Exercícios para Cálculo 2

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Cálculo Diferencial Integral 2 - Prof. Roberto Mendonça
Exercícios de revisão – Derivadas - fev 2015
1) Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:
a) R: 
b) R: 
c) R: 
d) R : 
e) R : 
f) R: 
g) 	 R: 
h) 	 R: 
i) 	 R: 
j) 	 R: 
k) 	 R: 
l) 	 R: 
m) 	 R: 
n) 	 R: 
o) 	 R: 
2) Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções compostas: 
f(x) = 2e3x² + 6x + 7 R.: f '(x) = 12(x + 1) e3x² + 6x + 7
f(x) = sen³ (3x² + 6x) R.: f ' (x) = 9(x + 1) sen (3x² + 6x) sen (6x² + 12x)
 
 
f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx R.: f ' (x) = 2bx/a – 1/x
f(x) = sen² x + cos² x R.: 0
f(x) = e2x cos 3x R.: f ' (x) = e2x (2cos 3x - 3sen 3x)
 f(x) = log2 (3x – cos 2x) R.: f '(x) = (3 + 2sen 2x) / (3x – cos 2x) ln 2
f(t) = e2 cos 2t R.: f ' (t) = -4 sen (2t) e2 cos 2t
3) Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada.
y = 3x4 – 2x; n = 5
y = 1/ex; n = 4
4) Calcule as derivadas abaixo através da definição 
	a) f(x) = 3x + 2 			
c) f(x) = 1 – 4x2 
b) f(x) = 			
d) f(x) = 2x2 – x – 1
Respostas: 
a) 3 b) - 8x c) d) 4x - 1
	
5) Utilize a definição de derivada nas atividades abaixo:
	a) Determine a derivada de f(x) = 5x2 no ponto x0 = 5.
	b) Determine a derivada de f(x) = -3x + 2 no ponto x0 = 2.
	c) Determine a derivada de f(x) = x2 – 6x + 2 no ponto x0 = 3.
	d) Determine a derivada de f(x) = x2 + 3x + 7 no ponto x0 = 0.
	e) Determine a derivada de f(x) = no ponto x0 = 0.
Respostas: 50 ; -3 ; 0 ; 3 ; 0.
Aplicações da derivada: problemas de otimização e de taxa de variação
6) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. Quantas peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo? E de quanto é esse lucro?
	Solução: Essa é uma aplicação das derivadas para encontrar seu ponto de máximo ou mínimo. Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada y' = 0. Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças.
 Para calcular o lucro correspondente as 7 peças, basta substituí-lo na função L(x), assim L(7)=9 unidades monetárias.
 Obs.: y''(7)= -2, e por ser -2<0, a função L(x) tem 7 como valor de x do ponto máximo.
Resposta: Devem ser vendidas diariamente 7 peças para que o lucro seja máximo. Lucro esse de 9 unidades monetárias ($9,00)
7) O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por. Encontre:
a) A função Custo Médio. A seguir, quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo?
b) A função Custo Marginal.
Nota: o custo médio é o custo por unidade correspondente à produção de uma unidade, enquanto o custo marginal é o custo da produção mais uma unidade.
 Solução: O custo médio é a razão entre a função Custo e a quantidade x, Cm(x)= 3x + 5 +192/x. Calculando a derivada da função encontramos y' = 3 -192/x2 . A função tem valor mínimo quando a derivada y' = 0. Assim, resolvendo 3 -192/x2 = 0, encontramos x = 8 unidades.
 Para calcular o custo marginal, calculamos a derivada da função Custo, assim C' (x)= 6x + 5.
Resposta: a) Função custo médio: Cm(x)= 3x + 5 +192/x . Número de unidades para que o custo médio seja mínimo é 8. b) C' (x)= 6x + 5.
8) Um fabricante produz objetos a R$ 20,00 cada. Estima-se que, se cada objeto for vendido por x reais os consumidores comprarão mensalmente 120 - x objetos. Portanto, a função receita total é R(x)=(120-x).x enquanto a função custo total é C(x)=(120-x).20. Pede-se:
a) encontrar a função lucro total, L(x);
b)determinar o preço com o qual o fabricante obterá maior lucro. R: b) x = 70 reais
9) Suponha que o custo total em reais , pela fabricação de q unidades de um certo produto, seja dado por C(q) = 3q² + q + 48 :
a) Expresse o custo médio de fabricação por unidade do produto como função de q.
 R: C (q) = 3q + l + 48/q
b) Para qual valor de q é menor o custo médio? R: q = 4
10)Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja p = 4 - 0,0002x, onde x é o número de unidades produzidas semanalmente e p reais é o preço de cada unidade. A função custo total da produção de x unidades é 800 + 3x . Deseja-se obter o maior lucro semanal possível. Pede-se:
a) encontrar a função receita total;
b) encontrar a função lucro total;
c) determinar o número de unidades que serão produzidas por semana para se obter o lucro máximo;
d) calcular o preço de cada unidade 
e) calcular lucro semanal.
 R: c) x = 2500. d) p = R$ 3,50. e) L(2500) = R$ 450,00.
11) Uma indústria está aumentando a fabricação de um produto à razão de 25 unidades por semana. As funções demanda e custo para o produto são p = 50 - 0,01x e C =. Ache a taxa de variação do lucro em relação ao tempo quando as vendas semanais são de 800 unidades.
R: R$650,00 por semana.