Lista 2 de Cálculo II: Funções de Várias Variáveis Reais: Domínio e Limites

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Lista 2 de Cálculo II: Funções de Várias Variáveis Reais:
Domínio e Limites
Profa Roberta V. Garcia
Exercícios
1. Represente graficamente o domínio da função z = f(x, y) dada por
(a) x+ y − 1 + z2 = 0, z > 0
(b) f(x, y) =
x− y√
1− x2 − y2
(c) z2 + 4 = x2 + y2, z > 0
(d) 4x2 + y2 + z2 = 1, z 6 0
2. Seja f : R2 → R uma função linear. Sabendo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3, calcule f(x, y).
3. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico.
(a) f(x, y) = 1− x2 − y2
(b) f(x, y) = x+ 3y
(c) f(x, y) = 1 + x2 + y2
(d) f(x, y) = 1− x2, x > 0, y > 0 e x+ y 6 1
(e) z = (x− y)2, x > 0 e y > 0
4. Determine, caso existam, os valores máximo e mínimo de f em A; determine, também, os pontos em que
estes valores são atingidos.
(a) f(x, y) = (x− 1)2 + (y − 1)2 + 3 e A = R2.
(b) f(x, y) = xy e A = R2.
(c) f(x, y) = xy e A =
{
(x, y) ∈ R2|x > 0 e y > 0}.
5. Um ponto P descreve uma curva sobre o gráfico da função f(x, y) = x2 + y2 de modo que a sua projeção
Q sobre o plano xy descreve a reta x+ y = 1. Determine o ponto da curva que se encontra mais próximo
do plano xy. (Desenhe a trajetória descrita por P .)
6. Seja f(x, y) =
x2
x2 + y2
. Desenhe a imagem da curva γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) onde x = R cos t, y = R sen t
e z = f(x(t), y(t)), R > 0. Como é o gráfico de f?
7. Represente geometricamente o domínio da função f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2.
8. Desenhe a superfície de nível correspondente a c = 1 para a função f(x, y, z) = x2 + y2.
9. Calcule, caso exista.
(a) lim
(x,y)→(1,2)
5x3 − x2y2
(b) lim
(x,y)→(2,1)
4− xy
x2 + 3y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
(e) lim
(x,y)→(0,0)
xy(x− y)
x4 + y4
(f) lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 − y2
10. Calcule lim
(h,k)→(0,0)
f(x+ h, y + k)− f(x, y)− 2xh− k
‖(h, k)‖ , onde f(x, y) = x
2 + y.
11. Prove os limites abaixo, encontrando um δ > 0 correspondente a qualquer � > 0.
(a) lim
(x,y)→(3,2)
(3x− 4y) = 1
1
(b) lim
(x,y)→(1,1)
(
x2 + y2
)
= 2
(c) lim
(x,y)→(2,4)
(
x2 + 2x− y) = 4
12. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
(a) f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2
(b) f(x, y) =

sen(x2 + y2)
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)
(c) f(x, y) =
e
(
1
r2 − 1
)
se r < 1 onde r = ‖(x, y)‖
0 se r > 1
13. Utilize coordendas polares para determinar
lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2
.
Observação: Se (r, θ) são as coordenadas polares do ponto (x, y) com r > 0, observe que r → 0+ quando
(x, y)→ (0, 0).
Exercícios que necessitam de apoio computacional
Para a resolução dos exercícios abaixo, utilize uma ferramenta gráfica como o Winplot ou o GeoGebra, por
exemplo. Como sugestão, utilize-a também para confirmar suas respostas dos exercícios anteriores.
1. Trace o gráfico da função usando vários domínios e pontos de vista. Imprima a que, em sua opinião,
oferece a melhor visão. Produza curvas de nível, trace o mapa de contorno da mesma função e compare.
(a) f(x, y) = xy3 − yx3
(b) f(x, y) = e−(x
2+y2)/3 (senx2 + cos y2)
2. Trace o gráfico da função
f(x, y) = xye−x
2−y2
usando vários domínios e pontos de vista. Imprima aquela que apresente melhor os “picos e vales”. Você
acha que essa função tem um valor máximo? Você poderia identificar os pontos do gráfico correspondentes
aos “máximos locais”? E aos “mínimos locais”?
3. Gere o gráfico da função e utilize-o para explicar por que o limite não existe.
lim
(x,y)→(0,0)
2x2 + 3xy + 4y2
3x2 + 5y2
4. Trace o gráfico da função e observe onde ela é descontínua. Em seguida, utilize a fórmula para explicar o
que você observou.
f(x, y) = e1/(x−y)
2
Respostas
1.
(a) (b) (c) (d)
2. f(x, y) = ax+ by, onde a e b devem ser determinados de modo que f(1, 0) = 2 e f(0, 1) = 3. Tem-se a = 2
e b = 3. Assim: f(x, y) = 2x+ 3y.
3. (a) 1− x2 − y2 = c ou x2 + y2 = 1− c, c 6 1.
(b) x+ 3y = c.
(c) As curvas de nível são circunferências com centros na origem.
(d)
(e) y = x é a curva de nível correspondente a c = 0. Para c > 0, a curva de nível é o par de retas
y = x+
√
c e y = x−√c.
4. (a) f(1, 1) = 3 é o valor mínimo de f . Não admite valor máximo.
(b) Não admite valor máximo, nem mínimo.
(c) Zero é o valor mínimo de f ; este valor é atingido nos pontos (x, 0), x > 0, ou (0, y), y > 0. Não há
valor máximo.
5.
(
1
2
,
1
2
,
1
2
)
6.
7. É uma esfera de centro (0, 0, 0) e raio 1.
8.
3
9. (a) 1
(b)
2
7
(c) Não existe
(d) 0
(e) Não existe
(f) Não existe
10. 0
11. Demonstração.
12. (a)
{
(x, y) ∈ R2|2x2 + 3y2 6 6}
(b) R2
(c) R2
13. 0
4