AULA 07 ESPAÇOS VETORIAIS SUBESPAÇOS - DEPENDENCIA LINEAR
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AULA 07 ESPAÇOS VETORIAIS SUBESPAÇOS - DEPENDENCIA LINEAR


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AULA 07 - ESPAÇOS VETORIAIS REAIS
	Espaço vetorial sobre IR é um sistema algébrico constituído por um conjunto V (cujos elementos são chamados de vetores) e as operações de adição e multiplicação por escalar(número real) nele definidas. Sejam os vetores:
( u, v ( V , u + v ( V
( u ( V, ( ( ( IR , (u ( V
Satisfazendo os seguintes axiomas:
A1 : ( u, v , w ( V , (u + v) + w = u + (v + w)
A2 : ( u, v ( V , u + v = v + u
A3 : ( 0 ( V / ( u ( V , u + 0 = u
A4 : ( u ( V , ( ( - u) ( V / u + (- u) = 0
M1 : ((()u = (((u)
M2 : (( + ()u = (u + (u
M3 : ((u + v) = (u + (v
M4 : 1.u = u
	Os elementos do espaço vetorial V são denominados de vetores, independente de sua natureza (polinômios, matrizes, vetores) porque as operações de adição e multiplicação por escalar realizada com esses elementos comportam-se de forma idêntica.
Exemplos:
Espaços vetoriais Euclidianos IRn.
(IR2,+, IR,.) ( Espaço vetorial IR2 , por exemplo, o vetor (2,1) ou 
 são elementos desse espaço vetorial.
(IR3,+, IR,.) ( Espaço vetorial IR3 , por exemplo, o vetor (1,2,3) ou 
 são elementos desse espaço vetorial.
Espaços vetoriais IRm x n ou Mm x n das matrizes de ordem m x n de elementos reais.
(M(2,3),+, IR,.) ( Espaço vetorial IR2 x 3 , espaço vetorial de todas as matrizes de ordem 
 2 x 3, por exemplo, a matriz 
 é um elemento desse espaço vetorial.
Espaços vetoriais Pn o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a n
 (P3, +, IR, .) ( Espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a três. Os polinômios a seguir pertencem a esse espaço vetorial: x3 +2x2 \u2013 x +9, x2 \u2013 5x + 6, x2 -1, 
2x \u2013 5, 3.
 
SUBESPAÇOS VETORIAIS
Def.:Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. O subconjunto W é um subespaço vetorial de V se W é fechado em relação às operações de soma de vetor e multiplicação de escalar por vetor. 
(I) 
(II) se ( é um escalar qualquer 
obs: Todo espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços, ele mesmo e o subespaço {0} vetor nulo, pois 0 + 0 = 0 e (.0 = 0. 
Exemplos:
1) O conjunto W de vetores de V = IR3 , tal que S = {(x,y,z) ( IR3 / y = 0}
2) O conjunto W de vetores de V = IR3 , tal que S = {(x,y,z) ( IR3 / (x,y, x + y)}
3) O conjunto W de vetores de V = IR2 , tal que S = {(x,y) ( IR2 / (1,a), a (IR}
4) O conjunto W de vetores de V = IR3, tal que S = {(x,y,z) ( IR3 / x + y + z = 0}
5) O conjunto W de vetores de V = IR2, tal que S = {(x,y) ( IR2 / (x,4 \u2013 2x)} 
6) Sejam V = M2x2 = 
 e W = 
7) Seja V = P2 e W um conjunto de todos os polinômios de grau exatamente igual a 2.
8) Seja V = P3 e W = P2 verifique se S é subespaço de V.
COMBINAÇÃO LINEAR
Def.: Sejam v1, v2, .......vn vetores de um espaço vetorial V. Um vetor v é uma combinação linear de v1, v2, .......vn se existem os escalares a1, a2,.........., an tais que:
v = a1 v1 + a2 v2 + ................+ an vn 
Exemplos:
1) Verifique se o vetor v = (2, 1, 5) é uma combinação linear dos vetores dados:
v1 = (1, 2, 1) 	v2 = (1, 0, 2)	v3 = (1, 1, 0)
 Se v puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores dados, então devem existir os coeficientes a1, a2 e a3 de modo que possamos escrever:
v = a1.v1 + a2.v2+ a3.v3
Então:
a1(1, 2, 1) + a2(1, 0, 2) + a3(1, 1, 0) = (2, 1, 5)
Montamos o sistema linear e resolvemos:
2) Escrever a matriz 
 como combinação linear das matrizes 
, 
 e 
.
3) Escrever o polinômio ( = t2+ 4t \u2013 3 como combinação linear dos polinômios (1 = t2 \u2013 2t + 5, 
(2 = 2t2 \u2013 3t e (3 = t + 3.
Observações:
Sejam os vetores v1, v2, .......vn de um espaço vetorial V, o conjunto W de todas as combinações lineares destes vetores formam um subespaço vetorial.
Um vetor ( de um subespaço vetorial W, pertence a este subespaço se for combinação linear dos geradores de W.
4) Seja W = {(1,1,2), (2, - 1,1)}, determine o subespaço gerado pelos dois vetores de W. 
INDEPENDÊNCIA LINEAR
Def.: 
Os vetores v1, v2, .......vk em um espaço vetorial V são ditos linearmente dependentes se existem constantes c1, c2,.........., ck nem todas nulas, tais que
c1 v1 + c2 v2 + ................+ ck vk = 0
Def.:
Os vetores v1, v2, .......vk em um espaço vetorial V são ditos linearmente independentes se as constantes c1, c2,.........., ck forem todas nulas
c1 = c2 =............................ = ck = 0
Para verificação se os vetores v1, v2, .......vk são LD ou LI, fazemos:
Montar o sistema homogêneo
Se tiver apenas a solução trivial então é LI, com solução não-trivial é LD
Exemplo: Sejam os vetores v1 = (1,3), v2 = (- 1,- 2) e v3 = (- 1, 0), verifique se esses vetores são L.I. ou L.D.
Observações:
Um conjunto de vetores é L.D. se um vetor for combinação linear dos outros.
Para verificarmos se um conjunto de vetores é L.I. ou L.D. de maneira mais rápida, colocamos na forma de matriz e escalonamos se aparecer pelo menos uma linha de zeros os vetores são L.D.
Do exemplo anterior: v1 = (1,3), v2 = (- 1,- 2) e v3 = (- 1, 0) na forma de matriz:
 na forma escada 
 
Exemplos: Verificar se os vetores a seguir são L.I. ou L.D.:
1) {(1,1) (0,1) (1,0)}
2) {(1,0,0,1) (0,1,1,0) (1,0,1,0)}
3) 
4) {t3 \u2013 3t2 + 4t \u2013 2, 2t2 \u2013 6t + 4, t3 \u2013 2t2 + t}
LISTA DE ESPAÇO VETORIAL, SUBESPAÇO E DEPENDÊNCIA LINEAR
1) Verifique se os conjuntos abaixo constituem um subespaço de R3.
todos os vetores da forma (a,0,0)
todos os vetores da forma (a,1,1)
todos os vetores da forma (a,b,c), com b = a + c
todos os vetores da forma (a,b,c), com b = a + c + 1
2) Verifique se os conjuntos abaixo constituem um subespaço de M22
todas as matrizes 
 tais que a + b + c + d = 0
todas as matrizes 2 x 2 tais que det (A) = 0
3) Verifique se os conjuntos abaixo constituem um subespaço de P3
todos os polinômios a0 + a1x + a2x2 + a3x3 para os quais a0 = 0
todos os polinômios a0 + a1x + a2x2 + a3x3 para os quais a0 + a1 + a2 + a3 = 0
4) Sejam os vetores v1 e v2 pertencentes a um espaço vetorial V e seja W o conjunto de todas as combinações lineares de v1 e v2 , ou seja: 
, a1 e a2 e R, verifique se W é um subespaço vetorial. 
5) Verificar se o vetor \u3b1 = (2,1,3) pertence ao subespaço vetorial do R3, gerado pelos vetores (1,0,1) , (0,2,1), (1,-1,1).
6) Qual a relação entre a, b e c, para que o vetor (a,b,c) do R3 pertença ao subespaço vetorial gerado por (-1,2,1), (1,0,2) e (2,-2,1) ?
7) Verificar se os vetores (1,2,3), (-1,1,0) e (0,1,0) e 
, são linearmente dependentes ou independentes.
8) Para que valor de m os vetores P1 = x2 \u2013 2x + 1, P2 = - x2 + x + 3 e P3 = 2x2 \u2013 x + m, são linearmente independentes, no correspondente espaço vetorial real ?
9) Construa uma figura geométrica que ilustre por que uma reta no R2 que não passa pela origem não é fechada com relação à soma de vetores.
10) Sejam os vetores u = (3,-1,2) e v = (-1,2,4) em R3 . 
a) Escreva w = (1,-2,0) como combinação linear de u e v.
b) Para que valor de k o vetor (-6,4,k) é uma combinação linear de u e v.
11) Verifique se o conjunto de matrizes do espaço vetorial M22 dado é L.I. ou L..D.:
 
12) Se V = IR2, determine o subespaço gerado por:
a) v1 = (1,2)
b) v1 = (1,- 2) e v2 = (- 1,2)
c) v1 = (1,0) e v2 = (2,2)
13) De acordo com a figura julgue as afirmações abaixo com (V) verdadeiro ou (F) falso.