MAT02214 - Lista Área 3 - Gabarito

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MAT02214 – Estatística Geral I – Lista 3ª Área – Professor Ruben Ladwig 
1- A distribuição conjunta abaixo mostra a probabilidade do time do Grêmio (Y) e do time 
do Internacional (X) ganhar 3 pontos, 1 ponto ou 0 pontos (vencer, empatar ou perder) 
em uma dada rodada do campeonato Brasileiro de 2013. 
 Inter 
0 1 3 
Grêmio 
0 0,09 0,00 0,17 
1 0,12 0,09 0,06 
3 0,12 0,26 0,09 
 
Com base na tabela acima, responda: 
a. Quais as distribuições marginais para X e Y? Essas duas V.A.s são 
independentes? 
 - f(X)={0,33 ; 0,35 ; 0,32}, f(Y)={0,26 ; 0,27 ; 0,47}, não são 
independentes 
b. Qual a distribuição de X dado que Y = 3 ? E de Y dado que X = 1? Como você 
interpretaria essa distribuição? 
 - f(X|Y=3)={0,26 ; 0,55 ; 0,19} é a probabilidade do Inter perder, 
empatar ou ganhar dado que o Grêmio venceu, f(Y|X=1)={0 ; 0,26 ; 
0,74} é a probabilidade do Grêmio perder, empatar ou ganhar dado 
que o Inter empatou. 
c. Quantos pontos se espera que o Inter faça, dado que o Grêmio perde na 
rodada? Quantos pontos se espera que o Grêmio faça, dado que o 
Internacional perde na rodada? 
 - E(X|Y=0) = 1,96 ; E(Y|X=0) = 1,45 
d. Quantos pontos a dupla Gre-nal faz em média, em uma rodada? 
 - E(X+Y) = 3 
e. Se você fizer uma aposta, onde paga 3 reais por ponto que o Grêmio fizer e 
ganha 5 reais por ponto que o Inter fizer, quantos reais espera ganhar (ou 
perder) em uma rodada? 
 - E(5X-3Y) = 1,51 
f. Qual a covariância entre X e Y? E o coeficiente de correlação? 
 - Cov(X,Y) = -0,34 ;  = -0,21 
 
2- Seja o experimento aleatório o sorteio de um número inteiro entre 0 e 2 e em seguida, 
o sorteio de um número inteiro entre 1 e 3. Considere a V.A. X como a soma entre os 
valores sorteados e Y como o primeiro valor sorteado menos o segundo. 
a. Qual a distribuição conjunta de X e Y? 
 - 
 1 2 3 4 5 
-3 0 0 1/9 0 0 
-2 0 1/9 0 1/9 0 
-1 1/9 0 1/9 0 1/9 
0 0 1/9 0 1/9 0 
1 0 0 1/9 0 0 
 
b. Quais as distribuições marginais? X e Y são independentes? 
 - f(X)={1/9 , 2/9 , 3/9 , 2/9 , 1/9}, f(Y) ={1/9 , 2/9 , 3/9 , 2/9 , 1/9}, não 
são independentes. 
c. Quais as esperanças de X e Y? Qual a esperança de X dado que Y é igual a -2? 
Qual a esperança de Y dado que X é igual a 3? 
 - E(X) = 3 ; E(Y) = -1 ; E(X|Y=-2) = 3 ; E(Y|X=3) = -1 
d. Qual a covariância de X e Y? E o coeficiente de correlação? 
 - Cov(X,Y) = 0 ;  = 0 
 
3- Considere as variáveis X e Y como independentes. Complete a tabela da distribuição 
conjunta abaixo. Calcule a esperança de X*Y: 
 
 X 
-1 0 1 f(y) 
Y 
10 1/12 0 1/12 1/6 
15 1/6 0 1/6 1/3 
20 1/4 0 1/4 1/2 
f(x) 1/2 0 1/2 1 
 
 - E(X*Y) = 0 
 
4- Dois tetraedros (dados com quatro faces) com as faces numeradas de um a quatro são 
lançados e os números das faces voltadas para baixo são anotados. Sejam as variáveis 
aleatórias: X (maior dos números observados), Y (menor dos números observados) e 
Z=X+Y, 
a. construa a tabela da distribuição conjunta de X e Y; 
 - 
 1 2 3 4 
1 1/16 2/16 2/16 2/16 
2 0 1/16 2/16 2/16 
3 0 0 1/16 2/16 
4 0 0 0 1/16 
 
b. determine as esperanças e as variâncias de X, Y e Z. 
 - E(X) = 3,125 ; E(Y) = 1,875 ; E(Z) = 5 ; var(X) = 0,86 ; var(Y) = 0,86 ; 
var(Z) = 2,5 
c. Calcule a covariância e o coeficiente de correlação entre X e Y 
 - Cov(X,Y) = 0,39 ;  = 0,45 
 
5- Considere os casais que tem no máximo dois bebês. Admitamos que dentro desse 
contexto, cada uma das possibilidades em termos do número de bebês têm a mesma 
probabilidade. Admitamos também que as probabilidades de nascimento de bebês do 
sexo masculino e feminino são iguais. Sejam X e Y, respectivamente, o número de 
bebês do sexo masculino e o número de bebês do sexo feminino de um casal escolhido 
ao acaso. 
 0 1 2 
0 1/3 1/6 1/12 
1 1/6 1/6 0 
2 1/12 0 0 
 
a. Qual a distribuição de probabilidade de X? E de Y? 
 - f(X) = {7/12 ; 4/12 ; 1/12} ; f(Y) = {7/12 ; 4/12 ; 1/12} 
b. Calcule E(X), Var(X), E(Y) e Var(Y). 
 - E(X) = 0,5 ; Var(X) = 0,42 ; E(Y) = 0,5 ; Var(Y) = 0,42 
c. X e Y são variáveis aleatórias independentes? 
 - Não 
d. Calcule E(X + Y) e Var(X + Y). 
 - E(X+Y) = 1 ; Var(X+Y) = 0,67 
e. Calcule Cov(X,Y). 
 - Cov(X,Y) = -0,08