Aula 3 Cinemática

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Profa. Paula Rosa 
FT – 6 Aula 3 
CINEMÁTICA: DESCRIÇÃO DE 
UM FLUIDO EM MOVIMENTO 
 
BALANÇO DE MASSA 
02/04/2019 
Conceitos Fundamentais 
Sistema: É definido como uma quantidade de matéria ou uma região do 
espaço escolhida para o estudo; 
Vizinhanças 
Fronteira 
 Massa ou a região fora do sistema é denominado 
 vizinhança; 
 Fronteira é uma superfície que separa o sistema de sua 
 vizinhança; 
Real ou Imaginária 
Fronteira: 
Fixa ou Móvel 
Conceitos Fundamentais 
Sistema Fechado: Consiste em uma quantidade fixa de massa 
e nenhuma porção de massa cruza a sua fronteira; 
Calor e Trabalho podem cruzar a fronteira de um sistema fechado 
Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço através do 
qual o fluido escoa (permite a transferência de massa). 
 A fronteira geométrica do volume de controle é denominada de superfície de 
controle: que pode ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou em 
movimento. 
Aquecedor de água 
Volume de controle móvel 
 O volume de controle 
 move-se com o foguete 
Foguete 
Conceito de volume de controle e tipos de 
sistemas 
Não há variação 
de energia 
Sistema isolado 
Não há variação 
de massa 
Sistema fechado 
W 
Q 
Variação de 
energia e massa 
Sistema aberto 
W 
Q 
mentra 
msai 
Sistema Isolado - Não permite passagem de energia. 
 
Classificação dos escoamentos 
 O termo ESTACIONÁRIO implica não haver mudanças de 
propriedades tais como: velocidade, temperatura etc., ao longo do tempo 
 Para um escoamento em regime estacionário temos: 
V = V (x, y ,z) 
δV 
δt 
= 0 
δP 
δt 
= 0 
P = P (x, y ,z) 
No escoamento estacionário (*permanente) as propriedades 
não variam com o tempo em um ponto fixo 
Atenção 
Escoamento Estacionário versus não Estacionários 
 Se as quantidades de interesse alteram com o tempo o 
escoamento é denominado de não estacionário 
 Para um escoamento não estacionário temos: 
V = V (x, y ,z, t) 
δV 
δt 
 = 0 δP 
δt 
= 0 
P = P (x, y ,z, t) 
Quanto à variação no tempo 
Escoamento Estacionário versus não Estacionários 
Escoamentos Uni, Bi e Tridimensional 
Escoamento Tridimensional 
Escoamento Bidimensional: É o escoamento no qual o vetor 
velocidade depende de duas variáveis espacial 
Um escoamento unidimensional ocorre em tubulações longas ou 
reta ou entre placas paralelas 
Escoamento Unidimensional: É o escoamento no qual o 
vetor velocidade depende de apenas uma variável espacial 
Desenvolvimento do Perfil de Velocidade em um Cano Circular 
Escoamento é BIDIMENSIONAL na região 
de entrada do cano 
Perfil de velocidade completamente 
desenvolvido. 
 Escoamento UNIDIMENSIONAL 
Escoamento com Ponto de Estagnação 
Este escoamento é normal a superfície plana; o fluido 
desacelera e chega ao repouso no ponto de estagnação 
Escoamento uniforme: A velocidade e outras propriedades dos 
fluidos são constante sobre a área 
Quanto à variação da velocidade na seção transversal de 
escoamento: uniforme e não-uniforme; 
Escoamento uniforme 
Escoamento não uniforme 
Escoamentos Laminares e Turbulento 
Laminar  Cada partícula do 
fluido segue uma trajetória suave, 
sem cruzar com as trajetórias das 
outras partículas. 
Turbulento  A movimentação do 
fluido varia irregularmente de tal 
modo que quantidades como 
velocidade e pressão apresentam 
variações aleatórias 
É um escoamento irregular, 
caracterizado por regiões de 
pequenos redemoinhos 
Movimento altamente desordenado 
As razões pelas quais o escoamento apresenta-se como laminar ou turbulento, pode ser ocasionada por 
pequenas perturbações, como uma perturbação nas componentes de velocidade. 
Para caracterizar se um escoamento é Laminar ou Turbulento 
existe um parâmetro adimensional denominado número de 
Reynolds (Re): 
Re Re Re
/
LV LV VL
       
 Comprimento característico (L = D) Diâmetro da tubulação) 
 Velocidade (V) 
 Viscosidade cinemática do fluido ( ) 
O regime de escoamento depende 
de três parâmetros físicos 
Regime laminar se NR ≤ 2.300 ( ≈ Reynolds crítico) 
 
Regime turbulento se NR ≥ 3.000 
 
Escoamento de transição muda de um regime para 
outro, se 2.000 < NR < 3.000 
Na maioria das condições práticas, o escoamento em um tubo circular 
tem-se os seguintes valores para o número de Reynolds 
Fonte: Introdução a mecânica dos fluidos: Merle C Poter 
Escoamento intermitente, ou seja entre laminar e turbulento , isso 
ocorre quando o número de Reynolds é próximo do Reynolds crítico 
Escoamento de Transição 
Número de Reynolds crítico: Número acima do qual o escoamento laminar primário 
deixa de existir 
Exemplo 1 
 Uma tubulação de 2 cm de diâmetro é usada para transportar água 
a 20 oC. Qual a velocidade média máxima que pode existir na tubulação, 
para garantir um escoamento laminar? 
Dados: Viscosidade cinemática v = 10-6 m2/s 
Escoamentos Incompressíveis e Compressíveis 
 O escoamento pode ser considerado incompressível se 
a massa específica permanece relativamente constante ao 
longo do tempo 
0
Dt
D
A massa específica dos líquidos são essencialmente 
constantes 
O que estuda a Cinemática? 
A cinemática dos 
fluidos estuda o 
movimento dos 
fluidos em termos 
dos deslocamentos, 
velocidades e 
acelerações, sem 
levar em conta as 
forças que o 
produzem. 
Descrição do movimento 
Joseph Louis Lagrange 
Leonhard Euler 
(1707 – 1783) 
Langragiana Euleriana 
Descrição Langragiana do movimento 
 A descrição Langrangiana nos obriga a seguir a posição e a 
velocidade de cada parcela individual de fluido, a qual nos referimos 
como uma partícula de fluido, que mantém a identidade fixa. 
y 
x 
 0tr

 ttr 0

 ttr  20

A análise Lagrangiana é análoga a análise de sistemas fechados, ou seja 
seguimos uma massa de identidade fixa 
O observador desloca-se simultaneamente como a partícula; 
 Para a engenharia normalmente não interessa o comportamento individual da partícula e sim o comportamento 
do conjunto de partículas no processo de escoamento; 
Problemas: descrição Langrangiana: 
 Não podemos definir e identificar facilmente as partículas de um 
fluido a medidas que elas se movimentam; 
 
DDT 
O fluido é um contínuo (sob o ponto de vista macroscópico), de modo que as 
interações entre as parcelas do fluidos não são facilmente descritas. 
Descrição Euleriana 
 A descrição euleriana não identifica uma partícula ou uma 
quantidade de massa individualmente; 
 Volume de Controle 
(Campo de escoamento) 
 Nesta descrição procura-se identificar as propriedades do fluido e de 
seu movimento em um domínio de escoamento (volume de controle) 
em função do espaço e do tempo; 
Descrição Euleriana: 
Campo de escoamento: Região de interesse do escoamento 
Defini-se variáveis de campo: (Funções do espaço e do tempo) 
Campo de pressão (variável escalar) ---> P = P(x, y ,z, t) 
Campo de Velocidade (variável de campo vetorial) ---> 
Campo de aceleração (variável de campo vetorial) ---> 
Descrição Euleriana 
Resumo 
 Na descrição Euleriana todas as variáveis de campo podem ser 
definidas em qualquer local (x,y, z) no volume de controle em 
qualquer instante de tempo t; 
 Não nos importamos com partículas individuais do fluido; 
 Estamos interessados na pressão; velocidade, aceleração e outras 
propriedades das partículas de fluidos que estejam no local de 
interesse e no momento de interesse;Exemplo 2 
Uma sonda estática de Pitot com 
frequência pode ser vista na parte 
inferior de um avião. À medida que o 
avião voa, a sonda mede a velocidade 
relativa do vento. Essa é uma medição 
lagrangeana ou euleriana? Sonda 
Campo de Velocidade 
 Pode ser representado em termos das coordenadas cartesianas como: 
Exemplo 3 
Um campo de velocidade bidimensional, estacionário e incompressível 
é dado por: 
Onde as coordenadas x e y estão em metros e a velocidade em m/s. 
(a) Determine se há algum ponto de estagnação nesse campo de 
escoamento e se sim, onde? 
Um ponto de estagnação é definido como um ponto no campo de escoamento no qual 
a velocidade é identicamente a zero. 
Exemplo 4 
Discuta brevemente a diferença entre os 
operadores de derivada d e ∂. Se a derivada 
∂u/∂v aparece em uma equação, o que isso 
implica sobre a variável u? 
Campo de aceleração 
• A equações do movimento do escoamento dos fluidos são escritas, 
para uma partícula de fluido, que denominamos de PARTÍCULA 
MATERIAL 
Descrição Lagrangiana: 
 Aceleração de uma partícula de fluido 
 Por definição, a aceleração da partícula de fluido é a derivativa no tempo da 
velocidade da partícula 
Campo de velocidade no local 
Regra da cadeia 
Campo de aceleração 
Aplicando a Regra da Cadeia obtém-se a seguinte equação: 
Taxa da variação x da partícula em relação ao tempo; 
Taxa da variação y da partícula em relação ao tempo; 
Taxa da variação z da partícula em relação ao tempo; 
Campo de aceleração 
Assim, qualquer instante de tempo t, o campo de aceleração deve ser igual à aceleração 
da partícula de fluido que ocupa o local (x,y,z) naquele instante t 
ACELERAÇÃO DE UMA PARTÍCULA DE FLUIDO EXPRESSA COMO VARIÁVEL DE CAMPO 
DESCRIÇÃO EULERIANA 
Campo de aceleração 
A equação acima pode ser expressa de forma simplificada como: 
Derivada material ou substancial em coordenadas retangulares 
Utiliza-se o símbolo D/Dt, porque seguimos 
uma partícula distinta do fluido, ou seja 
seguimos a substância (ou material) 
Aceleração material 
Campo de aceleração 
Esta é uma equação vetorial e corresponde a três equações escalares 
(coordenadas cartesianas). Ou seja: 
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
uax












t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
uay












t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
uaz












Campo de aceleração 
Aceleração 
local Aceleração 
 convectiva (adjectiva) 
Aceleração de uma partícula do fluido é a soma da aceleração local mais 
à aceleração convectiva 
Escoamento estacionário de água através do 
bocal de uma mangueira de jardim: 
Embora o escoamento seja estacionário, a 
aceleração é diferente de zero por conta do 
termo de aceleração convectiva. 
Embora o escoamento seja estacionário do 
ponto de vista de um observador fixo no 
sistema euleriano, ele não é estacionário no 
sistema de referencia lagrangiano. 
Campo de aceleração 
 
 Linhas de trajetória; 
 
 Linhas de emissão; 
 
 Linhas de corrente; 
 
Escoamento em volta de um veículo para análise 
de sua performance aerodinâmica 
Representação dos escoamentos 
Essas linhas nos ajudam a descrever um campo de escoamento 
Padrões de Escoamento e Visualização de Escoamentos 
a representação gráfica dos dados de escoamento permitem visualizar como as propriedades de escoamento 
variam com o tempo e o espaço. 
 Linhas de Trajetória 
É o conjunto de pontos atravessados por uma determinada partícula 
enquanto viaja no campo de escoamento em determinado período de 
tempo; 
A linha de trajetória nos fornece o 
histórico de posições da partícula. 
Linhas de Emissão 
É definida como uma linha instantânea, cujo os pontos são 
ocupados por todas as partículas originadas de algum ponto 
específico no campo de escoamento. 
Onde as partículas estão no exato momento no 
campo de escoamento 
Foto instantânea de conjunto de partículas 
 
Linhas de emissão produzidas por um fluxo de 
 fumaça 
 Linhas de corrente 
Uma linha de corrente é uma curva tangente em todos os pontos ao 
vetor velocidade local 
OBS: Em um escoamento estacionário a linha de trajetória, linhas de 
emissão e linhas de correntes são coincidentes 
Úteis como indicadores da direção 
instantânea do movimento do 
fluido em todo o campo de 
escoamento. 
 
Não podem ser visualizadas 
experimentalmente, são descritas 
matematicamente. 
OBSERVAÇÕES 
1. Um ponto na linha de corrente possui uma única velocidade; 
2. Vetor Velocidade é sempre tangente à Linha de Corrente; 
3. Linhas de correntes nunca se cruzam; 
Referências Bibliográficas 
51 
•Welty, J. R.; Wicks, C. E.; Wilson, R. E.; Rorrer, G. L., Fundamentals of 
Momentum, Heat, and Mass Transfer, 5th Edition, John Wiley and Sons, New 
Jersey, 2007. 
•Potter, M. C., Wiggert, D. C., Hondzo, M. Shih, T. I. P. - Mecânica dos Fluidos, 3a. 
edição, tradução de A. Pacini, Pioneira Thomson Learning, São Paulo-SP, 2004. 
•Roma, W, N. L. - Fenômenos de Transporte para Engenharia, 2. edição revisada, 
Rima Editora, São Carlos-SP, 2006. 
•Fox, R. W.; McDonald, A. T.; Pritchard, P. J., Introduction to Fluid Mechanics, 6th 
Edition, John Wiley and Sons, New Jersey, 2004.