Gabarito Lista 3

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
Exercícios de Álgebra Linear II - IC239
Prof. Wilian Santos Turma: T64
REVISÃO DE CONCEITOS IMPORTANTES (aulas 4 e 5)
Projeção ortogonal de u sobre a
projau =
u · a
‖a‖2a.
Componente vetorial de u ortogonal ao vetor a
u− projau = u− u · a‖a‖2a.
Em <2, a distância D entro o ponto P0(x0,y0) e a reta ax+ by + c = 0 é
D =
|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2
Em <3, a distância D entro o ponto P0(x0,y0,z0) e a reta ax+ by + cz + d = 0 é
D =
|ax0 + by0 + cz0 + d|√
a2 + b2 + c2
1. Determine se u e v são vetores ortogonais.
(a) u = (6,1,4) e v = (2,0,− 3)
(b) u = (0,0,− 1) e v = (1,1,1)
(c) u = (−6,0,4) e v = (3,1,6)
Solução:
(a) São ortogonais.
(b) Não são ortogonais.
(c) Não são ortogonais.
2. Mostre que se v for perpendicular a ambos w1 e w1, então v é ortogonal a k1w1+
k2w2, com quaisquer escalares k1 e k2.
Solução:Boa sorte!
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Exercícios de Álgebra Linear II - IC239Lista 3
3. Encontre um vetor unitário que seja ortogonal tanto a u = (1,0,1) quanto a v =
(0,1,1).
Solução:
±( 1√
3
,
1√
3
,− 1√
3
)
4. Verifique se os pontos A(1,1,1), B(−2,0,3) e C(−3, − 1,1) formam os vértices de
um triângulo retângulo. Explique a sua resposta.
Solução:Formam. Explique!
5. Encontre uma forma ponto-normal da equação do plano que passa por P (−1,3,−2)
e tem n = (−2,1,− 1) como normal.
Solução:
−2(x+ 1) + (y − 3)− (z + 2) = 0
6. Determine se os planos 4x− y + 2z = 5 e 7x− 3y + 4z = 8 são paralelos.
Solução:Não são paralelos.
7. Determine se os planos 3x− y + z − 4 = 0 e x+ 2z = −1 são perpendiculares.
Solução:Não são perpendiculares.
8. Encontre ‖projau‖, onde u = (−1,− 2) e a = (−4,− 3)
Solução:
2
5 .
9. Encontre as componentes vetoriais de u ao longo de a e ortogonal a a.
(a) u = (6,2) e a = (3,− 9)
(b) u = (3,1,− 7) e a = (1,0,5)
(c) u = (2,1,1,2) e a = (4,− 4,2,− 2)
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Exercícios de Álgebra Linear II - IC239Lista 3
Solução:
(a) (0,0) e (6,2)
(b) (−1613 , 0,−8013) e (5513 ,1,− 1113)
(c) (−15 ,− 15 , 110 ,− 110) e (95 ,65 , 910 ,2110)
10. Encontre a distância entre o ponto (−3,1) e a reta 4x+ 3y + 4 = 0.
Solução:1
11. Encontre a distância entre o ponto (3,1,− 2) e o plano x+ 2y − 2z = 4.
Solução:
5
3
12. Encontre a distância entre os planos paralelos 2x−y− z = 5 e −4x+2y+2z = 12
.
Solução:
11√
6
13. Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(a) Os vetores u = (3,− 1,2) e v = (0,0,0) são ortogonais.
(b) Se u e v são vetores ortogonais, então dados quaisquer escalares não nulos r
e s, os vetores ru e sv são ortogonais.
(c) A projeção ortogonal de u sobre a é perpendicular ao componente vetorial de
u ortogonal a a.
(d) Se a relação ‖projau‖ = ‖projav‖ for válida com algum vetor nao nulo a,
então u = v.
(e) Se a relação projau = projav for válida com algum vetor nao nulo a, então
u = v.
Solução:(a) Verdadeira. Justifique!
(b) Verdadeira. Justifique!
(c) Verdadeira. Justifique!
(d) Falsa. Justifique!
(e) Falsa. Justifique!
Questões selecionadas do livro: Álgebra Linear com Aplicações, dos autores Howard
Anton & Chris Rorres
Pág. 3 de 3 Bons estudos