Estruturas Isostaticas

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6 ANÁLISE DE ESTRUTURAS 
6.1 FORÇAS INTERNAS 
 Os problemas estudados nos capítulos anteriores diziam respeito ao equilíbrio 
de um único corpo rígido, e todas as forças consideradas eram externas ao corpo 
rígido. Considere agora problemas tratando do equilíbrio de estruturas compostas de 
várias partes interligadas. Estes problemas tratam não apenas da determinação das 
forças externas que agem sobre uma estrutura, mas também da determinação das 
forças que mantêm unidas as várias partes da estrutura. Do ponto de vista da 
estrutura como um todo, estas forças são forças internas. 
 
 Considere, por exemplo, o guindaste mostrado na 
Erro! Fonte de referência não encontrada., que suporta 
a carga P. O guindaste consiste em três vigas AD, CF e 
BE, ligadas por pinos. Ele é articulado por um pino em A 
e por um cabo DG. O diagrama de corpo livre do 
guindaste está mostrado na Figura 42. As forças externas 
stão indicadas no diagrama e incluem o peso P, as duas 
componentes AX e AY da reação em A e a força T 
exercida pelo cabo DG. Figura 41 – Esquema de um 
guindaste 
 
 
 As forças internas que mantêm 
unidas as várias partes do guindaste 
não aparecem no diagrama. Se, 
contudo, o guindaste fosse 
desmembrado e se fosse traçado um 
diagrama de corpo livre para cada 
uma de suas partes componentes, as 
forças que mantêm a três vigas unidas 
deveriam também ser representadas, 
uma vez que essas forças são forças 
externas sob o ponto de vista de cada 
parte componente Figura 43. 
 
Figura 42 – 
Diagrama de corpo 
livre 
Figura 43 – Guindaste 
desmembrado 
 
 Deve-se notar que a força exercida pela barra BE sobre o ponto B da barra 
AD for representada como igual e oposta à força exercida no mesmo ponto da barra 
AD; da mesma forma, a força exercida por BE sobre o ponto E de CF é igual e 
oposta à força exercida por CF sobre BE, e as componentes da força exercida por 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 67
CF sobre o ponto C de AD são iguais e opostas às componentes da força exercida 
por AD sobre CF. Isto está de acordo com a Terceira Lei de Newton. Esta lei é um 
dos princípios fundamentais da mecânica clássica e é a baseada em demonstração 
experimental. 
 
►TERCEIRA LEI DE NEWTON: estabelece que as forças de ação e reação entre 
corpos em contato possuem o mesmo módulo, a mesma linha de ação e sentidos 
opostos. 
 
►TRELIÇA: cada barra está submetida a duas forças, uma em cada extremidade. 
Estas forças possuem o mesmo módulo, a mesma linha de ação e sentidos opostos. 
Além disso, a Terceira Lei de Newton indica que as forças de ação e reação entre 
uma barra e um pino são iguais e opostas. 
6.2 TRELIÇAS 
6.2.1 Definição de Treliça 
 A treliça é um dos principais tipos de 
estruturas da engenharia. Ela oferece, ao 
mesmo tempo, uma solução prática e 
econômica a muitas situações de engenharia, 
especialmente no projeto de pontes e 
edifícios. Uma treliça consiste em barras retas 
articuladas nas juntas. Uma treliça típica é 
mostrada na Figura 44. As barras da treliça 
são interligadas apenas em suas 
extremidades; assim, nenhuma barra é 
contínua através de uma junta. Por exemplo, 
não existe a barra AB; existem ao invés, duas 
barras distintas AD e DB. Estruturas reais são 
feitas de várias treliças unidas para formar 
uma estrutura espacial. 
Figura 44 – Treliça típica: barras retas 
articuladas nas juntas 
 
 Os pesos das barras da treliça são considerados como aplicados a juntas, 
sendo metade do peso de cada barra aplicado a cada uma das duas juntas que a 
barra interliga. Embora as barras sejam, na realidade, unidas por meio de conexões 
pivotadas e soldadas, costuma-se considerar que as barras são unidas através de 
pinos, portanto, as forças que atuam em cada extremidade de uma barra reduzem-
se a uma única força sem nenhum momento. 
 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 68
 
 Assim, as forças consideradas, aplicadas a uma 
barra de treliça, reduzem-se a uma única força em cada 
extremidade da barra. Cada barra pode, então, ser 
tratada como uma barra sob ação de duas forças, e a 
treliça toda pode ser considerada como um grupo de 
pinos e barras com duas forças. A ação das forças, 
sobre uma barra individual, pode ocorrer do modo 
indicado em cada um dos croquis da Figura 45, 
podendo, então, ser tração ou compressão. 
Figura 45 – Forças nas barras: 
tração ou compressão 
6.2.2 Tipos de treliças 
Tabela 21 – Exemplos de treliças para telhados 
Treliças Típicas para Telhados 
 
Pratt Howe Fink 
 
Tabela 22 – Exemplos de treliças para pontes 
Treliças Típicas para Pontes 
 
Pratt Howe Warren 
 
 
Treliça tipo K Baltimore 
 
Tabela 23 – Outros exemplos de tipos de treliças 
Outros tipos de Treliças 
 
 
Tipo estádio Parte de treliça em balanço 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 69
6.2.3 Classificação das treliças 
6.2.3.1 Quanto à Estaticidade 
Têm-se três casos a considerar (Tabela 24): 
 
Tabela 24 – Classificação das Treliças: quanto a estaticidade 
Treliças – Estaticidade 
Equações Condições Classificação Estabilidade 
r + b < 2n Condição necessária e suficiente Treliça HIPOSTÁTICA Instável 
r + b = 2n Condição necessária e não suficiente Treliça ISOSTÁTICA Estável 
r + b > 2n Condição necessária e não suficiente Treliça HIPERESTÁTICA Estável 
Onde: 
• r : nº de reações; 
• b : nº de barras (igual ao nº de esforço normal); 
• n : nº de nós da estrutura; 
• 2n : nº de equações de equilíbrio dos nós. 
 
 Nos dois últimos casos, a classificação final da treliça só pode ser feita após a 
análise dos apoios externos e da lei de formação da treliça, sendo preponderante à 
HIPOSTATICIDADE ou à HIPERASTICIDADE interna ou externa. 
6.2.3.1.1 Exemplos 
Figura Equação: nr b 2.∝+ Estaticidade 
 
63 9 2.∝+ 
12 12= Isostática 
 
83 13 2.∝+ 
16 16= Isostática 
 
73 10 2.∝+ 
13 14< Hipostática 
 
83 15 2.∝+ 
18 > 16 Hiperestática 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 70
 
63 9 2.∝+ 
12 12= Isostática 
6.2.3.2 Quanto a Lei de Formação 
Treliças Tipo Exemplo 
Treliças 
Simples 
São aquelas treliças obtidas a partir das 
configurações básicas, mostradas anteriormente. 
Treliças 
Compostas 
São aquelas treliças formadas pela associação de 
treliças simples através de um sistema de ligação 
isostático. 
Treliças 
Complexas 
São aquelas treliças que não se enquadram nas 
definições anteriores. 
6.2.4 Métodos de resolução de treliças 
 A resolução de uma treliça isostática pode ser efetuada através dos seguintes 
métodos: 
 
• Método do Equilíbrio dos Nós: utilizado quando é necessário determinar as 
forças em todas as barras da treliça; 
• Método das Seções (Método de Ritter): utilizado quando é necessário 
determinar as forças em barras de uma determinada seção; 
• Método de Maxuwell-Cremona (desuso); 
• Método da Viga de Substituição – Treliças de altura constante. 
6.2.4.1 Método do equilíbrio dos Nós 
►Utilizado quando é necessário determinar as forças em todas as barras da treliça. 
 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 71
Figura 46 – Convenção de força em 
relação aos nós 
 
• Método: 
 
1) Verificar a estaticidade (hipostática, 
ISOSTÁTICA e hiperestática). Neste curso só 
haverá resolução para estruturas isostáticas; 
2) Calcular as reações de apoio (forças 
externas); 
3) Analisar todos os nós, um por um, 
inserindo cada força existente (forças externas e 
internas); 
4) As forças desconhecidas coloca-se 
saindo do nó; 
5) Força saindo do nó: TRAÇÃO (Figura 
46); 
6) Força entrando no nó: COMPRESSÃO; 
7) Utilizar a convenção de sinais mostrada 
na Figura 47. 
Figura 47 – Convenção de sinais6.2.4.1.1 Exemplos 
1) Usando o Método do Equilíbrio dos Nós, 
calcular as forças nas barras da Treliça ao lado, 
indicando a sua natureza (C ou T). 
 
 
►Solução: 
 
• Verificando a Estaticidade: 
2. 3 3 2.3 6 6=r + b ∝ n⇒ + ∝ ⇒ 
Logo: Isostática. 
• Cálculo das Reações de Apoio: 
= 0 ⇒ − 20 = 0∑ X HAF R R kNHA 20= 
0 50 0= ⇒ + − =∑ Y VA VBF R R 
+ = 50VA VBR R 
= 0 ⇒ 50.3− 20.3− .6 = 0∑ A VBM R 
R R kNVB VB6. = 60 ⇒ =10 
R R kNVA VA+10 = 50 ⇒ = 40 
 
 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 72
Nó A 
Calculando α : 
1
3
3= = =
ca
cotgα 
= 1→ = 450α αarctg 
 
 
ACN : de início não se sabe → sai do nó. 
ABN : de início não se sabe → sai do nó. 
 
= 0 ⇒ + + .cos 450 = 0∑ X HA AB ACF R N N 
20 .0,71 0=+ +AB ACN N 
0,71. 20−=+AB ACN N 
0 . 45 00= ⇒ + =∑F R N senY VA AC 
.0,71 40−=ACN 
N kNAC = −56,3 (C) Entra no nó. 
( )0,71. 56,3 20−=+− ABN 
− 20 + 40ABN 
N kNAB = 20 (T) Sai do nó. 
Nó A: Resultado 
 
Nó B 
Calculando β : 
1
3
3= = =
ca
cotgβ 
= 1→ = 450β αarctg 
 
 
ABN : (T) Conhecido → sai do nó. 
BCN : de início não se sabe → sai do nó. 
 
= 0 ⇒ − − .cos 450 = 0∑ X AB BCF N N 
20 .0,71 0 0,71. 20−=⇒=− − BC BCN N 
N kNBC = −28,2 (C) Entra no nó. 
Nó B: Resultado 
 
 
Nó C 
ACN : (C) Conhecido → entra no nó. 
BCN : (C) Conhecido → entra no nó. 
 
Nó C: Resultado 
 
Logo, a treliça com suas forças internas 
de cada barra e sua natureza (tração ou 
compressão) são: 
 
 N kNAB = 20 (T) 
 N kNAC = −56,3 (C) 
 N kNBC = −28,2 (C) 
 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 73
1) Usando o Método do Equilíbrio dos Nós, 
calcular as forças nas barras da Treliça ao lado, 
indicando a sua natureza (C ou T). 
 
►Solução: 
 
• Verificando a Estaticidade: 
2. 3 3 2.3 6 6=r + b ∝ n⇒ + ∝ ⇒ 
Logo: Isostática. 
• Cálculo das Reações de Apoio: 
= 0 ⇒ = 0∑ X HBF R 
= 0 ⇒ − + −1200 = 0∑ Y VB VCF R R 
+ = 1200VA VBR R 
= 0 ⇒ − .400 +1200.900 = 0∑ B VCM R 
R R NVC VC400. 1080000 2700== ⇒ 
R R NVB VB1200 2700 1500=⇒−− = 
 
Nó B 
Calculando α : 
900
375= =
ca
cotgα 
900
375= arctgα 
= 22,60α 
ABN : de início não se sabe → sai do nó. 
BCN : de início não se sabe → sai do nó. 
 
= 0 ⇒ + + .cos 22,60 = 0∑ X BC HB ABF N R N 
0,92. 0=+BC ABN N 
0 . 22,6 00= ⇒ − =∑ Y AB VBF N sen R 
0,38. = 1500ABN 
N NAB = 3947,37 (T) Sai do nó. 
0,92.3947,37 0=+BCN 
N NBC = −3631,58 (C) Entra no nó. Nó B: Resultado 
 
Nó C 
BCN : (C) Conhecido → Entra no nó. 
ACN : de início não se sabe → sai do nó. 
 
= 0 ⇒ + .cos36,90 = 0∑ X BC ACF N N 
3631,58 .0,8 0 0,8. 3631,48−=⇒=+ AC ACN N
Calculando β : 
500
375= =
ca
cotgβ 
500
375= arctgβ 
= 36,90β 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 74
 
 
NN AC = −4539,48 (C) Entra no nó. 
Nó C: Resultado 
 
 
Nó A 
ABN : (T) Conhecido → sai do nó. 
ACN : (C) Conhecido → entra no nó. 
 
Nó A: Resultado 
 
Logo, a treliça com suas forças internas 
de cada barra e sua natureza (tração ou 
compressão) são: 
 
 N NAB = 3947,37 (T) 
 N NAC = −4539,48 (C) 
 N NBC = −3631,58 (C) 
6.2.4.2 Método das Seções ou Método de Ritter 
►Utilizado quando é necessário determinar as forças numa determinada seção, ou 
seja, para determinar forças desejadas. 
 
 
Figura 48 – Convenção em relação às 
barras 
 
• Método: 
 
1) Verificar a estaticidade (hipostática, 
ISOSTÁTICA e hiperestática). Neste curso só 
haverá resolução para estruturas isostáticas; 
2) Calcular as reações de apoio (forças 
externas); 
3) Analisar a seção desejada; 
4) Cortar a seção e colocar as forças; 
5) As forças desconhecidas coloca-se 
saindo da barra cortada 
6) Força saindo da barra: TRAÇÃO (Figura 
48); 
7) Força entrando da barra: 
COMPRESSÃO; 
8) Utilizar a convenção de sinais mostrada 
na Figura 49Figura 47. 
Figura 49 – Convenção de sinais 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 75
6.2.4.2.1 Exemplos 
1) Usando o Método das Seções, calcular as 
forças nas barras da seção indicada da Treliça ao 
lado, indicando a sua natureza (C ou T). Calcule 
também as reações de apoio da treliça. 
 
 
►Solução: 
 
• Verificando a Estaticidade: 
2. 3 11 2.7 14 14=r + b ∝ n⇒ + ∝ ⇒ 
Logo: Isostática. 
• Cálculo das Reações de Apoio: 
= 0 ⇒ − = 0∑ X HA HBF R R 
HA HBR = R 
= 0 ⇒ −10 − 30 = 0∑ Y VAF R 
R kNVA = 40 
= 0 ⇒ +10.2 + 30.6 − .4 = 0∑ A HBM R 
4. = 200VBR 
R R kNHA HB 50== 
 
 
Cálculo dos 
esforços nas 
barras da seção 
indicada (S1S1). 
Calculando α : 
1
2
2= = =
ca
cotgα 
= arctg1α 
= 450α 
 
Seção S1S1:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
→
→
→
3
2
1
3
2
1
N Barra
N Barra
N Barra
1N 
 
= 0∑ XF 
.cos 45 .cos 45 003
0
1 2− N − N − N = 
0,71. 0,71. 01 2 3 =−− N − N N 
= 0∑ YF 
. 45 . 45 30 002 3+ N sen − N sen − = 
0,38. = 1500ABN ∑ = 0 ⇒ − .2 + 30.2 = 01M NF 
N 30kN1 = (T) Sai da barra. 
30 0,71. 0,71. 02 3 =−− − N N 
0,71. 0,71. 302 3 −N = − N 
0,71. 30 0,71. 303 3 =−− N − N 
Resultado das 
forças atuantes na 
seção S1S1. 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 76
1,42. 603− N = 
N 42,25kN3 = − (C) Entra na barra. 
( )0,71. 0,71. 42,25 302 −−N = − 
02N = Barra neutra. 
6.3 ESTRUTURAS E MÁQUINAS 
6.3.1 Estruturas contendo elementos submetidos a várias forças 
 Ao tratar de treliças, consideram-se estruturas que consistem exclusivamente 
em articulações e barras retas submetidas a apenas duas forças. As forças que 
atuam sobre as barras submetidas a duas forças agem diretamente ao longo das 
próprias barras. Considere agora estruturas que possuem pelo menos três ou mais 
forças. Estas forças, geralmente, não atuarão ao longo das barras; sua direção é 
desconhecida e serão representadas por duas componentes incógnitas. 
 Estruturas de máquinas são sistemas compostos por elementos submetidos a 
várias forças. As estruturas projetadas para suportar cargas são geralmente 
estacionárias e completamente vinculadas. As máquinas são projetadas para 
transmitir ou modificar forças; podem ser ou não estacionárias, mas sempre terão 
partes móveis. 
6.3.2 Análise de uma estrutura 
 
Figura 50 – Análise de estrutura: guindaste 
 
Considere novamente o 
guindaste descrito em 
seções anteriores que 
suporta uma carga P 
(Figura 50). O diagrama de 
corpo livre da estrutura 
inteira esta ilustrado na 
Figura 51. Este diagrama 
pode ser usado para 
determinar as forças 
externas que agem sobre a 
estrutura. Somando os 
momentos em relação a A, 
primeiro determina-se a 
força T exercida pelo cabo; 
somando as componentes 
X e Y, determina-se, então, 
as componentes AX e AY da 
reação da articulação A. 
 
Figura 51 – Diagrama de corpo livre da estrutura toda 
 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 77
 
Figura 52 – Diagrama de corpo livre de cada 
parte da estrutura desmembrada 
Para determinar as forças internas que 
mantêm unidas as várias partes de uma 
estrutura, deve-se desmembrá-la e 
desenhar o diagrama de corpo livre para 
cada uma de suas partes componentes 
(Figura 52). Em primeiro lugar, deve-se 
considerar as peças submetidas a 
apenas duas forças. Nesta estrutura, a 
barra BE é a única peça desse tipo. Em 
seguida, considera-se as peças 
submetidas a várias forças, isto é, 
aquelas que estão sob a ação de três ou 
mais forças. 
 
 
 As forças internas agora podem ser determinadas considerando-se o 
diagrama de corpo livre de qualquer uma das duas barras submetidas a várias 
forças. Escolhendo o diagrama de corpo livre CF, por exemplo, têm-se as equações 
= 0∑ CM , = 0∑ EM e =0∑ XF , que fornece os valores FBE, CY e CX, 
respectivamente. Estes valores podem ser comprovados verificando-se que a barra 
AD está também em equilíbrio. 
6.3.2.1 Exemplos 
1) Determinar as reações de apoio da estrutura 
ao lado. 
 
 
►Solução: 
 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 78
• Cálculo das Reações de Apoio 
(estrutura total): 
 
= 0∑ XF → = 0XE 
= 0 ⇒ −2400 +1800 + = 0∑ Y YF E 
E NY = 600 
= 0 ⇒ −2400.3,6 + .4,8 = 0∑M FE 
 
F = 1800N 
 
• Desmembrando as barras da estrutura, e componentes iguais e contrárias 
são representadas sobre cada barra em cada nó. Então, tem-se: 
 
• Barra BCD 
 
= 0 ⇒ − + = 0∑ X X XF B C 
= 0 ⇒ −2400.3,6 + .2,4 = 0∑ B YM C 
C NY = +3600 
= 0 ⇒ −2400.1,2 + .2,4 = 0∑ C YM B 
B NY = +1200 
 
• Nota-se que nem BX nem CX podem ser obtidos considerando-se somente 
a barra BCD. Os valores positivos para BY e CY indicam que as 
componentes BY e CY da força estão dirigidas como se supôs. 
 
• Barra ABE 
 
= 0 ⇒ .2,7 = 0∑ A XM B 
= 0XB 
= 0 ⇒ + − = 0∑ X X XF B A 
= 0XA 
= 0 ⇒ − + + 600 = 0∑ Y Y YF A B 
1200 600 = 0+− +YA 
A NY = +1800 
 
 
• Barra BCD. Retornando agora à barra BCD, tem-se: 
 
= 0 ⇒ − + = 0 ⇒ 0 + = 0∑ X X X XF B C C → 0=XC 
Mateus de Carvalho Martins – Sistemas Isostáticos 79
 
• Barra ACF (Verificação). Todas as 
componentes incógnitas já foram 
encontradas; para comprovar os 
resultados basta verificar que a 
barra ACF está em equilíbrio. 
 
= 0∑ CM 
1800.2,4 .2,4 .2,7 0=− −Y XA A 
1800.2,4 −1800.2,4 = 0 
0 = 0 (confere)