apostila-matematica1-10-TRIGONOMETRIA-CONCEITOS-FUNDAMENTAIS-cassio-

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MATEMÁTICA I 1 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO ............................................................................. 2 
ÂNGULOS E ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA ............................ 2 
UNIDADES PARA MEDIR ANGULOS ......................................... 4 
CICLO TRIGONOMÉTRICO ...................................................... 11 
ASSOCIANDO NÚMEROS A PONTOS DO CICLO .................. 11 
ARCOS CONGRUENTES .......................................................... 12 
PRIMEIRA DETERMINAÇÃO .................................................... 13 
SENO E COSSENO DE ÂNGULOS MAIORES QUE 90º .......... 24 
LEI DOS SENOS ........................................................................ 26 
LEI DOS COSSENOS ................................................................ 29 
RESPOSTAS ............................................................................. 34 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 35 
 
 
 
 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro 
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo 
FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto 
durante o triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 2. 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Na apostila anterior, vimos uma 
ideia básica de Trigonometria. A partir de 
agora vamos ampliar os conceitos de 
seno, cosseno e tangente. Nesse novo 
contexto, o triângulo retângulo será 
insuficiente para as definições 
necessárias. Assim, vamos definir um 
novo “ambiente” para a trigonometria: o 
ciclo trigonométrico. 
 Essa nova interpretação dos 
conceitos trigonométricos tem aplicações 
notáveis. A principal delas é no estudo de 
fenômenos periódicos como a oscilação 
de um pêndulo, movimento dos planetas 
em torno do Sol, movimentos 
ondulatórios, etc. 
Vamos também conhecer outra 
unidade para medir ângulos: o radiano. 
 Vamos, nesta apostila, conhecer 
os conceitos fundamentais para este 
estudo. 
 
ÂNGULOS E ARCOS NA 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
 Arco geométrico: é uma das partes de 
uma circunferência delimitada por 
dois pontos, inclusive. 
 
 
 
 Arco ou ângulo central: Todo arco de 
circunferência tem um ângulo central 
que o subtende. 
 
 
 
𝑨𝒓𝒄𝒐 𝑨�̂� 
Â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 𝑨Ô𝑩 
 
 Comprimento: o comprimento da 
circunferência é dado a partir de seu 
raio por C = 2r. 
 
A sequência de imagens a seguir, ilustra 
bem a ideia do comprimento da 
circunferência. 
Essas imagens juntas formam 
um GIF que pode ser visto, 
animado, no link: 
 
www.vidigal.ouropreto.ifmg.
edu.br/comprimento-da-
circunferencia/ 
 
I 
Nesta primeira 
imagem está 
destacado um par 
de eixos ortogonais 
e um segmento em 
vermelho que será 
o raio (radiano) da 
circunferência. 
 
II 
Girando o raio para 
formar a 
circunferência 
 
MATEMÁTICA I 3 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
III 
Girando o raio para 
formar a 
circunferência 
 
IV 
A circunferência 
formada e o raio 
em destaque 
 
V 
Agora mudamos o 
raio de posição 
mantendo o seu 
comprimento 
 
VI 
Agora o mesmo 
raio na vertical 
pronto para “deitar” 
sobre a 
circunferência 
 
VII 
“Deitado” sobre a 
circunferência, o 
raio destaca um 
arco igual ao seu 
comprimento. 
 
VIII 
O ângulo central 
delimitado por este 
arco tem a medida 
de 1 radiano 
(1 rad) 
 
IX 
Repedindo, na 
sequência, o 
ângulo central, 
obtemos 2 
radianos (2 rad) 
 
X 
Mais um radiano e 
temos, agora, 3 
radianos (3 rad) 
 
XI 
Este arco pequeno 
em vermelho 
equivale a 
aproximadamente 
0,14 raio. 3 raios 
mais 0,14 raios 
temos  radianos 
( rad) 
 
XII 
Se em meia volta 
temos  rad, em 
uma volta 
completa, temos 2 
rad. 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 Medida de um arco: é a medida do 
ângulo central que o subtende 
independente do comprimento do raio 
da circunferência. 
 
 
 Comprimento de um arco: o 
comprimento de um arco é dado em 
uma medida linear (por exemplo, 
centímetros, metros, etc.) em função 
do ângulo central que o subtende e do 
comprimento do raio da 
circunferência que o contém. 
 
 
UNIDADES PARA MEDIR 
ANGULOS 
 
Medir é comparar o objeto a ser 
medido com uma grandeza unitária e no 
caso de ângulos não é diferente. 
 
 Grau: O arco unitário mais utilizado é 
o grau que corresponde a 
1
360
 da 
circunferência na qual se encontra o 
arco a ser medido. Dessa forma, uma 
circunferência tem 360º (graus ). 
 
 Radiano: É o arco unitário cujo 
comprimento é igual ao raio da 
circunferência na qual se encontra o 
arco a ser medido. Como o 
comprimento da circunferência é 
dado por C = 2r, há uma volta 
completa em 2 rad (radianos). 
 
Desta forma, é possível estabelecer uma 
correspondência entre graus e radianos: 
 


º15
12
º90
2
º180
º3602
rad
rad
rad
rad




 
 
 
Ex.1: Transformar 45º em radianos: 
 
Resolução: vamos aplicar regra de três 
simples sabendo que  rad equivale a 
180º. 
radx
rad
x
x
rad
4
º180
º45
º45
º180





 
 
Assim, radº
4
45

 
Ex.2: Transformar rad
6

 em graus: 
Resolução: neste caso, basta lembrar 
que  rad = 180º e substituir  por 180º. 
 
º30
6
º180
66

rad
rad

 
Assim, ºrad 30
6


. 
MATEMÁTICA I 5 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
 
01) Converta para radianos: 
a) 60º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 30º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 90º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 135º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 270º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
f) 300 º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 330º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Converta em graus: 
a) rad
4
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) rad
3
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) rad
2
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) rad
16

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 7 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
e) rad
5
3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) rad
6
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Observe a figura abaixo: 
 
O arco MN tem comprimento de 18 cm e 
o raio da circunferência é 6 cm. 
Determine em radianos e em graus a 
medida do ângulo central . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
04) Um pêndulo tem 18 cm de 
comprimento e, no seu movimento, suas 
posições extremas formam um ângulo de 
50º. Qual é o comprimento do arco que a 
extremidade pêndulo descreve? 
05) O maior ponteiro de um relógio mede 
12 cm. Qual o comprimento do arco que 
a extremidade deste ponteiro percorre 
durante 20 minutos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 9 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
06) Qual o ângulo entre os ponteiros de 
um relógio que marca: 
a) 3h 30min 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 9h 45min 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 2h 42min 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
07) 
Na figura acima, enquanto a 
tartaruga pronunciava a pergunta, o 
coelho distanciou 16,66m na pista 
circular de 31,83m de raio. Determine a 
medida, em graus, do arco descrito pelo 
coelho neste intervalo de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08) 
 
As duas polias da figura giram juntas por 
estarem ligadas por uma correia 
inextensível. Quantos graus deve girar a 
menor para que a maior dê uma volta 
completa? 
MATEMÁTICA I 11 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
O ciclo trigonométrico é uma 
circunferência de raio unitário montada 
sobre um sistema de eixos ortogonais 
com centro na origem orientada no 
sentido anti-horário a partir da 
intersecção com o ramo positivo do eixo 
horizontal. 
 
O sistema de eixos divideo ciclo 
em quatro quadrantes. 
 
A figura abaixo mostra as 
características descritas acima: 
 
 
 
ASSOCIANDO NÚMEROS A 
PONTOS DO CICLO 
 Cada número real x está 
associado à um ponto do ciclo 
trigonométrico. Para fazer esta 
associação, adotamos algumas 
convenções. Acompanhe no ciclo da 
figura: 
 
 
1. Ao número real x = 0, associamos o 
ponto A, chamado de ORIGEM DO 
CICLO; 
 
2. A um número real x qualquer, 
associamos um ponto P, final do 
seguinte percurso sobre o ciclo: 
 Partimos da origem A 
 Se x > 0, percorremos o ciclo no 
sentido anti-horário, chamado de 
sentido positivo. 
 Se x < 0, percorremos o ciclo no 
sentido horário, chamado sentido 
negativo; 
 O comprimento total do percurso é 
igual a | x |. 
 
3. O ponto P, final do percurso, está 
associado ao número x. Dizemos que 
P é a imagem de x no ciclo. 
 
 
 
 
No ciclo a seguir estão destacadas as 
imagens dos números 
2

,  , 
2
3
 e 2 . 
 
 
 
 Os pontos destacados acima, 
além da própria origem do ciclo, não 
estão em nenhum dos quadrantes. No 
exemplo a seguir estão outros pontos, 
agora fora dos eixos. 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
 
_____________________________ 
 
ARCOS CONGRUENTES 
 
Observe, no ciclo a seguir, as 
imagens de 
6

 e 
6
13
 no ciclo 
trigonométrico: 
 
 
 
 
 Toda vez que um ponto é imagem 
de dois arcos diferentes como foi o caso 
de 
6

 e 
6
13
, chamamos estes arcos de 
côngruos ou congruentes.. Note que 
todos os arcos côngruos diferente entre 
si de um número múltiplo de 2 que é 
exatamente o comprimento de uma volta. 
 
 Veja, na próxima página, uma 
situação que exemplifica o caso: 
 
Ao número 
3

 está associado o ponto P. 
 
 
Ao número 

2
3
 também está 
associado o ponto P. 
 
 
Ao número 

22
3
 , mais uma vez está 
associado o mesmo ponto P. 
 
 Imaginando o ponto como um 
móvel que se desloca sobre a 
circunferência no sentido anti-horário, 
teríamos que, na primeira figura ele 
deslocou-se 
3

 ou 60º de A até P. 
MATEMÁTICA I 13 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
Na segunda figura, o ponto 
deslocou-se uma volta inteira ( 2 ou 
360º) mais 
3

 ou 60º, ou seja, deslocou-
se 
3
7
 ou 420º. 
Na terceira figura, o ponto 
deslocou-se duas voltas inteiras ( 22  
ou º3602  ) e mais 
3

 ou 60º, ou seja, 
deslocou-se 
3
13
 ou 780º. 
 
Supondo que o ponto deslocasse 
k voltas inteiras, o número associado à 
extremidade B do arco AB será escrito da 
seguinte forma: 
 
𝜋
3
+ 𝑘 ∙ 2𝜋 𝑜𝑢 60° + 𝑘 ∙ 360°, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℤ 
 
 Esta forma é chamada de 
expressão geral dos arcos de 
extremidade 
3

. 
 
 A partir desta ideia, podemos 
definir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex.1: Escrever a expressão geral dos 
arcos côngruos a 45º. 
 
Resolução: 
A expressão geral é ºk 360 . 
Como º45 , temos, como expressão 
geral Z k com,ºkº  36045 . 
 
Ex.2: Escrever a expressão geral dos 
arcos côngruos a 
4
3
rad. 
 
Resolução: 
A expressão geral é kx 2 . 
Como 
4
3
x , temos como expressão 
geral Z k com,k  

2
4
3
 
 
 
 
_____________________________ 
 
PRIMEIRA DETERMINAÇÃO 
 
 A primeira determinação de um 
arco é o menor arco não negativo 
congruente ao arco dado, ou seja, é a 
primeira imagem do arco no sentido anti-
horário a partia da origem do ciclo. 
 
 Veja nos exemplos a seguir: 
 
 
 
Ex.1: Qual a primeira determinação do 
arco de 1320º? 
 
Resolução: 
Para encontrar a primeira determinação, 
devemos dividir o arco dado por 360º. O 
resto indicará a resposta procurada. 
 
 
 
 
 
Dois arcos são côngruos quando 
suas medidas se diferem de um 
múltiplo de 2 ou 360º. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Assim, ººº 36032401320  e a 
primeira determinação é 240º. 
Ex.2: Qual a primeira determinação do 
arco de -750º? 
 
Resolução: 
 
 
 
Assim, ººº 3603330750  e a 
primeira determinação é 330º. 
 
 
 
09) Localize, mesmo que 
aproximadamente, a imagem de cada um 
dos números abaixo, no ciclo 
trigonométrico a seguir: 
 
a) 60º b) 300º 
 
c)120º 
 
d) 240º 
 
e) 405º 
 
f) 840º 
 
 
 
 
 
10) Localize, mesmo que 
aproximadamente, a imagem de cada um 
dos números abaixo, no ciclo 
trigonométrico a seguir: 
 
a) rad
3

 b) rad
4
5
 
c) rad
6
11
 d) rad
3
2
 
e) rad
3
8
 f) rad
6
17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11) Indique a primeira determinação de 
cada um dos arcos a seguir: 
a) 685º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 15 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
b) 780º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 1140º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 850º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) -400º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) -1310º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) rad
2
15
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
h) rad
3
10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) rad
6
23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) rad
5
21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k) rad
2
9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
l) rad
4
17
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Escreva a expressão geral dos arcos 
congruentes aos arcos dados (dica: 
encontre, antes, a primeira determinação 
de cada arco) 
a) 800º 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 17 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
b) 420º 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 1640º 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) rad
4
9
 
 
 
 
 
 
 
 
e) rad
3
19
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) rad
5
33
 
13) Dê a expressão geral, em radianos, 
dos arcos de extremidades nos pontos 
indicados: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) No skate, muitas manobras do vert 
(rampa em forma de U) têm no nome 
números que indicam a rotação do skate 
ou do atleta. Uma manobra como o “180 
ollie frontside” consiste num giro de meia-
volta do skate e do atleta no ar quando o 
conjunto sai da rampa, voltando para ela 
com o skate em uma nova posição. 
Considerando apenas o nome das 
manobras abaixo: 
I) fakie 360 
II) 540 McTwist 
III) 720 McHawk 
IV) 900 kwist 
a) Descreva a rotação do skate em cada 
caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quais das quatro manobras descritas 
têm giros que tornam a posição do skate 
na reentrada da rampa igual à posição de 
reentrada de um “stall 180”? Jutifique sua 
resposta com base em conhecimentos 
matemáticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Convertendo rad
4
7
 em graus, 
quanto obtemos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 19 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
16) Qual o comprimento de um arco 
correspondente a um ângulo central de 
60º contido numa circunferência de 
1,5cm de raio? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Qual a primeira determinação de 
2650º? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Qual a expressão geral dos arcos 
côngruos a 
3
14
? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Em qual quadrante está a 
extremidade do arco de 960º? E do arco 
de rad
3
23
? 
 
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
20) Observe a figura a seguir: 
 
No ciclo estão representadas as 
extremidades de quatro arcos: M, N, P e 
Q. As retas tracejadas são 
perpendiculares entre si. 
a) Escreva a expressão geral de cada um 
dos arcos em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Escreva uma única expressão geral 
que contenha os quatro pontos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Ao projetar prédios muito altos, os 
engenheiros devem ter em mente o 
movimento de oscilação típico de 
arranha-céus. Um prédio de 400m de 
altura pode oscilar até 
º






2
1
. Qual o 
comprimento do arco descrito no ponto 
mais alto de um prédio como este? 
(Use  = 3,1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 21 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
22) Qual a medida, em radianos do arco 
descrito pelo ponteiro maior de um 
relógio quando o menor descreve um 
arco de rad
12

?23) “A imagem, no ciclo trigonométrico, 
da soma de dois ou mais arcos coincide 
com a imagem da soma da primeira 
determinação dos arcos”. 
A afirmativa acima é falsa ou verdadeira? 
Justifique. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
As questões 24 a 28 vão levar você a 
deduzir uma fórmula interessante. 
Faça as questões, em sequência, sem 
saltar nenhum item. 
24) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro 
DAS HORAS de um relógio quando são 
zero horas. 
 
 
 
 
 
 
 
Na mesma figura, desenhe o ponteiro 
DAS HORAS agora marcando 7 horas. 
 
a) Qual o ângulo, em graus, que 
representa o deslocamento do ponteiro? 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esse deslocamento é proporcional ao 
número de horas? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Qual a expressão que descreve a 
quantidade de graus do deslocamento 
deste ponteiro em função da quantidade 
de horas? 
 
 
 
 
 
 
 
25) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro 
DAS HORAS de um relógio quando são 
zero horas. 
 
 
 
 
 
 
 
Na mesma figura, destaque a posição do 
ponteiro DAS HORAS 20 MINUTOS 
depois deste instante? 
 
a) Qual o ângulo, em graus, que 
representa o deslocamento do ponteiro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esse deslocamento é proporcional ao 
número de minutos? 
 
 
 
 
 
c) Qual a expressão que descreve a 
quantidade de graus do deslocamento 
deste ponteiro em função da quantidade 
de minutos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 23 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
26) No círculo abaixo, desenhe o ponteiro 
DOS MINUTOS de um relógio quando 
são zero horas. 
 
 
 
 
 
 
 
Na mesma figura, desenhe o ponteiro 
DOS MINUTOS, 20 minutos depois. 
 
a) Qual o ângulo, em graus, que 
representa o deslocamento do ponteiro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Esse deslocamento é proporcional ao 
número de minutos? 
 
 
 
 
 
 
c) Qual a expressão que descreve a 
quantidade de graus do deslocamento 
deste ponteiro em função da quantidade 
de minutos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27) Qual o ângulo entre os ponteiros do 
relógio quando são 7 horas e vinte 
minutos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
28) Demonstre a fórmula que determina 
o ângulo entre os ponteiros de um relógio 
dadas suas posições. A seguir, descreva 
como utilizar tal fórmula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SENO E COSSENO DE 
ÂNGULOS MAIORES QUE 90º 
Vamos lidar, aqui, com senos e 
cossenos de ângulos que medem mais 
de 90º (até 180º). Como ainda não 
conceituamos tais informações, vamos 
trabalhar de forma prática e, na apostila 
11, fundamentaremos tais conceitos. 
 
 Temos que saber, em princípio, 
que: 
 
𝑠𝑒𝑛90° = 1 
 
𝑐𝑜𝑠90° = 0 
 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥) 
𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180° 
 
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −𝑐𝑜𝑠(180° − 𝑥)
𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180°
 
 
 
 
Ex. Vamos determinar sen120º e 
cos120º. 
 
Resolução: 
 
 sen120º sen 180º 120º
3
sen60º
2
  
 
 
 
 cos120º cos 180º 120º
1
cos60º
2
   
   
 
 
Assim: 
3
sen120º
2
 e 
1
cos120º
2
  
MATEMÁTICA I 25 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
 
29) Obtenha o valor de: 
a) sen135º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) cos135º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) sen150º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) cos150º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30) Obtenha o valor de cada uma das 
expressões: 
a) sen20º sen160º cos44º cos136º   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) sen10º cos50º cos130º sen170º   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
LEI DOS SENOS 
 
Em todo triângulo, os lados são 
proporcionais aos senos dos ângulos 
opostos a eles. 
 
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
 
 
 
 
 
 
Ex1. Em um triângulo isósceles, a base 
mede 6cm e o ângulo oposto à base 
mede 120º. Calcule a medida dos outros 
dois lados do triângulo. 
 
Resolução: 
 
 
Pela Lei dos senos 
 
6
𝑠𝑒𝑛 120°
=
𝑥
𝑠𝑒𝑛 30°
 
 
6
√3
2
⁄
=
𝑥
1
2⁄
 
𝑥√3
2
= 3 
𝑥 √3 = 6 
𝑥 = 
6
√3
 ∙ 
√3
√3
 
𝑥 = 2√3 
 
 
Resposta: 2√3 cm 
Ex.2: Num triângulo ABC, o lado BC 
mede 5cm, A = 48º e B 25º. Calcular a 
medida aproximada do lado AB. (Utilize a 
tabela que está na página 16 da apostila 9.) 
 
Resolução: 
 
Pela Lei dos Senos 
 
𝐵𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝐴𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐵
= 
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐶
 
 
 
Do enunciado, temos o lado BC (5cm) e 
queremos o lado AB, logo precisamos 
dos ângulos A e C. 
�̂� + �̂� + �̂� = 180° 
48° + 25° + �̂� = 180° 
�̂� = 107° 
 
Aplicando a lei dos senos 
 
𝐵𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴
= 
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐶
 
 
5
𝑠𝑒𝑛 48°
=
𝐴𝐵
𝑠𝑒𝑛 107°
 
MATEMÁTICA I 27 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
(Observe a nota de rodapé1 ) 
 
5
0,743
=
𝐴𝐵
0,956
 
 
𝐴𝐵 =
5 ∙ 0,956
0,743
 
 
AB = 6,43 
 
Resposta: o lado AB mede 6,43 cm 
 
 
 
 
 
31) No triângulo da figura abaixo, 
encontre as medidas de b e c 
 
 
1 Como vimos na página 24 desta 
apostila, 𝑠𝑒 90° ≤ 𝑥 ≤ 180°, então 
𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (180° − 𝑥) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32) Num triângulo ABC são dados 
A = 45º, B = 30º e a + b = 2 1 . Calcule 
o valor de a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33) Use da tabela da página 16 da 
apostila 9 e determine o valor aproximado 
de x em cada caso: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34) A figura mostra um triângulo 
isósceles de base BC. Calcule a medida 
da base BC admitindo-se conhecidos m, 
 e . 
 
 
MATEMÁTICA I 29 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
35) Na figura, calcule o comprimento do 
segmento AB em função de m e . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DOS COSSENOS 
 
Em todo triângulo, o quadrado de 
qualquer um dos lados é igual à soma 
dos quadrados dos outros dois, diminuída 
do dobro do produto desses lados pelo 
cosseno do ângulo por eles formado. 
 
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 ∙ cos 𝐴 
 
 
 
Ex.1: Calcule o comprimento do lado AB 
no triângulo abaixo: 
 
 
 
Resolução: 
 
Da lei dos cossenos: 
 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ cos 𝐶 
 
𝑐2 = 102 + 182 − 2 ∙ 10 ∙ 18 ∙ cos 120° 
 
𝑐2 = 100 + 324 − 360 ∙ (−
1
2
) 
 
𝑐2 = 424 + 180 
 
𝑐 = √604 
 
𝑐 = 2√151 
 
Resposta: O lado AB mede 2√151 u.c. 
 
CÁSSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Ex.2 O ângulo agudo de um losango 
mede 20º e seus lados medem 5cm. 
Quanto mede a diagonal menor deste 
losango? 
Resolução: 
2 2 2
2
2
5 5 2 5 5 cos20º
25 25 50 0,94
3
3
1,7
d
d
d
d
d cm
     
   



 
Resposta: 
a diagonal menor mede 
aproximadamente 1,7cm 
 
 
 
36) Calcule o comprimento da diagonal 
maior do losango do exemplo 2 acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37) Calcule x na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38) Na figura abaixo, são dados (em 
centímetros) os comprimentos dos lados 
a, b além da medida do ângulo C. Calcule 
o comprimento do lado c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
3 2
45º
a
b
C



MATEMÁTICA I 31 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
39) Dois lados consecutivos de um 
paralelogramo medem 10cm e 14 cm e 
formam um ângulo de 60º. Determine: 
a) A medida das diagonais. 
b) A área do paralelogramo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40) Duas forças de intensidade F1 = 8N e 
F2 = 12N formam entre si um ângulo de 
60º. Qual a intensidade de R resultante 
destas forças? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
41) Um corredor A está numa reta r e 
corre sobre ela no sentido AX. Um 
corredor B não está sobre r e, correndo 
em linha reta, pretende alcançar A. 
Sendo a partida simultânea, que direção 
deve tomar B se as velocidades de 
ambos são conhecidas? 
Considere BÂX = 110º, velocidade de A 
igual a 8 m/se velocidade de B igual a 
9m/s. Determine o ângulo que a trajetória 
de B deve fazer com a reta BA para\que 
o encontro seja possível. 
 
 
42) Quanto vale o ângulo do vértice de 
um triângulo isósceles cuja base tem 
comprimento igual a um terço da medida 
dos lados congruentes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 33 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
43) Na figura, Bé ponto médio de DE e 
ABCD é um retângulo de lados DC = 1 e 
AD = 2. Determine AE. 
 
 
 
 
CÁSSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
RESPOSTAS 
 
01) 
a) rad
3

 b) rad
6

 
 
c) rad
2

 d) rad
4
3
 
 e) rad
2
3
 f) rad
3
5
 
 
g) rad
6
11
 
 
 
02) a) 225º b) 120º 
 c) 270º d) 11º 15’ 
 e) 108º f) 150º 
 
03) 3 rad ou (540/)º 
 
04) Aproximadamente 15,7 cm 
 
05) Aproximadamente 25,2 cm 
 
06) a) 75º b) 22,5º ou 22º 30’ 
 c) 171º 
 
07) 30º 
 
08) 600º 
 
09) 
 
10) 
 
 
11) a) 325º b) 60º 
 c) 60º d) 130º 
 e) 320º f) 130º 
 
g) rad
2
3
 h) rad
3
4
 
 
i) rad
6
11
 j) rad
5

 
 
k) rad
2

 l) rad
4

 
 
12) a) Zkcom,ºkº  36080 
 b) Zkcom,ºkº  36060 
 c) Zkcom,ºkº  360200 
 
d) Zkcom,k  

 2
4
 
 
e) Zkcom,k  

 2
3
 
 
f) Zkcom,k  

 2
5
3
 
 
13) 
a) Zkcom,k  

 2
6
 
 
b) Zkcom,k  


4
 
 
c) Zkcom,k  

 2
6
5
 
 
 
14) a) Fakie 360: giro de uma volta 
completa. 
540 McTwist: giro de uma volta 
completa mais meia-volta. 
720 McHawk: giro de duas voltas 
completas. 
900 kwist: giro de duas voltas 
completas mais meia-volta. 
 b) 540 McTwist e 900 kwist 
 
15) 325º 
 
16) cm
2

 
 
17) 130º 
 
MATEMÁTICA I 35 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS 
 
18) 
Zkcom,k  

 2
3
2
 
 
19) III Quad. e IV Quad. 
 
20) a) 
Zkcom,k:M  

 2
3
 
 
Zkcom,k:N  

 2
6
5
 
 
Zkcom,k:P  

 2
3
4
 
 
Zkcom,k:Q  

 2
6
11
 
 
b) Zkcom,
k

23

 
 
21) 3,44 metros. 
 
22) rad 
 
23) 
 
24) 
 
25) 
 
26) 
 
27) 
 
28) 
 
29) 
 
30) 
 
31) 
 
32) 
 
33) 
 
34) 
 
35) 
 
36) 
 
37) 
 
38) 
 
39) 
 
40) 
 
41) 
 
42) 
 
43) 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
DANTE, Luiz Roberto; 
Matemática, Volume único. São Paulo, 
Atica, 2005. 
IEZZI, Gelson e outros; 
Matemática, Volume único. São Paulo, 
Atual, 2002. 
IEZZI, Gelson e outros; 
Fundamentos da Matemática Elementar, 
Volume 1. São Paulo, Atual, 5ª edição, 
1977. 
 PAIVA, Manoel; Matemática; 
Volume 1. São Paulo, Moderna, 1995. 
 
A figura da página 09 (exercício 07) foi extraída 
do livro Matemática, Volume único de Gelson 
Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e 
Roberto Périgo. 
 
Link para os vídeos sugeridos: 
 
Pág. 27 
www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/lei-
dos-senos 
 
Pág. 30 
www.vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/lei-
dos-cossenos