Física Geral - Livro-Texto - Unidade I

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Autores: Prof. Ranyere Deyler Trindade
 Prof. André Ricardo Ramos 
Colaboradoras: Profa. Valéria de Carvalho
 Profa. Marisa Rezende Bernardes
 Profa. Ana Carolina Bueno Borges
Física Geral
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Professores conteudistas: Ranyere Deyler Trindade / André Ricardo Ramos
Ranyere Deyler Trindade é doutorando em Física pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp). Mestre e 
graduado em Física pela Universidade Federal de Goiás (UFG). 
Professor do Ensino Superior desde 2008, trabalhou na área de Física Estatística com ênfase em Simulação 
Computacional. Ainda com foco em Computação, atuou na área de Física da Matéria Condensada e Física Aplicada. 
Foi professor-assistido por dois anos e meio na Unicamp e atualmente é professor da UNIP, no ensino presencial e a 
distância.
É autor de livros e publicações em anais de congressos, estando sempre envolvido com trabalhos na área de 
Matemática diretamente interligados à Física.
André Ricardo Ramos é químico, bacharel e mestre pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Atuou como 
professor em cursinhos e no ensino de jovens e adultos (EJA) lecionando química e física.
Iniciou como professor do Ensino Superior em 2006 no ciclo básico dos cursos de engenharia da Universidade 
Paulista (UNIP), ministrando diversas disciplinas na área de Química, Física e Cálculo. Lecionou, ainda, Matemática 
Aplicada para o curso de Farmácia.
Atuou em seu período de formação na área de desenvolvimento de catalisadores biológicos pela UFPR e realizou 
pesquisa para o desenvolvimento de sensores eletroquímicos pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). 
Possui também trabalhos apresentados em congressos nacionais e internacionais, bem como publicação em revistas 
especializadas sobre estes assuntos.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
T833f Trindade, Ranyere Deyler.
Física geral. / Ranyere Deyler Trindade. – São Paulo: Editora Sol, 
2014.
208 p. il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XIX, n. 2-014/14, ISSN 1517-9230.
1. Física. 2. Cinemática. 3. Princípios da dinâmica. I. Título.
CDU 53
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Lucas Ricardi
 Andréia Andrade
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Sumário
Física Geral
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 FÍSICA: CONCEITO, GRANDEZAS E UNIDADES ........................................................................................9
1.1 Fenômenos .................................................................................................................................................9
1.2 Divisões da Física .................................................................................................................................. 10
1.3 Grandezas físicas .................................................................................................................................. 11
1.3.1 Tipos de grandezas ................................................................................................................................. 12
1.4 Unidades .................................................................................................................................................. 13
1.4.1 Sistemas de medidas ............................................................................................................................. 13
1.5 Algarismos significativos ................................................................................................................... 18
2 CINEMÁTICA ...................................................................................................................................................... 20
2.1 Móvel ......................................................................................................................................................... 21
2.2 Espaço ....................................................................................................................................................... 21
2.3 Referencial .............................................................................................................................................. 23
2.4 Deslocamento escalar ......................................................................................................................... 23
2.5 Velocidade ............................................................................................................................................... 25
2.5.1 Velocidade média .................................................................................................................................... 25
2.5.2 Velocidade escalar instantânea ......................................................................................................... 29
2.6 Movimento retilíneo uniforme ....................................................................................................... 32
2.6.1 Função horária do MRU ....................................................................................................................... 35
2.6.2 Gráficos do MRU ..................................................................................................................................... 39
2.6.3 Velocidade escalar relativa .................................................................................................................. 46
Unidade II
3 MOVIMENTO ACELERADO (CONTINUAÇÃO DA CINEMÁTICA) ...................................................... 54
3.1 Aceleração escalar ................................................................................................................................ 54
3.2 Classificação dos movimentos ........................................................................................................ 56
3.3 Movimento uniformemente variado (MUV) .............................................................................. 56
3.4 Queda livre .............................................................................................................................................75
3.5 Lançamento oblíquo ........................................................................................................................... 83
4 CINEMÁTICA VETORIAL E MOVIMENTO CIRCULAR ............................................................................ 88
4.1 Vetor deslocamento ............................................................................................................................ 88
4.2 Vetor velocidade ................................................................................................................................... 89
4.2.1 Vetor velocidade média ........................................................................................................................ 89
4.3 Aceleração vetorial .............................................................................................................................. 90
4.4 Movimento circular ............................................................................................................................. 92
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4.4.1 Deslocamento angular.......................................................................................................................... 93
4.4.2 Velocidade angular ................................................................................................................................. 94
4.4.3 Aceleração angular ................................................................................................................................ 97
4.4.4 Período e frequência ............................................................................................................................ 98
4.4.5 Engrenagens ............................................................................................................................................ 99
4.5 Movimento Circular Uniforme (MCU)........................................................................................101
4.6 Movimento Circular Uniformemente Variado (MCUV) .......................................................105
4.6.1 Aceleração centrípeta .........................................................................................................................105
4.6.2 Aceleração tangencial .........................................................................................................................107
4.6.3 Função horária do MCUV ..................................................................................................................107
Unidade III
5 PRINCÍPIOS DA DINÂMICA ........................................................................................................................117
5.1 Força ........................................................................................................................................................118
5.1.1 Tipos de força .........................................................................................................................................118
5.2 Sistema inercial ..................................................................................................................................118
5.3 Equilíbrio ................................................................................................................................................118
5.4 Primeira Lei de Newton (Princípio da Inércia) ........................................................................119
5.5 Segunda Lei de Newton ...................................................................................................................119
5.5.1 Soma vetorial ........................................................................................................................................121
5.5.2 Força peso ............................................................................................................................................... 130
5.5.3 Força normal ...........................................................................................................................................131
5.6 Terceira Lei de Newton .....................................................................................................................133
6 APLICAÇÕES GERAIS DAS LEIS DE NEWTON ......................................................................................137
6.1 Força de tração (T)..............................................................................................................................137
6.1.1 Polias ideais ........................................................................................................................................... 138
6.2 Força de atrito .....................................................................................................................................143
6.2.1 Tipos de forças de atrito ................................................................................................................... 144
6.3 Força elástica (Lei de Hooke) .........................................................................................................151
6.4 Plano inclinado ....................................................................................................................................154
6.4.1 Plano inclinado sem atrito ............................................................................................................... 154
6.4.2 Plano inclinado com atrito .............................................................................................................. 159
6.5 Força centrípeta ..................................................................................................................................162
Unidade IV
7 ENERGIA E LEIS DA CONSERVAÇÃO ......................................................................................................174
7.1 Forças constantes e trabalho unidimensional ........................................................................174
7.2 Unidades de medida do trabalho ...............................................................................................176
7.3 Trabalho de uma força variável ....................................................................................................180
7.4 Energia ....................................................................................................................................................183
7.4.1 Energia cinética e sua relação com o trabalho ........................................................................ 183
8 ENERGIA POTENCIAL E ENERGIA MECÂNICA ....................................................................................187
8.1 Energia potencial gravitacional e sua relação com o trabalho .......................................187
8.2 Energia potencial elástica ...............................................................................................................190
8.3 Energia mecânica e conservação de energia ..........................................................................191
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APRESENTAÇÃO
A disciplina Física Geral contempla em seu conteúdo programático vários aspectos da Mecânica 
Clássica, a saber:
• medidas e unidades;
• movimento em uma dimensão;
• queda livre e lançamento na vertical;
• dinâmica da partícula;
• os princípios de conservação.
Para abordar tais assuntos, apresentaremos um material teórico sucinto que não tem a pretensão 
de grandes inovações, mas, sim, de apresentar – de maneira clara e sistemática – o conteúdo previsto.
Esta disciplina, diferentemente das demais matérias do curso,caracteriza-se por ser bastante 
envolvente, permitindo ao aluno rápida inserção em seu conteúdo, principalmente por focar um dos 
ramos da Física mais tradicionalmente estudados nos colégios de Ensino Médio: a Mecânica Clássica. 
Não temos a pretensão de desenvolver especialistas em Física, pois não se trata de uma licenciatura 
nessa área. Objetivamos, isso sim, trazer conhecimento suficiente que permita ao futuro professor 
o domínio de ferramentas matemáticas, além de um2amplo espectro de aplicações que visem ao 
enriquecimento de suas aulas. É nosso objetivo que, ao se capacitar nesta disciplina, o futuro docente 
domine plenamente tratamentos gráficos, algébricos, trigonométricos etc. e, com isso, esteja apto a 
responder aos questionamentos dos alunos.
 Saiba mais
Vale a pena ler os artigos produzidos pela Revista Brasileira de Ensino 
de Física. Além de trazerem conteúdos básicos, auxiliam os docentes na 
inclusão de aulas experimentais, mesmo que sejam demonstrativas, no caso 
de a escola não possuir um laboratório específico. 
REVISTA Brasileira de Ensino de Física. Disponível em: <http://www.
sbfisica.org.br/rbef/ojs/index.php/rbef>. Acesso em: 12 dez. 2013.
Como objetivos específicos desta disciplina, espera-se que você adquira conhecimentos sobre:
• como se representam grandezas físicas;
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• o que são algarismos significativos;
• o que representa uma medida;
• Sistema Internacional de Unidades;
• conversões de unidades.
INTRODUÇÃO
A Física está presente em tudo o que fazemos. Quando andamos, subimos as escadas, andamos em um 
automóvel, pisamos no freio ou no acelerador etc. Muitas vezes, percebemos certos fenômenos físicos 
e até os quantificamos. Quando estamos viajando, normalmente fazemos as contas de quanto tempo 
levará para completarmos tal percurso. Ao fazermos isso, estamos utilizando as teorias de Cinemática, 
mas muitos nem imaginam do que se trata. 
Muitas vezes, o problema começa quando é colocado no papel. Sendo assim, o aluno deve ter a 
cabeça aberta e buscar uma relação de tudo o que é ensinado aqui com algo do dia a dia. De fato, 
frequentemente ao longo deste livro-texto apontaremos tal relação. 
Aqui, por tratarmos da Dinâmica, muitas das teorias estarão diretamente ligadas com nosso 
cotidiano, mais do que qualquer outra parte da Física. O aluno deve usar isso a seu favor para facilitar o 
entendimento do conteúdo ensinado. 
Esperamos que, ao final deste curso, você saiba relacionar o conceito de Cinemática e energia com 
seu dia a dia, pois dessa forma não se tratará de um ensinamento momentâneo, descartado semanas 
depois.
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FÍSICA GERAL
Unidade I
1 FÍSICA: CONCEITO, GRANDEZAS E UNIDADES
Por séculos, o homem, na busca pelo conhecimento, observou fenômenos e elaborou teorias para 
explicá-los. A ciência que nos permite explicar os fenômenos naturais é chamada de Física. 
Os primeiros homens que buscavam explicar os fenômenos naturais, em sua maioria, não eram 
físicos, mas filósofos – como Aristóteles, um dos pioneiros na observação e criação de teorias físicas de 
que se tem registro. Mesmo que a maioria tenha se mostrado ineficaz, serviram como pontapé inicial 
para a Física. 
O nome “Física” vem do grego physiké, que significa natureza. 
 Saiba mais
Para conhecer um pouco mais sobre a história e os principais 
acontecimentos da Física, acesse o link a seguir:
HISTÓRIA da Física – Resumo. [s.d.]. Disponível em: <http://
fisicasemmisterios.webnode.com.br/products/historia-da-fisica-resumo/>. 
Acesso em: 27 nov. 2013.
1.1 Fenômenos
Damos o nome de “fenômenos” quando observamos algum tipo de transformação. É comum 
classificá-los em físicos e químicos, sendo:
• fenômenos físicos são aqueles em que não há alteração na natureza dos corpos. Exemplo: 
quando a água passa do estado líquido para o estado físico. Apesar de ter havido uma mudança 
de fase, sua composição molecular continua sendo a mesma;
• fenômenos químicos são aqueles em que há algum tipo de alteração na natureza dos corpos. 
Exemplo: um metal que se enferruja. O metal sofre oxidação, ou seja, uma reação química com o 
oxigênio do ar ou da água em contato com ele.
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Unidade I
1.2 Divisões da Física
Com o passar do tempo, o estudo da Física atingiu uma magnitude inimaginável, e fez-se necessária 
uma divisão baseada no tipo de fenômeno ou do tamanho da matéria estudada. 
Inicialmente, até o começo do século XX, havia apenas a Física clássica, que trata do estudo de 
propriedades da matéria em escala macroscópica. Pode ser dividida em:
• Mecânica: estudo da interação e do movimento de corpos. As grandezas fundamentais da 
mecânica são força, massa, aceleração, velocidade, posição e tempo – falaremos sobre isso com 
mais detalhes adiante. A mecânica ainda pode ser subdividida em:
— Cinemática: estudo do movimento dos corpos sem levar em consideração a causa do 
movimento.
— Dinâmica: estudo do movimento dos corpos e da causa do movimento (das forças de interação 
entre os corpos).
— Estática: estudo de sistemas sob ação de forças que se equilibram.
• Termologia: estudo dos fenômenos térmicos, em outras palavras, é o estudo do calor. Podemos 
subdividi-la em: 
— Termometria: estudo da temperatura e das escalas termométricas.
— Calorimetria: estudo das trocas de energia entre dois sistemas quando se dão na forma de 
calor.
— Estática: estudo da dilatação dos materiais com a variação de temperatura.
— Termodinâmica: estudo das relações entre calor, temperatura, trabalho e energia.
• Óptica: estudo da luz e outras radiações eletromagnéticas. Pode ser subdividida em: 
— Óptica geométrica: estudo dos fenômenos luminosos do ponto de vista geométrico, baseado 
na noção de um feixe de luz.
— Óptica ondulatória: estudo da luz considerando-a uma onda plana.
— Óptica eletromagnética: estudo da luz considerando-a uma onda eletromagnética.
• Ondulatória: estudo das ondas e suas propriedades.
• Eletricidade: estudo dos fenômenos resultantes da presença e do fluxo de carga elétrica. Pode 
ainda ser subdividida em: 
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— Eletrostática: estudo das propriedades de cargas elétricas em repouso.
— Eletrodinâmica: estudo das propriedades e do comportamento de fenômenos envolvendo 
cargas elétricas em movimento.
— Eletromagnetismo: estudo da relação entre os campos elétricos e magnético.
Um aluno de Matemática pode se perguntar: por que estudamos Física em nosso curso? Além da 
resposta óbvia – sua importância como disciplina de exatas –, devemos nos lembrar de que a evolução 
da Matemática também está associada historicamente à da Física. O cálculo diferencial e integral foi 
desenvolvido, simultaneamente, por Leibniz e Newton. Por que Newton precisou de uma ferramenta tão 
poderosa quanto o cálculo? Em nosso material didático, procuraremos apresentar alguns exemplos que 
o motivaram a desenvolver o cálculo. 
Mas, para falar de Física, precisamos antes pensar em medidas, ou medições. Se um professor de 
Física perguntar quanto tempo você leva de sua casa até o trabalho, você deverá responder “x minutos”. 
Ou seja, dará como resposta um valor numérico seguido de uma noção da escala de medida que você 
está usando. Estará fornecendo a resposta de uma grandeza física.
1.3 Grandezas físicas
Definimoscomo uma grandeza física tudo aquilo que pode ser medido e a ele serem associados um 
valor numérico e uma unidade.
Expressamos toda grandeza física como sendo o produto do seu valor numérico medido por sua 
unidade, ou seja:
X = |X| . [X]
 
Grandeza Medida Unidade
A seguir, o valor de algumas grandezas constantes da natureza. 
Constante gravitacional:
G
m
kg s
= ×
⋅
−6 67384 10 11
3
2,
Carga elétrica elementar:
e C= × −1602 10 9,
Número de Avogadro:
N molA = ×
−6 02 1023 1,
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Unidade I
Diferentemente da Matemática, uma medida ou um número só faz sentido na Física se vier 
acompanhado de sua unidade. Se não houver unidade em uma placa na estrada com o número 60, por 
exemplo, somos incapazes de dizer com certeza o que ela representa. Pode ser que a velocidade máxima 
seja 60 km/h ou que a cidade mais próxima se encontre a 60 km dali. 
Em problemas físicos envolvendo diversas grandezas, é de extrema importância analisar a 
unidade final obtida como forma de verificar se ela corresponde à grandeza desejada. Se você 
pretende obter o tempo total de algum acontecimento, mas no final a unidade que restou foi 
uma unidade de distância, alguma coisa foi feita errada, e o aluno pode usar isso a seu favor na 
resolução do problema.
1.3.1 Tipos de grandezas
As grandezas físicas podem ser classificadas em dois diferentes tipos:
• Grandezas vetoriais: são grandezas físicas que, para serem representadas, precisam de 
módulo, direção e sentido, ou seja, apenas o valor medido não é o suficiente para que 
possamos representá-las. Os exemplos mais comuns, e amplamente utilizados na mecânica, 
são: velocidade, deslocamento, aceleração e força. Quando vamos representar uma força, 
devemos ser capazes de dizer a magnitude dessa força (o módulo), a direção em que está 
sendo aplicada e o sentido.
2N
10N

F1

F2
Figura 1 
Na figura, a força F1 possui uma magnitude de 10 newtons, está na direção horizontal e seu sentido 
é para a direita, ou leste. Já a força F2 possui magnitude de 2N, direção vertical e sentido para cima, 
ou norte. Reparem que, se deixamos de dar uma das três descrições da força, sua representação fica 
incompleta. Assim como força, posição, velocidade e aceleração também necessitam das três descrições 
para serem representadas. 
• Grandezas escalares: diferentemente das grandezas vetoriais, as grandezas escalares não possuem 
direção e sentido. Dessa forma, são representadas apenas com um valor numérico. Na mecânica, 
os exemplos mais comuns de grandezas escalares são a massa e o tempo. Quando falamos que um 
objeto tem uma massa igual a 5 kg, não precisamos de mais nada para representar sua massa – o 
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valor em si é o suficiente para entendermos. O mesmo vale para o tempo. Quando dizemos que se 
passaram dez minutos, não precisamos dizer mais nada. 
 Observação
É importante observar que, no caso das grandezas escalares, não se 
trata de uma opção representar ou não a direção e o sentido. Para que 
a grandeza seja caracterizada como escalar, temos que reconhecer ser 
impossível dar uma direção e um sentido para ela.
1.4 Unidades
Para podermos representar corretamente uma grandeza, devemos conhecer bem sua unidade e 
decidir qual sistema de unidades usaremos. 
1.4.1 Sistemas de medidas
Os dois sistemas de medidas mais usados atualmente são o métrico e o imperial, quase em desuso 
na maioria dos países do mundo, sendo os EUA um dos únicos lugares que ainda o utilizam. O sistema 
métrico, por sua vez, é utilizado por mais de 90% dos países ao redor do mundo, pois é mais eficiente 
e de conversões mais simples. Nele, a relação entre as medidas se dá por múltiplos de 10. Para cada 
múltiplo, temos uma letra correspondente, e o aluno deve se habituar a elas. Veja a seguir um quadro 
com os dados mais utilizados em nosso curso: 
Quadro 1 – Relação de um símbolo a cada múltiplo de 10
Tera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Quilo k 103
Deci d 10-1
Centi c 10-2
Mili m 10-3
Micro μ 10-6
Nano n 10-9
Pico p 10-12
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 Observação
Os números estão escritos como múltiplos de 10 com uma notação 
denominada “notação científica”. Nela, escrevemos o número na forma:
a n×10
onde
1 10≤ <
∈
a
n Z
Exemplo de aplicação
Escreva os seguintes números em notação científica:
a) 12 300 000
b) 0, 000072
Solução:
a) Para colocar em notação científica, temos de deslocar a vírgula. O número de casas a serem 
deslocadas é a potência (ou seja, o expoente) da base 10. Quando deslocamos a vírgula para a esquerda, 
a potência é positiva.
12 300 000,0 = 1, 230 000 0 x 10n ⇒ 1,23 x 107
 
 n = 7
b) A vírgula ficará entre 7 e 2; sendo assim, temos de deslocar a vírgula para a direita; portanto, a 
potência será positiva:
0,000072 = 7,2 x 10n ⇒ 7,2 x 10-5
 
 n = 5
Uma vez definido o sistema como sendo métrico, devemos ter um tipo padrão de medida para cada 
grandeza. Esse padrão se dá pelas medidas do chamado SI (Sistema Internacional).
Quando medimos uma grandeza, o que fazemos na verdade é compará-la com alguma outra medida 
do mesmo tipo. É necessário ter uma referência inicial, as outras medidas são obtidas comparando 
proporcionalmente com a referência. 
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FÍSICA GERAL
 Saiba mais
Para saber mais sobre a origem do metro, do quilograma e do litro, leia o 
texto a seguir, que mostra resumidamente como foi a convenção utilizada 
para que eles assumissem o valor que possuem hoje.
FUJITA, L. Como foram calculados o metro, o litro e o quilo? [s.d.]. 
Disponível em: <http://mundoestranho.abril.com.br/materia/como-foram-
calculados-o-metro-o-litro-e-o-quilo>. Acesso em: 27 nov. 2013. 
Logo, se sabemos a distância relativa a, por exemplo, 1 metro, ao medirmos uma distância diferente, 
o que fazemos então é comparar essa medida para ver quantos metros ela corresponde. Isso se dá para 
qualquer grandeza.
A seguir, as unidades das principais grandezas físicas que utilizaremos em nosso curso.
• Tempo: no Sistema Internacional (SI), a unidade de tempo é o segundo (s), mas podemos lidar 
com diferentes unidades. Veja o quadro:
Quadro 2 
Nome Hora Minuto Segundo
Símbolo h min s
O tempo é uma das poucas grandezas em que a relação entre suas unidades não se dá por uma 
potência de 10. A seguir, algumas regras de conversão:
1 min = 60 s
1 h = 60 min = 3.600 s
1 dia = 24 h
1 semana = 7 dias
1 mês = 30 dias
• Comprimento: no Sistema Internacional (SI), a unidade de comprimento é o metro (m), mas 
podemos lidar com diferentes unidades que, nesse caso, obedecerão ao Quadro 1. Vejamos a 
seguir as principais:
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Unidade I
Quadro 3 
Nome Quilômetro Metro Centímetro Milímetro Micrometro
Símbolo km m cm Mm μm
De acordo com o Quadro 1, a relação entre cada medida se dá por uma potência de 10. Temos, então:
1 m = 10² cm = 10³ mm;
1 km = 10³ m.
Para saber o inverso, basta mudarmos o sinal da potência, ou seja:
1 mm = 10-3 m
1cm = 10-2 m
1m =10-3 km
• Massa: no Sistema Internacional (SI), a unidade de massa é o kg. No entanto, podemos lidar com 
diferentes unidades que também obedecerão (com exceção da tonelada) ao Quadro 1. Vejamos a 
seguir as principais:
Quadro 4 
Nome Tonelada Quilograma Grama Miligrama
Símbolo t kg g mg
Temos, então, as relações de conversão:
1 kg = 10³ g
1 g = 10³ mg
1 t = 10³ kg
E as inversas:
1 g = 10-³ kg
1 mg = 10-³ g
1 kg = 10-³ t
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FÍSICA GERAL
 Observação
Repare que, nesse caso, a unidade do Sistema Internacional não 
é a referência g, e sim 10³ g, ou kg. Assim, não se deve associar sempre 
a unidade referência como sendo a do Sistema Internacional, pois nem 
sempre isso será verdade. Observem também que o que seria mg recebeu o 
nome de “tonelada”.
Exemplos de aplicação
1) Quantas horas, minutos e segundos há em 17,56 h?
Solução:
Separando a parte inteira da parte decimal:
17,56 h = 17 h + 0,56 h
Transformando 0,56 h em minutos:
0,56 * 60 = 33,6 min
Separando a parte inteira da parte decimal:
33,6 min = 33 min + 0,6 min
Transformando 0,6 min em segundos:
0,6 * 60 = 36 s
Portanto:
17,56 h = 17 h 33 min 36 s
2) Quantas canetas de 12 cm de comprimento são necessárias, no mínimo, para cobrir a distância 
Terra-Sol, de 1,5x108 km?
Solução:
O número de canetas (n) é a razão entre a distância Terra-Sol e o comprimento da caneta:
n
x km
cm
x cmkm
cm
x= = =
15 10
12
15 10 10
12
13 10
8 8 5
12, , * ,
Precisaremos, então, de 1,3 x 1012 caneta, ou seja, aproximadamente 1 trilhão de canetas.
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Unidade I
1.5 Algarismos significativos
Quando fazemos uma medida, o resultado que temos é um valor aproximado do valor real. 
Essa aproximação irá depender do instrumento que estamos utilizando para fazer a medida, mais 
especificamente da precisão desse instrumento. 
Não faz sentido falar em um padrão para um número de casas decimais para se representar uma 
medida. Isso depende do que estamos interessados em medir. Se estivermos, por exemplo, medindo 
a nossa massa, uma precisão de até 100 gramas é mais que suficiente – por isso, normalmente, nas 
balanças das farmácias as medidas são de 100 em 100 gramas. Se quisermos medir, no entanto, um 
objeto mais leve, que seja da ordem de 50 gramas, não fará sentido utilizarmos uma balança de farmácia, 
fazendo-se necessário o uso de uma com maior precisão. 
Assim, quando representamos uma medida, devemos levar em consideração a precisão do instrumento. 
Não faria sentido, por exemplo, representar a medida da nossa massa como sendo 60,1523452 kg. Visto 
que a precisão da balança é de 100 g, seria o suficiente representá-la como 60,2 kg (arredondando). 
Precisamos definir, então, os chamados algarismos significativos (AS), que nos darão uma ideia de 
como representar uma medida. Como já vimos, é necessário ter uma ideia da precisão que, definida, nos 
dará uma base de quantas casas devemos utilizar em nossa representação da medida.
Os algarismos significativos são todos os algarismos, contados da esquerda para a direita, a partir do 
primeiro não nulo. Logo:
57,462 – Possui 5 AS
 último AS (casa da incerteza) 
 primeiro AS
0,0023 – Possui 2 AS
 último AS (o erro do instrumento/estatístico encontra-se nessa casa)
 primeiro AS
0,00230 – Possui 3 AS
 último AS (diferente do anterior, onde o 3 era dúvida; aqui ele é 
 certeza, e a dúvida é o zero)
 primeiro AS 
Repare: mesmo que matematicamente os números 0,0023 e 0,00230 sejam iguais, tratando-se de 
uma medida, eles possuem a diferença de uma casa de precisão. No primeiro (0,0023), o instrumento 
possui um erro que se encontra na 4ª casa decimal – por exemplo, 0,0002. Isso quer dizer que essa 
medida, na verdade, seria 0,0023 ± 0,0002. Logo, como o erro está na 4ª casa, não há porque representar 
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FÍSICA GERAL
a medida com 5 casas, já que a 5ª casa não faria o menor sentido. Já no segundo (0,00230), o instrumento 
possui um erro que se encontra na 5ª casa decimal – por exemplo, 0,0001. Logo, nesse caso, a medida 
pode ser representada com 5 casas: 0,00230 ± 0,0001. 
O erro do instrumento é que dirá, então, com quantas casas devemos representar nossa medida. 
Primeiro, temos de saber com quantos algarismos significativos representaremos o erro. O mais comum 
é com apenas um algarismo significativo. Já o erro instrumental é normalmente definido de duas 
maneiras: 
• Instrumento analógico: o erro é a metade da menor divisão. Se pegarmos como exemplo a 
régua milimetrada, sua menor divisão é de 1 mm; portanto, o erro seria de 0,5 mm. Considerando 
então apenas o erro instrumental, se aferimos dessa régua uma medida que resultou em 14,5 cm, 
a representaríamos da seguinte forma:
(14,50 ± 0,05) cm
Ou, então:
(145,0 ± 0,5) mm
• Instrumento digital: o erro equivale exatamente à menor divisão. Em uma balança digital de 
farmácia, que normalmente tem sua menor divisão como sendo 100 g, o erro seria exatamente 
100 g. Considerando, então, uma pessoa que, ao medir sua massa nessa balança, viu que tinha 
60,4 kg, a forma de representar isso seria:
(60,4 ± 0,1) kg
ou, em gramas:
(604 ± 1)x10³ g
Esta última forma deve ser olhada com atenção. Por que a colocamos em notação científica? A 
resposta para isso vem do fato que definimos que o erro deve ter apenas um algarismo significativo; 
logo, se escrevêssemos (604000 ± 100) g, o erro estaria com três algarismos significativos (100 possui 
3 AS). Para eliminar isso, precisamos deixá-lo em forma de notação científica. Escrito dessa forma, o 
10³ não conta como AS.
Exemplos de aplicação
1) Ao medir o comprimento de um objeto, usou-se uma regra milimetrada que possui uma incerteza 
de 0,5 mm, um paquímetro de incerteza de 0,05 mm e um micrômetro de incerteza igual a 0,005 mm. 
Em todos os casos, a medida foi exatamente 2 mm. Represente com o número certo de casas decimais 
a medida para cada instrumento em mm e cm.
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Unidade I
Solução:
Com a régua, a medida deve ser:
(2,0 ±0,5) mm
(0,20 ± 0,05) cm 
Com o paquímetro:
(2,00 ±0,05) mm
(0,200 ± 0,005) cm 
Com o micrômetro:
(2,000 ±0,005) mm
(0,2000 ± 0,0005) cm 
2) A precisão de uma balança digital é de 50 g. Uma medida resultou em 5,55 kg. Represente essa 
medida com seu respectivo intervalo de dúvida em kg e em g.
Solução: 
Como foi definido antes, o erro de um instrumento digital é sua própria precisão. Portanto, teremos, em kg:
(5,55 ± 0,05) kg
Em gramas, surge o problema do erro (50 g) ter dois algarismos significativos. Temos, então, de 
deixá-lo com apenas um. 
50g = 5x10¹ g
Temos de fazer o mesmo para o valor da medida, tirar 10¹ em evidência:
5,55 kg = 5550 g = 555x10¹ g
Finalmente:
(555 ± 5)x10¹ g
2 CINEMÁTICA
Como já foi colocado, a cinemática é uma subdivisão da mecânica que trata do movimento dos 
corpos sem se preocupar com a causa dos movimentos, ou seja, não são estudadas as forças de interação 
entre os corpos. 
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FÍSICA GERAL
Veremos mais adiante que, para haver uma aceleração, é necessárioa força resultante sobre o objeto 
ser diferente de zero. Entretanto, nesse momento, não estaremos interessados nessa força, apenas na 
aceleração produzida por meio dela. Conhecendo a aceleração, poderemos elaborar as funções que 
descrevem a velocidade e a posição do objeto em cada instante.
Para começarmos a estudar cinemática, precisamos introduzir alguns conceitos básicos. Vamos 
entender o conceito de móvel, de espaço, de deslocamento e de velocidade média e instantânea.
2.1 Móvel
O foco da cinemática é o que em Física chamamos de móvel. Ele é o corpo cujo movimento é 
descrito. Dependendo de suas dimensões e do fenômeno estudado, o móvel pode ser classificado como:
• Ponto material: corpo de dimensões desprezíveis dentro do fenômeno; pode ser chamado 
também de partícula.
• Corpo extenso: corpo cujas dimensões não podem ser desprezadas dentro do fenômeno.
Exemplos:
• Um navio é considerado um ponto material em uma viagem pelo Oceano Atlântico, mas é tido 
como um corpo extenso do ponto de vista de qualquer passageiro a bordo.
• Um prédio pode ser considerado como corpo extenso por alguém dentro ou próximo a ele. Por 
outro lado, em uma foto de satélite a longa distância seria considerado um ponto material.
2.2 Espaço
Quando se deseja saber qual é a localização de um corpo, costuma-se determinar a distância que o 
separa de algo tomado como referência.
A posição do corpo C, na figura a seguir, varia de acordo com o ponto de referência:
6
5
4
3
2
1
0
-2 -1 0 1 2 3
R
C
P
Figura 2 
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Unidade I
Quadro 5 
Posição do corpo C em relação a um ponto de referência
Distância Referência
2 m P
5 m R
O valor da distância, portanto, muda conforme a escolha do ponto de referência, que definiremos 
como origem dos espaços. Isso é muito relevante, pois nem sempre precisamos escolher como referência 
o “zero” absoluto da escala.
É importante entender o significado de dois termos:
• Trajetória: existem várias definições válidas para trajetória. As mais comumente usadas são o 
conjunto de todas as posições que podem ser ocupadas por um móvel durante seu movimento e 
o caminho percorrido por um móvel em relação a um referencial adotado. Independentemente da 
definição utilizada, é importante saber que a trajetória é sempre orientada.
• Espaço: valor algébrico da distância medida sobre a trajetória entre o móvel e a origem 
(0 = ponto de referência).
Assim, o espaço (s) dá a posição em que está o móvel num determinado instante (t). Os valores dos 
espaços não indicam distâncias percorridas. 
Para o caso da trajetória a seguir, temos os seguintes valores para os espaços envolvidos:
-10
C; -20
O A; 10
B; 20
Figura 3 
Quadro 6 
Posição dos móveis em relação a 0
Móvel Espaço
A SA = 10 km
B SB = 20 km
C SC = -20 km
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FÍSICA GERAL
Note que, nesse mesmo exemplo, se quiséssemos responder quanto o móvel andou para se deslocar 
de B até C, teríamos de responder 40 km. Isso nos dá a exata noção da diferença entre posição e 
distância (continuaremos a explorar essa ideia mais adiante).
2.3 Referencial
Ao longo da disciplina, estaremos nos referindo a um móvel como estando em repouso ou em 
movimento. No entanto, podemos encontrar problemas com essas afirmações. Considere, por exemplo, 
uma pessoa dentro de um trem em movimento. Para outra pessoa que também se encontra no trem, 
a primeira estará em repouso, mas para uma terceira pessoa do lado de fora do trem, ela estará em 
movimento. Logo, ao definir se um móvel está em repouso ou em movimento, devemos indicar o 
referencial que estamos considerando, pois, como vimos, um móvel pode estar em repouso para um 
referencial, mas em movimento para outro. 
É comum adotar um referencial padrão, de forma que fique implícito quando dissermos que um 
móvel se encontra em repouso ou em movimento. Como veremos mais adiante, a Terra é um bom 
candidato para esse referencial padrão, mas com uma ressalva. Para entender o porquê dessa ressalva, 
temos de entender a definição dos dois tipos diferentes de referenciais: inerciais e não inerciais. O 
estudante deverá, a partir de agora, tomar muito cuidado ao adotar um referencial, pois, dependendo 
da escolha, as leis da Dinâmica passam a não ser mais válidas. A seguir, a descrição de cada referencial.
• Referenciais inerciais: trata-se de referenciais que não estão acelerados, ou seja, é um 
referencial que não está sujeito a forças e, portanto, encontra-se parado ou com velocidade 
linear constante. A Terra se move ao redor do Sol com uma velocidade constante. No entanto, 
esse movimento não é linear retilíneo, já que ela dá voltas ao redor do Sol; além disso, a Terra 
realiza também um movimento de rotação, no qual gira ao redor do seu eixo. Entenderemos mais 
adiante exatamente o que acontece, mas o fato de ela estar girando faz aparecer uma aceleração, 
chamada de “aceleração centrípeta”, o que faria com que a Terra, teoricamente, não pudesse vir 
a ser um referencial inercial. No entanto, essa aceleração centrípeta é tão pequena que, com 
ótima aproximação, a Terra pode ser considerada um referencial inercial. Logo, nesta disciplina 
estaremos utilizando a Terra como nosso referencial inercial padrão.
• Referenciais não inerciais: trata-se de referenciais que estejam acelerados, ou seja, que a força 
resultante sobre ele seja diferente de zero. Os efeitos “estranhos” desse tipo de referencial podem 
ser facilmente vistos quando estamos dentro de um carro que sofre uma aceleração ou uma 
desaceleração. Como todos nós já reparamos, inúmeras vezes somos “empurrados” para a frente 
ou para trás quando estamos em um carro em movimento. Para quem está dentro do carro, 
essas forças não fazem sentido, são “invisíveis”. Isso acontece exatamente por se tratar de um 
referencial não inercial, em que as leis da Dinâmica, em grande parte, não são mais válidas.
2.4 Deslocamento escalar
Vamos definir agora o deslocamento escalar, que é de grande importância na cinemática. Trata-se 
de um deslocamento que leva em consideração apenas o ponto final e o ponto inicial.
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Unidade I
Expressamos, matematicamente, o deslocamento escalar como a diferença algébrica (o sinal deve 
ser considerado) entre o espaço final (Sf) e o espaço inicial (S0). Ou seja:
∆s = sf - si
Exemplo: um móvel parte do ponto A, vai até o ponto B e então retorna até o ponto C.
-100 -50 0 50 100 150 200
 A C B s(m)
No deslocamento AB, temos:
∆
∆
∆
S S S
S
S
AB B A
AB
AB
= −
= − −
=
150 100
250
( )
m
Agora, de B para C:
∆
∆
∆
S S S
S
S
BC C B
AB
AB
= −
= −
= −
100 150
50
( )
m
Logo, o deslocamento total (resultante) será:
∆
∆
∆
S S S
S
S
AC AB B
AC
AC
= −
= + −
=
250 50
200
( )
m
No entanto, percebam que, se fizermos direto o deslocamento de A para C, obteremos o mesmo 
resultado:
∆
∆
∆
S S S
S
S
AC C A
AC
AC
= −
= − −
=
100 100
200
( )
m
Isso prova, então, que não basta pegarmos o ponto de partida e de chegada para determinarmos 
o deslocamento escalar. Não interessa por onde ele passou no meio do caminho.
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FÍSICA GERAL
Podemos definir também a distância total percorrida, que se trata da soma dos valores absolutos de 
cada deslocamento parcial. Representamos da seguinte maneira:
d S S Sn= + +…+∆ ∆ ∆1 2
onde:
S = Posição do móvel.
∆S = Diferença entre as posições finais e iniciais do móvel.
d = Distância total percorrida pelo móvel.
 Observação
O aluno não deve confundir o conceito de deslocamento com o de distância 
total percorrida. No exemplo anterior, o deslocamento foi de 200 m, mas a 
distância total percorrida foi de 300 m. É importante notar a distinção entre 
os dois conceitos, uma vez que será de grande importância mais adiante no 
entendimento dos cálculos de velocidade.
2.5 Velocidade
A velocidade assume um papel de grande importância na cinemática e será um dos nossos principais 
alvos de estudo. Como já estamos acostumados a ouvir no nosso cotidiano, ela é a razão entre espaço 
e tempo. Entretanto, podemos definir dois tipos de velocidade. A primeira leva em conta apenas o 
deslocamento dividido pelo tempo total do percurso, é chamada de velocidade média. A segunda, 
chamada de velocidade instantânea, nos dá a velocidade para cada instante de tempo. Veremos a seguir 
as principais características de cada uma.
2.5.1 Velocidade média
Como já foi definido, a velocidade média considera apenas o deslocamento escalar do móvel. 
Portanto, não importa se o móvel deu voltas ou se ele parou no meio do percurso, o que consideramos 
é apenas o deslocamento dividido pelo tempo total. Se ele se encontrava, inicialmente, na posição S0 e 
no instante t0 e, no seu ponto de chegada, ele se encontra na posição Sf e no instante tf, então teremos 
a velocidade média como sendo:
v
S
t
S S
t tm
f
f
= =
−
−
∆
∆
0
0
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Unidade I
 Observação
Um relógio que marca 6 h indica que o instante é t = 6 h; se for medido 
o tempo a partir daí até o instante t = 8 h, terá decorrido um intervalo de 
tempo ∆t = 2 h; portanto, os conceitos de instante (t) e de intervalo de 
tempo (∆t) são diferentes.
Exemplo de aplicação
Um atleta, numa prova de 100 metros rasos, termina o percurso em 10 segundos. Determine sua 
velocidade média em m/s e em km/h.
Solução:
Da equação v
S
t
S S
t tm
f
f
= =
−
−
∆
∆
0
0
, teremos:
v
S
t
v m s
m
m
=
= =
∆
∆
100
10
10 /
Para passar para km/h, basta fazer a conversão das unidades:
v
m
s
km
h
v
m
h
v
km
h
m
m
m
= =
=
⋅
=
−
−
10 10
10
1
3600
3600 10
36
3
2
 Observação
É interessante, para não perder muito tempo com conversões, 
lembrar sempre da conversão mais utilizada, que é a de m/s para 
km/h e vice-versa. Dá para notar facilmente, do exemplo anterior, que 
nada mais fizemos, ao passar de m/s para km/h, do que multiplicar 
por 3,6. Sendo assim, para fazer a transformação inversa, basta 
dividirmos por 3,6:
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FÍSICA GERAL
m
s
km
h
km
h
m
s
→ → ×
→ → ÷
,
,
3 6
3 6
Para não ter dúvidas a respeito de quando multiplicar e quando dividir, 
apenas lembre-se de que em km/h o valor sempre tem de ser maior. Então, 
caso você chegue a um valor em m/s maior do que em km/h, é porque foi 
feita a conversão errada.
Exemplo de aplicação
1) Um carro parte de uma cidade que se encontra no quilômetro 20 de uma rodovia em direção a 
outra cidade que se encontra no quilômetro 100. Os primeiros 30 quilômetros, o automóvel percorre 
em quinze minutos. Em seguida, o motorista para por dez minutos em um posto para abastecer, 
permanecendo ali por mais meia hora até chegar ao seu destino. Determine a velocidade média do 
automóvel nos primeiros 30 quilômetros e nos últimos quilômetros, assim como a velocidade média 
total do percurso.
Solução:
No problema, temos que S0 = 20 km e t0 = 0 (quando não é dado, podemos considerar como sendo 
zero o tempo inicial).
Ao percorrer os primeiros 30 quilômetros, a posição final será Sf = 50 km. O tempo que ele levou foi 
de 15 min = 1/4 h. Logo:
v
S
t
v km h
m
m
= =
−
−
= =
∆
∆
50 20
1 4 0
30
1 4
120
/
/
/
Ao percorrer os últimos 50 quilômetros, a posição inicial será S0 = 50 km e a final Sf = 100 km. O 
tempo que ele levou foi 1/2 h:
v
S
t
v km h
m
m
= =
−
= =
∆
∆
100 50
1 2
50
1 2
100
/
/
/
Para calcular a velocidade média total, devemos considerar apenas a posição inicial e a final e o 
tempo total percorrido. 
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Unidade I
Temos que a posição inicial é S0 = 20 km e a final é Sf = 100 km. O tempo total percorrido foi de 
quinze minutos (1/4 h), o primeiro trecho, mais dez minutos (1/6 h) parado no posto e mais meia hora 
no último trecho. Logo:
t
t
t
total
total
total
= + +
=
+ +
=
1
4
1
6
1
2
3 2 6
12
11
12
h
Portanto:
v
S
t
v
v km h
m
m
m
= =
−
= =
≅
∆
∆
100 20
11 12
80
11 12
960
11
87 3
/
/
, /
Reparem que mesmo o tempo parado teve de ser levado em conta no cálculo da velocidade média. 
Portanto, a velocidade média total leva em conta todo o tempo levado no percurso, não importando 
como ele foi gasto.
2) Um automóvel percorre um trecho de 200 quilômetros. Nos primeiros 60 quilômetros, por ser estrada 
de chão, a velocidade média foi de apenas 40 km/h. Depois, já em uma estrada melhor, ele percorre mais 80 
quilômetros, agora com uma velocidade média de 80 km/h. Por fim, no resto do percurso ele consegue atingir 
uma velocidade média de 120 km/h. Sendo assim, determine a velocidade média total do percurso.
Solução:
Como já foi dito, para calcular a velocidade média total, precisamos do tempo total do percurso, 
o que não foi dado no problema. Mas, por meio da velocidade média e do espaço percorrido em cada 
trecho, podemos encontrar também o tempo percorrido em cada trecho.
1º trecho:
v
S
t
t
t h
m1
1
1
1
1
40
60
60
40
15
=
=
= =
∆
∆
∆
∆ ,
29
M
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 -
 R
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o:
 A
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/L
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 -
 D
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gr
am
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ão
: F
ab
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 -
 2
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/1
4
FÍSICA GERAL
2º trecho:
v
S
t
t
t h
m2
2
2
2
2
80
80
80
80
1
=
=
= =
∆
∆
∆
∆
3º trecho:
Como ele já percorreu 60 quilômetros no primeiro trecho e 80 quilômetros no segundo, no terceiro 
ele tem de percorrer 60 quilômetros para completar os 200 quilômetros. Logo:
v
S
t
t
t h
m3
3
3
3
3
120
60
60
120
0 5
=
=
= =
∆
∆
∆
∆ ,
Sendo assim, o tempo total percorrido foi:
∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆
t t t t
t
t h
total
total
total
= + +
= + +
=
1 2 3
15 1 0 5
3
, ,
A velocidade média total será:
v
S
t
v
v km h
m
total
total
m
m
=
=
≅
∆
∆
200
3
66 7, /
2.5.2 Velocidade escalar instantânea
A velocidade instantânea, diferentemente da velocidade média, não trata do deslocamento total 
e do tempo total do percurso, mas sim de um deslocamento pequeno durante um intervalo de tempo 
30
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 -
 2
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4
Unidade I
bem pequeno. Emoutras palavras, o intervalo de tempo tende a zero (∆t → =0). Essa velocidade, que 
representaremos apenas por v, é exatamente a velocidade medida no velocímetro de um carro. No 
velocímetro, a velocidade é instantânea e pode mudar de um segundo para o outro caso haja aceleração 
ou desaceleração. 
No curso de Matemática, é importante olhar a cinemática pelo ponto de vista do cálculo para não 
se tornar algo que os alunos simplesmente venham a decorar. Sendo assim, como definimos agora, a 
velocidade instantânea aparecerá ao aplicarmos um limite, ou seja:
v
S
tt
=



→lim∆
∆
∆0
Dessa equação, lembrando da definição de derivada, teremos que a velocidade instantânea trata-se 
da derivada da posição em relação ao tempo:
v
dS
dt
=
No Sistema Internacional (SI), a unidade de velocidade é o m/s, mas ainda podemos ter a velocidade 
dada em km/h, cm/s, km/s etc.
Da equação anterior, podemos isolar o S:
dS dt= ⋅v
Integrando dos dois lados,
S
Sf
f
dS dt
S S dt
0 0
0
0
∫ ∫
∫
= ⋅
− = ⋅
t
tf
t
tf
v
v
Se consideramos Sf como sendo a posição instantânea da partícula, ou seja, S(t), teremos:
S t dt( ) = ⋅ +∫
t
t
v S
0
0
onde S0 faz o papel da constante de integração, que nesse caso equivale sempre à posição inicial do 
móvel.
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FÍSICA GERAL
Exemplos de aplicação
1) Um objeto realiza um movimento unidimensional, de forma que seu movimento é restrito apenas 
ao eixo x. A sua função horária no SI é dada como:
x t t t( ) = + −10 8 6 2 2,
Sendo assim, determine a velocidade do objeto passados dois segundos após o início do movimento.
Solução:
Sabemos que, se a função horária é dada no SI, a posição x é dada em metros e o tempo t é dado em 
segundos. Temos, então, de encontrar a velocidade instantânea da partícula e depois substituir o tempo 
dado. Da equação v
dS
dt
= , temos:
v
dS
dt
dx
dt
v t
d
dt
t t
= =
= + −( )( ) ,10 8 6 2 2
Derivando, temos:
v(t) = 10 -8,6t
Substituindo, então, o tempo t = 2s, teremos:
v(2) = 8,6 - 4 . 2
v(2) = 0,6 m/s
2) Uma partícula que se move no eixo x tem a função de velocidade dada, no SI, por:
v(t) = 10 - 8,6 
Sabendo que no instante inicial a partícula se encontrava na origem, determine a função posição da 
partícula e sua posição depois de dois segundos.
Solução:
Neste problema, temos a função velocidade e estamos interessados na função posição. Para isso, 
usaremos a equação a seguir, ou seja, teremos de integrar a função da velocidade para encontrarmos a 
função posição.
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Unidade I
S t dt( ) = ⋅ +∫
t
t
v S
0
0
Porém, como no instante inicial a partícula se encontrava na origem, temos que S0 = 0. Também 
consideraremos o instante inicial como sendo t = 0. Logo:
S t dt
S t t dt
S t
S t
( ) = ⋅
( ) = − ⋅
( ) = −
( ) = −
∫
∫
0
0
2
10 8 6
10 8 6
2
10 4
t
t
v
t
t
t
( , )
,
,33 2t
Para t = 2s, temos:
S
S
S m
2 10 2 4 3 2
2 20 17 2
2 2 8
2( ) = ⋅ − ⋅
( ) = −
( ) =
,
,
,
2.6 Movimento retilíneo uniforme
Vamos começar o estudo dos movimentos com aquele de representação mais simples: o movimento 
uniforme. Esse movimento caracteriza-se pela constância da velocidade. Nele, a aceleração é sempre 
nula e, portanto, a velocidade permanece sempre a mesma. 
O movimento uniforme pode ser retilíneo ou curvilíneo, como veremos adiante. A velocidade é um 
vetor; então, no movimento retilíneo, o módulo e a direção permanecem iguais, podendo haver apenas 
mudança no sentido, ao passo que no curvilíneo apenas o módulo permanece o mesmo. Neste tópico, 
iremos focar apenas no estudo do movimento retilíneo uniforme (MRU).
No movimento uniforme, a velocidade média coincide com a velocidade instantânea, o que é lógico, 
pois não há alteração dela. Assim:
v v
S
t
dS
dtm
= = =
∆
∆
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FÍSICA GERAL
Quando a trajetória do móvel em MU (movimento uniforme) é uma reta, temos o que chamamos de 
movimento retilíneo uniforme (MRU). Nesse caso, o módulo da velocidade e sua direção permanecem 
sempre os mesmos; porém o objeto pode ir para frente ou para trás, ou seja, seu sentido não precisa 
necessariamente ser sempre o mesmo. 
Podemos, então, classificar o MRU em dois tipos de movimento:
• Movimento progressivo: movimento com sentido que coincide com o da trajetória (V > 0 e 
∆S > 0).
• Movimento retrógrado: movimento com sentido que não coincide com o da trajetória (V < 0 e 
∆S < 0).
 Observação
Uma velocidade negativa significa simplesmente que o móvel está se 
movendo em um sentido negativo do eixo adotado. Por exemplo: em uma 
estrada há placas indicando a quilometragem a cada 1 ou 2 quilômetros. Se 
você está vendo os números nas placas aumentarem à medida que o tempo 
passa, então sua velocidade é positiva naquela trajetória; mas, se estiver 
vendo os números diminuírem, a velocidade é negativa. 
Nos movimentos uniformes progressivos, o deslocamento (∆s) e a distância percorrida (d) coincidem. 
Nos movimentos uniformes retrógrados, o deslocamento é negativo, mas seu valor absoluto coincide 
com o da distância percorrida. Portanto, no MU:
d = |∆s|
Como podemos relacionar a velocidade ao espaço percorrido, teremos:
v
S
t
S v t
S v t
=
=
=
∆
∆
∆ ∆
∆ ∆
Logo:
d = |v|∆t
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Unidade I
Exemplo de aplicação
Quanto tempo leva um caminhão grande, de 100 m de comprimento, para atravessar um semáforo 
a 18 km/h e quanto tempo leva para atravessar um túnel de 1 km a uma velocidade de 33 km/h?
Solução:
No primeiro caso, o caminhão só atravessará completamente o sinal quando a parte de trás também 
tiver atravessado – logo, apenas após percorrer seu comprimento, que é de 100 m. Sendo assim, como 
o tempo será curto, é melhor deixar o resultado em segundos, e teremos de passar 18 km/h para m/s. 
Como já vimos, basta dividir por 3,6, da seguinte maneira:
v m s= =
18
3 6
5
,
/
Logo:
∆
∆
t
d
t
=
= =
v
s
100
5
20
Agora, no segundo caso, para atravessar o túnel completamente, ele terá de percorrer o comprimento 
do túnel mais seu comprimento. Logo:
d = 1000 + 100 = 1100m = 1,1km
Nesse caso, deixaremos em km para a conta dar exata.
∆t = 11
33
,
Simplificando:
∆t h= 1
30
Multiplicando por 3600, teremos o tempo em segundos:
∆t s min= ⋅ = =1
30
3600 120 2
35
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FÍSICA GERAL
2.6.1 Função horária do MRU
Vamos agora deduzir a função horária do movimento retilíneo uniforme. Podemos fazer de duas 
formas: por meio do cálculo diferencial integral ou de um modo mais direto (vamos apresentar as duas 
formas). Isso é possível por conta da constância da velocidade, o que leva à equação v v
S
t
dS
dtm
= = =
∆
∆
.
Vamos primeiro deduzir utilizando a forma mais simples. Para isso, partimos de:
v
S
t
v
S S
t t
=
=
−
−
∆
∆
0
0
A não ser que seja requerido no exercício, partiremos sempre de t0 = 0. Logo:
S S v t
S S v t
− = ⋅
= + ⋅
0
0
A equação anterior se tratada equação horária do MRU. 
Para deduzir utilizando o cálculo diferencial integral, partimos do fato de que a velocidade é 
constante. Portanto, utilizando a equação a seguir, teremos:
S t dt( ) = ⋅ +∫
0
0
t
v S
No entanto, como a velocidade é constante, podemos tirá-la para fora da integral. Ficamos, então, 
com:
S t dt
S t
( ) = ⋅ +
( ) = ⋅ +
∫v S
v t S
t
0
0
0
que é exatamente igual à equação S S v t= + ⋅0 . 
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Unidade I
 Observação
É importante que o aluno não trate a equação S S v t= + ⋅0 , assim como 
outras equações horárias que encontraremos mais para frente, como algo 
que ele precisa “decorar”. O aluno, principalmente do curso de Matemática, 
deve ser capaz de entender que todas as equações podem ser facilmente 
deduzidas por meio do cálculo diferencial integral partindo simplesmente 
de uma informação inicial. Se ele já se acostumar a trabalhar dessa maneira, 
não terá problemas no futuro com qual equação deve utilizar.
Exemplos de aplicação
1) Uma partícula move-se segundo a função horária S = 15 - 4t, na qual o espaço e o tempo estão 
com unidades no SI. Determine a posição inicial da partícula, sua velocidade escalar e, em seguida, a 
posição da partícula passados 10 segundos. Por fim, determine o instante no qual a partícula passa pela 
origem dos espaços.
Solução:
Para determinar a posição inicial e a velocidade escalar, basta compararmos a função horária dada 
com a equação S S v t= + ⋅0 . Coloquemos uma embaixo da outra:
S S v t
S
= + ⋅
= −
0
15 4t
Comparando as duas, vemos que o termo constante equivale à posição inicial e o termo que 
acompanha o tempo (inclusive o sinal) equivale à velocidade escalar. Logo:
S m
v m s
0 15
4
=
= − /
Antes de prosseguir, vamos interpretar novamente o valor negativo encontrado da velocidade. 
Lembremos que o sinal negativo da velocidade indica que ela está se movendo no sentido negativo do 
eixo das posições, ou seja, o valor correspondente à posição da partícula está diminuindo com o tempo. 
No exemplo, a posição encontra-se inicialmente na posição correspondente a S = 15 m. Com o passar 
do tempo, a posição da partícula tende a diminuir até que ela passa pela origem (S = 0) e, a partir daí, a 
posição começa a assumir valores negativos. 
Vamos substituir t = 10 s para saber qual a posição da partícula depois desse intervalo de tempo:
S
S
= − ⋅
= −
15 4 10
25m
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FÍSICA GERAL
Ou seja, depois de 10 segundos, a partícula já passou pela origem e percorreu mais 25 metros na 
direção negativa do eixo.
Para encontrar quanto tempo leva para a partícula passar pela origem, simplesmente faremos 
S = 0. Logo:
0 15 4
15
4
3 75
= −
= =
t
t , s
Assim, em t = 3,75 segundos, a partícula encontra-se exatamente na origem das posições.
2) Um automóvel parte da origem dos espaços a uma velocidade de 60 km/h. Depois de 10 minutos, 
um segundo automóvel parte, também da origem, a uma velocidade de 100 km/h. Determine quanto 
tempo o segundo automóvel leva para alcançar o primeiro e quantos quilômetros tiveram de ser 
percorridos para que ele o alcançasse. 
Solução:
Há várias maneiras de resolver este problema. A mais simples, para não trabalhar com tempo inicial 
diferente de zero, é saber a posição do segundo automóvel passados os 10 minutos. Depois disso, 
podemos montar a função horária de cada carro.
Consideremos 10 minutos como sendo 1/6 de uma hora. Logo:
v
S
t
S v t
S km
=
=
= ⋅ =
∆
∆
∆ ∆
∆ 60 1
6
10
Quando o segundo carro começa a se mover, o primeiro estará na posição 10 km. Montemos, então, 
a função horária de cada um deles, considerando o instante inicial aquele que o segundo automóvel 
começa a se mover. Nesse caso, a posição inicial do primeiro carro é S0 = 10 km e a posição inicial do 
segundo carro é S0 = 0. Assim:
1º carro: S t1 10 60= +
2º carro: S t2 100=
Agora, queremos o instante em que o segundo automóvel alcança o primeiro. Quando isso ocorre, os dois 
estarão ocupando a mesma posição, e basta fazermos com que a posição dos dois seja a mesma, ou seja:
S S
t t
1 2
10 60 100
=
+ =
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Unidade I
Isolando o tempo, teremos:
40 10
1
4
15
t
t
=
= =h min
Portanto, levará 15 minutos para que o segundo automóvel alcance o primeiro. Para saber a posição, 
basta substituir esse tempo em qualquer uma das duas funções horárias, pois, como vimos, nesse instante 
as duas são iguais. É preferível escolher a mais simples:
S t
S
S
2
2
2
100
100
1
4
25
=
= ⋅
= km
3) Dois automóveis movem-se em direções opostas, o primeiro a 80 km/h e o segundo, a 120 km/h. O 
primeiro encontra-se no quilômetro 20 da rodovia e o segundo no quilômetro 240. Determine o tempo 
que levará para que os dois se cruzem e a posição do encontro. 
Solução: 
Este problema difere-se do anterior pelo fato de que os dois automóveis estão se movendo em direções 
opostas e, portanto, terão velocidades com sinais diferentes. Como já definimos, o movimento oposto ao 
crescimento da quilometragem possuirá velocidade negativa. Nesse caso, o segundo automóvel é que 
se move na direção contrária ao aumento dos números da rodovia, pois ele vem do quilômetro 240 em 
direção ao automóvel que se encontra no quilômetro 20. Assim, sua velocidade será negativa. Teremos, 
então:
1º carro: S t1 20 80= +
2º carro: S t2 240 120= −
Agora, da mesma forma, o ponto de encontro se dará quando a posição dos dois for a mesma, ou 
seja:
S S
t t
1 2
20 80 240 120
=
+ = −
Isolando o tempo, teremos:
200 220
11 66
t
t
=
= =, h min
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FÍSICA GERAL
Portanto, os dois se cruzarão após 66 minutos. Para achar a posição, novamente basta substituir em 
uma das funções horárias:
S t
S
S
1
1
1
20 80
20 80 11
108
= +
= + ⋅
=
,
km
Perceba que esse número é a posição da rodovia em que eles se encontram, não quer dizer que eles 
percorreram 108 quilômetros, e sim que se encontraram no quilômetro 108 da rodovia. É fácil ver que o 
primeiro carro, como partiu do quilômetro 20, percorreu 88 quilômetros, ao passo que o segundo, que 
vinha do quilômetro 240, percorreu 132 quilômetros.
2.6.2 Gráficos do MRU
Já aprendemos a representar os espaços em função do tempo de duas maneiras: a partir da equação 
horária e por meio da tabela do espaço em função do tempo. Em nenhum desses casos, a forma da 
trajetória seguida pelo móvel é mostrada. 
Independentemente dessas duas maneiras de representar os espaços em função do tempo, podemos 
introduzir uma terceira maneira: o diagrama s x t. Frequentemente, utilizamos na Física diagramas nos 
quais relações entre duas grandezas são mostradas graficamente. Costuma-se dizer que um gráfico fala 
por si só, além de carregar todas as informações que precisamos.
Para esboçar um gráfico s x t a partir da função horária, basta calcular valores do espaço para alguns 
instantes convenientes. Se o movimento for uniforme, bastam apenas dois valores do espaço com os 
respectivos tempos, determinando dois pontos, pois o gráfico de uma função do 1º grau é uma reta.
Cateto adjacente
s
t
∆t
∆s
θ Cateto oposto
Figura 4Nesse caso, vemos que a tangente do ângulo θ vale:
tg
S
t
θ( ) = ∆
∆
40
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Unidade I
Mas vimos que isso é exatamente a velocidade escalar da partícula. Portanto:
v = tg(θ)
Lembremos, porém, do estudo de uma função do segundo grau, em que a tangente é exatamente 
o coeficiente angular da reta. Logo, em um gráfico de s x t, a velocidade é exatamente o coeficiente 
angular da reta. Isso já estava claro olhando para a função horária:
S S v t= + ⋅0
Nesse caso, vemos também que a posição inicial S0 é exatamente o ponto onde a reta cruza o eixo 
S, ou seja, o coeficiente linear da reta. Podemos também encontrar o ponto onde a reta cruza o eixo t, 
ou seja, quando S = 0. 
0 0
0
= + ⋅
= −
S v t
t
S
v
Esse ponto só faz sentido se S0 < 0 ou se v < 0. Se ambos forem > 0 ou < 0, o resultado seria um 
tempo negativo, que não tem significado físico. Seria algo antes do início do movimento.
Vejamos agora alguns exemplos de diagramas s x t e façamos uma análise em cada um deles:
Exemplo:
60
30
0
-30
0 5 10 15 20
t (s)
s (
m
)
Figura 5 
Nesse caso, vemos que a posição inicial do móvel, que é o ponto onde a reta cruza o eixo S, é S0 = – 30 m. 
Para saber o valor da velocidade, basta pegar outro ponto que esteja visível no gráfico. Podemos ver claramente 
o ponto onde a reta cruza o eixo t, que se dá em t = 5 s; logo, para S = 0, t = 5. Temos, então:
S = -30 + vt
0 = -30 +v . 5
v = 6m/s
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FÍSICA GERAL
Assim, a função horária será:
S = -30 + 6t
Exemplo:
t (s)
s (
m
)
50 1 2 3 4 6
150
100
50
0
-50
-100
Figura 6 
Nesse caso, temos cinco etapas diferentes nessa curva. De 0 a 1 s, como se trata de uma reta, o móvel 
moveu-se com velocidade constante e positiva (pois a posição está aumentando). De 1 a 2 s, o móvel 
permanece na mesma posição; portanto, a velocidade é zero. De 2 a 3 s, temos uma reta decrescente; 
logo, como a posição está diminuindo, temos uma velocidade negativa. De 3 a 4 s, o móvel também 
permanece parado. E, de 4 a 5 s, novamente temos uma velocidade negativa.
Ocorreu o seguinte: o móvel saiu da sua posição inicial em 50 m, dirigiu-se até a posição 100 m, 
ficou 1 segundo parado e começou a voltar, parando novamente por 1 segundo na origem. Depois, 
continuou voltando.
Vamos montar as cinco funções horárias diferentes desse gráfico: 
De 0 a 1 s:
v
S S
t t
v
S
t
S vt
=
−
−
=
−
−
= +→
0
0
0 1
50
0
50
Para achar a velocidade, precisamos de mais um ponto no gráfico. Temos que, para t = 1 s, S = 100 m. 
Logo:
100 50 1
50
= + ⋅
=
v
v m s/
42
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01
/1
4
Unidade I
Portanto:
S = 50 + 50t
De 1 a 2 s:
v =
=→
0
1001 2S
De 2 a 3 s:
v
S S
t t
v
S
t
S v t
=
−
−
=
−
−
= + −
0
0
100
2
100 2( )
Para achar a velocidade, peguemos o ponto t = 3, S = 0. Logo:
0 100 3 2
100
= + −
= −
v
v m s
( )
/
Portanto:
S t
S t
S t
2 3
2 3
2 3
100 100 2
100 100 200
300 100
→
→
→
= − −
= − +
= −
( )
É importante dar o significado do “300” encontrado na função horária S2→3. Vemos claramente 
que o móvel não sai da posição inicial 300 m no gráfico; então, por que aparece esse valor? Bem, 
esse valor nada mais é que uma “extrapolação” da reta que vai do 2 até o 3 s. Se continuarmos 
desenhando a reta para cima, ela irá cruzar o eixo S em 300 m; porém isso não apresentará 
nenhum problema, já que deixamos bem claro que essa função horária só é válida para t = 2 s até 
t = 3 s.
De 3 a 4 s:
v =
=→
0
03 4S
43
M
AT
 -
 R
ev
isã
o:
 A
nd
re
ia
/L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
01
/1
4
FÍSICA GERAL
De 4 a 5 s:
v
S S
t t
v
S
t
S v t
=
−
−
=
−
−
= −
0
0
0
4
4( )
Para achar a velocidade, peguemos o ponto t = 5, S = – 50. Logo:
− = + −
= −
= −
50 100 5 2
3 150
50
v
v
v m s
( )
/
Portanto:
S t
S t
4 5
4 5
50 4
200 50
→
→
= − −
= −
( )
Aqui também podemos ver que o 200 é uma extrapolação da reta, mas que não apresentará 
problemas, pois essa função horária só é válida de 4 até 5 segundos.
Outro diagrama que devemos estudar é o diagrama v x t, que no caso do MU é bastante simples, 
pois, como a velocidade é constante, o gráfico também nada mais será do que uma reta constante. Os 
gráficos, porém, podem assumir duas formas diferentes:
t
t
vv
v > 0 v < 0
MU progressivo MU retrógrado
Figura 7 
44
M
AT
 -
 R
ev
isã
o:
 A
nd
re
ia
/L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
01
/1
4
Unidade I
Se pegarmos um intervalo de tempo, temos o seguinte:
V
V
t
t1 t2
Figura 8 
A área da região cinza será:
A v t t v t= −( ) =2 1 ∆
Entretanto, lembremos de que o deslocamento escalar entre dois instantes é dado por:
∆ ∆S v t=
Podemos, portanto, tirar o deslocamento escalar simplesmente calculando a área embaixo da curva 
v x t. O sinal, porém, deve ser levado em consideração. Apesar de não existir área negativa, se a velocidade 
for negativa, teremos de pegar o valor correspondente ao negativo da área. 
A ideia do deslocamento como sendo a área embaixo da curva v x t fica mais clara quando utilizamos 
a equação a seguir:
S t dt( ) = ⋅ +∫
t
t
v S
0
0
e colocamos na forma:
∆S dt= ⋅∫
t
t
v
0
Se lembrarmos do cálculo diferencial integral, vemos que a integral é área embaixo da curva – nesse 
caso, de v em função de t –, o que corrobora os resultados. 
45
M
AT
 -
 R
ev
isã
o:
 A
nd
re
ia
/L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
01
/1
4
FÍSICA GERAL
Exemplo de aplicação
Determine a velocidade escalar média, no intervalo de 0 a 10 s, do movimento dado pelo seguinte 
gráfico:
30
15
0
-15
0 2 4 6 8 10
t(s)
v(
m
/s
)
Figura 9 
Solução:
Para resolver um problema de velocidade média total, precisamos do tempo total, que nós já temos 
como sendo 10 s, e do deslocamento total. Para achar o deslocamento total, devemos encontrar o 
deslocamento de cada etapa do gráfico. A forma mais simples de fazer isso é encontrando a área 
embaixo de cada pedaço e somando (mantendo o sinal) cada um. Temos, então:
De 0 a 2s: 
A = ⋅ =15 2 30m
v > 0, então:
∆S0 2 30→ = m
De 2 a 4s: 
A
S
=
=→
0
02 4∆
De 4 a 8s: 
A = ⋅ − =15 8 4 60( ) m
v < 0, então:
∆S4 8 60→ = − m
ou seja, ele voltou 60 metros.
46
M
AT
 -
 R
ev
isã
o:
 A
nd
re
ia
/L
uc
as
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: F
ab
io
 -
 2
7/
01
/1
4
Unidade I
De 8 a 10s: 
A = ⋅ − =30 10 8 60( ) m
v > 0, então:
∆S8 10 60→ = m
Logo, o deslocamento total será:
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
∆
∆
S S S S S
S
S
total
total
tot
= + + +
= + + −( ) +
→ → → →0 2 2 4 4 8 8 10
30 0 60 60
aal = 30m
Logo, a velocidade média total será:
v
v
v m s
m
m
m
=
=
=
∆
∆
S
t
total
total
30
10
3 /
2.6.3 Velocidade escalar relativa
É a diferença algébrica entre as velocidades escalares dos móveis