Cálculo Diferencial e Integral de Funções de uma Variável - Unidade III

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Unidade III
Unidade III
5 INTEGRAL – PRIMEIROS CONCEITOS
Por vezes, conhecemos a derivada de uma função, mas precisamos determinar a função.
Por exemplo, a equação da velocidade de um móvel é dada pela derivada da equação do espaço. Se 
você conhece a função velocidade e precisa determinar a posição do móvel em um instante t, vai utilizar 
a noção de antiderivação.
Mas, afinal, o que é uma primitiva?
5.1 Primitiva ou antiderivada
Tomemos f como uma função real contínua em um intervalo I. Chamamos de primitiva de f no 
intervalo I à função F, derivável em I, tal que F’(x) = f(x), 
 x l .
Assim, para determinar a integral de uma função f, você deve pensar em qual é a expressão que 
quando calculamos a sua derivada o resultado é f.
Vejamos agora alguns exemplos para compreender melhor essa definição.
Exemplos:
Determinar as primitivas das funções:
a) f(x) = 2x
Para determinar a primitiva da função f(x) = 2x, você deve procurar a função que quando derivamos 
temos como resposta 2x.
A função F(x) = x2 é primitiva de f(x) = 2x, pois F ’ (x) = (x2)’ = 2x.
Note que:
F(x) = x2 + 1 também é primitiva de f (x) = 2x, pois F’(x) = (x2 + 1)’ = 2x
F(x) = x2 + 3 também é primitiva de f (x) = 2x, pois F’(x) = (x2 + 3)’ = 2x
F(x) = x2 - 10 também é primitiva de f (x) = 2x, pois F’(x) = (x2 – 10)’ = 2x
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
b) f(x) = 10
Agora você está procurando uma função que tem derivada igual a 10.
A função F(x) = 10 x é primitiva de f(x) = 10, pois F’ (x) = (10 x)’ = 10.
Note que:
F(x) = 10 x + 1 também é primitiva de f (x) = 10, pois F’ (x) = (10x + 1)’ = 10
F(x) = 10 x – 5 também é primitiva de f (x) = 10, pois F’ (x) = (10x - 5)’ = 10
F x x( )  10 2 também é primitiva de f (x) = 10, pois F x x’( ) ’ 
 
10 2 10
 Lembrete
Uma vez determinada a primitiva de uma função f, temos uma família 
de funções que também são primitivas de f, diferem apenas por constantes.
Assim temos:
No exemplo a, a primitiva de f(x) = 2x é qualquer função do tipo F(x) = x2 + c, em que c é uma constante.
No exemplo b, a primitiva de f(x) = 10 é toda função do tipo F(x) = 10 x + c, em que c é uma 
constante.
c) f(x) = - 3
As primitivas de f(x) são do tipo F(x) = - 3 x + c.
5.2 Integral indefinida
Chamamos de integral indefinida de uma função f ao conjunto das primitivas de f.
Para indicar a integral indefinida da função f(x), usaremos a notação de Leibniz (mais utilizada), em 
que F(x) indica a primitiva de f(x), dx indica a variável em relação a qual devemos fazer a antiderivada, 
c é a constante de integração. O símbolo de integração será utilizado enquanto não determinamos a 
primitiva de f.
f x dx F x c( ) ( )  

A função f(x) é chamada de integrando ou função integrada.
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Unidade III
 Observação
Lê-se: integral de f(x) dx.
Nem sempre é fácil determinar a primitiva de uma função.
Temos vários métodos para facilitar o cálculo de integrais; neste texto, estudaremos o cálculo de 
integrais imediatas, integrais por substituição e integrais por partes.
Inicialmente vamos estudar as integrais que podem ser resolvidas diretamente por meio de regras de 
integração, integrais imediatas.
5.3 Integral imediata
Para as integrais imediatas, fazemos uso de uma tabela de integrais que tem como base as 
propriedades e regras de derivadas. Pode-se demonstrar cada uma das regras por meio das derivadas.
Vejamos algumas delas:
a) integral de uma constante, y = K
k dx k x c  

Exemplos
1) 2 dx∫
O integrando é uma constante, assim, segundo a regra, teremos como resultado 2 x + c.
Podemos escrever então:
2 2 dx x c 

Note que derivando F(x) = 2x + c (primitiva), temos F’(x) = (2x + c) ’ = 2 = f(x), desta forma é possível 
verificar se efetuamos corretamente.
 Lembrete
Ao resolvermos a integral, isto é, ao colocarmos a expressão da primitiva, 
não utilizaremos mais a notação de integral nem o símbolo nem dx.
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
2) 

3 dx
O integrando é uma constante, logo, segundo a regra, teremos como resultado
-3 x + c.
Podemos então escrever:
  

3 3 dx x c-
Se derivarmos F(x) = - 3x + c (primitiva), teremos F’(x) = (- 3x + c) ’ = - 3 = f(x).
3) dx∫
Observe que neste caso a constante K é igual a 1, assim, segundo a regra, temos dx x c 

1. , isto 
é, dx x c 

.
b) integral da potência y = x n, ( - )n ≠ 1
x dx
x
n
c nn
n
 
 


 


1
1
1, ( - )
Exemplos
1) x dx3 ∫
O integrando é uma potência, assim você deve utilizar a regra de integral da potência para determinar 
o valor da integral da função.
Assim teremos:
x dx
x
c
x
c3
3 1 4
3 1 4
 
 


  


Note que se derivarmos a função F x
x
c( )  
4
4
, teremos:
F x
x
c
x
x f x’( ) ( )
’
 













 
4 3
3
4
4
4
 , isto é, F x
x
c( )  
4
4
 é a primitiva de f(x).
2) x dx

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Novamente temos a integral de uma potência, assim:
x dx
x
c
x
c



  

 2
2 1 1
2 1 1
- -
- -
 
 
 
Pelas propriedades de potência, temos:
x =
1
x
 - 1
Logo podemos escrever:
x dx
x
c  

 2
1-
3) ∫ x dx3 
Pelas propriedades de potência, temos:
a amn
m
n= , assim, x x3
1
3=
Reescrevendo a integral, encontramos:
 
 

    

x dx x dx
x
c
x
c x c3
1
3
1
3
1
4
3 4
3
1
3
1
4
3
3
4
 
 Lembrete
Você usará a propriedade de potência sempre que a função tiver uma raiz.
c) Integral da potência, quando n = -1, y = x -1
 
  x dx
x
dx Ln x c- | | 1 1
d) Integral da função exponencial de base a (a > 0, a ≠ 1)
 







 








a dx
Ln a
a c ou a dx
a
Ln a
x x x
x
 1
 
 
 
. c
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Exemplos:
1) 2x dx ∫
Queremos calcular a integral de uma função exponencial com base 2, assim, segundo a regra, temos:
2
1
2
2x xdx
Ln
c 








 
 
 .
Ou
2
2
2
x
x
dx
Ln
c 

 
 
2) 5 x dx∫
Agora queremos calcular a integral de uma função exponencial com base 5. Segundo a regra, temos:
5
1
5
5x xdx
Ln
c 









 
 .
Ou
5
5
5
x
x
dx
Ln
c 

 
 
e) Integral de algumas funções trigonométricas:
sen x dx x c  

- cos
cos x dx sen x c 

Resumindo, temos:
k dx k x c  

x dx
x
n
c nn
n
 
 


 


1
1
1, ( - )
 
  x dx
x
dx Ln x c- | | 1 1








a dx
aLn a
cx
x
 
 
sen x dx x c  

- cos
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cos x dx sen x c 

Outras regras podem ser encontradas nos livros indicados nas referências textuais.
 Saiba mais
Na internet, você encontrará mais regras em:
<http://fisicalivre.org/resumos/matematica/Derivadas_tabela.pdf>
Além das integrais imediatas que vimos anteriormente, veremos também algumas propriedades.
P1. A integral da soma ou da diferença de duas funções é a soma ou diferença das integrais:
( ) ( ) ( ) ( )f g x dx f x dx g x dx  
  
 
Exemplo
1) ( )2 

x dx 
Observando a função, temos que ela é formada por f(x) = 2 e g(x) = x, pela propriedade P1, temos:
( )2 2 
  
x dx dx x dx =
As duas integrais são imediatas, logo, utilizando a tabela de integrais, temos:
2 2 1 dx x c 

x dx
x
c  

2
22
Assim:
( )2 2 2
2
2
21
2
2
2
         
  
x dx dx x dx x c
x
c x
x
c 
Note que escrevemos a constante c apenas uma vez para representar as constantes das primitivas 
de f e de g.
2) ( )x sen x dx2 

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Observando a função, temos que ela é formada por f x x e g x sen x( ) ( )= =2 . Pela propriedade 
P1, temos:
( )x sen x dx x dx sen x dx2 2  
  
 
As duas integrais são imediatas, logo, utilizando a tabela de integrais, temos:
x dx
x
c2
3
13
  

sen x dx x c   

cos 2
Assim:
( ) ( cos )x sen x dx x dx sen x dx
x
c x c2 2
3
13
       
 
 22
3
3
  

 
x
x ccos
3) ( )e x dxx 

 4
Temos as funções f x e e g x xx( ) ( )= = 4 . Pela propriedade P1, temos:
( ) -e x dx e dx x dxx x 
  
 4 4
Utilizando a tabela de integrais (integrais imediatas), temos:
e dx e cx x  

1
x dx
x
c4
5
25
  

Assim:
( ) - -e x dx e dx x dx e
x
cx x x   
  
 4 4
5
5
P2. A integral do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela integral 
da função:
( . ) ( ) . ( )k f x dx k f x dx 
 
Exemplo:
1) 3 . x dx∫
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Observando a função, temos k = 3 e f(x) = x, assim:
3 3 . .x dx x dx

A integral a ser calculada é imediata, logo, pela tabela de integrais:
3 3 3
2
2
 . . .x dx x dx
x
c  

2) 5 . e dxx∫
Observando a função, temos k = 5 e f(x) = eX, assim:
5 5 5 . e dx e dx e cx x x  

3) 

1
2
3 x dx
Neste caso, temos:
k  
1
2
 e f(x) = x3
Assim:
  
 
1
2
1
2
3 3 x dx x dx
Pela tabela de integrais:
        
 
1
2
1
2
1
2 4 8
3 3
4 4
 x dx x dx x c x c.
P3. Propriedade da linearidade (é uma junção das propriedades P1 e P2)
( ) ( ) ( ) ( ) k f k g x dx k f x dx k g x dx1 2 1 2  
  
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
 Observação
Essas propriedades podem ser estendidas a um número qualquer de 
funções.
Veremos a seguir alguns exemplos, nos quais aplicaremos as regras e as propriedades vistas até agora.
Exemplos:
1) ( )x x dx

3 2 
Pela propriedade P3, temos:
( )x x dx x dx x dx  
  
3 32 2 
Calculando as integrais imediatas:
( )x x dx x dx x dx
x x
c     
  
3 3
2
3
3
2 2
2 3
 
Simplificando, vem:
( )x x dx
x
x c   

3
2
2
2
3 
2) ( . cos )5 3 1 x x dx 

Pela propriedade P3, temos:
( . cos ) cos5 3 1 5 3 x x dx x dx x dx dx    
  
Calculando as integrais imediatas, temos:
( . cos )5 3 1 5 3
2
2
 x x dx sen x x x c     

Vejamos agora mais alguns exemplos. Neles, você utilizará os conceitos estudados. Refaça todos, 
pois isso facilitará seu estudo.
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5.4 Ampliando seu leque de exemplos
Calcular as integrais indefinidas (imediatas).
1) 

3 dx
Devemos utilizar a propriedade P2 para determinar a integral desta função, assim:
 
 
3 3 dx dx-
Utilizando agora a tabela de integrais, temos:
   
 
3 3 3 dx dx x c- -
2) 1
2
 dx∫
Novamente vamos utilizar a propriedade P2:
1
2
1
2
 dx dx
 
Pela tabela de integrais, temos:
1
2
1
2
1
2
 dx dx x c  
 
3) ( )5
1
3
2 . x x dx

Nesta função, deveremos utilizar as propriedades P1 e P2, pois temos a soma de duas funções e elas 
estão multiplicadas por um número, assim:
Pela propriedade P1:
( . ) (5
1
3
5
1
3
2 2x x dx x dx x dx   





  
 )
Pela propriedade P2:
( ) ( ( ( )5
1
3
5
1
3
5
1
3
2 2 2 . . ) )x x dx x dx x dx x dx x dx   





 
   
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Você percebe agora que as integrais a serem calculadas são imediatas, e pela tabela de integrais temos:
( )5
1
3
5
3
1
3 2
2
3 2
 . . x x dx
x x
c   

( )5
1
3
5
3
1
6
2 3 2 . x x dx x x c   

4) 5
x
dx ∫
Vamos inicialmente reescrever a integral dada de forma mais conveniente, isto é:
5
5
1
x
dx
x
dx 

.
Agora você consegue identificar a propriedade a ser utilizada e a regra conveniente para essa função. 
Assim, pela propriedade P2:
5
5
1
5
1
x
dx
x
dx
x
dx  
 
.
Pela tabela de integrais, temos:
5
5
1
5
1
5
x
dx
x
dx
x
dx Ln x c    
 
. . | |
5) 
e
sen x dx
x
2
3- 







Novamente temos a soma de duas funções. Assim, pela propriedade P3, temos:
e
sen x dx e dx sen x dx
x
x
2
3
1
2
3- ( ( ) ) 






 
  
Utilizando a tabela de integrais:
e
sen x dx e x
x
x
2
3
1
2
3- (-cos ) c 






  

Utilizando a regra de sinais, podemos escrever:
e
sen x dx e x c
x
x
2
3
1
2
3- (cos ) 






  

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Unidade III
 Saiba mais
Para saber mais sobre a historia do cálculo e das integrais, acesse:
<http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_integrais.htm>
6 MÉTODOS PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS E INTEGRAIS DE RIEMANN
Nesta unidade, estudaremos a integral de funções que não podem ser determinadas diretamente 
pelas regras da tabela.
Embora existam vários métodos para a resolução de integrais, em nosso texto veremos apenas os 
métodos de substituição e partes.
 Saiba mais
Saiba mais sobre esses e outros métodos de integração em:
<http://www.somatematica.com.br/superior/integrais2/integrais.php>6.1 Métodos para o cálculo de integrais (não imediatas)
6.1.1 Integração por substituição
Quando temos a integral de uma função que não é elementar (isto é, tabelada), precisamos modificar 
a função para recair numa integral imediata.
Para podermos utilizar o método de substituição, é necessário que a função a ser integrada possa ser 
dividida em uma função u(x) e sua derivada u’(x). Usaremos a notação u
du
dx
’ = para indicar a derivada de u.
Para decidir qual será a expressão de u, devemos verificar se 
du
dx
 está na expressão a ser integrada.
Você deve estar curioso para saber como decidir se devemos resolver a integral por substituição ou 
se ela é imediata.
Para saber isso, você deve primeiro verificar se alguma das regras se aplica à função a ser integrada, 
isto é, se ela é imediata.
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Caso não seja imediata, devemos verificar se é possível transformar a expressão em uma integral 
imediata, substituindo parte dela por uma letra auxiliar, geralmente u.
Vejamos a seguir alguns exemplos em que as funções a serem integradas são parecidas com as que 
encontramos na tabela com as regras de derivação, porém são funções compostas.
Exemplos:
1) ∫ 2 .e 2 x dx
Note que na tabela temos ∫ ex dx (função elementar), mas no nosso exemplo o expoente é 2x.
Devemos então resolver a integral por substituição, chamemos o expoente de u, isto é, u = 2x.
Calculando a derivada de u:
u = 2x.
du
dx
= 2 , isto é, du = 2 dx.
Substituindo no enunciado, temos:
∫ 2 .e 2 x dx
u
du
Figura 127
Assim:
∫ 2 .e 2 x dx = ∫ e u du
Essa integral é imediata (está na tabela). Temos então:
∫ 2 .e 2 x dx = ∫ e u du = e u + c
Voltando à variável original (do enunciado), temos:
∫ 2 .e 2 x dx = e 2 x + c
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7
Unidade III
2) ( ) .x x dx 2 53 2

Note que conhecemos x dx5 ∫
Devemos, então, fazer a substituição de modo a chegar numa função deste tipo.
Tomemos
u = x 2 + 3, 
du
dx
 = 2x, isto é, du = 2 x dx.
Substituindo no enunciado, temos:
( ) .x x dx u du
u
c 
 2 5 5
6
3 2
6
   


Voltando à variável do enunciado, temos:
( ) .
( )
x x dx
x
c 
 2 5
2 6
3 2
3
6
 



3) x x dx . cos ( )2∫
Conhecemos cos x dx∫ , assim a substituição a ser feita é u = x2. Encontramos, então, 
du
dx
= 2 x, 
isto é, du = 2 x dx.
Como o número 2 não está na função a ser integrada, devemos escrever du x dx
2
= e substituir no 
enunciado.
u = x 2
du
dx
= 2 x, isto é, 
du
x dx
2
= 
Assim:
x x dx u
du
u du cos( ) cos cos2
2
1
2
 
  
Resolvendo a integral imediata:
x x dx sen u c cos( )2
1
2
 

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Voltando para a variável do enunciado: x x dx sen x c cos( )2 2
1
2
 

4) 


1
3 1x
dx
Da tabela de integrais sabemos calcular ∫
1
x
dx no nosso exemplo, porém, o denominador agora é 
igual a 3 x + 1. Chamaremos esse denominador de u, isto é, u = 3 x + 1.
Calculando a derivada de u:
u = 3 x + 1
du
dx
= 3 , isto é, du dx
3
=
Como 3 não está na função a ser integrada novamente, devemos isolar dx, assim dx
du
=
3
.
Substituindo na integral, temos:
1
3 1
1
3
1
3
1
x
dx
u
du
u
du

 
  
 
Resolvendo a integral imediata:
1
3 1
1
3x
dx Ln u c

 

 | |
Voltando para a variável do enunciado:
1
3 1
1
3
3 1
x
dx Ln x c

  

 | |
5) 


3
12
x
x
dx
Tomemos u = x 2 – 1
Assim
du
dx
x= 2 
Então:
u = x2 – 1
186
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Unidade III
du
dx
x= 2 , isto é, du
x
dx
2
= 
Substituindo dx na integral, temos:
3
1
3
1
3
22 2
x
x
dx
x
x
dx
x
u
du
x




  
 
Simplificando:
3
1
3
1
2
3
2
1
2
x
x
dx
u
du
u
du

 
  
 
Resolvendo a integral imediata em u:
3
1
3
22
x
x
dx Ln u c

 

 | |
Voltando para a variável original:
3
1
3
2
12
2x
x
dx Ln x c

  

 | |
6) 5 2x dx

Pela propriedade de potência, temos:
 5 2 5 2
1
2x x  ( )
’
Assim:
 5 2 5 2
1
2x dx x dx  

 ( )
Como a função a ser integrada é uma potência, tomaremos a base como u, isto é, u = 5 x + 2.
Então: 
du
dx
= 5
Novamente vamos isolar dx, assim du dx
5
= 
u = 5 x + 2.
du
dx
= 5 , isto é, du dx
5
= 
Substituindo no enunciado, temos:
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
 5 2 5 2
5
1
5
1
2
1
2x dx x dx u
du
u    
 
 ( )
11
2 du 

Calculando a integral imediata:
 
 
5 2
1
5
1
5 1
2
1
1
5
1
2
1
2
1 3
x dx u du
u
c
u
  

 
 

 
22
3
2
  c
Retornando à variável original:
 5 2
1
5
2
3
5 2
2
15
5
3
2x dx x c    

 . . ( ) . ( xx c  2
3
2)
6.1.2 Integração por partes
Nem sempre é possível utilizar o método da substituição para o cálculo da integral de uma função.
Se tivermos a integral de um produto de funções em que uma das parcelas não é a derivada da 
outra, deveremos utilizar a integração por partes.
A fórmula da integração por partes é:
f x g x dx u dv u v v du( ) . ( ) . . - .  

Este método consiste em separar o produto f por g em duas partes: uma chamaremos de u e outra 
de dv:
• u é a parte que será derivada.
• dv é a parte que será integrada.
Veremos a seguir algumas funções cujas integrais não são imediatas e também não podem ser 
resolvidas por substituição.
Exemplos:
1) x e dxx .∫
Temos duas funções f(x) = x e g(x) = e x.
Observe que não é uma integral imediata e não é possível resolver por substituição.
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Unidade III
Vamos resolver então por partes. Inicialmente devemos escolher quem chamaremos de u e quem 
chamaremos de dv.
Geralmente verificamos de qual função conhecemos a integral e a chamamos de dv.
Neste caso, conhecemos a integral das duas funções. Quando isso acontece, o mais conveniente é 
chamarmos de u a função f(x) = x.
Tomemos u = x e dv = e x dx. Devemos agora derivar a função u e integral dv, isto é,
u = x dv = ex dx
du
dx
=1 ∫ dv = ∫ ex dx
du = dx v = ex
Substituindo na fórmula
u dv u v v du . . - .

temos:
 x e dx x e e
u
x
dv u
x
v
x
v
� ��� � � �. . -  ddx I
du
 � ( )
Calculando a integral imediata, temos:
e dx e cx x  

Substituindo na expressão (I), vem:
x e dx x e e cx x x . . -  

Colocando a expressão ex em evidência, temos:
x e dx e x cx x . ( - ) 

1
Caso tivéssemos escolhido u = ex e dv = x dx, o que aconteceria com a nossa integral? Será que é 
indiferente a ordem de escolha?
Para podermos responder a esta questão, vamos refazer o exemplo, agora utilizando u = e x e dv = x 
dx e ver o que acontece com a integral.
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Refazendo o exemplo, temos:
u = ex dv = x dx
du
dx
ex= ∫ dv = ∫ x dx
du = ex dx v = x
2
2
Substituindo na fórmula
u dv u v v du . . - .

temos:
 e x dx e x xx
u dv
x
u
v
� ��� �� �
�
. . -
 
2 2
2 22
 
v
x
du
e dx
�
��� ��
Note que a integral 
x
e dxx
2
2
 ∫ a ser calculada agora não é imediata e é mais complicada que a 
original.
Não fizemos uma boa escolha. Devemos então recomeçar, fazendo outra escolha para u e dv.
2) x x dx cos∫
Novamente devemos decidir quem é u e quem é dv.
Tomemos u = x e dv = cos x dx.
u = x dv = cos x dx
du
dx
=1 ∫ dv = ∫ cos x dx
du = dx v = sen x
Substituindo na fórmula
u dv u v v du . . - .

temos:
 x x dx x sen x
u dv u v
� � �� �� � ���. cos . -  sen x dx
v du
��� � ( I )
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Unidade III
Calculando a integral imediata, temos:
sen x dx x c  

- cos
Substituindo na expressão (I), vem:
 x x dx x sen x
u dv
� � �� ��. cos . - (- cos x c) 
x x dx x sen x x c . cos . cos  

 
3) Ln x dx ∫
Note que não conhecemos a integral de Ln x, isto é, ela não é imediata.
Assim, só temos uma opção a escolher: u = Ln x e dv = dx
u = Ln x dv = dx
du
dx x
=
1 ∫ dv = ∫ dx
du = 1
x
 dx v = x
Substituindo na fórmula
u dv u v v du . . - .

temos:
 
 Ln x dx Ln x x
u dv u v
� � ��� �. . - xx x
dx
v
d u
 
 
�
��� ��
 
1
( I )
Calculando a integral imediata, temos:
 
   x
x
dx dx x c
1
 
Substituindo na expressão (I), vem:

  Ln x dx Ln x x x c
u dv
 
. . - 
Colocando x em evidência, temos:

 Ln x dx x Ln x c . ( - ) 1
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
6.1.3 Integração de algumas funções trigonométricas
Inicialmente vamos listar algumas identidades trigonométricas que serão úteis em nossos exercícios:
1) sen2 x + cos2 x = 1
2) sen2 x = 1 - cos2 x
3) cos2 x = 1 - sen2 x
4) cos2 x = 1 2
2
+ cos( )x
5) sen2 x = 1 2
2
− cos( )x
6) tg2 x = sec2 x – 1 
7) cotg2 x = cossec2 x – 1
Nos próximos exemplos, teremos integrais de funções trigonométricas que só poderão ser resolvidas 
se utilizarmos as identidades citadas para transformar a expressão em uma integral imediata ou que 
possam ser resolvidas por substituição ou por partes.
Exemplos:
1) Vamos utilizar um artifício que será usado sempre que o expoente for par. Utilizaremos a identidade 
trigonométrica 4.
cos2 x = 
1 2
2
+ cos( )x
Vamos então reescrever nossa integral:
cos
cos( )2 1 2
2 


x dx
x
dx 
Para resolver essa integral, você vai separar a fração em duas partes:
(cos )
cos( )
cos( )2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
  
 






 






x dx
x
dx x dx
 
 
Pelas propriedades de integral, podemos separar a função em duas integrais, uma imediata e outra 
que deve ser resolvida por substituição:
192
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Unidade III
(cos )
cos( )
cos( )2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
   
 






 x dx
x
dx dx x dx
 
Resolvendo a integral trigonométrica por substituição, temos:
u = 2x
du
dx
= 2
 
du
dx
2
=
cos( ) cos( ) cos( )2
2
1
2
x dx u
du
u du 
  
 
Calculando a integral imediata:
1
2
1
2
cos( ) ( )u du sen u c  

Voltando para a variável do enunciado:
1
2
2
1
2
2cos( ) ( )x dx sen x c 

 
Calculando a integral imediata e substituindo o resultado anterior em (a):
cos ( ) ( )2
1
2
1
4
2x dx x sen x c  

 
2) ∫ tgx dx 
Sabemos que tg x
sen x
x
 
 
 
=
cos
, então podemos reescrever a função do enunciado
 
tgx dx
sen x
x
dx 
 
 
 
cos
A nova integral deve ser resolvida por substituição.
u = cos x
du
dx
sen x= - du = - sen x dx
Temos então:
  
 tgx dx
sen x
x
dx
u
du 
 
 
 
cos
-1
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Calculando a integral imediata:
  
    tgx dx
sen x
x
dx
u
du Ln u c 
 
 
 
cos
-
| |
1
Voltando para a variável original:

  tgx dx Ln x c | cos |
Utilizando as propriedades de logaritmos, podemos escrever:

    
tgx dx Ln x c Ln x c | cos | | (cos ) |1
Podemos escrever também:

 tgx dx Ln x c | sec |
3) ∫ sen3 x dx
Vamos utilizar um artifício que será usado sempre que o expoente for ímpar. Devemos fatorar o 
integrando e aplicar a identidade 2.
sen2 x = 1 - cos2 x
Fatorando o integrando:
sen3 x = sen2 x . sen x
Agora você deve aplicar a identidade 2 e depois a distributiva:
sen3 x = (1 - cos2 x) . sen x
sen3 x = sen x - cos2 x . sen x
Substituindo na integral do enunciado:
∫ sen3 x dx = ∫ (sen x - cos2 x . sen x) dx
Pela propriedade de integral, podemos separar a função e calcular duas integrais, assim:
∫ sen3 x dx = ∫ sen x dx - ∫ cos2 x . sen x dx (1)
A primeira integral é imediata e a segunda deve ser resolvida por substituição.
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Unidade III
Vamos inicialmente resolver a segunda integral, utilizando o que já sabemos do método de 
substituição:
∫ cos2 x . sen x dx = - ∫ u 2 . du = - u
3
3
 + c = - cos
3
3
x + c
u = cos x
du
dx
sen x= - du = - sen x dx
Substituindo em (1), vem:
∫ sen3 x dx = ∫ sen x dx - ∫ cos2 x . sen x dx = - cos x + cos
3
3
x
 + c
 Saiba mais
Para saber mais sobre métodos de integração, acesse o site <http://
ecalculo.if.usp.br/>, clique em “Integrais” e depois em “Técnicas de 
Primitivação”. Lá você encontrará exemplos e exercícios de Integração 
(ou Primitivação) por substituição, por partes e por frações parciais. Bons 
estudos e boa navegação!
Porém, primeiro você deve estudar os exemplos a seguir.
6.1.4 Ampliando seu leque de exemplos
Veremos agora uma nova leva de integrais para que você possa estudar e esclarecer suas dúvidas. 
Nesses exemplos teremos integrais imediatas, por substituição e por partes.
 Lembrete
É importante que você estude os exemplos e depois tente refazê-los, 
isso o auxiliará em seus estudos.
Calcule as integrais:
a) ( cos )2 

x dx
Pelas propriedades de integral, podemos dividir a função em duas partes e calcular a integral de cada 
uma delas.195
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
( cos ) cos2 2  
 
x dx dx xdx 
Resolvendo cada uma das integrais pela regra de integração conveniente, temos:
( cos ) cos2 2 2     
 
x dx dx xdx x senx c 
b) ( )3 2

x dx
Novamente você vai dividir a função em duas e calcular a integral de cada uma:
3 32 2
 
 
 
 x dx dx x dx
Agora você tem duas integrais imediatas:
( )3 3
3
2
3
   

x dx x
x
c
c) ∫ x x dx ( - )2 65
Essa integral deve ser resolvida por substituição, vamos então chamar x2 – 5 de u:
u = x2 - 5 du = 2 x dx
Logo, dx
du
x
=
2
Substituindo no enunciado:
 
x x dx x u
du
x
 
 
( - ) ( )2 6 65
2
Simplificando:
 
x x dx u du ( - ) ( )2 6 65
1
2
Calculando a integral imediata:
 
   x x dx
u
c
u
c ( - ) .2 6
6 7
5
1
2 6
1
2 7
Retornando ao enunciado original:

 x x dx
x
c 
 
 ( - )
( - )2 6
2 7
5
5
14
196
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Unidade III
d) 








x
x
dx
2
3 210( )
 
Vamos resolver a integral novamente por substituição, sendo u = (x3 + 10),
u = x3 + 10 du = 3 x2 dx
Logo, dx
du
x
=
3 2
Substituindo no enunciado, temos:
 

 

x
x
dx
x
u
du
x
2
3 2
2
2 2
10 3
 
Simplificando:
  

 
  

x
x
dx
x
u
du
x
du
u
u du
2
3 2
2
2 2 2
2
10 3
1
3
1
3
 
Calculando a integral imediata:


 





 x
x
dx
u u
c
2
3 2
2 1 1
10
1
3 2 1
1
3 1
 
 
 
 -
-
.
Voltando para a variável do enunciado:


 




x
x
dx
x
c
2
3 2 310
1
3 10
 
.( )
e) (por partes) ∫ 2 x e dxx
Neste caso, devemos resolver a integral por partes e teremos
u = 2 x e dv = e x dx. Assim:
u = 2x dv = ex dx
 ∫ dv = ∫ ex dx
du = 2 dx v = ex
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Substituindo na integral, temos:
 
 2 2 2 x e dx x e e dx
u
x
dv u
x
v
x
v du
     
.
 
2 2 2 x e dx x e e dx
u
x
dv
x x
 
. -
Resolvendo a integral imediata:

 2 2 2 x e dx x e e c
u
x
dv
x x
 
. -
6.2 Integral de Riemann
No cálculo de áreas de figuras planas não convencionais é comum utilizarmos o método da exaustão, 
isto é, utilizar aproximação por meio de outras figuras cujas áreas são conhecidas. A soma destas áreas 
fornece um valor aproximado da área que se deseja calcular.
Consideremos uma função contínua e f(x) ≥ 0, num intervalo fechado [a,b]. Queremos determinar a 
área A da região plana formada pelo gráfico da função, pelo eixo x e as retas x = a e x = b.
Conforme a figura a seguir:
y
f(x)
A
a b x
Figura 128 
A área da região não é conhecida da geometria elementar, vamos então dividir esta região em outras 
figuras conhecidas, por exemplo, em retângulos.
Para isso faremos uma partição no intervalo [a,b].
O que vem a ser uma partição em um intervalo?
Vamos então definir partição para podermos entender o que é uma integral definida.
198
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Unidade III
6.3 Partição
Chamamos de partição de um intervalo ao conjunto de pontos {x0, x1, . . ., xn} que dividem o 
intervalo em n intervalos menores, com a = x0 e b = xn . Estes subintervalos não são necessariamente do 
mesmo tamanho.
Em nosso exemplo, veremos o que acontece quando n = 3 e quando n = 12. Para facilitar, tomaremos 
as divisões com mesmo tamanho (∆x).
y
f(x)
a b x
y
f(x)
a ∆x b x
Figura 129 Figura 130 
Note que a área sob o gráfico de f(x) é aproximadamente igual à soma das áreas dos retângulos. 
Neste caso, os retângulos foram formados com altura igual ao valor de f(xi), extremidade direita do 
subintervalo. O mesmo pode ser feito com a extremidade esquerda, com o ponto médio ou com qualquer 
ponto do intervalo, em todos os casos teremos resultados semelhantes.
Observe que, no caso de n = 3, a diferença entre a região marcada, a área real e a soma das áreas dos 
retângulos é maior do que no caso de n = 12. Em alguns casos, a área do retângulo é maior que a região 
correspondente marcada e em outros é menor.
 Lembrete
Quanto maior o número de divisões do intervalo [a,b], menor o valor de 
∆x e menor o erro cometido com a aproximação pela soma das áreas dos 
retângulos.
Cada retângulo tem base igual a ∆x e altura igual a f(x i). Neste caso, xi é a extremidade direita 
do intervalo correspondente. A área de cada um deles é dada por (∆x . f(xi) ) e a soma destas áreas é 
S x f xn
i
n
i



1
. ( ) .
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
6.4 Soma de Riemann
A soma S x f xn i
i
n
i



1
. ( ) é chamada de soma de Riemann da função f(x).
Note que agora estamos utilizando ∆xi para indicar a base dos retângulos, isto é, as bases não 
precisam ser necessariamente do mesmo tamanho, como ocorreu no nosso exemplo.
Queremos o valor mais próximo da área A. Para isso, devemos colocar a menor base possível, isto é, 
∆xi tendendo a zero (∆xi → 0), o que ocorre quando n tende a infinito.
6.5 Integral definida ou integral de Riemann
Seja f uma função definida em [a,b] e L um número real tal que L x f x
xi
i i
i
n
Lim





0 1
. ( ) .
Chamamos de integral definida de f de a até b ao número L e indicamos f x
a
b
dx( ) 
 
 
∫ . Assim temos 
por definição:
f x x f x
a
b
xi
i i
i
n
dx Lim( ) . ( ) 
 







0 1
 Observação
Lê-se: integral de a até b de f(x) dx.
Se este limite existe, dizemos que a função é integrável no intervalo [a,b].
Na notação de integral definida, os números a e b são chamados de limites de integração, a é o 
limite inferior e b o superior.
Quando a função f for contínua e f(x) ≥ 0 no intervalo [a,b], temos que a integral definida é a área 
da região sob o gráfico de f de a até b.
Não faremos cálculos de integrais definidas utilizando limites. Utilizaremos o Teorema Fundamental 
do Cálculo Integral para resolver essas integrais por meio de primitivas.
6.6 Teorema Fundamental do Cálculo Integral (TFCI)
Se f é contínua em um intervalo fechado I e F é uma primitiva de f neste intervalo, isto é, F’(x) = f (x), 
então para quaisquer a, b de I temos:
f x F b F a
a
b
dx( ) ( ) - ( ) 
 
 

 
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Unidade III
Podemos também escrever f x F x F b F a
a
b
a
bdx( ) ( ) ( ) - ( ) 
 
 


 
 
ou ainda f x F x F b F a
a
b
a
b
dx( ) ( ) ( ) - ( ) 
 
 

  
Assim, para o cálculo das integrais definidas vamos utilizar as regras e métodos das integrais 
indefinidas para encontrar as primitivas.
Exemplos:
1) Calcular as integrais definidas (utilizandoo TFCI)
a) x dx 
 
1
2
∫
Inicialmente determinamos a primitiva de f(x) = x. Pelas regras, sabemos que F(x) = 
x
c
2
2
+ .
Assim, calculando a integral, temos:
x
x
cdx 
 
 
1
2
2
2
1
2

 






 
Substituindo os extremos de integração:
x
x
c F F c cdx 
 
 
1
2
2 2 2
2
2 1
2
2
1
2
1
2

 






  






 

 ( ) - ( )





  
4
2
1
2
3
2
 Observação
Na integral definida, a constante c será cancelada após a distribuição do 
sinal de menos, sempre. Por esse motivo, vamos utilizar a primitiva sempre 
sem a constante, para integrais definidas.
b) ( )2 1
0
3
x dx

Inicialmente determinamos a primitiva de f(x) = 2 x – 1. Pelas regras, temos:
( )2 1 2
20
3 2 2x dx
x
x x x     

Note que não escrevemos a constante c.
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Assim:
( ) ( ) ( )2 1 3 0 9 3 6
0
3 2x dx x x F F       

c) ( )x x dx2
1
0
3


 
Determinando a primitiva de f(x) = x 2 - 3 x pelas regras, temos:
( )
( )
x x dx
x x x x2
1
0 2 1 2 3 2
3
2 1
3
2 3
3
2
 

  



Portanto:
( ) ( ) ( )x x dx
x x
F F2
1
0 3 2
3
3
3
2
0 1     


 
Determinando os valores de F(0) e F(-1), temos:
F(0) = 0
3
3 0
2
0 0 0
3 2
   
 .
F(-1) = ( ) . (- ) .
 

    
 
 
1
3
3 1
2
1
3
3 1
2
1
3
3
2
2 9
6
11
6
3 2 
Substituindo em (a), temos:
x x
x x
F Fdx2
1
0
3 2
1
0
3
3
3
2
0 1 0
11 
 
- ( ) - (- ) -
-
-

 






   
66
11
6







Observe que nos exemplos a) e b), os cálculos de F(a) e F(b) foram feitos diretamente na integral, já 
no exemplo c) os cálculos foram feitos separadamente e só depois colocados na integral.
O modo mais conveniente depende da função com que se está trabalhando, para funções com 
expressões mais simples é indiferente um ou outro modo, porém, para expressões mais longas ou 
complicadas, o cálculo separado facilita o processo.
d) sen x dx 
 
0
2


Já sabemos que ∫ sen x dx = - cos x, logo
sen x x F Fdx 
 
 
 
0
2
0
2
0
2




 
 
cos ( ) - ( ) (a)
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Unidade III
Determinando os valores de F(π2 ) e F(0), temos:
F(π2 ) = - cos (
π
2 ) = - 0 = 0
F(0) = - cos 0 = - 1
Substituindo em (a), vem:
sen x x F Fdx 
 
 
 
0
2
0
2
0 0 1 1
2




 
 
  cos ( ) - ( ) - (- ) 
e) 
x
x
dx
 
 20
2
2

 
Note que esta integral não é imediata, deve ser resolvida por substituição.
Resolvendo a integral indefinida, temos:
∫ x
x
dx2 2−
 = ∫ 1
2u
du
 = 
1
2
 ∫ 1
u
du = 
1
2
 . Ln |u| = 1
2
 . Ln | x2 – 2 | + c
u = x2 – 2
du
dx
x= 2 , isto é, du x dx
2
= 
Pelo TFCI, temos:
x
x
Ln x Lndx
20
2 2
0
2
2
2
1
2
2
1
2
2 2
1

  

 
 
 . | | . | | -
22
0 22 . | |Ln  
= = =
1
2
6
1
2
2
1
2
1792
1
2
0 693 0 . | | - . | | . , - . ,Ln Ln ,,550
f) ( )2 3 21
2 x dx
 
Esta integral não é imediata, deve ser resolvida por substituição.
Resolvendo a integral indefinida, temos:
∫ (2 x + 3) 2 dx = ∫ u 2 du
2
 = 
1
2
 ∫ u 2 du = 1
2
 . u du
3
3
 = 
1
6
 . (2 x + 3)3
u = 2 x + 3
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
du
dx
= 2 , isto é, 
du
dx
2
= 
Pelo TFCI, temos:
( )2 3 2
1
2 x dx
 
 = 
1
6
 . (2 x + 3)3 
1
2
1
6
= . (2 . 2+ 3)3 - 
1
6
 . (2 . 1 + 3)3 =
= 
1
6
 . (2 . 2+ 3)3 - 
1
6
 . (2 . 1 + 3)3 = 
1
6
 . 73 - 
1
6
 . 53 = 36,33
 Saiba mais
Para saber mais sobre soma de Riemann, acesse <http://ecalculo.if.usp.
br/>, clique em ”Integrais” e, em seguida, em “Soma de Riemann”.
6.7 Ampliando seu leque de exemplos
Veremos a seguir mais exemplos de integrais, alguns resolvidos utilizando o método de substituição 
outros utilizando partes e, ainda, algumas integrais definidas utilizando o TFCI.
Para definir qual dos métodos será usado, você deverá analisar a função antes de começar a resolver, 
isso agiliza o processo, evitando enganos.
Exemplos:
1) Resolva as integrais
a) ∫
Ln x
x
dx
 
 2 temos:
Devemos calcular a integral por partes; como a integral de Ln x não é imediata, devemos escolher 
u = Ln x e dv
x
dx=
1
2 .
u Ln x= dv
x
dx=
1
2 
du
x
dx=
1
 dv x dx
 

2 
 
v
x
v
x


 

 
-
-
-2 1
2 1
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Unidade III
Substituindo na integral, temos:
 



















Ln x
x
dx Ln x
x x x
 
 2
1 1 1
.
-
-
-
. dx
Arrumando a expressão:
 




Ln x
x
dx
Ln x
x
x dx
 
 
 
 
2
2
Resolvendo a integral imediata e substituindo na expressão:




 
 




  Ln x
x
dx
Ln x
x
x
c
Ln x
x
x
c
 
 
 
2
2 1 1
2 1 1
Você pode ainda deixar a expressão de forma mais usual, não é comum deixar o sinal negativo no 
denominador:



 
Ln x
x
dx
Ln x
x x
c
 
 
 
2
1
b) ∫ Ln x dx 2
Devemos calcular a integral por parte, assim u = Ln x2 e dv = dx
u Ln x= 2 dv = dx
du
x
x dx= 
1
22 dv dx
v x
 


 
 
du
x
dx =
2
Substituindo na integral, temos:
 







Ln x dx x Ln x x
x
dx 2 2
2
. - .
Simplificando a função:
 
 Ln x dx x Ln x d x 2 2 2.
Calculando a integral e substituindo na expressão:

  L dx x Ln xn x . x c2 2 2
c) sen x x dx2 . cos∫
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Devemos calcular a integral por substituição. Seja u = sen x, temos:
u = sen x
du = cos x dx
Substituindo no enunciado, temos:
 
sen x x dx u du
du
2 2 . cos��� ��
Calculando a integral imediata:



  

sen x x dx
u
c
u
c
du
2
2 1 3
2 1 3
 . cos��� ��
Voltando para a variável original:

 sen x x dx
sen x
c
du
2
3
3
 . cos��� ��
d) cos5 x dx∫
Inicialmente devemos escrever cos5 x = cos2x . cos2x . cos x, depois vamos substituir cos2x por 1 – sen2 
x, temos então:
cos cos cos cos5 2 2 x dx x x x dx
 
 
cos ( - ) . ( - ) . cos5 2 21 1 x dx sen x sen x x dx
Calculando a integral por substituição, fazendo u = sen x, temos:
u = sen x
du = cos x dxSubstituindo no enunciado, temos:
cos ( ) ( ) ( ) ( )5 2 2 2 2 4 2 41 1 1 1 2xdx u u du u u u du u u du          
   
Calculando a integral:

  cos -5
3 5
2
3 5
 
 
x dx u
u u
c
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Unidade III
Voltando para a variável do enunciado:

  cos -5
3 5
2
3 5
 x dx sen x
sen x sen x
c
2) Resolva as integrais definidas
a) ( )3 2
0
3
x dx

Inicialmente determinamos a primitiva de f(x) = 3 x – 2. Pelas regras, temos:
( )3 2 3
2
2
0
3 2
x dx
x
x   

Note que não escrevemos a constante c.
Assim:
( )3 2 3
2
2
0
3 2
0
3
x dx
x
x   







Substituindo os extremos de integração:
( ) ( ) ( )3 2 3 0 3
3
2
2 3 3
0
2
2 0
15
20
3 2 2
x dx F F      






   








b) ( )x x dx3
1
0



Determinando a primitiva de f(x) = x 3 - x pelas regras, temos:
( )
( )
x x dx
x x x x3
1
0 3 1 2 4 2
3 1 2 4 2
 

  



Portanto:
 ( ) ( ) ( )x x dx
x x
F F3
1
0 4 2
1
0
4 2
0 1  






  



 (a)
Determinando os valores de F(0) e F(-1), temos:
F( )0
0
4
0
2
0
4 2
  
 
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
F(-1) = F( )
( ) (- )
 

       1
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
4 2
 
 
Substituindo em (a), temos:
( ) ( ) ( )x x dx
x x
F F3
1
0 4 2
1
0
4 2
0 1  






  



( )
( ) ( )
x x dx3
1
0 4 2 4 20
4
0
2
1
4
1
2
1
4
  



















( )x x dx3
1
0
0
1
4
1
4
   









c) O valor da integral definida é: 
0
2


 x senx dx.
Devemos resolver a integral indefinida e depois substituir os extremos de integração.
A integral indefinida deve ser resolvida por partes, tomemos:
u = x e dv = sen x dx
Assim, derivando u e integrando dv:
 u = x dv = sen x dx
du = dx ∫dv = ∫sen x dx
 v = - cos x
Substituindo na integral, temos:

   x sen x dx x x
u dv u v
� � �� �� � ��� ��. (- cos ) cos xx dx x x x dx
v du
��� �� �
 
  - . cos cos
Calculando a integral e substituindo na expressão:

   x sen x dx x x sen x c
u dv
� � �� �� - . cos
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Unidade III
Agora devemos substituir os extremos de integração:
0
2
2
0



 
 
 x senx dx x x sen x. - . cos
0
2
2 2 2

  

















 x senx dx sen. - . cos




 
 
 - . cos0 0 0sen
0
2
2
0 1 0 1 0



 






 
 
 x senx dx. - . - . 1
 Resumo
Antiderivada ou Primitiva de f
Função F, derivável em I, tal que F’(x) = f(x), 
  x I .
Integral indefinida: f x dx F x c( ) ( )  

Algumas regras de integração:
k dx k x c  

x dx
x
n
c nn
n
 
 


 


1
1
1, ( - )
 x dx
x
dx Ln x c
 
  
-
| |
 
 
1 1








a dx
a
Ln a
cx
x
 
 
 
sen x dx x c  

- cos
cos x dx sen x c 

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/1
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Propriedades da integração:
P1 ( ) ( ) ( ) ( )f g x dx f x dx g x dx     
P2 ( . ) ( ) . ( )k f x dx k f x dx  
P3 ( ) ( ) ( ) ( ) k f k g x dx k f x dx k g x dx1 2 1 2    
Nesta unidade estudamos dois métodos para calcular a integral de 
funções não imediatas: substituição e partes.
Integração por substituição – é utilizada quando a função a ser 
integrada pode ser dividida em uma função u(x) e sua derivada u’(x), 
fazemos a substituição e transformamos a integral numa imediata.
Integração por partes – é utilizada quando a função a ser integrada 
é formada pelo produto de funções em que uma das parcelas não é a 
derivada da outra.
Este método consiste em separar o produto f . g em duas partes, uma 
chamaremos de u e outra de dv. A parte que chamamos de u será derivada 
e a que chamamos de dv será integrada.
Para o cálculo de integrais por partes utilizamos a fórmula:
∫ f(x) . g(x) dx = ∫u dv = u . v - ∫ v du
Algumas relações trigonométricas
1) sen2 x + cos2 x = 1
2) sen2 x = 1 - cos2 x 
3) cos2 x = 1 - sen2 x
4) cos2 x = 1 2
2
+ cos( )x
5) sen2 x = 
1 2
2
− cos( )x
6) tg2 x = sec2 x – 1 
7) cotg2 x = cossec2 x – 1
210
Re
vi
sã
o:
 C
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 D
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gr
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7
Unidade III
Integral de Riemann
Partição - divisão de um intervalo em subintervalos.
Integral de Riemann e soma de Riemann
f x x f x
a
b
xi
i i
i
n
dx Lim( ) . ( ) 
 





 
 

0 1
TFCI - Teorema Fundamental do Cálculo Integral
f x F b F a
a
b
dx( ) ( ) - ( ) 
 
 

 
 Exercícios
Questão 1 (ENADE-MATEMÁTICA/2008). Considere g:    uma função com derivada contínua 
dg
dt
 e f a função definida por f x
dg
dt
t dt
x
( ) ( )

0
 para todo x  .
Nessas condições, avalie as afirmações que seguem.
I. A função f é integrável em todo intervalo [a,b], a,b  ,a b .
II. A função é derivável e sua derivada é a função g.
III. A função diferença f - g é uma constante.
É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) I e III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
Resposta correta: alternativa C.
Análise das afirmativas
I – Afirmativa correta.
211
Re
vi
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o:
 C
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 D
ia
gr
am
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Justificativa:
Veja que dg t
dt
dt
x ( )
0∫ ; x e R = [g(t)
x
0 = g(x) + c. Logo, f(x) é integrável em todo o intervalo [a, b], pois 
existe g(x) : R → R e sua derivada 
dg
dt
, contínua, considerados na questão.
II – Afirmativa incorreta.
Justificativa:
Se f(x) = g(x) + c, então f’(x) = g’(x).
III – Afirmativa correta.
Justificativa:
Temos que f – g = g(x) + c – g(x) = c (constante).
Questão 2 (ENADE-MATEMÁTICA/2008). Considere f R: ,0 
 
 uma função cujo gráfico está 
representado na figura a seguir:
y
1
0
-1
1 2 x
Assinale a opção que melhor representa o gráfico da função f x f t dt
x
( ) ( )

0
. 
212
Re
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o:
 C
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Unidade III
A)
0 2
x
y
0 1 2
x
E)
y
0 1 2
x
D)
y
B)
0 1 2
x
y
0 2
x
C)
Resolução desta questão na plataforma.