AD1 Met Est I Gabarito (1)

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA 1 (AD1)
1o Semestre de 2019
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. (5,0 pontos) O diagrama de ramo-e-folhas a seguir representa uma amostra de 40 pessoas em
relac¸a˜o a sua idade, de modo que a menor idade amostrada e´ 4 anos e a maior idade obtida na
amostra e´ 107 anos.
0 4 5
1 0 2 3 5 7 9
2 2 4 5
3 0 4 5 9 9
4
5 2 4 6 7 8 9
6 0 5 9
7 1 3 6 7 8 8
8 2 4 5 6 7
9
10 3 4 6 7
Obtenha uma tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias para dados agrupados em 5 classes contendo
frequeˆncias simples (absoluta e relativa%) e frequeˆncias acumuladas (absoluta e relativa%).
2. (5,0 pontos) A tabela abaixo apresenta as frequeˆncias de renda per capita (em reais) de 40
famı´lias pesquisadas.
Classes Frequeˆncias Simples
Absoluta (ni)
1.000` 1.250 2
1.250`1.500 8
1.500`1.750 10
1.750`2.000 12
2.000`2.250 5
2.250`2.500 3
Total 40
Determine as rendas per capita (em reais) me´dia, mediana e modal e o desvio-padra˜o.
1
Soluc¸a˜o:
1. Os valores ma´ximo e mı´nimo sa˜o respectivamente 107 e 4, o que nos fornece um amplitude exata
∆ = 107− 4 = 103 . Tomando o pro´ximo mu´ltiplo de 5 (pois desejamos 5 classes), a amplitude
efetiva passa a ser 105. Assim, a amplitude de classe sera´: 105
5
= 21. Com isso, podemos formar
a nossa tabela de distribuic¸a˜o de frequeˆncias:
Classes de Frequeˆncias Simples Frequeˆncias Acumuladas
sala´rio Absoluta Relativa % Absoluta Relativa %
4`25 10 10
40
= 0, 25× 100 = 25 10 10
40
= 0, 25× 100 = 25
25`46 6 6
40
= 0, 15× 100 = 15 16 16
40
= 0, 40× 100 = 40
46`67 8 8
40
= 0, 20× 100 = 20 24 24
40
= 0, 60× 100 = 60
67`88 12 12
40
= 0, 30× 100 = 30 36 36
40
= 0, 90× 100 = 90
88`109 4 4
40
= 0, 10× 100 = 10 40 40
40
= 1× 100 = 100
Total 40 100
Logo:
Classes de Frequeˆncias Simples Frequeˆncias Acumuladas
sala´rio Absoluta Relativa % Absoluta Relativa %
4` 25 10 25 10 25
25`46 6 15 16 40
46`67 8 20 24 60
67`88 12 30 36 90
88`109 4 10 40 100
Total 40 100
2. Para os ca´lculos das medidas de posic¸a˜o, vamos completar a tabela com os pontos me´dios das
classes e as frequeˆncias acumuladas percentuais. Assim:
Classes Freq. Ponto Freq. Frequeˆncia
Abs. (ni) Me´dio (xi) (nixi) (nix
2
i ) Acum. Acumulada (%)
1.000` 1.250 2 1.125 2.250 2.531.250 2 5
1.250`1.500 8 1.375 11.000 15.125.000 10 25
1.500`1.750 10 1.625 16.250 26.406.250 20 50
1.750`2.000 12 1.875 22.500 42.187.500 32 80
2.000`2.250 5 2.125 10.625 22.578.125 37 92,5
2.250`2.500 3 2.375 7.125 16.921.875 40 100
Total 40 69.750 125.750.000
Me´dia:
2
X¯ =
∑
nixi
n
=
69.750
40
= 1.743, 75.
Moda:
A moda e´ o ponto me´dio da classe de maior frequeˆncia:
Assim:
x∗ = 1.875.
Mediana:
Para o a´lculo da mediana, consideremos a classe que apresenta mais de 50% dos dados. Pela
frequeˆncia acumulada percentual, temos que a classe e´ 1.500 a 1.750. Logo:
1.750− 1.500
Q2 − 1.500 =
50%− 25%
50%− 25% ⇒
250
Q2 − 1.500 =
25
25
⇒
250
Q2 − 1.500 = 1⇒
Q2 − 1.500 = 250⇒
Q2 = 250 + 1.500⇒
Q2 = 1.750.
Observe que a frequeˆncia acumulada que representa 50% esta´ exatamente no extremo da classe
de 1.500 a 1.750. Desta forma, a deduc¸a˜o poderia ser feita diretamente desta observac¸a˜o.
Desvio-padra˜o:
Para o ca´lculo do desvio-padra˜o, vamos usar a fo´rmula:
σ2 =
∑
nix
2
i − n(X)2
n
Que calcula a variaˆncia e, em seguida, extrair a raiz quadrada para obter o desvio-padra˜o.
σ2 =
125.750.000− (40× 3.040.664)
40
=
125.750.000− 121.626.562, 5
40
3
=
4.123.437, 5
40
= 103.085, 94.
Consequentemente,
σ =
√
103.085, 94 = 321,07.
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