Apol Algebra Linear

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Questão 1/5 - Álgebra Linear
Leia o enunciado abaixo:
Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Se W forma um espaço vetorial em relação às operações de V, dizemos que W é um subespaço vetorial de V. Com base nisso, analise as afirmativas:
I. O subconjunto W={(x1,0); x1∈R}W={(x1,0); x1∈R} é um subespaço vetorial de V=R2.V=R2.
II. Considere V={f:R→R; f é função}.V={f:R→R; f é função}. O subconjunto W={f:R→R;f é contínua}W={f:R→R;f é contínua} é um subespaço vetorial de V.V.
III. Seja V=M2(R)V=M2(R) o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. O subconjunto W={A∈V;detA≠0}W={A∈V;detA≠0} é subespaço vetorial de V.V.
Está correto o que se afirma em:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira. De fato, considere x,y∈W.x,y∈W. Logo, existem x1,y1∈Rx1,y1∈R tais que x=(x1,0) e y=(y1,0).x=(x1,0) e y=(y1,0). Para qualquer c∈R,c∈R, temos cx+y=(cx1+y1,0)∈W,cx+y=(cx1+y1,0)∈W, o que mostra que WW é um subespaço vetorial de R2.R2. A afirmativa II também é verdadeira, pois se f e gf e g são funções contínuas e c∈Rc∈R, então a função (cf+g)(cf+g) é contínua. Já a afirmativa III é falsa, pois A=[1001] e B=[−100−1]A=[1001] e B=[−100−1] pertencem a WW, mas A+B∉WA+B∉W 
(livro-base p. 82-87).
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 2/5 - Álgebra Linear
Considere os vetores v1=(−1,3), v2=(3,2) e v3=(7,1)v1=(−1,3), v2=(3,2) e v3=(7,1) em R2.R2. Analise as afirmativas:
I. Os vetores v1 e v2v1 e v2 satisfazem a igualdade v2=−3v1.v2=−3v1.
II. O vetor v3v3 é uma combinação linear dos vetores v1 e v2.v1 e v2.
III. Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
Está correto o que se afirma em:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Você acertou!
Afirmativa I, temos que: −3v1=−3.(−1,3)=(3,−9)≠v2=(3,2).−3v1=−3.(−1,3)=(3,−9)≠v2=(3,2). afirmativa I incorreta.  Afirmativa II, basta observar que v3=−v1+2v2.v3=−v1+2v2. Isso mostra que a afirmativa II está correta.  Afirmativa III, incorreta pois, a igualdade a(−1,3)+b(3,2)+c(7,1)=(0,0)a(−1,3)+b(3,2)+c(7,1)=(0,0), deve ter solução única, mas {−a+3b+7c=03a+2b+c=0⇒{a−c=0b+2c=0{−a+3b+7c=03a+2b+c=0⇒{a−c=0b+2c=0 sistema com infinitas soluções, então os vetores são LD (livro-base p. 96-102).
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 3/5 - Álgebra Linear
Considere a matriz A=[aij]2×2A=[aij]2×2 definida por aij={i2+j, se i=ji+j,se i≠j.aij={i2+j, se i=ji+j,se i≠j. A matriz inversa de AA é
Nota: 20.0
	
	A
	A−1=[2−1−12/3].A−1=[2−1−12/3].
Você acertou!
Com a definição dos elementos da matriz A,A, temos A=[2336].A=[2336]. Como A−1=1detAAdjA,A−1=1detAAdjA, obtemos A−1=13[6−3−32]=[2−1−12/3]A−1=13[6−3−32]=[2−1−12/3] (livro-base p. 51-54)
	
	B
	A−1=[21−12/3].A−1=[21−12/3].
	
	C
	A−1=[2112/3].A−1=[2112/3].
	
	D
	A−1=[122/31].A−1=[122/31].
	
	E
	A−1=[−122/3−1].A−1=[−122/3−1].
Questão 4/5 - Álgebra Linear
Considere os vetores do R3R3,u=(−1,2,3), v=(3,−4,5) e w=(8,1,2),u=(−1,2,3), v=(3,−4,5) e w=(8,1,2).
Dado que dois vetores são ortogonais se o seu produto interno é zero, assinale a alternativa correta.
Nota: 0.0
	
	A
	Apenas os vetores u e vu e v são ortogonais.
	
	B
	Os três vetores são ortogonais.
	
	C
	Apenas os vetores u e wu e w  são ortogonais.
Efetuando o produto interno entre os vetores, apenas u e wu e w tem produto interno igual a zero.  Logo, apenas u e wu e w são ortogonais.
u.v=(−1,2,3).(3,−4,5)=−3−8+15=4v.w=(3,−4,5).(8,1,2)=24−4+10=30u.w=(−1,2,3).(8,1,2)=−8+2+6=0u.v=(−1,2,3).(3,−4,5)=−3−8+15=4v.w=(3,−4,5).(8,1,2)=24−4+10=30u.w=(−1,2,3).(8,1,2)=−8+2+6=0
(livro-base p. 146).
	
	D
	Os vetores u, v, e wu, v, e w não são ortogonais entre si.
	
	E
	Não existe produto interno entre esses vetores.
Questão 5/5 - Álgebra Linear
Abaixo estão apresentadas duas etapas do escalonamento da matriz A=⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦:A=[1−2110−1042]:
⎡⎢⎣1−2110−1042⎤⎥⎦ L2←L2−L1 ⎡⎢⎣1−210x−2042⎤⎥⎦ L3←L3−2L2 ⎡⎢⎣1−210x−200y⎤⎥⎦.[1−2110−1042] L2←L2−L1 [1−210x−2042] L3←L3−2L2 [1−210x−200y].
Assinale a alternativa que contém o valor de xx e o valor de yy:
Nota: 20.0
	
	A
	x = -2 e y = 4.
	
	B
	x = -2 e y = -6.
	
	C
	x = 2 e y = -6.
	
	D
	x = 2 e y = 6.
Você acertou!
Aplicando a operação elementar: L2←L2−L1,L2←L2−L1, temos x=0−(−2)=2.x=0−(−2)=2. Por fim, aplicando a operação: L3←L3−2L2,L3←L3−2L2, encontramos y=2−2(−2)=6y=2−2(−2)=6 
(livro-base p. 56-61).
	
	E
	x = 2 e y = 4.