Gabarito P1 2018/1 Cálculo II

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-UFRGS - Instituto de Matemática e Estatística 
Departamento de Matemática Pum e Aplicu<lo 
MAT01354 - Cálculo e Geometria Analítica II.A 
PROVA 1 - 13/04/2018 - Turma D2 
1 2 a 
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-1 j r, Totrll 
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1 Chamada 1 
1 Questão 11 Considere o plano 1r1 de equa,(;iio :1: - 2y + :~z 
A = (5, O, -2) e a reta L1 de cquaGÕes paramét.ritas 
J 7, ,, J.mnt.<, 
{ 
T 1 + 'Jt 
y = -t 
z = 5 
Obtenha: 
l . o ponto de interseção de L1 e 1r1. 
2. equações paramétricas da reta L2 que contém o ponto A <' é perpendicular 
ao plano 1r1. 
3. uma equação do plano 1r2 que contém a reta L1 e o ponto .--1. 
)/4/ ilf.> -~·+ 3/5 ::;. ~Js 
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_________ lo,5) 
[guestão ~ 
1. Considere a função J (x, y) = x2 + y2 - 2y e o ponto P = (O, - 1). 
(a) Apre8cnte uma. equaçfl.o para. a c;urva de nível de J que passH. por P e 
esboce CHsa curva 110 plano xy. 
(b) Encontre o vetor V f(P) e esboce esse vetor em P. 
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2. Sendo g(x , y) = In(5x2+6y2), mostre que, em cada ponto (x, y) do domínio 
de g, as derivadas parciais de segunda ordem 9xx e 9yy, satisfaz;em a equaçã.o 
o 
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X 
@uestão ~ Considere a função Uada por J(x, 11, z) = ✓1 - x + 11' + 23 " 0 ponto p - ( ,, 2 1) , . . 
- - ,,, , pertP.ncr.nt,f1 a.o dorrnmo dei f. Dr.tc1rrnmc1: 
1. : tax~ d: var!ação de J no ponto p e na direção e sentido do vetor 
v == 2i + j - 2k. 
2. a maior taxa de variação de f em P. 
(0 ,2) 
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lo,\_\) é3 -y X -t- '-t y - °8 t +%-½ ~ :=:.- 0 
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2. Localize e c1assifique1 todos os pontos críticos da. fonc;ão 
x3 
f (x, y) . 3 - 2x
2 + 3x + y - eY. 
;') • --:t,x :: .)- - 4 X +3 
lO' 
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a) D> O e f,..,.(P) < O => Pé po11t.o tlc 1wíxi1110 lonil de• J; 
b) D> O e fu(l') > O --> I' 0 pout.n dt· 111í11i11w hwal d,· f; 
e) D < O => [' é ponto dl' i-da , i<' f. 
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\ Questão 5 J Um granjeiro resolve construir num terreno plano uma gaiola cm : 
forrna ele=~ caixa. rr.ta.ngular, em rpw as parr.des lat.nais 0. o tr.to s(ffH.O d(: te-da de Q 
ararne. Usando rnultiplicador de Lagrange, determine as dimensões da gaiola f r 
• li 1 
de maior volume que poderá ser conRtruída com 48 rn2 de tela. Dctcrmmc, f' ~ 
tarnbén1, o volume dessa, gaiola. l ) 
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