Aula_VIII

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Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
Aula VII: Estudo das retas e Planos 
 
 
Estudo do plano 
 
Seja π um plano. Escolha um ponto A pertencente a π e dois vetores ⃗ e linearmente 
independentes e paralelos a . Então é fácil ver que um ponto X pertencente a π se e somente 
se ⃗⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗ e são linearmente dependentes, e isto ocorre se e somente se existe , tais 
que: 
 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ 
Logo: 
 
 ⃗ 
Ou seja, o plano π é o lugar geométrico dos pontos que obedecem à equação acima. Esta 
equação se chama equação vetorial de π. 
 
Observações: 
 
1- Se A, B. C são pontos distintos e não colineares de π, podemos tomar ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗, ⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
e então ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é uma equação vetorial de π e ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ é 
outra equação vetorial de π. 
 
2- Os vetores ⃗ e são chamados vetores diretores do plano π. 
 
Escrevendo X=(x,y,z), A=(x0,y0,z0), ⃗ =(a,b,c) e =(m,n,p), resulta que: 
 
 
 
Ou 
{
 
 
 
 
 
As equações acima são chamadas de paramétricas de 
 
Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
1- Ache duas equações vetoriais que passa por A=(-3,-7,1) e é paralelo aos vetores 
 ⃗ =(1,1,1) e =(-1,1,0). 
 
2- Ache uma equação vetorial do plano que contém os pontos A=(0,1,0), B=(1,0,1) e 
C=(0,0,1). 
 
3- Dê equações paramétricas do plano π que passa pelo ponto A=(7,7,1) e é paralelo aos 
vetores ⃗ =(1,1,1) e =(-1,1,0). 
 
4- Dê uma equação vetorial do plano π que tem por equações paramétricas. 
{