Histograma: Ferramenta da Qualidade

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Ferramentas da Qualidade
Professor: Leandro Zvirtes
UDESC/CCT
Histogramas
Histograma
O histograma é um gráfico de barras no qual o eixo
horizontal, subdividido em vários pequenos intervalos,
apresenta os valores assumidos por uma variável de interesse.
Para cada um destes intervalos é construída uma barra
vertical, cuja área deve ser proporcional ao número de
observações na amostra cujos valores pertencem ao intervalo
correspondente
14
16
18
20
22
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
Ex. Histograma dados contínuos
0
2
4
6
8
10
12
14
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Característica Analisada
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
Polígono de Freqüência
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Característica Analisada
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
s
Ex. Histograma e Polígono de Freqüência
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Característica Analisada
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
Característica Analisada
Histograma dados discretos 
f(x)f(x)
4/364/36
5/365/36
6/366/36
1,01,0 1,51,5 3,53,52,52,52,02,0 3,03,0 6,06,04,04,0 4,54,5 5,05,0 5,55,5
1/361/36
2/362/36
3/363/36
xx
4/364/36
Histograma
O histograma dispõe as informações de modo que seja
possível a visualização da forma da distribuição de um
conjunto de dados e também a percepção da localização do
valor central e da dispersão dos dados em torno deste valorvalor central e da dispersão dos dados em torno deste valor
central.
Como construir um Histograma
1. Colete n dados referentes à variável cuja distribuição será 
analisada.
É aconselhável que n seja superior a 50 para que possa ser obtido um padrão 
representativo da distribuição.
Histograma para variáveis contínuas
representativo da distribuição.
Ex.: característica dimensional (mm)
20,2 21 24 24,6 25,5 26 27 28,3 29 29,2 29,9 30,8
30,9 31 31 31,2 31,4 31,6 31,6 31,8 32,1 32,2 32,2 32,2
32,4 32,6 34 34,5 34,7 34,8 35,3 35,6 35,7 35,8 36 36
36,1 38 38,1 38,4 38,5 38,7 38,7 39,1 39,4 39,7 41,3 41,9
42 42 42,1 42,3 43 43,7 44 44,6 45,8 46 49 50
2) Determine o maior e menor valor do conjunto de dados;
Min = 20,2 e Max = 50
3) Defina o limite inferior da primeira classe (LI), que deve ser 
igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações;
Como construir um Histograma
igual ou ligeiramente inferior ao menor valor das observações;
LI = 20
4) Defina o limite superior da última classe (LS), que deve ser 
igual ou ligeiramente superior ao maior valor das observações;
LS= 50
5) Define-se o número de classes (K), que pode ser calculado 
usando e deve estar compreendido entre 5 e 20;
860 ≅=K
nK =
Para facilitar os cálculos, foi escolhido K = 8
Como construir um Histograma
6) Conhecido o número de classes, define-se a amplitude de 
cada classe: a = (LS - LI) / K;
860 ≅=K
75,3
8
)2050()(
=
−
=
−
=
K
LILS
a
Para facilitar os cálculos, foi escolhido K = 8
Como construir um Histograma
7) Calcule os limites de cada intervalo
8) Construa uma tabela de distribuição de freqüência
Intervalo de Classe Freqüência Absoluta
Limite inferior 
da classe
Limite superior 
da classe
Intervalo de Classe Freqüência Absoluta
1 - 20,00 a 23,75 2
2 - 23,76 a 27,50 5
3 - 27,51 a 31,25 9
4 - 31,26 a 35,00 14
5 - 35,01 a 38,75 13
6 - 38,76 a 42,50 9
7 - 42,51 a 46,25 6
8 - 46,26 a 50,00 2
Nº de observações em cada classse
Como construir um Histograma
9) Desenhe o histograma
10) Registre as informações importantes que devem constar no 
gráfico
Ex. Histograma
2
5
9
14 13
9
6
2
0
5
10
15
1 2 3 4 5 6 7 8
Classes da Característica medida
F
r
e
q
ü
ê
n
c
i
a
Formas Histogramas
Histograma simétrico ou em 
forma de Sino
� O valor médio localiza-se no centro do Histograma
� Pode ocorrer qdo a variável é contínua e não existem 
restrições para os valores que pode ocorrer
Formas de Histograma
Histograma Assimétrico
� O valor médio localiza-se fora do centro do Histograma
� É usualmente encontrado qdo não é possível a varíavel 
assumir valores mais altos ou mais baixos do que um 
determinado limite.
Formas de Histograma
Histograma “ilhas isoladas”
� Pode ocorrer qdo o processo ao qual a variável associada 
apresenta algum tipo de irregularidade, ou quando acontece 
erros de medida ou registro de dados.
Formas de Histograma
Histograma “Despenhadeiro”
� A freqüência diminui de modo abrupto de um ou dos dois 
lados do gráfico.
� Pode ocorrer qdo o processo ao qual a variável associada 
não é capaz de atender as especificações e por este motivo é 
realizado inspeção 100 % para eliminar produtos defeituosos.
Formas de Histograma
Histograma Bi-modal
�A freqüência é baixa no centro do Histograma e existem 
um pico a direita e outro a esquerda.
� Ocorre quando dados provenientes de duas distribuições 
são misturados.
Comparação com os limites de 
especificação
Processo A Processo B
LIE LSE LIE LSE
LIE LSE
Processo D
LIE LSE
Processo C
Ex. Variação volume - Enchedora
70
60
Mean 1004
StDev 1,730
N 299
Normal 
Histograma vol. DQ
Volume
F
r
e
q
u
e
n
c
i
a
1008100610041002
50
40
30
20
10
0
Temp. média – 25
Vol. ideal p/ conv. a 
20 C
DQ = 1003
Ex. Variação Grau Alcoólico
c
i
a
2 0
1 5
H is to g r am a G r ad u a ç ã o Alc o ó lic a ( °G L )
F
r
e
q
ü
ê
n
c
4 0 ,54 0 ,44 0 ,34 0 ,24 0 ,14 0 ,03 9 ,93 9 ,8
1 0
5
0
M e a n 4 0 ,0 3
S tD e v 0 ,1 1 9 3
N 1 0 5
Mês MÉDIA DESVIO PADRÃO CP CPK
Abril 40,04 0,09798 1,01 0,80
Maio 40,03 0,1193 0,75 0,66
Gráfico Seqüencial
Cartas de tendência são empregadas para representar
dados visualmente.
M
e
d
i
ç
ã
o
São utilizadas para monitorar um sistema a fim de
observar ao longo do tempo a EXISTÊNCIA de
alterações na média esperada.
T e m p o o u S e q ü ê n c i a
M
e
d
i
ç
ã
o
Média
Gráfico Seqüencial
São ferramentas simples de construir e utilizar. Os pontos
são marcados no gráfico na medida em que estejam
disponíveis. É comum a sua utilização em ocorrências,
tais como: paradas de máquina, produção, refugo, errostais como: paradas de máquina, produção, refugo, erros
de tipografia ou produtividade, já que variam com o
tempo.
Gráfico de controle
Controle estatístico do Processo é um sistema de
monitoramento da qualidade, com o objetivo de verificar
a presença de causas especiais.
A principal ferramenta do CEP são os Gráficos de
controle. Os Gráficos de Controle fornecem um sinal
sempre que houver a presença de causas especiais (falhas
operacionais), orientando as ações de melhoria
Cartas de controle
O gráfico contém uma linha central que representa o valor
médio da característica em estudo e duas linhas horizontais
chamadas limites de controle.
Os limites de controle (calculados a partir da média maisOs limites de controle (calculados a partir da média mais
ou menos 3 desvios-padrões) representam a variação
associada a causas comuns de variabilidade (inerente ao
processo). As amostras fora dos limites de controle
representam variação associada a causas especiais (falhas
operacionais).
Típico gráfico de controle
Gráfico de Controle
18
9
12
15
Amostras
M
e
d
i
d
a
s
LIC LC LSC Medidas
Gráfico de Controle
35.2
Causas 
Especiais
Causas 
Limite de 
Controle 
Superior Média
Amostra
31.8
23 28 33 38 43
Causas 
Comuns
Causas 
Especiais
Superior Média
Limite de 
Controle 
Inferior
Gráficos de controle–
Detecção de causas especiais
Se apenas as causas comuns estão 
presentes, as medidas devem se X
35.2
presentes, as medidas devem se 
manter dentro dos limites de 
controle
Pontos fora dos limites de 
controle indicam a presença de 
causas especiais (falhas 
operacionais)
diâmetro
Amostra
X31.8
35.2
1 6 11 16 21
Amostra31.8 35 40 45 50 55
Diagrama de
DispersãoDispersão
Diagrama de Dispersão
� É um gráfico no qual cada ponto representa um par
observado de valores. Revela a direção, a forma e a
inclinação do relacionamento entre as variáveis, além de
outliers e outros desvios.
� Os valores da variável preditora aparecem no eixo
horizontal do gráfico e os valores da variável resposta no
eixo vertical. Cada par de valores forma um ponto no
gráfico.
Diagrama de Dispersão
150
125
Scatterplot of Mortalidade vs Fumantes
Fumantes
M
o
r
t
a
l
i
d
a
d
e
14013012011010090807060
100
75
50
Como fazer ?
� Colete os dados (n ≥≥≥≥ 30)
� Calcule as amplitudes
Detemine os valores máximos de cada variável e calcule as
respectivas amplitudesrespectivas amplitudes
� Defina as escalas
Escolha escalas adequadas:
a) eixos, aproximadamente do mesmo comprimento;
b) Coincidência entre os valores máximos e mínimos das
variáveis com os máximos e mínimos de cada eixo
Como fazer ?
�Plote os pontos
Cada ponto do diagrama estará localizado na intersecção das
retas traçadas a partir dos valores de cada variável do par
representados por eixos X e Y;representados por eixos X e Y;
�Adicione informações complementares
Identifique o diagrama adicionando título, período, denominação e
unidade de medida de cada eixo, tamanho da amostra, período de
coleta.
Interpretação do Diagrama de 
Dispersão
�Examine a presença de dados atípicos (“outliers”). Um 
dado “outlier” é uma observação extrema que não é 
condizente com o restante da massa dos dados
�A identificação dos “outliers” e a análise das causas que �A identificação dos “outliers” e a análise das causas que 
levaram ao seu aparecimento podem resultar em 
melhorias do processo
�O gráfico de dispersão poderá indicar um padrão:
– correlação positiva
– correlação negativa
– ausência de correlação
– correlação não linear
Diagramas de Dispersão
Notas sobre os Diagrama de 
Dispersão
�A existência de uma correlação entre duas variáveis não 
implica na existência de um relacionamento de causa e 
efeito entre elas
�A correlação entre duas variáveis depende do intervalo de �A correlação entre duas variáveis depende do intervalo de 
variação
�Os diagramas de dispersão podem não ser válidos para a 
realização de extrapolações fora do intervalo de variação 
das variáveis consideradas no estudo
�Em muitos casos a estratificação de um diagrama de 
dispersão permite a descoberta da causa do problema
Coeficiente de correlação 
linear
�O coeficiente de correlação linear “r” mede a 
intensidade da relação linear entre duas variáveis
�O coeficiente de correlação varia de -1 r +1:
≤≤
�O coeficiente de correlação varia de -1 r +1:
� Valores de “r” próximos de +1 indicam uma forte correlação positiva 
entre x e y
� Valores de “r” próximos de -1 indicam uma forte correlação negativa 
entre x e y
� Valores de “r” próximos de 0 indicam uma fraca correlação entre x e y
Coeficiente de correlação linear
Vaolr de r Correlação Interpretação
 0,7 ≤ r ≤ 1 Forte-positiva
os valores da variável y crescem com o 
aumento da variável x; há pouca dispersão 
entre os pontos do diagrama (Fig 1)
os valores de x crescem, y também cresce; 
os pontos do diagramestão mais dispersos (fig 
 0,3 ≤ r ≤ 0,7 Fraca -positiva
os pontos do diagramestão mais dispersos (fig 
2)
 - 0,3 < r < 0,3 Sem correlação
y assumirá qualquer valor, independente do 
valor da variável x; não é possível encontrar 
algum padrão de correlação entre as variáveis 
(fig. 3)
 - 0,7 < r ≤ 0,3 Fraca-negativa
quando os valores de x crescem, y decresce; 
os pontos estão dispersos (fig. 4)
 - 1 ≤ r ≤ - 0,7 Forte-negativa
o valor de x cresce, y decresce; há pouca 
dispersão entre os pontos (fig. 5)
Coeficiente de correlação Linear
S x
n
xxx i i= −∑ ∑
2 21 ( )
� Desvio-padrão de X:
r x y
S
S S
xy
xx yy
( , ) =
×
S y
n
yyy i i= −∑ ∑
2 21( )
S x y
n
x yxy i i i i= −∑ ∑∑
1( )( )
� Desvio-padrão de Y:
� Covariância de X,Y:
Exemplo de correlação
� Após uma regulagem eletrônica um veículo apresenta um
rendimento ideal no que tange a consumo de combustível.
Contudo, com o passar do tempo esse rendimento vai se
degradando. Os dados a seguir representam o rendimento
medido mês a mês após a regulagem. Ajuste um modelo linearmedido mês a mês após a regulagem. Ajuste um modelo linear
a esses dados.
X:meses após a regulagem 1 2 3 4 5 6
Y : rendimento 10,7 10,9 10,8 9,3 9,5 10,4
X:meses após a regulagem 7 8 9 10 11 12
Y : rendimento 9,0 9,3 7,6 7,6 7,9 7,7
Exemplo de correlação
Meses(X) Rendimento(Y) X2 Y2 X*Y
1 10.7 1 114.49 10.7
2 10.9 4 118.81 21.8
3 10.8 9 116.64 32.4
4 9.3 16 86.49 37.2
5 9.5 25 90.25 47.5
6 10.4 36 108.16 62.4
Σxi = 78,00 ; Σxi2 = 650,00 ;
Σyi = 110,70 ; Σyi2 = 1039,55 ;
6 10.4 36 108.16 62.4
7 9 49 81 63
8 9.3 64 86.49 74.4
9 7.6 81 57.76 68.4
10 7.6 100 57.76 76
11 7.9 121 62.41 86.9
12 7.7 144 59.29 92.4
78 110.7 650 1039.55 673.1
Exemplo de correlação
Desvio-padrão de X:
Desvio-padrão de Y:
( ) ( ) 00,14312/78650 222 =−=−=∑ ∑ nxxS iiXX
( ) ( ) 34,1812/70,11055,1039 222 =−=−=∑ ∑ nyyS iiYY
Covariância de X,Y:
Coeficiente de correlação:
Interpretação: Existe uma correlação linear inversa na amostra 
entre meses após a regulagem e rendimento. A intensidade desta 
correlação é forte.
( )( ) 45,4612/)70,11078(1,673 −=×−=−=∑ ∑∑ nyxyxS iiiiXY
907,0
18,34x 00,143
45,46
−=
−
=
×
=
yyxx
xy
SS
S
r
Exemplo de correlação
10
11
12
Tempo após a regulagem
Co
0 2 4 6 8 10 12
7
8
9
10