RESPOSTA PROVA SEGUNDA ÁREA

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UFRGS – Instituto de Matema´tica
Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Rec. A´rea 1 – 27 de junho de 2016 – 13h30
1 2 3 4 5 Total
Nome: Carta˜o: Turma: Z1
Questa˜o 1 - Um terreno retangular deve ser dividido em treˆs partes retangulares, conforme mostra
a figura, e cercado. Na parte exterior deste terreno sera´ colocada uma cerca ao custo de R$ 5,00 o
metro e, na parte interior do terreno, sera´ colocada uma cerca que custa R$ 3,00 o metro.
a) (1,0 ponto) Expresse o custo C(x) para colocar
tais cercas num terreno com a´rea igual a 30 metros
quadrados, em func¸a˜o da dimensa˜o do terreno indicada
na figura por x.
( ) C(x) = 10
√
x+
240
x
( ) C(x) = 10x+
60
x
( ) C(x) = 10x− 60
x
(X ) C(x) = 10x+
480
x
( ) C(x) = 5x+
480
x
x
b) (0,5 ponto) Qual o domı´nio da func¸a˜o.
( ) [0,+∞)
( ) (0, 5)
( ) (0, 30)
(X ) (0,+∞)
( ) [0, 30]
Se necessa´rio, utilize o verso da folha para fazer seus ca´lculos e enta˜o responder!
Nota:
Nome: Carta˜o:
Questa˜o 2 - Responda o que se pede.
a) Dados os gra´ficos abaixo, determine qual corresponde a cada condic¸a˜o.
(I)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 y
x
(II)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 y
x
(III)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 y
x
(IV)
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 y
x
(III ) (0,25 ponto) Crescente em (−2, 0) e decrescente em (−∞,−2).
(I ) (0,25 ponto) Coˆncavo para cima em (−∞,−2) e em (3,+∞).
(IV ) (0,25 ponto) Crescente em (−∞,−2) e coˆncavo para baixo em (0, 4).
(II ) (0,25 ponto) y = 1 e´ uma ass´ıntota horizontal.
b) (1,0 ponto) Determine as abscissas dos pontos de inflexa˜o de f(x) = x+ cos(x) no intervalo [0, 2pi]:
( ) Na˜o existem.
( ) x = 0, pi/2 e pi;
(X ) x = pi/2 e 3pi/2;
( ) x = 0, pi e 2pi;
( ) x = pi;
Se necessa´rio, utilize o verso da folha para fazer seus ca´lculos e enta˜o responder!
Nota:
Nome: Carta˜o:
Questa˜o 3 - Seja a func¸a˜o f(x) =
−2x
1 + x2
, reponda o que se pede:
a) (1,0 ponto) Os pontos cr´ıticos de f no intervalo [−2, 0] sa˜o:
( ) 0 e −2
(X ) −1
( ) 0, 1 e −1
( ) 0 e
√
2
( ) −1 e 1
b) (1,0 ponto) O valor ma´ximo absoluto de f no [−2, 0], e o ponto onde ocorre, sa˜o respectivamente:
( ) −1 em x = −2
( ) −1/2 em x = −1
( ) 0 em x = 0
(X ) 1 em x = −1
( )
√
2 em x = 0
Se necessa´rio, utilize o verso da folha para fazer seus ca´lculos e enta˜o responder!
Nota:
Nome: Carta˜o:
Questa˜o 4 - Responda o que se pede:
a) (1,0 ponto) O limite lim
x→0
(
2 +
sen 2(x)
x
)
vale:
( ) pi
(X ) 2
( ) −1
( ) 0
( )
√
2
b) (1,0 ponto) As ass´ıntotas horizontais e verticais de f(x) =
ex
(x+ 1)2
sa˜o:
(X ) y = 0 e´ assint. horiz. e x = −1 e´ assint. vert.
( ) na˜o existe assint. horiz. e na˜o existe assint. vert.
( ) na˜o existe assint. horiz. e x = 1 e´ assint. vert.
( ) y = 1 e´ assint. horiz. e x = 0 e´ assint. vert.
( ) y = 0 e´ assint. horiz. e na˜o existe assint. vert.
Se necessa´rio, utilize o verso da folha para fazer seus ca´lculos e enta˜o responder!
Nota:
Nome: Carta˜o:
Questa˜o 5 - Responda o que se pede:
a) (1,0 ponto) A derivada de g(x) =
lnx
x2
+ tan(ex) e´:
( ) g′(x) =
1− 2 lnx
x4
+ sec2(ex)
(X ) g′(x) =
1− 2 lnx
x3
+ ex sec2(ex)
( ) g′(x) =
1 + 2 lnx
x3
+ ex sec2(ex)
( ) g′(x) =
1− 2 lnx
x4
− sec2(ex)
( ) g′(x) =
1 + 2 lnx
x4
− sec2(ex)
b) (0,5 ponto) Calcule a derivada f ′(1) para f(x) = arctan(x2).
( ) 2/3
( ) −2/5
(X ) 1
( ) 2/5
( ) 0
c) (1,0 ponto) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = arctan(x2), em x = 1:
( ) y = pi/2
( ) y − ln(5) = −4
5
(x− 2)
( ) y + pi/4 =
4
3
(x+ 1)
(X ) y − pi
4
= (x− 1)
( ) y +
pi
4
=
2
5
(x+ 1)
Se necessa´rio, utilize o verso da folha para fazer seus ca´lculos e enta˜o responder!