Introdução ao Cálculo Numérico

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CÁLCULO NUMÉRICO
Bibliografia
- RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: McGraw-Hill, 1997. 
- SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira e Silva; LUIZ H. M.. Cálculo Numérico Características matemáticas e computacionais. São Paulo: Prantice Hall, 2003
- CLAUDIO, Dalcídio Moraes; MARINS, Jussara Maria. Cálculo numérico computacional - teoria e prática. São Paulo : Atlas, 1989.
Introdução
Cálculo Numérico trata de métodos numéricos para resolução de problemas em diversas áreas. O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.
Para chegarmos a um resultado numérico, é necessário percorrer uma seqüência de passos preestabelecidos:
Levantamento de dados;
Construção de modelo matemático;
Escolha de método numérico;
Implementação Computacional;
Análise dos resultados;
Se necessário, reformular o modelo.
Em cada passo pode existir uma parcela de erro que se acumula ao final do processo. Os erros na fase de levantamento de dados ocorrem, por exemplo, por causa de aparelhos imprecisos ou leitura mal feita de resultados experimentais. Os erros na fase de modelagem são causados, geralmente por simplificações no modelo usado.
Assim, pode ocorrer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter ainda que todas as fases da resolução tenham sido realizadas corretamente. Os resultados dependem também:
Da precisão da máquina.
Da forma de representação do número.
Das operações numéricas efetuadas.
Por exemplo, na interação usuário com o computador os dados de entrada são enviados para o computador no sistema decimal e é convertido pelo computador em sistema binário e as operações são realizadas em binário, onde os resultados são convertidos novamente em decimal. Todo esse processo de conversão é fonte de erros.
Exemplos:
Calcule a área e o perímetro de uma circunferência de raio 100m, considerando:
( = 3,14
( = 3,1416
( = 3,141592654
É possível obter a área exata da circunferência? Qual o melhor resultado?
Calcule 1/3 *3 com uma máquina de bolso e com uma máquina científica.
1. ERROS
Os erros de truncamento e de arredondamento já conhecidos não podem ser eliminados ou mesmo minimizados, pois dependem do Sistema Operacional da máquina usada.
Erro absoluto e Erro Relativo
Seja x o valor exato de um número e 
 seu valor aproximado, calculado por algum método numérico.
O erro absoluto nessa aproximação é dado por Eax = x -
 .
Em geral não conhecemos o valor de x, apenas seu valor aproximado 
, e podemos apenas estimar o erro absoluto.
Exemplos:
Sabemos que ( ( (3,14; 3,15), logo o erro estimado será EA( < 0,01.
Considerando 
 = 2112,9 com EAx < 0,1 e 
=5,3 com EAy < 0,1, qual o intervalo de aproximação de x e de y? Observando que os limitantes superiores do erro são os mesmos podemos dizer que a precisão na representação é a mesma? 
Como os números são de ordens de grandezas diferentes precisamos de uma outra medida para compara-los; precisamos do Erro Relativo. ERx = EAx / x
No exemplo 2 temos, ERx = 0,1/2112,9 ( 4,7*10-5 e ERy = 0,1/ 5,3 ( 0,2*10-1. Logo, temos que x é representado com maior precisão.
QUANTO MENOR O ERRO RELATIVO MAIOR A PRECISÃO.
Erros nas operações
Temos que:	 EAx = x - 
( x = 
+EAx 
EAy = y - 
( y = 
+EAy 
Na adição: x+y = 
+
+EAx +EAy, ou seja, EAx+y = EAx + EAy.
Na multiplicação: x*y =(
+EAx)*(
+EAy) = 
�� EMBED Equation.3 +
.EAy +
EAx + EAxEAy
Como EAxEAy é pequeno, será desprezado.	Logo, EAx*y = 
.EAy +
EAx.
 
Observamos que o erro na multiplicação é maior que na adição.
Exemplos:
1) Considere uma máquina que permite até 4 dígitos, x = 0,3491*104 e y = 0,2789*100
Calcule (x+y) –x.
2) Considere máquina que permite até 8 dígitos, x = 3,00000053 e y = 2,00000021. Calcule x+y e x*y nessa máquina.
3) Com 3 dígitos significativos calcule 15,9*(4,99+0,02) e depois (15,9*4,99)+(15,9*0,02)
Conversão dos Números nos Sistemas Decimal e Binário
Números Inteiros
Considere os números 
 e 
. Cada um destes números está representado em uma base diferente, um na base 10 e o outro na base 2, respectivamente.
Estes números podem ser decompostos, de acordo com suas bases, da seguinte forma:
e
De modo geral, pode-se escrever um número na base 
, 
 com 
, na forma:
Desta forma, ficará mais simples analisar uma forma de converter um número do sistema binário para o sistema decimal. Vejamos como converter o número
:
Exemplo (3) Converter os números abaixo do sistema binário para o sistema decimal.
(a) 
(b) 
Vamos agora criar um algoritmo para esta conversão. Considere, por exemplo, o número 
, isto é, 
. Agora vamos colocar o número 2 em evidência:
Do mesmo modo como fizemos no exemplo acima, pode-se criar um algoritmo de forma genérica para esta conversão. De modo geral, a representação de um número 
 na base 10, que denotaremos por 
 é obtida da seguinte forma:
Assim, pelo algoritmo, a forma de conversão do número 
 para a base 10 será:
Agora, veremos um processo prático para converter números inteiros no sistema decimal para o sistema binário. Para isso, iremos dividir o número dado na base 10 sucessivamente por 2 até chegarmos em um quociente 0, e depois disso, para escrever o número na base 2, utilizaremos o resto destas divisões da última divisão para a primeira, ou seja, os restos serão tomados de traz para frente. 
Exemplo (4) Converter o número 
 da base 10 para a base 2, utilizando o processo prático.
Exemplo (5) Converter os números abaixo da base 10 para a base 2, utilizando o processo prático.
(a) 
(b) 
Agora, vamos criar um algoritmo. Considerando o processo prático descrito anteriormente e que 
. Desta forma, vamos admitir que:
Assim, temos que o resto desta divisão (237 por 2) é 1, e este valor será tomado como 
, ou seja, 
. Agora, iremos repetir este processo para o quociente 118, e este valor será o 
, ou seja, 
. Daí,
Desta forma, vemos que o resto da divisão é zero, assim temos que 
. Continuando o processo temos:
N2 = 	N3=	N4=	N5=	N6=	N7=
Portanto, 
De modo geral, ao considerarmos um número N qualquer na base 10, 
, e sua representação binária dada por 
, podemos utilizar o seguinte algoritmo, onde a cada k, se obtém o dígito binário 
. Vejamos:
Passo 0: Para 
, temos 
.
Passo 1: Obtenha 
 e 
 tais que 
.
 Faça 
Passo 2: Se 
, pare. 
 Caso contrário, faça 
.
 Faça 
 e volte para o Passo 1.
Números Fracionários
Números fracionários são números da forma:
, 
 ou 
Como se pode notar acima estes números podem ser finitos (
) ou infinitos (
 e 
). Primeiramente trataremos da conversão de números fracionários da base decimal para a base binária. 
Considere 
. Sua representação na base binária será dada por 
. Vamos tomar este número como exemplo para descobrir uma forma de conversão para o sistema binário.
Assim, 
Multiplicando toda a igualdade por 2, temos:
Daí, temos que 
, uma vez que a parte inteira do número 
 é zero. Agora, vamos aplicar este mesmo processo até que a parte fracionária seja igual a zero. Quando isso ocorrer, a conversão se encerra. Vejamos: 
Portanto, 
 . Agora, nem sempre este processo é finito. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo (6) Converter o número 
 da base 10 para a base 2, utilizando o processo anterior.
Assim, 
Analisando o exemplo acima, podemos notar que a representação não finita de certos números pode causar erros aparentementeinexplicáveis nas máquinas, como foi o caso do exemplo (2). Este tipo de erro ocorre, pois as máquinas não têm a capacidade de guardar infinitos dígitos na mantissa.
Agora vamos fazer a conversão do sistema binário para o decimal. Para isso, considere 
. Sua representação no sistema decimal será obtida de forma muito semelhante ao que foi feito no processo de conversão para números inteiros. De modo geral, seguiremos o seguinte algoritmo: defina 
 e multiplique o número 
 por 10, mas na base binária, é dado por 
, para assim obtermos o dígito 
, que é a parte inteira deste produto, mas convertido para a base decimal. Vejamos este processo através de um exemplo.
Exemplo (7) Converter o número 
 da base binária para a base decimal.
Exemplo (8) Converter 
 da base 2 para a base 10. (Utilize 6 casas decimais).
Aritmética de Ponto Flutuante 
Uma máquina representa um número real em um sistema chamado aritmética de ponto flutuante, isto é, 		
Onde,
 base em que a máquina opera;
 número de dígitos da mantissa;
 com 
 e 
;
expoente no intervalo 
, com 
 
 e 
.
Em qualquer máquina, poucos números reais são representados exatamente, e, portanto, a representação de um número real será feita por truncamento ou arredondamento. Vejamos um exemplo:
Exemplo (9) Considere uma máquina que opera no sistema 
, 
 e 
. De que forma os números ficam representados nesta máquina (em módulo) ?
Considere o conjunto 
. Dado 
 pode ocorrer um dos seguintes casos:
I – 
: 
II – 
: 
III – 
: 
Observações:
Algumas linguagens de programação permitem que as variáveis sejam declaradas em precisão dupla, ou seja, uma variável representada no sistema de aritmética de ponto flutuante da máquina com aproximadamente o dobro de dígitos disponíveis na mantissa.
O zero em ponto flutuante é, em geral, representado com o menor expoente possível a máquina. Isto ocorre, pois a representação do zero por uma mantissa nula e um expoente qualquer para a base 
 pode acarretar perda de dígitos significativos no resultado da adição deste zero a u outro número.
Exemplo (10) Representar os números num sistema de aritmética de ponto flutuante onde 
, 
 e 
.
Solução:
	
	Representação obtida por arredondamento
	Representação obtida por truncamento
	1,25
	
	
	10,065
	
	
	-826,95
	
	
	2,71828...
	
	
	0,000008
	
	
	817235,92
	
	
Erros De Arredondamento e Truncamento em um Sistema de Aritmética de Ponto Flutuante
Seja um sistema que opera em aritmética de ponto flutuante de 
 dígitos, na base 10, e seja 
 escrito na forma:
onde, 
 e 
.
Exemplo (13) Se 
 e 
, represente 
 como acima.
A grande questão do exemplo anterior é como considerar a parcela de 
 na representação do número uma vez que esta parcela não pode ser incorporada totalmente na mantissa e definir o erro absoluto (ou relativo) máximo cometido. Para isso, temos dois critérios: o truncamento e o arredondamento.
No truncamento, 
 é desprezado e 
. Neste caso, temos:
No arredondamento, 
 é modificado para levar 
 em consideração. A forma de arredondamento mais utilizada é a seguinte:
Portanto, se 
, 
 é desprezado, caso contrário, soma-se 1 ao último dígito de 
.
Assim, se 
, temos:
E, se 
, teremos:
	e	 
.
A prova desta última desigualdade pode ser encontrada nos livros textos da bibliografia básica deste curso.
Observação: apesar de erros menor ocorrerem quando se utiliza arredondamento, este acarreta em um tempo de execução maior, e por isso, o truncamento é mais utilizado.
Análise de Erros nas Operações de Aritmética de Ponto Flutuante
Dada uma sequência de operações, como por exemplo, 
, é importante saber como o erro se propaga ao longo das operações seguintes.
O erro total de em uma operação é composto pelo erro das parcelas e pelo erro no resultado da operação. 
Para os exemplos 14, 15, 16 e 17, vamos considerar um sistema de aritmética de ponto flutuante com 
, 
 e com acumulador de precisão dupla.
Exemplo (14) Dados 
 e 
, obter os valores aproximados e exatos de:
a) 
		b) 
No exemplo acima se pode notar que mesmo que as parcelas de uma operação estejam representadas exatamente no sistema, o resultado final armazenado pode não ser exato.
Fórmulas de Erros nos Fatores
Na maioria dos sistemas, o resultado exato da operação denotado por OP é normalizado e depois arredondado ou truncado para 
 dígitos, obtendo assim o resultado aproximado 
 que é armazenado na memória da máquina.
Já vimos que o erro no resultado de uma operação, supondo que as parcelas estão exatamente representadas será:
 no truncamento
e
 no arredondamento.
Vamos agora ver as fórmulas para os erros absolutos e relativos nas operações de aritmética de ponto flutuante com erros nas parcelas. Estas fórmulas de erros não serão provadas, mas fica a critério do aluno olhar a demonstração nos livros da bibliografia.
Para estas fórmulas, vamos supor que erro final é arredondado.
Sejam 
 e 
, tais que 
 e 
.
ADIÇÃO: 
Erro absoluto: 
 e Erro relativo: 
.
SUBTRAÇÃO: 
Erro absoluto: 
 e Erro relativo: 
.
MULTIPLICAÇÃO: 
Erro absoluto: 
 e Erro relativo: 
.
DIVISÃO: 
Erro absoluto: 
 e Erro relativo: 
Note que o erro todas as fórmulas acima foram escritas sem considerar o erro de arredondamento (truncamento) no resultado final. E não se esqueça que a análise completa da propagação de erros se faz considerando os erros nas parcelas e no resultado de cada operação efetuada.
Exemplo (15) Suponha que 
, 
, 
, e 
 estejam representados exatamente. Qual é o erro no cálculo de 
? 
Exemplo (16) Sejam 
 e 
. Determine o erro relativo da operação 
, que é denominado cancelamento subtrativo.
Exemplo (17) Considerando o valor de 
 do exemplo acima, determine o valor de 
, se 
 e 
. Determine também o erro relativo desta operação.
EXERCÍCIOS
(1) Converter para decimal os seguintes números binários:
a) 10011	 b) 11100010		c) 1000001 	d) 1,1 	e) 1100,01	 f) 1000,001
(2) Converter para binário os seguintes números decimais:
a) 23 		b) 2615 	c) 2,5 		d) 0,1 		e) 3,8 		f) 10,05
(3) Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de precisão dupla. Dados os números:
	
	e	
efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão exatamente representados:
a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
(4) Suponha que x é representado no computador por 
, onde 
 é obtido por arredondamento, obtenha os limites superiores para os erros relativos de 
		e	
(5) Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por: base 10, (
), quatro dígitos na mantissa (
) e expoente no intervalo 
. Pede-se:
a) Qual o menor e o maior, em módulo, número representado nessa máquina?
b) Como será representado nessa máquina o número 73758 nessa máquina, se for usado o arredondamento? E se for usado truncamento?
c) Se a = 42450 e b = 3 qual o resultado de 
 se for usado o arredondamento? E se for usado truncamento?
d) Repetir o item d) para a operação: 
.
2. ZEROS DE FUNÇÕES REAIS
Vamos ver métodos numéricos para resolução de equações não lineares. Um número real ( é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) =0 se f(() =0.
Graficamente, zeros reais são representados pelas abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x. 
Como obter raízes reais de uma equação qualquer?
Fora equações do segundo grau, é muito difícil encontrar as raízes de equações de grau mais alto, e às vezes nos contentamos com aproximações para esses zeros. Mas, com os métodos numéricos seremos capazes de a menos de limitação de máquina, encontrar os zeros de uma função com qualquerprecisão determinada. 
A idéia é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo.
Observação: Iteração de modo geral significa repetição de um processo. A maioria dos métodos numéricos é iterativa. Elementos de métodos iterativos:
Tentativa inicial: primeira aproximação para a solução.
Equação de recorrência: equação por meio da qual, partindo-se da tentativa inicial, são realizadas as iterações ou aproximações sucessivas, para a solução desejada.
Teste de parada: a partir do qual o processo iterativo é finalizado.
Os métodos iterativos, assim, constam de duas fases:
Localização ou isolamento das raízes, onde encontramos um intervalo que contém a raiz.
Refinamento onde após escolhidas as aproximações iniciais no intervalo, melhoramos sucessivamente até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão ( prefixa.
FASE 1: ISOLAMENTO DE RAÍZES: Analise teórica ou gráfica de f(x)
Teorema: Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a,b]. Se f(a). f(b) <0 então existe pelo menos um ponto x = ( entre a e b que é zero de f(x).
Observação: Se, além disso, existir f’(x) e f´(x) preservar sinal em (a,b), este intervalo contém um único zero.
Uma forma de isolar as raízes de f(x) usando resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal.
Exemplos:
1) f(x) = x³-9x+3
	X
	-(
	-100
	-10
	-5
	-3
	-1
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	f(x)
	-(
	-
	-
	-
	+
	+
	+
	-
	-
	+
	+
	+
Sabendo que f(x) é contínua para qualquer x real e observando as variações de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I1 = [-5,-3], I2 = [0,1] e I3 = [2,3] contém pelo menos um zero. Como f(x) é um polinômio de grau 3 podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f(x). Assim, localizamos todas as raízes de f(x).
2) f(x) = x+ex
	X
	-2
	-1
	0
	1
	2
	3
	f(x)
	-
	-
	+
	+
	+
	+
3) f(x) =
	X
	-1
	0
	1
	2
	3
	f(x)
	-
	-
	+
	+
	+
Obs: Se f(a).f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a,b], e devemos fazer uma criteriosa analise gráfica de f(x) para obter aproximações para a raiz.
FASE 2: REFINAMENTO DAS RAÍZES: Os métodos iterativos para obter zeros da função fornece apenas uma aproximação da raiz exata. Vamos estudar três métodos: Bisseção, ponto fixo e Newton.
Critério de parada
Quando parar as iterações? Quando a aproximação xk está suficientemente próxima da raiz exata?
Existem dois testes a serem considerados:
|x-(|< ( (que equivale a |b-a|<( após as reduções do intervalo.
|f(x)| <(( que pode ser |f(a)|<( e |f(b)| <(.
1. Método da Bisseção
 Seja a função f(x) contínua no intervalo [a,b] e tal que f(a).f(b) <0. Vamos supor que f(x) possui uma única raiz no intervalo (a,b). O Objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contem a raiz até atingir a precisão requerida : b-a<(, usando para isto a sucessiva divisão de [a,b] ao meio.
Após cada divisão é escolhido um novo intervalo (a,b) que possui a raiz ( procurada. Para isto devemos avaliar os valores de f em a, b e no ponto médio m.
Logo para este método temos como entradas: extremos do intervalo (a,b), precisão ( solicitada para a aproximação. Como saídas a aproximação para o zero ( da função, ou seja, a solução.
Exemplos: 
1) Seja f(x) = x.log(x) –1, determine uma aproximação para o zero desta função no intervalo [2,3] com precisão ( = 0,3.
Solução:
A= 2( f(a) = 2.log2-1 = -0,3979
B = 3 ( f(3) = 3.log3-1 = 0,4314
Logo, existe um zero de f em (2,3).
1a iteração:
m1 = (a+b)/2 = (2+3)/2 = 2,5
f(2) = -0,3979
f(2,5) = 2,5.log2,5 –1 = -0,00515
f(3) = 0,4314
Logo o zero procurado esta em (2,5;3).
Critério de parada: 
|b-a| = 3-2,5=0,5 >(
|f(2,5)| = |-0,00515| = 0,00515<(
|f(3)| =0,4314 >(
2a iteração
m2 = (a+b)/2 = (2,5+3)/2 = 2,75
f(2,5) = -0,00515
f(2,75) =0,2082
f(3) = 0,4314
Logo o zero procurado esta em (2,5;2,75).
Critério de parada:
|b-a| = 0,25 <(
|f(2,5)| = 0,00515<(
|f(2,75)| =0,2082 <(
Logo a solução será m = (2,5+2,75)/2 = 2,65.
2) Sabendo que f(x)=x+ex, determine uma aproximação para o zero desta função no intervalo [-1, 0] com precisão ( = 10-4
Mínimo de iterações.
Sabendo que o tamanho do intervalo [a,b] é reduzido ao meio a cada iteração, podemos determinar o número de iterações necessárias para o que o critério de parada: b-a <( seja satisfeito.
Sendo k o número de iterações necessárias temos que k> log(b-a)-log(()/log2.
Vantagens: Envolve operações aritméticas simples. É possível estimar o número de iterações. Desvantagens: convergência lenta.
2. Método do Ponto Fixo (MPF)
Seja f(x) função contínua em [a,b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x) = 0.
O MPF consiste em transformar f(x) =0 em uma equação equivalente x = ((x) e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a seqüência {xk} de aproximações para ( (raiz) pela relação xk+1 = ((xk), pois a função ((x) é tal que f(() = 0 ( ((() = (. Logo, transformamos o problema de determinar um zero da função em determinar um ponto fixo da função. A função ((x) é chamada de função de iteração para a equação f(x)=0.
Exemplo: Para a equação x²+x-2 = 0 temos várias funções de iteração:
x = 2- x²( (1 (x) = 2 – x²
x = 
( (2 (x) =
x =
( (3 (x) = 
x = 
( (4(x) = 
A forma geral das funções de iteração ((x) é ((x) = x+A(x).f(x), onde A(x) é uma função tal que A(() (0. Logo, vemos que dada equação f(x) =0 existem infinitas funções de iteração ((x). Podemos ver, graficamente, que para certas ((x) o processo pode gerar uma seqüência que diverge de (.
Exemplo: Seja f(x) = x² +x-6 e tomemos (1(x) = 6-x² e (2(x) = 
 e escolhemos x0 =1,5 e vamos tentar encontrar uma aproximação para o zero de f(x), ( =2.
O processo iterativo para (1(x) = 6-x² é xk+1 = (1(xk)= 6 – xk2, k = 0,1,2,3,...
x0 =1,5
x1= (1(x0) = 6-x02 = 6-1,52 = 3,75
x2= (1(x1) = 6-x12 = 6-3,752 = -8,0625
x3= (1(x2) = 6-x22 = 6-(-8,0625)2 = -59,0039
E a seqüência não está convergindo.
O processo iterativo para (1(x) =
 é xk+1 = (2(xk)= 
; k = 0,1,2,3,...
x0 =1,5
x1= (2(x0) =
= 
=2,1213
x2= (2(x1) = 
= 
 = 1,9694
x3= (2(x2) = 
=
 = 2,0076
x4= (2(x3) = 
=
 = 1,9981
x5= (2(x4) = 
=
 = 2,0005
E a solução está convergindo para a solução exata ( = 2.
Assim, vemos que nem toda função de iteração gera uma seqüência convergente para a solução procurada.
O teorema a seguir fornece condições suficientes para que o processo seja convergente.
Teorema: Seja ( uma raiz da equação f(x) =0, isolada num intervalo I centrado em (. Seja ((x) uma função de iteração para a equação f(x) =0. Se
((x) e (’(x) são contínuas em I,
|(’(x)| < 1, para todo x em I,
x0 ( I.
Então a seqüência xk gerada pelo processo xk+1 = ((xk) converge para (.
Exercício: Verifique a convergência das funções de iteração (1(x) = 6-x² e (2(x) = 
 para a função f(x) = x²+x-6.
Temos que quanto menor for |(’(x)| mais rápida será a convergência. Então, basta tomarmos (’(() = 0. Assim, podemos construir uma função ((x) para a qual a convergência da seqüência xk está garantida, desde que x(I = (a,b). 
((x) = x+A(x).f(x)
(’(x) = 1+A’(x).f(x)+A(x).f ’(x)
(’(() = 1+A’(().f(()+A(().f ’((), como f(() = 0
(’(() = 1+A(().f ’((), fazendo (’(() = 0, temos 
1+A(().f ’(() = 0 ( A(() = 
. 
Para satisfazer isso, basta escolhermos A(x) = 
.
Logo, ((x) = x+A(x).f(x) =
, que será a função de iteração do método de Newton.
3. Método de Newton- Raphson
No método de Newton, na tentativa de garantir e acelerar a convergência do MPF, escolhemos a função de iteração ((x) tal que (`(() = 0, ou seja, escolhemos a função de iteração ((x) =
, com o processo iterativo xk+1 = 
, k =0,1,2,3...
Critério de parada
Seja xk+1 = ((xk) a partir de uma aproximação inicial x0 dada. Se desejamos uma precisão (>0 na aproximação obtida o ideal é que |xk+1 -(|<(. Mas, como ( em geral é desconhecido não podemos fazer este cálculo. Assim, adotamos como critério de parada o cálculo da distância relativa entre dois termos consecutivos da sequência de aproximações:
. Também usaremos |f(xk+1)| < (.
Exemplos: Encontre um zero de f(x) = x²+x-6 pelo método de Newton com precisão ( = 0,01 a partir da aproximação inicial x0 = 1,5.
 4. Método da Secante
Ao estudarmos o Método de Newton-Rapshon podemos notar que ele possui a desvantagem, de ter que obter 
 e calcular seu valor numérico a cada iteração.
Mas, existe uma forma de se contornar este problema, basta substituir a derivada 
 pelo quociente das diferenças:
onde 
 e 
 são duas aproximações para a raiz.
Neste caso, a função de iteração fica:
E, simplificando, temos:
, ou seja, 
Note que para aplicar este método são necessárias duas aproximações iniciais.
Interpretação Geométrica
Exemplo: Aplicar o Método da Secante para encontrar a raiz da função 
, com 
, 
 e 
 e, sabendo-se que 
.
Exemplo: Aplicar o Método da Secante para encontrar a raiz da função 
, com 
, 
 e 
.
Como vimos, o Método da Secante é uma aproximação para o Método de Newton-Raphson, e por isso as condições de convergência são praticamente as mesmas, acrescentando apenas que este método pode divergir se 
. E, ainda podemos salientar que a ordem de convergência do Método da Secante não é quadrática como a do Método de Newton-Raphson, mas também não é linear. É possível provar que a ordem de convergência para este método é aproximadamente 
1ª Lista de exercícios
1) Calcular uma aproximação da raiz de f(x) = ex –sen(x)-2 pelo método da Bisecção com ( = 10-2.
2) Seja f(x) = 
, determine uma aproximação para o zero desta função no intervalo [1,2] com precisão ( = 0,5.
3) Calcular uma aproximação da raiz de f(x) = x³+x²+x pelo método da Bissecção com ( = 0,5 no intervalo [-1;0,5].
4) Obter a raiz quadrada positiva do número 7, usando o método de Newton com precisão ( =0,01.
5) Determine uma raiz de f(x) = 2x-cos(x) no intervalo [0,(/4] pelo método de Newton, com x0 = (/8 e ( = 0,1.
6) Determine uma raiz de f(x) = x5-6 pelo método de Newton com x0 = 1,5 e ( = 0,1.
7) Determine uma raiz de f(x) = xlnx-1 pelo método de Newton com x0 = 2,5 e ( = 10-7.
8) Encontre uma raiz aproximada para as funções a seguir utilizando o Método da Bissecção com precisão 
. Utilize a estimativa do número de intervalos para saber o número mínimo de iterações necessárias.
a) 
 e 
		b) 
 e 
.
9) Considere a função 
. No o intervalo 
 aplique o método da Bissecção até atingir a precisão 
. 
10) Usando o Método de Newton-Raphson encontre a raiz da função 
, com 
 e precisão
.
11) Dado o polinômio 
 tem suas raízes reais no intervalo (-1,1). Encontre pelo Método de Newton uma raiz aproximada com precisão 
 e 
.
12) Aplique o Método de Newton à equação 
 com 
. Justifique o que acontece.
13) Use o Método de Newton para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão 
. Para encontrar a menor raiz utilize os processos de localização de raízes (gráficos ou pelos teoremas).
a) 
	b) 
	c) 
14) Use o Método da Secante para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão 
. Para encontrar a menor raiz utilize os processos de localização de raízes (gráficos ou pelos teoremas).
a) 
	b) 
	c) 
15) Usando o Método da Secante encontre a raiz da função 
, com 
, 
 e precisão
.
3. Sistemas Lineares:
	
	Definição 1.1: Dados os números reais 
, à equação 
 onde os 
 são variáveis em R, damos o nome de equação linear sobre R nas incógnitas 
. Uma solução dessa equação é uma sequência de n números reais (ou n-upla de números reais), não necessariamente distintos entre si, indicada por 
, tal que 
 é uma frase verdadeira.
	Exemplo: Dada a equação 
, a terna ordenada 
 é uma solução dessa equação, pois 
 é uma frase verdadeira.
	Definição 1.2: Um sistema linear S de m equações lineares com n incógnitas 
 é um conjunto de m equações lineares, cada uma delas com n incógnitas, consideradas simultaneamente. Isto é:
	Uma solução de S é uma n-upla 
 de números reais que é solução de cada uma das equações do sistema.
	Observações:
	1) Se 
 dizemos que S é um sistema de ordem n (ou m).
	2) Se 
 então a i-ésima equação não terá a j-ésima incógnita.
	3) De agora em diante, quando nos referirmos a um sistema linear S, estamos considerando o sistema da definição 1.2, a menos que algo contrário seja mencionado.
	Exemplo: Dado o sistema:
uma solução de S é 
 Observe que 
 também é solução de S.
	Observação: Se no sistema linear S, tivermos 
, o sistema S será dito homogêneo, e a n-upla 
 é obviamente uma solução do sistema S. Esta solução recebe o nome de solução trivial do sistema homogêneo.
	Definição 1.3: Um sistema linear S, é incompatível (ou impossível) se S não admite nenhuma solução, é compatível determinado (ou possível determinado) se S admite uma única solução, é compatível indeterminado (ou possível indeterminado) se S admite mais do que uma solução.
	Exemplos:
	1) Um sistema do tipo:
com 
, é incompatível, pois nenhuma n-upla 
 satisfaz a i-ésima equação.
	2) Um sistema do tipo:
é compatível determinado e 
 é a sua única solução.
	3) O sistema:
é compatível indeterminado, pois as ternas 
 e 
 são soluções deste sistema.
Sistemas equivalentes:
	Dado um sistema linear S com m equações e n incógnitas:
ou seja, o sistema da definição 1.2, consideremos as seguintes operações sobre S:
	(I)	Permutar duas das equações de S;
	(II)	Multiplicar uma das equações de S por um número real 
;
	(III)	Somar a uma das equações do sistema uma outra equação desse sistema multiplicada por um número real.
	Exemplo: Consideremos o sistema linear S da definição 1.2:
	Observe que o sistema:
foi obtido do sistema S, permutando-se a primeira equação com a segunda equação, multiplicando-se a terceira equação pelo número real 3, e finalmente, somando-se à quinta equação a quarta equação multiplicada pelo número real 5.
	É fácil verificar que se 
 é um sistema obtido do sistema S pela aplicação de quaisquer operações (I), (II), e (III), e a n-upla 
 é solução de S, então 
 é também solução de 
.
	Definição 1.4: Dado um sistema linear S, uma qualquer das modificações (I), (II), e (III) que se faça com esse sistema recebe o nome de operação elementar com S. Se um sistema linear 
 foi obtido de um sistema linear S através de um número finito de operações elementares, dizemos que 
 é equivalente a S (ou que S é equivalente a 
).
	Notação: Se S e 
 são dois sistemas lineares e 
 é equivalente a S denotaremos por 
~S.
	É fácil ver que para a relação ~, definida acima, valem as seguintes propriedades:
	a)	S~S (reflexiva);
	b)	Se 
~S então S~
 (simétrica);
	c)	Se 
~
 e 
~
 então 
~
 (transitiva).
	Desta forma criamos um mecanismo extremamente útil para a procura de soluções para um sistema linear S:
	“Procuramos sempre encontrar um sistema linear equivalente a S e que seja mais simples”.
	Exemplo: Consideremos o sistema:
	Para estudar esse sistema devemos aplicar a ele uma série de operações elementares visando fazer com que o número de coeficientes nulos seja, em cada equação, (a partir da segunda) maior do que na precedente.
	Para obter o sistema 
 equivalente a S, somamos à segunda equação a primeira equação multiplicada pelo número real -2, e somamos à terceira equação a primeira equação multiplicada pelo número real -1. Para obter o sistema 
 equivalente asomamos à terceira equação de 
 a segunda equação de 
 multiplicada pelo número real 1. Como o sistema 
 é incompatível, o mesmo acontece com o sistema S dado inicialmente, pois são equivalentes (pela propriedade transitiva).
	Para facilitar a notação, de agora em diante, chamaremos as m equações do sistema linear:
de 
 respectivamente, e assim as três operações elementares poderão ser explicadas mais facilmente. Por exemplo, se permutarmos a i-ésima equação com a j-ésima equação denotaremos por 
; se multiplicarmos a i-ésima equação por um número real (, não nulo, denotaremos por 
; ou ainda, se somarmos à i-ésima equação a j-ésima equação multiplicada pelo número real (, denotaremos por 
.
	1.2 - Sistemas escalonados:
	Consideremos um sistema linear S, de m equações com n incógnitas, que após realizarmos um número finito de operações elementares sobre este, apresenta o seguinte aspecto:
onde 
 e cada 
.
	Se tivermos 
 diremos que E é um sistema linear escalonado.
	É claro que se 
, a última equação de E pode ser eliminada.
	Observe que em um sistema linear escalonado o número de coeficientes iniciais nulos em cada equação, a partir da segunda, é maior do que na precedente.
	Exemplo: O sistema linear:
é um sistema linear escalonado.
	Proposição 1.1: Todo sistema linear S é equivalente a um sistema linear escalonado.
	Observações:
	1) Sendo todo sistema linear equivalente a um sistema escalonado, bastará que saibamos solucionar os sistemas escalonados e saibamos reduzir um sistema qualquer a um sistema escalonado.
	2) Todas as equações do tipo 
 que porventura aparecerem durante o processo de escalonamento, devem ser suprimidas.
	Exemplo: Escalonemos o seguinte sistema:
	Observe que 
 é a única solução do sistema dado inicialmente, pois é a única solução do sistema escalonado.
	1.3 - Discussão e resolução de um sistema linear:
	Discutir um sistema linear S significa efetuar um estudo de S visando classificá-lo segundo a definição 1.3.
	Resolver um sistema linear S significa determinar todas as suas soluções, quando estas existirem. O conjunto dessas soluções recebe o nome de conjunto solução do sistema.
	Seja S um sistema linear de m equações com n incógnitas, ou seja:
	Procedendo o escalonamento de S chegaremos a uma das três situações seguintes:
	Primeira situação: Obtem-se em uma certa etapa do escalonamento um sistema do tipo:
com 
, para algum i tal que 
. Como 
 é incompatível, o mesmo pode se dizer de S.
	Exemplo: Seja S o seguinte sistema:
	Vamos escalonar S:
	Como o sistema 
 é incompatível, o mesmo acontece com o sistema S dado inicialmente.
	Segunda situação: Ao final do escalonamento, obtem-se um sistema do seguinte tipo:
	Neste caso 
 poderá ser transformado, por meio de operações elementares, no seguinte sistema:
	Logo S é compatível determinado e 
 é a sua única solução.
Exemplo: Discutir e resolver o seguinte sistema: 
	Vamos escalonar o sistema S:
	Logo o sistema S é compatível determinado e 
 é a sua única solução.
	Observação: Após conseguirmos o sistema
que já esta na forma escalonada, poderíamos ter obtido a solução do sistema por substituição, ou seja, como da terceira equação temos que:
,
concluímos que 
. Substituindo isto na segunda equação, obtemos:
,
e assim, 
. Finalmente, substituindo os valores de y e z obtidos, na primeira equação, obtemos 
. Concluindo assim que o sistema S é compatível determinado e 
 é a sua única solução.
	Terceira situação: Obtém-se um sistema escalonado do tipo:
onde 
.
	É fácil então ir eliminando, por meio de operações elementares o termo em 
 da primeira equação, os termos em 
 da primeira e da segunda equação, e assim sucessivamente até eliminarmos o termo em 
 da primeira à 
-ésima equação. Feito isto, passamos para o segundo membro de cada equação todas as parcelas, exceto as primeiras. Teremos então: 
onde cada 
 é uma expressão linear nas variáveis 
 com 
	A cada sequência de valores que damos a estas 
 variáveis, chamadas de variáveis livres, obtemos valores para 
 e consequentemente uma solução do sistema. Como 
, teremos mais do que uma solução (na verdade infinitas, pois existem infinitas combinações de valores que podemos atribuir às variáveis livres do sistema), e o sistema é compatível indeterminado.
Exemplo: Discutir e resolver o sistema: 
��EMBED Equation.3. Daí concluímos que: 
Logo, 
 é o conjunto de todas as soluções de S, ou solução geral de S. Assim, S é compatível indeterminado. 
Resumo da discussão acima:
	Suponhamos que um sistema tenha sido escalonado, e retiradas as equações do tipo 
, restando p equações com n incógnitas. Então, uma das três situações seguintes ocorre:
	Primeira situação: Se a última das equações restantes é do tipo:
, com 
, então o sistema é incompatível.
	Caso contrário, sobram duas alternativas:
	Segunda situação: Se 
 então o sistema é compatível determinado.
	Terceira situação: Se 
 então o sistema é compatível indeterminado.
Exercícios:
1) Resolver por escalonamento e discutir os seguintes sistemas:
a) 
			b) 
c) 
				d) 
e) 
			f) 
g) 
				h) 
i) 
			j) 
k) 
			l) 
2) Discutir o sistema 
 em função de a.
3) Dê o valor de a para que o sistema S admita uma única solução e determiná-la:
Métodos Iterativos para a Solução de Sistemas Lineares
Seja os Sistema Linear 
 onde:
 matriz de coeficientes 
 vetor de variáveis 
 vetor independente (constantes) 
Ideia Geral dos Métodos Iterativos
Converter o sistema de equações 
 em um processo iterativo 
, onde:
 matriz com dimensões 
 vetor com dimensões 
 função de iteração matricial
Esquema Iterativo Proposto
Partindo de uma vetor aproximação inicial 
, constrói-se uma sequência iterativa de vetores:
Forma Geral: 
Observação
Se a sequência de aproximação 
, 
, 
, ......, 
 é tal que 
, então 
 é a solução do sistema 
.
 
Teste de Parada
Como em todos os processos iterativos, necessita-se de um critério para a parada do processo. 
Máximo desvio absoluto: 
Máximo desvio relativo: 
Desta forma, dada uma precisão 
, o vetor 
 será escolhido como solução aproximada da solução exata, se 
, ou dependendo da escolha, 
.
Método Iterativo de Gauss-Jacobi
Considere o sistema linear:
Supondo 
, isola-se o vetor 
 mediante a separação pela diagonal da matriz de coeficientes.
Assim, tem-se o sistema iterativo 
, onde:
Dado uma aproximação inicial 
, o Método de Gauss-Jacobi consiste em obter uma sequência 
, 
, 
, ......, 
, por meio da relação recursiva: 
 
Observe que o processo iterativo utiliza somente estimativas da iteração anterior.
Exemplo: Resolver o sistema de equações lineares, pelo Método de Gauss-Jacobi com solução inicial 
 e tolerância 
.
Separando-se os elementos diagonais, tem-se:
Solução para k=0 
Cálculo de 
:
Para k=1:
Para k=2:
 é solução com erro menor que 0,05.
Condições Suficientes para a Convergência do Método de Gauss-Jacobi
Teorema: Seja o sistema linear
 e seja 
Se 
, então o método G-J gera uma sequência 
 convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial 
.
Observe que esta é uma condição suficiente, se for satisfeita o método converge, entretanto se não for satisfeita nada se pode afirmar.
Exemplo 1: Seja a matriz do exemplo dado anteriormente:
Tem-se a convergência garantidapara qualquer vetor inicial.
Exemplo 2: Seja o sistema de equações lineares:
 
As condições de convergência do teorema não são satisfeitas, entretanto o Método de Gauss-Jacobi gera uma sequência convergente para a solução exata 
. Se as condições de suficiência não são satisfeitas, não significa que o método não possa convergir.
Exemplo 3: Considere o sistema linear:
As condições do teorema não são satisfeitas. Uma solução possível é permutar as equações. Seja no exemplo permutar a primeira equação com a segunda equação:
As condições passam a ser satisfeitas e a convergência é garantida para qualquer vetor inicial. Este tipo de procedimento nem sempre é possível.
Fórmula Matricial do Método Gauss-Jacobi 
Decompõe-se a matriz de coeficientes 
 em:
Onde:
L – Matriz Triangular Inferior
D – Matriz Diagonal
U – Matriz Triangular Superior
Método Iterativo de Gauss-Seidel
Assim como no Método de Gauss-Jacobi o sistema linear 
 é escrito na forma equivalente: 
Como no Método Gauss-Jacobi, é realizada uma separação diagonal, e o processo iterativo de atualização é seqüencial, componente por componente. A diferença é que, no momento de realizar-se a atualização das componentes do vetor numa determinada iteração, a formulação utiliza as componentes da iteração já atualizadas na iteração atual, com as restantes não atualizadas da iteração anterior. Por exemplo, ao se calcular a componente 
 da iteração (k+1), utiliza-se no cálculo as componentes já atualizadas 
 com as componentes ainda não atualizadas da iteração anterior 
.
Exemplo: Resolver o sistema linear utilizando o Método Iterativo de Gauss-Seidel, com 
 e tolerância 
.
O processo iterativo é dado por:
Para k=0 e 
Cálculo de 
:
Para k=1 e 
:
Para k=2 e 
:
 é solução com erro menor que 0,05.
Fórmula Matricial do Método Gauss-Seidel
Decompõe-se a matriz de coeficientes 
 em:
Onde:
L – Matriz Triangular Inferior
D – Matriz Diagonal
U – Matriz Triangular Superior
Interpretação Geométrica do Caso 
Considere o Sistema Linear:
O esquema iterativo utilizando o Método de Gauss-Seidel é dado por:
Para k=0 e 
:
Para k=1 e 
:
Para k=2 e 
:
A solução exata é dada por: 
.
Esse processo iterativo até à convergência pode ser interpretado geometricamente num gráfico com a componente 
 na abscissa e a componente 
na ordenada.
Observação 1: Verifica-se pelo gráfico acima que a sequência 
, 
, 
, ......, 
 está convergindo para a solução exata 
.
Observação 2: A sequência gerado pelo Método de Gauss-Seidel depende fortemente da posição das equações. Esta observação pode ser melhor entendida modificando a ordem das equações do exemplo anterior.
Considere o mesmo Sistema Linear anterior, porém modificando a ordem das equações:
O esquema iterativo utilizando o Método de Gauss-Seidel é dado por:
Para k=0 e 
:
Para k=1 e 
:
Estudo da Convergência do Método de Gauss-Seidel
Existem dois critérios de suficiência para a convergência do Método de Gauss-Seidel. O critério de linhas e o critério de Sassenfeld. O critério de linhas é o mesmo da Método de Gauss-Jacobi.
Critério de Linhas
Seja o sistema linear
, com A dimensão 
 e seja:
Se 
, então o método Gauss-Seidel gera uma seqüência 
 convergente para a solução do sistema dado, independentemente da escolha da aproximação inicial 
.
A matriz que satisfizer o critério de linhas é chamada de diagonal dominante estrita.
Critério de Sassenfeld
Seja o sistema linear
, com A dimensão 
 e seja:
e para 
:
Define-se 
.
Se 
, então o Método de Gauss-Seidel gera uma sequência convergente para a solução do sistema, qualquer que seja o vetor inicial. Além disso, quanto menor for o valor de 
 mais rápida é a convergência.
Exemplo: Verificar as condições de convergência do Método de Gauss-Seidel no sistema abaixo:
Critério de Linhas
 não satisfaz.
Critério de Sassenfeld
 não satisfaz.
Como a convergência do Método de Gauss-Seidel é fortemente dependente da posição das equações, pode-se trocar a posição das equações.
Tentativa 1: Troca-se a primeira equação pela terceira equação.
Critério de Linhas
 não satisfaz.
Critério de Sassenfeld
 não satisfaz.
Tentativa 2: Troca-se a primeira coluna pela terceira coluna na equação anterior.
Critério de Linhas
 satisfaz.
 não satisfaz.
Critério de Sassenfeld
 satisfaz.
 satisfaz.
 satisfaz.
Com a última modificação o sistema passa a ser convergente para qualquer vetor inicial. Modificações desse tipo são puramente acadêmicas e são difíceis de serem realizadas em sistemas reais. Principalmente pelas dimensões dos problemas, resultando num grande esforço computacional, e das incertezas quanto a sua eficiência. 
Exemplo : Verifique a convergência do sistema abaixo pelo critério de linhas e Sassenfeld.
Critério de Linhas 
 Não satisfaz
Critério de Sassenfeld
 Satisfaz
Exemplo : Verifique a convergência do sistema abaixo pelo critério de linhas e Sassenfeld.
 
4. Interpolação Polinomial
Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na tabela abaixo:
	xi
	0
	1,5
	3,0
	4,5
	6,0
	f(xi)
	0,001
	0,016
	0,028
	0,046
	0,057
Como obter o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como por exemplo, x =2.0?
Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x intermediário entre duas medidas, isto é, xi<x<xi+1, pode-se usar as técnicas da interpolação. 
A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação), ou seja, aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x).
A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente. Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções complexas são exemplos desta situação, e também:
Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado.
Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis.
Quando a função f(x) não é conhecida explicitamente.
A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua. 
Se a função a ser considerada é um polinômio, então teremos Interpolação Polinomial. Mas podemos escolher funções racionais, trigonométricas, dependendo das propriedades da função.
O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em: Interpolar um ponto x a um conjunto de n +1 dados {xi,f(xi)}, ou seja, calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados.Assim, obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto é: 
	p(x0)=f(x0)
	p(x1)=f(x1)
	…0
	p(xn)=f(xn)
Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão, ou seja o polinômio tem grau n: pn(x) = a0+a1x+a2x²+... + anxn
 
O polinômio pn(x) é chamado de polinômio interpolador. Pode-se demonstrar que existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi,f(xi)} 
O conjunto de equações corresponde a um sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis.
	
Quais são as variáveis independentes? ai ou xi ?
A matriz dos coeficientes A é dadapor 
é uma matriz de Vandermonde e, portanto desde que xi, i = 0,1,2,...n sejam pontos distintos, temos que o sistema linear acima admite solução única. Ou seja:
Teorema: Existe um único polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, tal que pn(xk) = f(xk), k = 0,1,2,...,n, desde que xk (xj, k(j.
Formas de se obter o polinômio
Uma das formas é resolver o sistema linear, porém, a determinação dos coeficientes do polinômio interpolador por meio da resolução de um sistema de equações lineares, apesar de ser conceitualmente simples, requer um certo esforço computacional.
Outras formas são: a forma de Lagrange e a forma de Newton 
Exemplo: Seja f(x) dada pela tabela abaixo. Encontre o polinômio interpolador e estime f(3).
	x
	0
	1
	2
	f(x)
	3
	6
	9
	Nem sempre a resolução do sistema linear é simples e exata, pois a matriz dos coeficientes é uma matriz de Vandermonde, podendo ser mal condicionada.
Exemplo:
	x
	0,1
	0,2
	0,3
	0,4
	f(x)
	5
	13
	-4
	-8
Resolvendo o sistema linear por eliminação de Gauss e 3 casas decimais obtemos p3(x) = 6330x³-5050x²+1150x-66, onde vemos que para x = 0,4 , p3(0,4) = -10 ( -8 = f(0,4).
Forma de Lagrange
Seja x0,x1,x2,..., xn, n+1 pontos distintos e yi = f(xi), i = 0,1,2,..., n.
Seja pn(x) o polinômio de grau menor ou igual a n, que interpola f em x0, x1, x2, ....xn. Podemos representar pn(x) na forma pn(x) = y0L0(x) +y1L1(x)+...+ynLn(x) onde os polinômios Lk(x) são de grau n. Para cada i, queremos que a condição pn(xi) = yi seja satisfeita. A forma mais simples de se satisfazer esta condição é impor:
 Lk (xi) = 
 e para isso, definimos Lk(x) por:
Lk (x)=
É fácil verificar que realmente Lk(xk) =1 e Lk(xi) =0 para k(i.	
Como o numerador de Lk(x) é um produto de n fatores da forma (x – xi) , temos que Lk(x) é um polinômio de grau n e, assim pn(x) é um polinômio de grau menor ou igual a n. Além disso, para x = xi temos: pn(x) =
Então a forma de Lagrange para o polinômio interpolador é pn(x) =
.
Exemplos: Dados os pontos abaixo, calcular o polinômio interpolador usando a fórmula de Lagrange.
	X
	-1
	0
	3
	F(x)
	15
	8
	-1
a)
P2(x) = y0.L0+y1.L1+ y2.L2
P2(x) = 15. 
 +8. 
-1. 
P2(x) = 
P2(x) = x²-6x+8
	X
	-1
	0
	3
	5
	F(x)
	15
	8
	-1
	10
b)
P3(x) = y0.L0+y1.L1+ y2.L2 + y3.L3
P3(x) = 15. 
+8. 
 -1. 
+10. 
P3(x) = 
 
P3(x) = 
x³+
x²-
x+8
Interpolação de Newton
Considerando os n+1 pontos (x0, f(x0)), ..., (xn,f(xn)) e o polinômio interpolador pn(x). Newton propôs de representar o polinômio pn(x) da forma:
Pn(x) = f[x0] + f[x0,x1] (x-x0)+ f[x0,x1, x2]. (x-x0).(x-x1)+….+ f[x0,x1, x2, …., xn]. (x-x0).(x-x1)…(x-xn-1)
Os coeficientes dk, k=0,...,n são diferenças divididas de ordem k entre os pontos (xj ,f(xj)), j=0,...,k
Operador diferenças divididas: dj
Sendo f(x) é uma função tabelada em x0,...,xn. Os operadores de diferenças divididas são definidos por:
Onde usamos, o seguinte esquema prático
	X
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	...
	Ordem n
	x0
	f[x0]
	
	
	
	
	
	
	f[x0,x1]
	
	
	
	x1
	f[x1]
	
	f[x0,x1,x2]
	
	
	
	
	f[x1,x2]
	
	
	
	x2
	f[x2]
	
	f[x1,x2,x3]
	
	
	
	
	
	
	
		f[x0,...,xn]
	
	
	
	f[xn-2, xn-1, xn]
	
	
	....
	
	f[xn-1, xn]
	
	
	
	xn
	f[xn]
	
	
	
	
Ou mais completo
Exemplos: Dados os pontos abaixo, calcular o polinômio interpolador usando a fórmula de Newton.
	X
	-1
	0
	3
	F(x)
	15
	8
	-1
a)
	X
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	-1
	15
	
	
	
	
	-7
	
	0
	8
	
	1
	
	
	-3
	
	3
	-1
	
	
P2(x) = d0 + d1 (x-x0)+ d2 (x-x0).(x-x1)
P2(x) = 15-7(x+1)+1(x+1)(x-0)
P2(x) = 15-7x-7+x²+x
P2(x) = x²-6x+8
	X
	-1
	0
	3
	5
	f(x)
	15
	8
	-1
	10
b)
	X
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	Ordem 3
	-1
	15
	
	
	
	
	
	-7
	
	
	0
	8
	
	1
	
	
	
	-3
	
	7/60
	3
	-1
	
	17/10
	
	
	
	11/2
	
	
	5
	10
	
	
	
P3(x) = d0 + d1 (x-x0)+ d2 (x-x0).(x-x1)+ d3 (x-x0).(x-x1)(x-x2)
P3(x) =x²-6x+8 +
(x+1)(x-0)(x-3)
P3(x) = x²-6x+8+
(x³-2x²-3x) ( P3(x) = 
x³+
x²-
x+8
Exercício: Preencha a tabela de diferença divididas. Determine os polinômios interpoladores de graus 1,2 e 3. 
	X
	-1
	0
	1
	2
	3
	F(x)
	1
	1
	0
	-1
	-2
	x
	Ordem 0
	Ordem 1
	Ordem 2
	Ordem 3
	Ordem 4
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Exercícios
Encontre a forma de Lagrange para o polinômio interpolador, considerando a função dada pela tabela:
	x
	-1
	0
	2
	f(x)
	4
	1
	-1
Para um tanque de água, são fornecidos valores de temperatura em função da profundidade conforme a tabela a seguir:
	Profundidade (m), x
	Temperatura (oC), y
	1.0
	66
	1.5
	52
	2.0
	18
	2.5
	11
	3.0
	10
Calcule a temperatura estimada para 1,75 m usando interpolação linear.
Calcule a temperatura estimada para 2,75 m usando interpolação quadrática.
Calcule a temperatura estimada para 3,25 m usando interpolação cúbica.
Qual a relação entre o número de pontos usados na interpolação e o grau do polinômio interpolador que pode ser calculado?
Se você tiver um conjunto de 5 dados {(x0,f(x0), (x1,f(x1), (x2,f(x2), (x3,f(x3), (x4,f(x4),}, e deseja fazer uma interpolação linear, isto é, encontrar uma reta que lhe permita obter o valor de f(x(), onde x1<x(<x2:
	a) Qual seria o grau do polinômio que você calcularia, isto é, quantos pontos você utilizaria?
	b) E quais pontos da tabela você usaria?
A seguinte tabela informa o número de carros que passam por um determinado pedágio em um determinado dia: 
	Horário
	10:00
	10:30
	11:00
	11:30
	12:00
	12:30
	Número (em mil)
	2.69
	1.64
	1.09
	1.04
	1.49
	2.44
a) Faça um gráfico de horário vs. número de carros para verificar qual a tendência da curva.
b) Estime o número de carros que passariam pelo pedágio às 11:10, usando a forma de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador p(x) que estima o número de carros em função do tempo. Use uma reta como função interpoladora.
c) Agora, faça a mesma estimativa, mas utilizando uma parábola como polinômio interpolador.
Na fabricação de determinadas cerâmicas é muito importante saber as condições de temperatura em que o produto foi assado no forno. Como não é possível medir a temperatura do forno a todo instante, ela é medida em intervalos periódicos de tempo e esses dados são interpolados para o instante em que cada peça foi “queimada” a fim de se conhecer a temperatura do forno nesse instante. Em um dia de funcionamento do forno, os seguintes dados foram coletados:
	Horário
	7:00
	10:00
	13:00
	16:00
	19:00
	21:00
	Temperatura (102 oC)
	2.32
	2.51
	2.63
	2.55
	2.41
	2.28
Construa a tabela de diferenças divididas para esses pontos.
Estime a temperatura do forno ás 14:30 usando a forma de Newton para apenas dois pontos.
Faça essa estimativa novamente, desta vez usando 3 pontos.
5. Integração numérica
Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. Por ex
emplo: o valor de f(x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f(x), não é possível calcular a integral.
Idéia básica da integração numérica: substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. 
Integração numérica de uma função f(x) num intervalo [a,b] cálculo da área delimitada por essa função, recorrendo à interpolação polinomial, como, forma de obtenção de um polinômio – pn(x). 
Faremos uso de métodos numéricos quando:
- f(x) for uma função muito difícil de integrar,contrariamente a um polinômio;
- a única informação sobre f(x) ser um conjunto de pares ordenados. 
Regra dos Trapézios Simples 
Seja f uma função real dada sobre dois pontos (xo, f(xo)) e (x1,f(x1)). Para esta função podemos construir um polinômio interpolador de Lagrange de grau menor ou igual a 1, que aproxima a função f(x). 
Seja h = x1-x0. E seja p1(x) = y0.L0(x)+ y1.L1(x) com
e
	
Logo, 
.
Regra dos Trapézios Composta (Repetida)
Se o intervalo [a, b] relativamente pequeno, a 
aproximação do valor do integral é aceitável. Mas, se
 o intervalo [a, b] é de grande amplitude, a 
aproximação será defasada. Assim, subdividimos em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear.  A amplitude dos sub-intervalos será h=(b-a)/n . 
Pois, os termos f(x0) e f(xn) não se repetem.
Exemplo: Estimar o valor de 
.
	X
	Y=(1+x²)-1/2
	0,0
	1,00000
	0,5
	0,89445
	1,0
	0,70711
	1,5
	0,55475
	2,0
	0,44722
	2,5
	0,37138
	3,0
	0,31623
	3,5
	0,27473
	4,0
	0,24254
Regra dos Trapézios Simples - 2 pontos (x0 = 0,0 e x1 = 4,0) R: 2,48508
Regra dos Trapézios Composta - 3 pontos (x0=0,0, x1 =2,0, x2 = 4,0) R: 2,1369 
Regra dos Trapézios Composta - 9 pontos R: 2,0936 
A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2,0947.
Exemplo: Calcule 
onde f(x) é dada pela tabela: 
	x
	-3
	-1
	1
	3
	4
	5
	7
	f(x)
	4
	2
	0
	-1
	2
	4
	9
h=2
	x
	-3
	-1
	1
	3
	f(x)
	4
	2
	0
	-1
h=1
	x
	3
	4
	5
	f(x)
	-1
	2
	4
h=2			
	x
	5
	7
	f(x)
	4
	9
. Portanto,
= 7+3,5+13 = 23,5.
Regra 1/3 de Simpson
Novamente, podemos usar a fórmula de Lagrange para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f(x) por um polinômio interpolador, agora de grau menor ou igual a 2. Para isto é preciso que f(x) seja dada sobre 3 pontos distintos: (x0, f(x0)); (x1,f(x1); (x2 f(x2)). Supondo que x1-x0 = x2 -x1=h, temos que x2-x0 = 2h. 
	
	
Exercício: Fazendo x-x0 = zh e substituindo x1 = x0+h, podemos calcular esta integral usando o método de mudança de variáveis. Chegando ao resultado:
Regra 1/3 de Simpson Repetida
	
	
Aplica-se a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo [a, b] = [x0, xm] com h = xi - xi-1 (i = 1, 2,…, m ), para m par. Ou seja, x0, x1,..., xm são pontos igualmente espaçados e cada parábola precisa de três pontos consecutivos.
Obs: Sempre que possível utilize a regra de 1/3 de Simpson, pois chegamos a uma melhor estimativa do que a regra dos Trapézios.
Exemplos:
	x
	5
	6
	7
	f(x)
	0
	-1
	1
1) Dada a tabela calcule 
 pela regra de 1/3 de Simpson.
	x
	-3
	-1
	1
	3
	5
	6
	7
	8
	f(x)
	9
	7
	6
	2
	0
	-1
	1
	4
2) Dada a tabela calcule 
 pela regra possível.
 3) Calcule uma estimativa para a integral
 usando m = 2 e depois m =10 (ou seja, com 2 subintervalos: 3 pontos e 10 subintervalos: 11 pontos.
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