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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios de Álgebra Linear II - IC239 Prof. Wilian Santos Turma: T64 REVISÃO DE CONCEITOS IMPORTANTES (aulas 4 e 5) Projeção ortogonal de u sobre a projau = u · a ‖a‖2a. Componente vetorial de u ortogonal ao vetor a u− projau = u− u · a‖a‖2a. Em <2, a distância D entro o ponto P0(x0,y0) e a reta ax+ by + c = 0 é D = |ax0 + by0 + c|√ a2 + b2 Em <3, a distância D entro o ponto P0(x0,y0,z0) e a reta ax+ by + cz + d = 0 é D = |ax0 + by0 + cz0 + d|√ a2 + b2 + c2 1. Determine se u e v são vetores ortogonais. (a) u = (6,1,4) e v = (2,0,− 3) (b) u = (0,0,− 1) e v = (1,1,1) (c) u = (−6,0,4) e v = (3,1,6) 2. Mostre que se v for perpendicular a ambos w1 e w1, então v é ortogonal a k1w1+ k2w2, com quaisquer escalares k1 e k2. 3. Encontre um vetor unitário que seja ortogonal tanto a u = (1,0,1) quanto a v = (0,1,1). 4. Verifique se os pontos A(1,1,1), B(−2,0,3) e C(−3, − 1,1) formam os vértices de um triângulo retângulo. Explique a sua resposta. 5. Encontre uma forma ponto-normal da equação do plano que passa por P (−1,3,−2) e tem n = (−2,1,− 1) como normal. 6. Determine se os planos 4x− y + 2z = 5 e 7x− 3y + 4z = 8 são paralelos. 7. Determine se os planos 3x− y + z − 4 = 0 e x+ 2z = −1 são perpendiculares. 8. Encontre ‖projau‖, onde u = (−1,− 2) e a = (−4,− 3) 9. Encontre as componentes vetoriais de u ao longo de a e ortogonal a a. Pág. 1 de 2 Continua . . . Exercícios de Álgebra Linear II - IC239Lista 3 (a) u = (6,2) e a = (3,− 9) (b) u = (3,1,− 7) e a = (1,0,5) (c) u = (2,1,1,2) e a = (4,− 4,2,− 2) 10. Encontre a distância entre o ponto (−3,1) e a reta 4x+ 3y + 4 = 0. 11. Encontre a distância entre o ponto (3,1,− 2) e o plano x+ 2y − 2z = 4. 12. Encontre a distância entre os planos paralelos 2x−y− z = 5 e −4x+2y+2z = 12 . 13. Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. (a) Os vetores u = (3,− 1,2) e v = (0,0,0) são ortogonais. (b) Se u e v são vetores ortogonais, então dados quaisquer escalares não nulos r e s, os vetores ru e sv são ortogonais. (c) A projeção ortogonal de u sobre a é perpendicular ao componente vetorial de u ortogonal a a. (d) Se a relação ‖projau‖ = ‖projav‖ for válida com algum vetor nao nulo a, então u = v. (e) Se a relação projau = projav for válida com algum vetor nao nulo a, então u = v. Questões selecionadas do livro: Álgebra Linear com Aplicações, dos autores Howard Anton & Chris Rorres Pág. 2 de 2 Bons estudos
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