Trigonometria: Medida de Ângulos e Funções Trigonométricas

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TRIGONOMETRIA – A MEDIDA DE UM ÂNGULO
Qualquer número real pode ser interpretado como a medida do radiano de um ângulo como segue: Se, pode-se envolver um comprimento da corda em torno do círculo padrão C de raio de uma unidade no plano, com ponto inicial P(1.0), e procedimento no sentido anti-horário em torno do círculo; faça o mesmo se, ( < 0, mas envolva a corda no sentido horário em torno do círculo. Este processo é descrito na figura 1 abaixo. 
	
	Figura 1 
Se Q(x, y) é o ponto no círculo onde a corda termina, nós podemos associar como sendo um ângulo associando a ele o ângulo central com o vértice O (0.0) e os lados que passam através dos pontos P e Q. Se em vez de envolver um comprimento s da corda em torno do círculo da unidade, nós nos decidirmos o envolver em torno de um círculo do raio R, o ângulo (nos radianos) gerado no processo satisfará à seguinte relação: 
Observe que o comprimento s da corda ser a medida do ângulo somente quando R= 1. 
Como uma matéria da prática e da conveniência comuns, é útil medir ângulos nos graus, que são definidos dividindo uma volta inteira em 360 partes iguais, cada uma delas que é chamada então um grau. Desta maneira, uma volta inteira em torno do círculo da unidade mede radianos e também 360 graus (ou ), que é: Cada grau pode ser subdividido em 60 porções, chamado minutos, e por sua vez cada minuto pode ser subdividido em outras 60 partes, chamado segundos. 
360º = 2( rad (radianos), ou 180º = ( rad ( 2 )
1 grau = 60 minutos = 60’ ( 3 )
1 minuto = 60 segundos = 60” ( 4 )
EXEMPLO 1: Expressar o ângulo 236,345º em Graus-Minutos-Segundos.
Solução: Nós usamos a equação  ( 3 ) para converter uma fração de um grau em minutos e uma fração de um minuto em segundos: 
Conseqüentemente 236,345º = 236º 20’ 42”. 
EXEMPLO 2: Expressar o ângulo 236,345º em radianos. 
Solução: Da equação ( 2 ) nós temos que:
236,345º = 236,345º. 
 = 4,125 rad (com 3 casas decimais)
EXEMPLO 3: Achar o comprimento de um arco em um círculo do raio 75 cm de comprimento em um ângulo central de medida . 
Solução: Nós usamos a equação ( 1 ): , com R = 75 cm e 
( = 126º = 126. ( rad / 180º = 2,199... rad, para obter :
s = R( = (75) (2,199…) = 154,934 cm (com 3 casa decimais)
Estão aqui mais alguns exercícios no uso das regras dadas nas equações 1, 2 e 3. 
EXERCÍCIO 4: Expressar radianos em: 
 (a) em graus com 3 casas decimais e
 (b) em graus – minutos - segundos.
Solução 
 (a) Para expressar radianos no formulário do grau, use o fato que
 ( rad = 180º para obter :
158 rad = 158 rad. 180º / ( rad = 9052, 733º
(b) Para expressar 9052, 733º no forma de graus – minutos - segundos, prossiga como segue: 
� HYPERLINK "http://72.30.186.56/language/translatedPage?lp=en_pt&.intl=br&tt=url&text=http%3a%2f%2fwww.sosmath.com%2fmail.php" \t "_top" ��EXERCÍCIO 5: Expressar o ângulo em radianos. 
Solução: Expresse primeiramente na forma de graus, e converta então em radianos. Para converter-se na forma decimal, observe primeiramente isso e 1' = 60”, daqui: . Prossiga agora como segue: 
412º 10’ 44” = 412º + 10’. 1°/ 60’ + 44”. 1° / 3600 ”
 = 412º + 0,166. . . ° + 0.012. . .° = 412,178. . . °
Expressar agora 412,178 . . .° em radianos: 
412,178. . .° = 412,178. . .°. ( rad / 180° = 7,194 (com 3 decimais)
EXERCÍCIO 6: Supondo – se que a cidade A e a cidade B estão localizadas no mesmo meridiano no hemisfério norte e que a terra é uma esfera do raio 4000 milhas. As latitudes da cidade A e da cidade B são e , respectivamente. 
(a) 
Expresse as latitudes da cidade A e da cidade B em graus. 
(b) 
Expresse as latitudes da cidade A e da cidade B em radianos. 
(c) 
Encontre a distância entre as duas cidades. 
Solução 
Para os itens (a) e (b), prossiga como no exercício 2: 
(a) 29°54’21” = 29°54’. 1°/ 60’ + 21”. 1° / 3600” = 29,9058. . .° ;
(b) 29,9058. . .° = 29,9058. . .° . ( rad /180° = 0. 522 rad (c/ 3 decimais)
De forma similar:
 18° 36’ 32” = 18,608. . .° = 0,325 rad (c/ 3 decimais)
(c) Nós usamos a equação , onde s está à distância ao longo da superfície da terra entre as duas cidades, R o raio da terra, e o ângulo central entre as duas cidades, isto é, a diferença em suas latitudes. A distância entre as duas cidades é então: 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Recorde que um número real pode ser interpretado como a medida do ângulo construído como segue: envolva uma parte de corda de unidades de comprimento em torno do círculo da unidade (no sentido anti-horário se , e
no sentido horário se ) com ponto inicial P(1.0) e ponto terminal Q(x,y). Isto causa o ângulo central com vértice O (0.0) e lados através dos pontos P e Q. Todas as seis funções trigonométricas de são definidas nos termos das coordenadas do ponto Q(x, y), como segue: 
cos ( = x sec ( = 1 / x se x ( 0 
sen ( = y csc ( = 1 / y se y ( 0
tg ( = y / x ctg ( = x / y se y ( 0
Sendo Q(x, y) um ponto do círculo de raio unitário, temos que x² + y² = 1. Este fato e as definições das funções trigonométricas causam as seguintes identidades fundamentais: 
IDENTIDADE DE PITÁGORAS: cos ² ( + sen² ( = 1 
IDENTIDADES RECÍPROCAS:
 sec ( = 1 / cos ( ; csc ( = 1 / sen ( 
 tg ( = sen ( / cos ( ; cotg ( = 1 / tg ( ; tg ( = 1 / cotg ( 
Estas notações modernas para funções trigonométricas devem-se a L. Euler (1748). 
Mais geralmente, se Q(x, y) é ponto do círculo 
 de raio R é cruzado pelo ângulo , então ele forma (dois triângulos similares) onde: 
cos ( = x / R ; sec ( = R / x se x ( 0
sen ( = y / R ; csc ( = R / y se y ( 0
tg ( = y / x se x ( 0 ; cotg ( = x / y se y ( 0
�
Funções Periódicas 
Se um ângulo corresponder a um ponto Q(x, y) no círculo da unidade, não é difícil ver que o ângulo ( + 2( corresponde ao mesmo ponto Q(x, y), e daqui que: 
Além disso, é o ângulo positivo o menor para que equações ( 1 ) seja verdadeiro para todo o ângulo . No geral, nós temos para todos os ângulos : 
O número é o período das funções trigonométricas Seno e Cosseno, e consideramos estas funções como sendo periódicos. Secante e Cossecante também são funções periódicas com período , enquanto Tangente e Cotangente são periódicas com período . 
EXEMPLO 1: Determinar o período da função: 
Solução: A função f(x) = -3 cos (3x) representa um ciclo completo (período) quando o ângulo 3 x varia de 0 a , ou equivalente quando x varia de 0 a 2( /3. O período de f(x) é então 2( / 3.
EXERCITE 1: Determinar o período da função . 
Solução: Para que a função f( t ) = 8 sen (7( t) funcione através de um ciclo completo, o ângulo deve funcionar de a , e daqui t deve funcionar de t= 0 a t = 2/7. O período de f(t) é então 2/7. 
�
Avaliação das relações trigonométricas 
Considere o triângulo retângulo com catetos de comprimento a > 0 e b > 0 e a hipotenusa c > 0 como em figura 1 abaixo: 
	
	Figura 1 
Para o ângulo retratado na figura, temos: 
 e csc ( = 
cos ( = 
 e sec ( = 
tang ( = 
 e cotg = 
	
	
	
	
	
	
EXERCITE 2: Determinar o valor de todas as relações trigonométricas relativas aos ângulos de 30° e 45° usando a figura 2.
	
	
	Figura 2 
Esta lista pode ser estendida com o uso de ângulos da referência (veja o exemplo 2 abaixo). 
EXEMPLO 2: Encontre os valores de todas as funções trigonométricas do ângulo . 
Solução: De figura 2, nós vemos que o ângulo de corresponde ao ponto no círculo da unidade, e assim:
EXEMPLO 3: Encontre os valores de todas as funções trigonométricas do ângulo . 
Solução: Observe que um ângulo de é equivalente a 8 voltas inteiras (um total de ) mais , daqui os ângulos e localizam-se no círculo da unidadeno mesmo ponto Q(x, y), e assim que suas funções trigonométricas são iguais. Além disso, o ângulo é oposto ao ângulo com do respeito ao eixo - x (no segundo quadrante). Deste podemos ver que: Q(x, y) = (- ½ ; ( 3 / 2 ) e daqui que: 
Nós chamamos o ângulo auxiliar de ângulo da referência de . 
EXEMPLO 4 Achar todas as funções trigonométricas de um ângulo no terceiro quadrante para que cos ( = - 5/6. 
Solução: Nós construímos primeiramente um ponto R(x, y) no lado terminal do ângulo , no terceiro quadrante. Se R(x, y) é tal ponto, a seguir cos ( = x / R = -5 / 6 e vemos que podemos verificar que x = - 5 e R = 6. Desde que x² + y² = R² = 6² = 36 nós encontramos que y = - 
 (os sinais do negativo em x e em y são efeitos porque R(x, y) é um ponto no terceiro quadrante, veja figura 3). 
	
	Figura 3 
Segue que: 
Estão aqui a seguir alguns exercícios de avaliação de funções trigonométricas. 
EXERCÍCIO 5
(a) Determinar (dê a resposta exata). 
(b) Se e , encontre sen ( (dê a resposta exata). 
Solução :
(a) Observe que 
 = 5 voltas inteiras + 7( / 6. 
Como tem o período , segue assim: 
O ângulo 7( / 6 encontra-se no terceiro quadrante e tem-se que ( / 6 = 30° como o ângulo da referência, e se Q(- ( 3 / 2; -1/ 2) conseqüentemente um ponto no ângulo e no círculo da unidade, de que nós obtemos: 
(b) Observe isso tg ( = sen ( / cos ( = sen ( sec ( , de que nós obtemos que: 
EXERCÍCIO 6: De uma torre (tower) de observação a 200m na praia, um homem avista uma baleia (whale) com dificuldade. O ângulo de depressão da baleia é . A que distância a baleia encontra-se da linha de observação observador - praia? 
Solução O ângulo de depressão do homem à baleia é o ângulo que uma linha imaginária que conecta o homem a baleia com o respeito a horizontal; como o homem tem que olhar para baixo para avistar a baleia, este é chamado o ângulo de depressão (se, na outra forma, estiver observando um objeto no ar, teria que olhar ascendente e o ângulo seria chamado o ângulo de elevação). A situação é mostrada todos os dados veja na figura 1. No triângulo direito, vemos que 200 / x = tg 7°, ou x = 200 / tg 7° = 1628.87 m (com 2 casas decimais). 
	
	Figura 1 
Observe que um pode também usar o ângulo complementar de obter a relação 
x / tg200 = tg 83°, e daqui m, como antes. 
A identidade mágica
A trigonometria é a arte de fazer a álgebra sobre o círculo. Assim é uma mistura da álgebra e da geometria. As funções do seno e de cosseno são justamente as coordenadas de um ponto no círculo de raio unitário. Isto implica a fórmula fundamental no ciclo trigonométrico (que nós chamaremos aqui a identidade mágica) 
onde representa toda medida de um ângulo ou arco. 
Exemplo: Mostre que: 
Sol: Por definições das funções trigonométricas nós temos:
 sec ( = 1 / cos ( e tg ( = sen ( / cos ( 
Daqui nós temos: 
Usando a identidade mágica nós começamos 
Isto termina nossa prova. 
Observação. A fórmula acima é fundamental em muitas ocasiões. Para o exemplo, é muito útil nas técnicas da integração. 
Sol. Nós temos pela definição das funções trigonométricas: 
Daqui 
Usando a identidade mágica nós começamos 
Pondo o material junto nós começamos 
Isto dá: 
Usando a identidade mágica nós encontramos:
Conseqüentemente nós temos 
Exemplo. Verificar que 
Identidades recíprocas 
Identidades Pitagóricas 
Identidades do Quociente 
NÍVEL SUPERIOR
Técnicas da integração: Substituições trigonométricas 
As identidades trigonométricas familiares 
podem ser usadas para eliminar radicais nas integrais. Especialmente quando estas integrais envolverem 
 e 
1 Para 
 o valor Neste caso nós falamos sobre o seno-substituição. 
2 Para 
 o valor . Neste caso nós falamos sobre a tangente-substituição. 
 
3 Para o valor . Neste caso nós falamos sobre a secante-substituição. 
As expressões e devem ser vistas como uma constante mais-menos um quadrado de uma função. Neste caso, x representa uma função e uma constante. Para o exemplo pode ser visto como uma das duas expressões precedentes. Certamente, se nós terminarmos o quadrado nós obtemos:
onde . Assim nas substituições acima, nós ajustar-nos-emos . 
Os exemplos seguintes ilustram como usar substituições trigonométricas.
�
Substituições Trigonométricas: Exemplo 1
Determinar:
Solução. É fácil ver que a seno-substituição é essa a se usar. Logo ou equivalente . Então que nos dá 
Os cálculos fáceis dão 
A técnica da integração de funções trigonométricas dá:
qual sugere a substituição . Daqui que implica 
Conseqüentemente, nós temos:
Isto não responderá inteiramente ao problema porque a resposta deve ser dada em função de x. Desde que , nós começamos após simplificações fáceis. 
Substituições Trigonométricas: Exemplo 2 
Determinar: 
Solução. Deixe-nos primeiramente completar o quadrado para . Nós começamos fazendo: 
o qual sugere a secante-substituição . Daqui nós temos e . 
Anote que 
para x= 0, nós tem que dá t= 0 e para x= 3, nós tem que dá . Conseqüentemente, nós temos. 
Usando as identidades trigonométricas (você as encontrará na extremidade desta página), nós começamos. 
A técnica da integração relacionando-se aos poderes da secante-função dá e 
qual implica 
Verifica-se facilmente que: 
�
Identidades trigonométricas úteis: 
Substituições Trigonométricas: Exercícios 
Determinar
Resposta: 
Determinar
Resposta: . 
Determinar
 Resposta: .
Encontre o comprimento do arco da parábola de x = 0 a x = 1. 
Resposta: 
As Fórmulas da Adição
As identidades fundamentais são muito importantes para a análise de expressões e de funções trigonométricas, mas são um resultado direto da relação intimada entre a trigonometria e geometria. A resolução através da natureza algébrica da trigonometria é resolvida somente com as fórmulas da adição:
e 
Naturalmente, nós usamos o fato de: 
cos (- a ) = cos ( a ) e sen ( - a) = - sen ( a )
Exemplo. Verifique a identidade:
Sol: Nós temos 
Qual dá:
Mas 
e daí:
E como, nós finalizamos: 
Observação. No geral é bom verificar se a fórmula dada esteja correta. Uma maneira a fazer deve-se substituir alguns valores para as variáveis. Para o exemplo, se nós fizermos a = b = 0, nós obtemos:
cos(0) cos(0) = 1 e cos²(0) – sen²(0) = 1 – 0 = 1.
Ou nós podemos fazer para a = b = ( / 2. Neste caso nós temos. 
cos(( )cos(0) = - 1 e cos²(( /2) – sen²(( /2) = 0 – 1 = - 1.
Exemplo. Encontre o valor exato de 
Sol: Nós temos 
Daqui, usando as fórmula da adição para a função de cosseno nós temos:
Onde:
Então:
Exemplo. Encontre o valor exato para 
Sol: Nós temos 
Onde:
nós obtemos:
Finalmente nós temos: 
Observação. Usando as fórmulas da adição, nós geramos as seguintes identidades. 
Estas identidades podem ser provadas conforme as anteriores. 
Fórmulas do Arco (ou Ângulo) Duplo e do 
Arco (ou Ângulo) Metade.
As fórmulas do Arco Duplo e do Arco Metade são muito úteis. Para o exemplo, as funções racionais do seno e do cosseno são bastante complexas de integrar sem estas fórmulas. Vejamos como seguem:
Exemplo. Verifique as identidades: 
Sol: Nós verificaremos a primeira e a segunda identidade é deixada ao leitor como um exercício. Nós temos:
Daqui 
da qual implica:
Muitas funções que envolvem seno e do cosseno são duras de integrar. O uso das fórmulas do Ângulo Dobro ajuda reduzir o grau de dificuldade. 
Exemplo. Escreva cos4 (a) como uma expressão que envolve as funções trigonométricasem seu primeiro grau.
Sol: Nós temos 
Daqui 
Desde que :
, temos:
Ou 
Exemplo. Verifique a identidade 
Sol: Nós temos 
Usando as fórmulas do Ângulo Dobro nós temos: 
Pondo o material junto nós temos:
Das fórmulas do Ângulo Dobro, uma pode gerar fàcilmente as fórmulas do Ângulo Metade. Vejamos:
No detalhe, nós temos:
Exemplo. Use as fórmulas do Ângulo Metade para determinar o valor de:
cos (( /8)
sen (( /8) ou sin (( /8)
Sol: Fazendo a = ( /4, temos que: 
Usando as fórmulas acima, temos: 
Temos que 0 < ( /8 < ( /2, é então cos (( /8) é um número positivo. Conseqüentemente, temos: 
Os mesmos argumentos conduzem a:
Exemplo. Verifique as identidades 
Sol: Primeiro notamos que: 
Que cai na identidade . Assim nós necessitamos verificar somente uma identidade. Para o exemplo, verificar que: 
Usando as fórmulas do Ângulo Metade, nós temos:
que se reduz a: 
Expressões racionais de funções trigonométricas (Curso Superior)
As expressões abaixo 
São chamadas expressões racionais do seno e do cosseno. Anote que todas as funções trigonométricas restantes são funções racionais do sin (seno) e do cosseno. A idéia principal atrás de integrar tais funções é a substituição geral 
A fim de ter como melhor trabalhar, recorde as fórmulas trigonométricas. 
Não é duro gerar fórmulas similares para �� INCLUDEPICTURE "http://www.sosmath.com/calculus/integration/raextrig/img5.gif" \* MERGEFORMATINET , e das fórmulas acima. Conseqüentemente, toda a função racional será transformada em uma função racional de t através das fórmulas acima. Para o exemplo, nós temos: 
onde . Anote que a fim terminar a substituição que nós necessitamos encontrar o dx como a função de t e de descolamento. Desde que , nós temos :
Agora nós estamos prontos para integrar funções racionais do seno e do cosseno. 
Verifique os seguintes exemplos para ver como esta técnica trabalha:
�
Cálculo: Integração de funções racionais 
Uma função racional é pela definição o quociente de dois polinômios. Por exemplo:
são todas funções racionais. Recorde a definição de uma função racional. Você não terá
 nenhum ln (x) ou | x| como exemplo. Anote que a integração pelas peças não será bastante para ajudar integrar uma função racional. Conseqüentemente, temos uma técnica fazer o trabalho. Esta técnica é chamada Decomposição de funções racionais em uma soma de frações parciais (na decomposição parcial da fração). 
Vejamos as etapas práticas como integrar a função racional f( x ) = 
: 
1 Se o Grau ( P ) ( Grau ( Q ), execute ao longo-divisão polinomial. Se não passe a etapa 2. 
2 Fatore o denominador Q(x) em polinomial irredutível: polinomiais quadráticos lineares e irredutível. 
3 Encontre a decomposição parcial da fração. 
4 Integre o resultado da etapa 3. 
Observação: A dificuldade principal encontrada no geral quando usar esta técnica esta em tratar a etapa 2 e a etapa 3. Conseqüentemente, recomenda-se altamente fazer uma revisão séria da técnica parcial da decomposição antes de aventurar-se em integrar funções fracionárias. 
Os próximos exemplos abaixo ilustram os casos em que você será requerido para usar a técnica parcial da decomposição da fração:
�
Produtos e fórmulas da soma
Das fórmulas da adição, nós derivamos as seguintes fórmulas trigonométricas (ou identidades). 
Observação. Está desobstruído que a terceira fórmula e a quarta são idênticas (use a propriedade sin (- x) = sin ( x ) para verificar). 
As fórmulas acima são importantes sempre que a necessidade se levanta para transformar o produto do seno e do cosseno em uma soma. Esta é uma idéia muito útil nas técnicas da integração. 
Exemplo. Expresse o produto cos( 5x ) sin(3x ) como uma soma de funções trigonométricas. 
Sol: Nós temos: 
De onde:
Note que as fórmulas a seguir podem ser usadas para transformar uma soma em um produto através das identidades 
Exemplo. Expresse cos( 3x ) + cos( 7x ) como um produto. 
Sol: Nós temos 
Note que nós nos usamos cos( - x ) = cos( x ). 
Exemplo. Verifique a fórmula: 
Sol: Nós temos 
e 
Daqui 
onde implica claramente: 
Exemplo. Encontre o número real x tal que 0 ( x ( ( /2 e 
Sol: Muitas maneiras podem ser usadas neste problema. Usando as fórmulas acima temos: 
Daqui: cos ( 4x ) + cos( 2x ) = 0 ( cos( 3x ) = 0 ou cos ( x ) = 0. 
Desde que 0 ( x ( ( /2 , a equação cos( x ) = 0 dá x = ( / 2 e a equação 
cos ( 3x ) = 0 dá x = ( / 6 . 
Conseqüentemente, as soluções da equação cos ( 4x ) + cos (2x) = 0 
são: x = ( /2 ou x = ( / 6.
Exemplo. Verifique a identidade 
Sol: Nós temos 
Usando as fórmulas acima nós temos: 
De onde temos: 
na qual implica 
Como temos que cos (2a ) + 1 = 2 cos² ( a ), nós temos:
Integrais no produto dos senos e dos cossenos 
(Curso Universitário) 
Aqui nós discutiremos as seguintes integrais 
O caso m = n é muito fácil de verificar. Conseqüentemente nós consideraremos somente o caso n ( m. Nós necessitaremos das seguintes identidades trigonométricas. 
Exemplo: Determinar: 
Solução. Nós temos a identidade trigonométrica: 
Conseqüentemente, nós começamos por:
na qual rende :
EQUAÇÕES TRIGONOMETRICAS
Algumas equações que envolvem funções trigonométricas de incógnitas desconhecidas podem prontamente ser resolvidas usando idéias algébricas simples (como a equação 1 abaixo), enquanto outras poderem ser impossíveis de resolver exatamente, ficando somente aproximadamente (por exemplo, equação 2 abaixo): 
EXEMPLO 1: Encontre todas as soluções da equação 2 sin u + 1 = 0. 
Solução: Nós podemos no gráfico visualizar todos os ângulos u que satisfazem à equação observando para isso são as coordenadas do ponto onde o lado terminal do ângulo u (na posição padrão) cruza o círculo da unidade (veja figura 1): 
Podemos ver que há dois ângulos no intervalo [ 0, 2( ] que satisfazem à equação:
são 7( /6 = 210º e 11( /6 = 330º. Como o período da função seno realiza-se a cada , todas as soluções da equação original são: 
u = 7( / 6 + 2n( e u = 11( / 6 + 2n( onde n = 0; ( 1; ( 2; . . .
EXEMPLO 2: Achar todas as soluções da equação 2. sin(2 A)+ 1 = 0. 
Solução. Fazendo u= 2 A, a equação é então o equivalente a sin( u ) = - 1/2 , para que as soluções são (veja o EXEMPLO 1): 
Daqui as soluções para A são: 
EXEMPLO 3: Solução. HYPERLINK "http://72.30.186.56/language/translatedPage?lp=en_pt&.intl=br&tt=url&text=http%3a%2f%2fwww.sosmath.com%2ftrig%2fTrig3%2fexe1%2fexe1.html" \t "_top" ��Achar todas as soluções da equação 3. tag ³ A – tag A = 0 que se encontram no intervalo [ 0, 2( ]. 
 
A equação pode ser fatorada como: 
daí temos: ou tan A = ( 1 / ( 3. Para A ( [0. 2( ]. 
Então: tan A = 0 ( A = 0, ( ou 2( .
Quando 
e 
Todas as soluções da equação original é então 
� HYPERLINK "http://72.30.186.56/language/translatedPage?lp=en_pt&.intl=br&tt=url&text=http%3a%2f%2fwww.sosmath.com%2ftrig%2fTrig3%2fexe2%2fexe2.html" \t "_top" �� EXEMPLO 4: Achar todas as soluções da equação cos ( 4 A ) = 1/2 no intervalo . 
Solução. 
Encontramos primeiramente todas as soluções da equação relacionada cos ( = 1 / 2 (veja o exemplo 1), e temos ( = ( / 3 + 2n ( e ( = - ( / 3 + 2n ( onde n = 0; ( 1; ( 2; . . .
 Determinando todas as soluções. Temos:
 4 A = ( ( / 3 + 2 n( onde n = 0; ( 1; ( 2; . . .
da qual segue que:
A solução dupla de A que se encontram no intervalo[ 0, 2( ] são conseqüentemente 
Solução. HYPERLINK "http://72.30.186.56/language/translatedPage?lp=en_pt&.intl=br&tt=url&text=http%3a%2f%2fwww.sosmath.com%2ftrig%2fTrig3%2fexe3%2fexe3.html" \t "_top" ��O EXEMPLO 5: Resolver a equação 2. cos² x + 6.cos x – 3 = 0. Restrinja soluções ao intervalo [ 0, 2( ).. 
 
A substituição rende a equação 2u² + 6u – 3 = 0, que é quadrática em u. Nós usamosa fórmula quadrática para resolver : 
Se a calculadora nos dar x = 1,1191 como a solução aguda, assim como nós deduzimos que a outra solução é . A equação não tem nenhuma solução, pois para todo o x. O conjunto solução é conseqüentemente {0,4365; 5,1641}. 
Tabela de identidades trigonométricas
Identidades recíprocas 
Identidades Pitagóricas
Identidades Quociente 
Identidades Co-Função 
�
Identidades Uniforme-Impares 
Fórmulas da Soma-Diferença 
Fórmulas Dobro do Ângulo 
Fórmulas do Ângulo de Power-Reducing/Half 
�
Fórmulas de transformações da Soma-a-Produto. 
Fórmulas de transformações de Produto-a-Soma. 
RESOLVENDO EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Nota: 
Se você tiver dúvida dê uma revisão nas fórmulas (identidades) trigonométricas.
�
Exemplo 1:          
Há um número infinito das soluções a este problema. Para resolver para x, você deve primeiramente isolar o termo do seno. 
Nós sabemos que sendo sin (( / 6) = 1 / 2, conseqüentemente x = ( / 6. A função do seno é positiva nos quadrantes I e II.
Temos também que: sin (( - ( / 6) = sin 5( / 6 é também igual 1 / 2. Então conseqüentemente, as duas soluções ao problema são x = ( / 6 e x = 5( / 6. 
O período da função ( x ) do sin (seno) é Isto significa que os valores se repetirão a cada radianos em ambos os sentidos. Conseqüentemente, as soluções exatas são:x = ( / 6 ( n(2() e x = 5( / 6 ( n(2() onde n é um inteiro. As soluções aproximadas são e onde n é um inteiro. 
Estas soluções podem ou não ser as respostas ao problema original. Faça a verificação, numericamente ou gráfica, com a equação original. 
Verificação Numérica: 
Verificando a resposta para x = ( / 6. 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:        0 
Desde que o lado esquerdo é igual ao lado direito da igualdade quando se substitui x por ( / 6, é então ( / 6 uma solução. 
Verificando a resposta para x = 5( / 6. 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:        0 
Desde que o lado esquerdo é igual ao lado direito quando se substitui x por 5( / 6, é então 5( / 6 uma solução. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função 
f (x) = 2 sin(x) - 1 
Note que o gráfico cruza o eixo-x muitas vezes o que indica muitas soluções. Note que se cruza em ( / 6 ( 0, 5236. Como o período realiza-se a cada 2( ( 6,2831, cruza-se outra vez em 0.5236+6.283=6.81 e em 0.5236+2(6.283)=13.09, etc.. Ao cruzar o gráfico em 5( / 6 ( 2, 618, cruza-se outra vez em 2.618+6.283=8.9011 e em 2.618+2(6.283)=15.18, etc..
 Exemplo2: Resolva para x a seguinte equação. 
        
Solução: Há um número infinito de soluções para este problema. Para resolver para x, você deve primeiramente isolar o termo do seno ( sin ). 
Se nós limitarmos o domínio da função do seno a , nós pudermos usar a função inversa do seno e resolver para o ângulo 3x e então x da referência. 
Nós sabemos que a função seno é positiva no primeiro e segundo quadrantes. Conseqüentemente as duas soluções são os ângulos: 3x que termina no primeiro quadrante e no ângulo ( - 3x que termina no segundo quadrante. Temos então resolvido para 3x. 
As soluções são e 
O período da função sin (3x) é 2( / 3. Isso significa que os valores repetirão cada 2( / 3 radianos em ambos os sentidos. Conseqüentemente, as soluções exatas são 
 e 
onde n é um inteiro. 
As soluções aproximadas são e onde n é um inteiro. 
Estas soluções podem ou não ser as respostas ao problema original. Faça a verificação, numericamente ou gráfica, com a equação original. 
. 
Verificação Numérica: 
Verifique a resposta x = 0,174532925 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo iguala o lado direito quando você substitui 0.174532925for x, então 0.174532925 são uma solução. 
Verifique a resposta x= 0.872665 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo se iguala o lado direito quando se substitui para x, então é uma solução. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a equação 
Anote que o gráfico cruza o eixo- x muitas vezes que indicam muitas soluções. Você pode ver que o gráfico cruza em 0.174532925. Como o período é 2( /3 ( 2, 094395, cruza-se outra vez em 0.174532925+2.094395=2.2689 e em 0.174532925+2(2.094395) = 4.3633, etc.. As interseções do gráfico em 0.872665. 
Como o período é 2( /3 ( 2, 094395, cruzar-se-á outra vez 0,872665 + 2,094395 = 2,9671 e em 0.872665+2(2.094395)=5.061455, etc. 
�
Exemplo 3: 
Há um número infinito de soluções para este problema. Para resolver para x, você deve primeiramente isolar o termo do seno. 
Se nós limitarmos o domínio da função do seno a 
, nós podemos usar a função inversa do seno e resolver para o ângulo x da referência, e então x:
Nós sabemos que a função seno é negativa no terceiro e quarto quadrante. Conseqüentemente duas das soluções são: o ângulo ( + x’ que termina no terceiro quadrante e no ângulo 2( + x’ que termina no quarto. Resolvemos então para 
Terceiro Quadrante: x1 = ( + x’ = ( + sen-1
 => x1 ( 3,92699081699.
Quarto Quadrante: x2 = 2( - x’ = 2( - sen-1
 => x2 ( 5,497787.
As soluções são x = ( + sen-1
 e x = 2( - sen-1
. 
O período da função sino é Isso significa que os valores repetirão cada radianos em ambos os sentidos. Conseqüentemente, as soluções exatas são e onde n é um inteiro. 
As soluções aproximadas são e onde n é um inteiro. 
Estas soluções podem ou não podem ser as respostas ao problema original. Você deve fazer verificação para elas, numericamente ou gráfica, com a equação original. 
Verificação Numérica: 
Verificando a resposta x = 3,92699081699 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Como o lado esquerdo é igual ao lado direito quando se substitui 3,92699081699 por x, então 3,92699081699 é uma solução. 
Verificando a resposta x = 5,497787 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Como que o lado esquerdo é igual ao lado direito quando se substitui 5,497787 para x, então 5,497787 é uma solução. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função
Note que o gráfico cruza o eixo-x várias vezes que indicam muitas soluções. 
Note que se interceptam em 3,92699081699. Como o período realiza-se em , cruzam-se outra vez em 3,92699081699+6,2831853 = 10,21017 e em 3, 92699081699+2(6, 2831853)=16, 49336, etc.. 
O gráfico cruza também o eixo-x em 5,497787. Como o período realiza-se , cruza-se outra vez em 5, 497787+6, 2831853 = 11,78097 e em 5,497787 + 2(6, 2831853) = 18, 06415, etc.. 
Há um número infinito de soluções para este problema. Para resolver para x, você deve primeiramente isolar o termo da tangente. 
Se nós restringirmos o domínio da função do tangente a 
, nós podemos usar a função inversa da tangente e resolver para o ângulo x da referência', e então x’: 
O ângulo da referência é x’ = tang-1
 A função tangente é positiva no primeiro quadrante e no terceiro quadrante e negativo no segundo e quarto quadrante. 
O período tang(x) da função é Isso significa que os valores se repetirão a cada radianos em ambos os sentidos. Conseqüentemente, as soluções exatas são e onde n é um inteiro. 
As soluções aproximadas são e onde n é um inteiro. 
Estas soluções podem ou não podem ser as respostas ao problema original. Você deve fazer verificação para elas, numericamente ou gráfica, com a equação original. 
Verificação Numérica: 
Verificando a resposta x = 0, 52359877. 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:        0 
Como o lado esquerdo se iguala o lado direito quando se substitui 0, 52359877 por x, então 0, 52359877 é uma solução. 
Verificando a resposta x = - 0,52359877. 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:        0 
Como o lado esquerdo se igual ao lado direito quando se substitui -0,52359877 por x, então -0, 52359877 é uma solução. 
Verificação Gráfica:Representando graficamente a função f ( x ) = 3 tang2 x - 1 o seu gráfico cruza o eixo-x várias vezes que indicam muitas soluções. 
Note que se cruzam em 0,52359877. Como o período realiza-se a , cruzam-se outra vez em 0,52359877 + 3,1415927 = 3,66519 e em 0,52359877 + 2(3,1415927) = 6,80678, etc.. 
Note que se cruzam em -0,52359877. Como o período realiza-se a, cruzam-se outra vez em -0,52359877 + 3,1415927 = 2,617899 e em - 0.52359877 + 2(3,1415927) = 5,759587, etc.. 
�
Há um número infinito de soluções para este problema. Para resolver para x, ajuste a equação igual a zero e a fatore. 
Então:
Temos: i) cotg x = 
quando 
 quando x = ( / 2 ( 2( , e quando x = 3( / 2 ( 2( . 
ii) cos2 x – 2 = 0 quando e cos x = ( 
 Isto é impossível porque 
As soluções exatas do valor são x = ( / 2 ( 2( e x = 3( / 2 ( 2( .O valor aproximado destas soluções é 
e 
Onde n é um inteiro. 
Estas soluções podem ou não podem ser as respostas ao problema original. Você deve fazer verificação para elas, numericamente ou gráfica, com a equação original. 
Verificação Numérica: 
Verificando a resposta x = 1,5707963 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito: 
Como o lado esquerdo se iguala ao lado direito quando se substitui 1,5707963 por x, então 1,5707963 é uma solução. 
Verificando a resposta x = 4,71238898 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito: 
Como o lado esquerdo se iguala ao lado direito quando se substitui 4,71238898 por x, então 4,71238898 é uma solução. 
Verificação Gráfica: 
Representando graficamente a função f( x ) = cotg x cos2 x - 2 cotg x, o seu gráfico cruza o eixo-x várias vezes que indicam muitas soluções. 
Note que se cruzam em 1,5707963. Como o período realiza-se a , cruzam-se outra vez em 1,5707963 + 6,2831853 = 7,85398 e em 1,5707963 + 2(6,2831853) = 14,137167, etc.. 
Note que se cruzam em 4,71238898. Como o período realiza-se em , cruzam-se outra vez em 4,71238898 + 6,2831853 = 10,99557 e em 4,71238898 + 2(6,2831853) = 17,27876, etc.. 
Há um número infinito de soluções para este problema. 
Isole o termo do seno. Para fazer isto, reescreva o lado esquerdo da equação em uma forma fatorada equivalente. 
O produto de dois fatores é igual a zero se ao menos um dos fatores se igualar a zero. Isto significa que (2 sen(x) + 1) (sen(x) – 1) = 0 se 2 sen(x) + 1= 0 ou sen(x) – 1 = 0.
Nós transformamos um problema difícil em dois problemas mais fáceis. Para encontrar as soluções à equação original (2 sen(x) + 1) (sen(x) – 1) = 0, nós encontramos as soluções das equações 2 sen(x) + 1 = 0 e (sen(x) – 1) = 0.
e 
Como isolamos o x? Nós poderíamos fazer exame do arcseno de ambos os lados. Entretanto, a função do seno não é uma função bijetora. 
Deixe-nos restringir o domínio assim para que a função seja bijetora no domínio restrito ao preservar a escala original. O gráfico da função do seno é bijetora no intervalo Se nós restringirmos o domínio da função do seno a esse intervalo, podemos fazer exame do arcseno de ambos os lados de cada equação. 
Nós sabemos que sen ( x ) = sen ( ( - x ), conseqüentemente, se sen ( x ) = - 1/2, então sen ( ( - x ) = -1/2. 
Nós terminamos o problema resolvendo para o segundo membro. 
Como o período sex ( x ) é igual a, estas soluções repetirão a cada unidades. As soluções exatas são 
onde n é um inteiro. 
Os valores aproximados destas soluções são 
onde n é um inteiro. 
Pode-se verificar cada solução algébrica substituindo cada solução na equação original. Se, após a substituição, o lado esquerdo de a equação original igualar o lado direito da equação original, a solução é válida. 
Se pode também verificar as soluções gráfica representando graficamente a função dada forma pelo lado esquerdo da equação original e representando graficamente a função dada forma pelo lado direito da equação original. As abscissas dos pontos de interseção são as soluções. O lado direito da equação é 0 e f(x) = 0 é a abscissa. Assim realmente o que você está procurando seja x -intercepta à função dada forma pelo lado esquerdo da equação. 
Verificação Algébrica: 
Verifique a solução 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:        0 
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substitui -0.52359878 para x, a seguir -0.52359878 são uma solução. 
Verifique a solução 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:        0 
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substitui 3.665191 para x, a seguir 3.665191 é uma solução. 
Verifique a solução para 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:        0 
Desde que o lado esquerdo da equação original se iguala ao lado direito da equação original quando você substitui x por 1,5707963, então 1,5707963 é uma solução. 
Nós verificamos apenas que as soluções exatas , e são as soluções e elas repetem-se a cada ( 2( unidades. Os valores aproximados destas soluções são e 1,5707963 e estas soluções repetem-se a cada 
( 6,2831853unidades. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função f ( x ) = 2 sen² (x) – sen (x) – 1, onde a equação cruza o eixo x várias vezes o que indica muitas soluções. 
O gráfico cruza o eixo x em -0.52359878. Como o período realiza-se a cada , você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo x outra vez em -0.52359878+6.2831853=5.7595865 e em , etc.. 
O gráfico cruza o eixo x em . Como o período realiza-se a cada , o gráfico cruza também o eixo x outra vez em 3.665191+6.2831853=9.9483763 e em , etc.. 
O gráfico cruza o eixo x em . Desde o período realiza-se , o gráfico cruza também o eixo x outra vez em 1.5707963+6.2831853=7.8539816 e em , etc.. 
Nota: Se o problema dever encontrar as soluções no intervalo [0,2(], então você escolhe as soluções infinitas que pertencem ao domínio [0,2(]. , e 5,7595865. 
Há um número infinito das soluções para este problema. 
Nós podemos fazer a solução mais fácil se nós convertermos todos os termos trigonométricos para cosseno. 
A identidade trigonométrica fundamental é sen²(x) + cos² (x) = 1 e sen²(x) = 1- cos² (x) que substitui sen² (x) na equação como 1 – cos² (x) temos uma equação equivalente com termos em cosseno. 
Isole o termo do cosseno. Para fazer isto, reescreva o lado esquerdo da equação em uma forma fatorada equivalente. 
O produto de dois fatores iguala-se a zero se ao menos um dos fatores for igual a zero. Isto significa que: se ou 
Nós transformamos apenas um problema difícil em dois problemas mais fáceis. Para encontrar as soluções à equação original (cox (x) – 1) (2 cos (x) – 1) = 0, nós encontramos as soluções às equações cox (x) – 1 = 0 e 2 cos (x) – 1 = 0 ,então: 
e 
Como nós isolamos o x? Nós poderíamos fazer exame do arcseno de ambos os lados. Entretanto, a função de cosseno não é uma função bijetora. 
Deixe-nos reduzir o domínio para que a função seja bijetora no domínio restrito ao preservar a escala original. O gráfico da função de cosseno é bijetora no intervalo Se nós restringirmos o domínio da função cosseno para esse intervalo, podemos fazer exame do arcseno em ambos os lados da equação. 
Nós sabemos que cos (x) = cos (-x), conseqüentemente, se cos (x) = 1, então 
Nós terminamos o problema resolvendo o segundo membro. 
Como indicado previamente, nós sabemos que cos (x) = cos (-x), conseqüentemente, se cos (x) = 1/2, então cos (- x) =1/2. 
Como o período de cos (x) é , as soluções se repetirão a cada unidades. As soluções exatas são: 
onde n é um inteiro. 
Os valores aproximados destas soluções são: 
onde n é um inteiro. 
Você pode verificar cada solução algébrica substituindo cada valor de x na equação original. Se, após a substituição, o lado esquerdo da equação original igualar-seao lado direito desta equação, a solução é válida. 
Você pode também verificar as soluções graficamente representando a função dada forma subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original. As soluções da equação original são as interseções deste gráfico com o eixo x. 
Verificação Algébrica: 
Verifique a solução x = 0 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde o lado esquerdo da equação original iguala-se ao lado direito na equação original quando você substitui x por 0, assim 0 é uma solução. 
Verifique a solução x = 1,04719755 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Como o lado esquerdo da equação original iguala-se ao lado direito da equação original quando você substituir 1,04719755 por x, então 1,04719755 é uma solução. 
Verifique a solução x = - 1,04719755 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Como o lado esquerdo da equação original iguala-se ao lado direito da equação original quando você substituir -1,04719755 por x, então -1.04719755 é uma solução. 
Nós verificamos apenas algebricamente que as soluções exatas são x = 0 e 
x = ( cos-1(1/2) e estas soluções repetem-se cada ( 2( unidades. Os valores aproximados destas soluções são e ( 1,04719755 e estas soluções repetem-se a cada ( 6,2831853 unidades. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função f(x) = 2sen²(x) + 3cos(x) – 3. Na equação o gráfico cruza o eixo x várias vezes, que indica muitas soluções. Deixem-nos verificar alguns destas interseções com o eixo x que nós encontramos. 
O gráfico cruza o eixo x em 0. Como o período realiza-se a cada , você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo x outra vez em 6,2831853 e em , etc.. 
O gráfico cruza o eixo x em como o período é , o gráfico cruza também o eixo x outra vez em 1,04719755+6,2831853=7,3303829 e em , etc.. 
O gráfico cruza o eixo x em – 1,04719755,Como o período realiza-se a cada , o gráfico cruza também o eixo x outra vez em 
 -1.04719755+6.2831853=5.235988 e em , etc.. 
Nota: Se o problema deve encontrar as soluções no intervalo [0; 2(], então você escolhe aquelas soluções do domínio das soluções infinitas que pertencem ao domínio [0; 2(]. , 5.235988, e 
Há um número infinito de soluções para este problema. 
Isole primeiramente o termo do cosseno. 
Para resolver para x, nós temos que isolar x. Como nós isolamos o x? Nós poderíamos fazer uso do inverso (arcseno) de ambos os lados. Entretanto, as funções inversas podem somente ser aplicadas às funções bijetoras e a função de cosseno não é bijetora.
Deixe-nos restringir o domínio para que a função seja bijetora no domínio restrito ao preservar a escala original. A função de cosseno é bijetora no intervalo [0; (]. Se nós restringirmos o domínio da função do cosseno a esse intervalo, podemos fazer uso do arcosseno em ambos os lados da função. 
O ângulo x é o ângulo da referência. Nós sabemos que: 
Conseqüentemente, se cos (3x – 1) = 0, então cos(1 – 3x) = 0. 
O período de cos (x) é igual e o período de cos (3x – 1) igual a 2( / 3, isto significa que outras soluções existem cada ( 2( / 3 unidades. As soluções exatas são: 
onde n é um inteiro. 
Os valores aproximados destas soluções são 
onde n é um inteiro. 
Você pode verificar cada solução algebricamente substituindo cada valor de x na equação original. Se, após a substituição, o lado esquerdo da equação original igualar-se ao lado direito da equação original, o valor de x é uma solução válida. 
Você pode também verificar as soluções graficamente representando a função dada subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original. As soluções da equação original são as interseções com o eixo x neste gráfico. 
Verificação Algébrica: 
Verifique a solução x= 0.8569321 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo da equação original se iguala ao lado direito da equação original quando você substitui 0.8569321 para x, a seguir 0.8569321 é uma solução. 
Verifique a solução para x = - 0,19026544 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo da equação original se iguala ao lado direito da equação original quando você substituir -0,19026544 para x, então -0,19026544 é uma solução. 
Nós verificamos apenas algebricamente que as soluções exatas são 
e estas soluções se repete a cada ( 2( / 3 unidades. Os valores aproximados destas soluções são x ~ - 0,19026544 e 0,8569321 e estas soluções se repetem cada unidades. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função f ( x ) = 2 cos (3x – 1) (dada forma subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original). Anote que o gráfico cruza o eixo x muitas vezes o que indicam muitas soluções. Deixe-nos verificar alguns destes x que vem de encontro às soluções que nós nos referimos. 
Verifique as interseções do gráfico com o eixo x em – 0,19026544. Como o período realiza-se a cada 2( / 3 ~ 2, 094395, você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo x outra vez em e em , 7.997049, 10.091444 etc.. 
Verifique as interseções do gráfico com eixo x em 0.8569321.|Como o período realiza-se a cada 2( / 3 ~ 2, 094395, você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo x outra vez em e em , 7.1401171 etc.. 
Nota: Se o problema deve encontrar as soluções no intervalo [ 0; 2( ], então você escolhe aquelas soluções das infinitas que pertencem ao intervalo [0; 2(]: 
x ~ 0,8569321; 1,90412966; 2,9513271; 5,0457221 e 5,902654. 
Há um número infinito das soluções a este problema. 
Isole primeiramente o termo da tangente. 
Resolvendo a equação, nós temos que isolar x. Como nós isolamos o x? Nós poderíamos fazer exame do inverso (arctangent) de ambos os lados. Entretanto, as funções inversas podem somente ser aplicadas às funções bijetoras e a função 
tangente não é bijetora.
Deixe-nos restringir o domínio para que assim a função seja bijetora no domínio restrito ao preservar a escala original. A função da tangente é bijetora no intervalo
] –( / 2; ( / 2[. Quando restringirmos o domínio da função tangente a esse intervalo, nós pode fazer exame do arctangent de ambos os lados da equação e isolar o x. 
O ângulo x é o ângulo da referência. 
O período da tan ( x ) é igual a e o período tan (x/2) é igual, isto significa que outras soluções existem cada ( 2( unidades. As soluções exatas são 
onde n é um inteiro. 
Os valores aproximados destas soluções são 
onde n é um inteiro. 
Você pode verificar cada solução algébrica substituindo cada solução na equação original. Se, após a substituição, o lado esquerdo da equação original igualar-se ao lado direito da equação original, a solução é válida. 
Você pode também verificar as soluções gráfica representando graficamente a função dada forma subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original. As soluções da equação original interceptam eixo x deste gráfico. 
Verificação Algébrica: 
Verifique a solução x= - 1.5707963 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substituir -1.5707963 para x, então -1.5707963is uma solução. 
Nós verificamos apenas algebricamente que a solução exata é e outras soluções repetem cada ( 2( unidades. Os valores aproximados desta solução são e outras soluções repetem cada unidades. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função (dada forma subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original). Anote que o gráfico cruza o eixo- x muitas vezes que indicam muitas soluções. Deixe-nos verificar alguns destes x que vai de encontro às soluções que nós encontramos. 
Verifique as interseções do gráficocom eixo x em -1.5707963. Como o período realiza-se a cada , você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo- x outra vez em e em , 17,2787596; 23,5619449etc. 
Nota: Se o problema dever encontrar as soluções no intervalo , então você escolhe aquelas soluções do conjunto das soluções infinitas que pertencem ao intervalo Embora haja um número infinito das soluções, apenas uma solução, é situada no intervalo 
Exemplo 10:  sec ² ( x ) – 2 tan ( x ) = 4        
Há um número infinito das soluções a este problema. 
Nós podemos fazer a solução mais fácil se nós convertermos todos os termos trigonométricos em função de uma única razão trigonométrica. 
Uma identidade trigonométrica comum é 1 + tan²(x) = sec²(x). Se nós substituirmos sec²(x) o termo por 1 + tan²(x) , todos os termos trigonométricos será termos da tangente. 
Substitua sec²(x) por1 + tan²(x) na equação original e simplifique. 
Isole o termo do tangente. Para fazer isto, reescreva o lado esquerdo da equação em uma forma fatorada equivalente. 
O produto de dois fatores iguala-se a zero se ao menos um dos fatores é igual à zero. Isto significa que ( tan x – 3 ) ( tan x + 1 ) = 0 se tan x – 3 = 0 ou tan x + 1 = 0. 
Nós transformamos apenas um problema difícil em dois problemas mais fáceis. Para encontrar as soluções à equação original ( tan x – 3 ) ( tan x + 1 ) = 0 , nós encontramos as soluções para às equações tan x – 3 = 0 e tan x + 1 = 0. 
e 
Como nós isolamos o x em cada uma destas equações? Nós poderíamos fazer uso do arctangent de ambos os lados de cada equação. Entretanto, a função do tangente não é uma função bijetora. 
Vamos restringir o domínio, assim à função é bijetora no domínio restrito ao preservar a escala original. O gráfico da função do tangente é bijetora no intervalo (- ( / 2; ( / 2) se nós restringirmos o domínio da função tangente a esse intervalo, nós podemos fazer exame do arctangent de ambos os lados de cada equação. 
Como o período é igual a, estas soluções se repetirão cada unidades. As soluções exatas são 
onde n é um inteiro. 
Os valores aproximados destas soluções são 
onde n é um inteiro. 
Você pode verificar cada solução algébrica substituindo cada solução na equação original. Se, após a substituição, o lado esquerdo da equação original se igualar ao lado direito da equação original, a solução é válida. 
Você pode também verificar as soluções gráfica representando graficamente a função dada na forma subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original. As soluções da equação original são os valores de x que interceptam-se com este gráfico. 
Verificação Algébrica: 
Verifique a solução x= 1,249046 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo da equação original se iguala ao lado direito da equação original quando você substitui 1,249046 por x, a seguir 1,249046 é outra solução. 
Verifique a solução x= - 0,785398 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Como que o lado esquerdo da equação original se iguala ao lado direito da equação original quando você substitui -0,785398 para x, a seguir -0,785398 é outra solução. 
Nós verificamos algebricamente que as soluções exatas são x = tan -1 ( 3) e esta solução repetem-se a cada ( ( unidades. Os valores aproximados destas soluções são e e estas soluções repetem cada unidades. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função da equação que o gráfico cruza o eixo x muitas vezes que indicam muitas soluções. Deixem-nos verificar alguns destes x que correspondem às soluções que nós nos encontramos. 
Verifique as interseções do gráfico com o eixo x em -0,785398. Como o período realiza-se a cada, você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo x outra vez em -0,785398+ 3,14159265 = 2,356195 e em , etc.. 
Verifique que as interseções do gráfico o eixo x em 1,249046. Como o período realiza-se a cada , você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo x outra vez em 1,249046 + 3,14159265 = 4,39906387 e em , etc.. 
Nota: Se o problema dever encontrar as soluções no intervalo [0; 2( ], então você escolhe aquelas soluções do intervalo das soluções infinitas que pertencem ao domínio �� INCLUDEPICTURE "http://www.sosmath.com/algebra/solve/solve9/s910/img36.gif" \* MERGEFORMATINET 2.356195, 5.497787, 4.39906387, e 
Há um número infinito das soluções a este problema. Desde que os denominadores das frações não podem igualar zero, os números reais que fazem com que os denominadores igualem zero devem ser eliminados do jogo de soluções possíveis. e         conseqüentemente, antes que nós comecemos mesmo resolver o problema, o jogo de números reais no jogo deve ser excluído do jogo possível das soluções. 
Para simplificar a equação, deixe-nos múltiplo a segunda fração por 1 no formulário , então simplifiquemos e resolvamos. O resultado será uma equação que não possa ser equivalente à equação original, mas uma equação onde nós possamos resolver para x. Com este tipo de manipulação, pode haver umas soluções estranhas. Ou seja, você pode vir obter soluções para a equação nova que não são soluções à equação original. É certo verificar suas respostas com a equação original. 
Como nós isolamos o x nesta equação? Nós poderíamos fazer exame do arccoseno de ambos os lados da equação. Entretanto, a função de cosseno não é uma função bijetora.
Deixe-nos restringir o domínio assim que a função é bijetora no domínio restrito ao preservar a escala original. A função de cosseno é bijetora no intervalo se nós restringirmos o domínio da função de cosseno a esse intervalo, nós pode fazer exame do arccoseno de ambos os lados de cada equação. 
Nós sabemos que conseqüentemente, se então 
Como o período são iguais a, estas soluções repetirão cada unidades. As soluções exatas são 
onde n é um inteiro. 
Os valores aproximados destas soluções são 
onde n é um inteiro. 
Você pode verificar cada solução algébrica substituindo cada solução na equação original. Se, após a substituição, o lado esquerdo da equação original se igualar o lado direito da equação original, a solução é válida. 
Você pode também verificar as soluções gráfica representando graficamente a função dada forma subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original. As soluções da equação original interceptam com o eixo x deste gráfico. 
Verificação Algébrica: 
Verifique a solução x= 1.04719755 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substituir 1.04719755 para x, então 1.04719755is uma solução. 
Verifique a solução x= - 1.04719755 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substituir -1.04719755 para x, então -1.04719755is uma solução. 
Nós verificamos apenas algébricas que as soluções exatas são e estas soluções repetem cada unidades. Os valores aproximados destas soluções são e estas soluções repetem cada unidades. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função , dada forma subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original. 
Note que o gráfico cruza o eixo x muitas vezes o que indicam muitas soluções. Deixe-nos verificar alguns destes x que intercepta de encontro às soluções que nós nos encontramos. 
Verifique as interseções do gráfico com o eixo x em 1.04719755. Como o período realiza-se para , você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo x outra vez em 1.04719755+6.2831853=7.330383 e em , etc.. 
Verifique as interseções do gráfico com o eixo x em -1.04719755. Como o período realiza-se para , você podeverificar que o gráfico cruza também o eixo x outra vez em -1.04719755+6.2831853=5.23599 e em 11.519173, etc.. 
Nota: Se o problema dever encontrar as soluções no intervalo , então você escolhe aquelas soluções das soluções infinitas que pertencem ao intervalo �� INCLUDEPICTURE "http://www.sosmath.com/algebra/solve/solve9/s911/img33.gif" \* MERGEFORMATINET e 
Há um número infinito das soluções a este problema. 
Deixe-nos manipular a equação para fazer resolver para x um pouco mais fácil. Reescreva o lado esquerdo da equação em um formulário fatorado equivalente. 
O produto dos fatores iguala-se a zero se ao menos um dos iguais zero dos fatores. Isto significa aquele se ou ou �� INCLUDEPICTURE "http://www.sosmath.com/algebra/solve/solve9/s912/img7.gif" \* MERGEFORMATINET 
Nós transformamos apenas um problema difícil em dois problemas mais fáceis. Para encontrar as soluções da equação original , nós encontramos as soluções às equações �� INCLUDEPICTURE "http://www.sosmath.com/algebra/solve/solve9/s912/img8.gif" \* MERGEFORMATINET , e
.
Como nós isolamos o x em cada uma destas equações? Nós poderíamos fazer exame da inversa (arcseno) de ambos os lados de cada equação. Entretanto, a função do seno não é uma função bijetora. 
Deixe-nos restringir o domínio assim que a função é bijetora no domínio restrito ao preservar a escala original. O gráfico da função do seno é bijetora no intervalo se nós restringirmos o domínio da função do seno a esse intervalo, nós pode fazer exame do arco tangente de ambos os lados de cada equação. 
Em cada um destes casos, x é o ângulo da referência. Nós sabemos aquele , conseqüentemente. 
Desde o período dos iguais , estas soluções repetirão cada unidades. As soluções exatas são 
onde n é um inteiro. 
Os valores aproximados destas soluções são 
onde n é um inteiro. 
Você pode verificar cada solução algébrica substituindo cada solução na equação original. Se, após a substituição, o lado esquerdo da equação original igualar o lado direito da equação original, a solução é válida. 
Você pode também verificar as soluções gráfica representando graficamente a função dada forma subtraindo o lado direito da equação original do lado esquerdo da equação original. As soluções da equação original são os valores de x que interceptam o gráfico. 
Verificação Algébrica: 
Verifique a solução 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito: 
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substitui -0.5235988 para x, a seguir -0.5235988 são uma solução. 
Verifique a solução 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito: 
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substitui 0.785398 para x, a seguir 0.785398 é uma solução. 
Verifique a solução 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substitui -0.785398 para x, a seguir -0.785398 é uma solução. 
Verifique a solução 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito:         
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substitui 3.665191 para x, a seguir 3.665191 são uma solução. 
Verifique a solução 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito: 
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substitui 2.356194 para x, a seguir 2.356194 é uma solução. 
Verifique a solução 
Lado Esquerdo: 
Lado Direito: 
Desde que o lado esquerdo da equação original iguala o lado direito da equação original quando você substitui 3.9269908 para x, a seguir 3.9269908 é uma solução. 
Nós verificamos apenas algebricamente que as soluções exatas são , e �� INCLUDEPICTURE "http://www.sosmath.com/algebra/solve/solve9/s912/img21x.gif" \* MERGEFORMATINET , �� INCLUDEPICTURE "http://www.sosmath.com/algebra/solve/solve9/s912/img23x.gif" \* MERGEFORMATINET , e e estas soluções repetem cada unidades. Os valores aproximados destas soluções são , 0.785398, -0.785398, 3.665191, 2.356194 e 3.9269908 e estas soluções repetem cada unidades. 
Verificação Gráfica: 
Represente graficamente a função f(x) = 4 sen3(x) + 2 sen2(x) - 2sen(x) - 1, dada pela forma do lado esquerdo da equação. A interseção do gráfico são as soluções reais. 
Anote que o gráfico cruza o eixo-x várias vezes que indicam muitas soluções. Deixe-nos verificar alguns destes x que representam as soluções que nós encontramos. 
Verificando as interseções do gráfico com o eixo- x em -0,523599. Como o período realiza-se a cada ,se pode verificar que o gráfico cruza também o eixo-x outra vez em -0,523599 + 6,2831853 = 5,7595863 e em , etc.. 
Verificando as interseções do gráfico com o eixo- x em 0,785398. Como o período realiza-se a cada, você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo-x outra vez em 0,785398 + 6,2831853 = 7,06858 e em , etc.. 
Verificando as interseções do gráfico com o eixo- x em -0.785398. Como o período realiza-se a cada , você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo-x outra vez em -0,785398 + 6,2831853 = 5,497787 e em , etc.. 
Verificando as interseções do gráfico com o eixo- x em 3.665191. Como o período realiza-se a cada , você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo-x outra vez em 3,665191 + 6,2831853 = 9,94838 e em , etc.. 
Verificando as interseções do gráfico com o eixo- x em 2.356194. Como o período realiza-se a cada , você pode verificar que o gráfico cruza também o eixo-x outra vez em 2,356194 + 6,2831853 = 8,639379 e em , etc.. 
Verificando as interseções do gráfico com o eixo- x em 3,9269908. Como o período realiza-se a cada , você pode verificar que o gráfico cruza também eixo-x outra vez em 3,9269908 + 6,2831853 = 10,210176 e em , etc.. 
Nota: Se o problema é encontrar as soluções no intervalo [0; 2(], então você escolhe aquelas soluções que pertencem ao intervalo [0; 2(]. Então x ( 0,785398; 2,356194; 3,665191; 3,9269908; 5,497787 e 5,7595863. 
As derivadas das funções trigonométricas
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As funções trigonométricas são úteis em nossas vidas práticas em diversas áreas tais como a astronomia, a física, etc.. Como nós podemos encontrar as derivadas das funções trigonométricas? 
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Temos para começar é o seguinte limite:
	
Usando a linguagem da derivada, este limite significa que sin’( 0 ) = 1. Este limite pode também ser usado para o relacionamento que é de mesma importância: 
Para ver porque, é basta reescrever a expressão que envolve o cosseno como 
Mas cos²( x ) – 1 = - sin² ( x ), assim nós temos: 
Iguais neste limite cos ‘( 0 ) e assim cos ‘( 0 ) = 0.
	
No fato, nós podemos usar estes limites e encontrar a derivada de sin ( x ) e cos ( x ) em algum ponto x = a. Certamente, usando a fórmula da adição para a função do seno, nós temos 
Assim 
no qual implica 
Assim nós provamos que sin‘( a ) existe e sin‘( a ) = cos ( a ). 
Similarmente, nós obtemos que cos’ ( a ) existem e que cos’ ( a ) = - sin( a ). 
Desde que tan( x ), cot( x ), sec( x ) e csc( x ) são todos os quocientes das funções sin( x ) e cos ( x ), nós podemos calcular suas derivadas com a ajuda da regra do quociente: 
É completamente interessante ver o relacionamento próximo de tan( x ) e sec( x ) (e também o de cot( x ) e csc( x ) ). 
Dos resultados acima nós tiramos:
sin”( x ) = - sin( x ) e cos”( x ) = - cos ( x ).
Estes dois resultados são muito úteis em resolver algumas equações diferenciais. 
Exemplo 1. Dado f ( x ) = sin( 2x ) e usando a fórmula dobro do ângulo para a função do seno, nós podemos reescrever 
Assim usando a régua do produto, nós determinamos: 
na qual implica, usando identidades trigonométricas, 
No exemplo em seguida nós discutiremosuma fórmula que dar a conclusão acima em uma maneira mais fácil. 
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Exercício 2. Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico f( x ) = sec( x ) + tan( x ) no ponto (( /4; f(( /4)). 
Resposta. Primeiramente nós necessitamos encontrar a derivada de f(x) assim podemos determinar a inclinação da reta tangente e da reta normal. Como: 
Assim nós temos 
Como sec( ( /4 ) = ( 2 e tan( ( /4 ) = 1. Temos então: 
Assim a equação da reta do tangente no ponto (( /4 ; ( 2 + 1 ) é 
A inclinação da reta normal ao gráfico no ponto (( /4 ; ( 2 + 1 ) é 
que ajuda-nos a achar a equação da reta normal como 
	
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Exercício 3. Encontre as abscissas x de todos os pontos do gráfico f( x ) = x + 2 cos( x ) no intervalo [0; (] em que a reta tangente é horizontal. 
Resposta. Os pontos (x, f(x)) em que a reta tangente é horizontal são os pares em que f'(x) = 0. Temos a primeira derivada de f'(x) como: 
Assim nós temos que resolver a equação 1 – 2 sin( x ) = 0 que nos dá sin( x ) = ½.
 Nós determinamos:
	
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TRIGONOMETRIA
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