o 
triedro é a reunião dos 
três setores angulares 
definidos por Va, Vb e Vc.
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	Um triedro cujas faces são ângulos retos e cujos diedros são diedros retos é chamado triedro tri-retângulo (ou triedro tri-retangular).
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Áreas de figuras planas
Retângulo 				Quadrado
Triângulo Paralelogramo
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curiosidades
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curiosidades
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curiosidades
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Poliedros
	
	Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns exemplos:
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      Os polígonos são as faces dos poliedros; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices do poliedro.
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Polígonos convexos
	Dados dois pontos A e B quaisquer, interiores a um polígono, se o segmento de reta determinado por esses dois pontos estiver inteiramente contido no interior do polígono, então esse polígono será convexo. A figura abaixo apresenta alguns exemplos de polígonos convexos.
 
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	Por outro lado, a imagem abaixo representa um polígono não convexo. Observe que o segmento AB não está totalmente contido no interior do polígono, mesmo que os pontos A e B estejam. 
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Poliedros convexos
      Um poliedro convexo P é a reunião de um número finito de polígonos convexos, onde:
Cada lado de um polígono é também lado de apenas outro polígono.
Qualquer reta não-paralela a nenhuma das faces ou arestas, possui no máximo dois pontos em comum com P.
        
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	Esse fato não acontece nos poliedros abaixo, pois, a reta não-paralela intersecta a face do poliedro em quatro pontos.  
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   Classificação
      Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o número de faces, como por exemplo:
tetraedro: quatro faces
pentaedro: cinco faces
hexaedro: seis faces
heptaedro: sete faces
octaedro: oito faces
icosaedro: vinte faces
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   A relação de Euler
	O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértices (V), o número de arestas (A) e o número de faces (F). Em todo poliedro convexo é válida a relação seguinte:
V - A + F = 2 ou V + F = 2 + A
Sendo: 
V é o número de vértices, A é o número de arestas e F, o número de faces.
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   Observe os exemplos:
1) Verifique a relação de Euler nos sólidos abaixo:
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V=8   A=12    F=6
 8 - 12 + 6 = 2
V = 12  A = 18   F = 8 
 12 - 18 + 8 = 2  
2) Vamos determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.
 
Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas nem todo poliedro que satisfaz a relação de Euler é convexo.
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Exemplos:
Poliedro convexo 
 
 Poliedro não-convexo 
 
V – A + F = 12 – 18 + 8 = 2
 
 V – A + F = 14 - 21 + 9 = 2
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Poliedro não-convexo
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Referências Bibliográficas
 
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2000. Volume 2.
DANTE, L. R. Matemática: contexto & aplicações. 3. ed. São Paulo: Editora Ática, 2008. Volume 2. 
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar: geometria espacial. 6. ed. São Paulo: Editora Atual, 2005. Volume 10.
SOMA MATEMÁTICA. Disponível em: << http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial5.php >>. Acesso em: 03 out. 2016.
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