Função Polinomial de 2º Grau(1)

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Introdução ao Cálculo Diferencial
Prof. Flávia Araújo
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E-mail: <flafpa@gmail.com>
Material didático adaptado do Prof. Allyson J. S. Brito
1
 
 Tema
 
Função Polinomial do
2º Grau
2
 Equação do 2º Grau
 Solução do Equação de 2º Grau
 Função do 2º Grau
 Inequações do 2º Grau
	Roteiro 
3
 
Equação de 2º Grau
	Resolver uma equação significa encontrar um valor desconhecido, ou seja, o valor de uma variável ou incógnita, representada em geral por uma letra. 
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Equação de 2º Grau
	Vamos aprender como resolver as equações que apresentam uma variável com expoente quadrático. Tais equações podem ser representadas pela forma geral numa equação equivalente na forma:
em que é a variável, , e são números racionais, de modo que . 
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Exemplos 
Equação de 2º Grau
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Solução de Equação de 2º Grau
	Chama-se solução ou raiz de uma equação a um valor real que, substituído na equação, a torne verdadeira.
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Equação de 2º Grau
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Equação de 2º Grau
Podemos observar que teremos dois valores possíveis para a variável x, pois a 1ª opção é quando assumimos o valor positivo para 1 e a 2ª opção é quando assumimos o valor negativo para 1.
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	Portanto, encontramos a solução da equação de 2º grau. Se substituírmos ou na equação , observaremos que o lado esquerdo da equação será exatamente igual ao lado direito da equação. Isso é encontrar a solução de uma determinada equação.
Equação de 2º Grau
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Função Polinomial do 2º Grau
	
	Função Polinomial do 2º Grau (ou Função Quadrática) é qualquer função representada por , onde são números racionais, com .
Exemplo 
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Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau
	O gráfico de ou , com
 é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo . Para desenhar o gráfico da função quadrática basta determinar alguns pontos da parábola. Para isso, devemos atribuir alguns valores para a variável e determinar os valores corrrespondentes para a variável .
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Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau
Exemplos 
Desenhar o gráfico da função . 
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Gráfico de uma Função Polinomial do 2º Grau
Exemplos 
Desenhar o gráfico da função . 
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção com o eixo y
As funções quadráticas reais são representadas graficamente por parábolas que interceptam o eixo y em um ponto notável.
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção com o eixo y
Nesse gráfico, o ponto representa a interseção da parábola com o eixo . Na função o coeficiente fornece o valor exato onde a função quadrática corta o eixo , representamos o ponto de interseção como sendo .
Nesse exemplo, podemos afirmar que a função quadrática corta o eixo em .
Portanto, podemos representar o ponto de interseção como sendo o . 
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Vértice da Parábola
Um ponto importante para a construção do gráfico de uma função quadrática é o vértice da parábola. Conhecido o do vértice, basta determinar dois ou três valores menores que o e dois ou três valores maiores que o . Podemos encontrar através da equação abaixo:
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Exemplo – Vértice da Parábola 
Desenhar o gráfico da função . 
Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
Um ponto que pertence ao eixo tem valor igual a 
 para . Assim, para descobrir os pontos em que a parábola de equação , com ( ) intercepta o eixo , basta sustituir por , obtendo a equação quadrática .
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
Os valores que representarão as soluções dessa equação corresponderão às abscissas dos pontos em que a parábola intercepta o eixo . As soluções reais dessa equação do grau recebem o nome de raízes da função.
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
21
 
Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
Resolvendo a equação pela fórmula resolutiva com , temos três 
possibilidades:
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
► . Nesse caso, há duas raízes reais distintas e a parábola intercepta o eixo em dois pontos.
► . Nesse caso, há uma raiz real e a parábola intercepta o eixo em apenas um ponto.
► . Nesse caso, não há uma raiz real e a parábola não intercepta o eixo .
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
O gráfico da função , com tem concavidade para cima ou para baixo.
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
A parábola pode interceptar o eixo de três maneiras diferentes. Para cada uma delas, existem duas possibilidades: a concavidade pode ser voltada para cima ou para baixo. Logo, as parábolas que representam os gráficos de funções quadráticas possuem diferentes configurações.
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
► Se , a parábola intercepta o eixo em dois pontos diferentes, e :
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
► Se , a parábola intercepta o eixo em um único ponto, :
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
	
Ponto de Interseção da Parábola com o eixo x
► Se , a parábola não intercepta o eixo , pois a função não possui raiz real:
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	Com as informações sobre o , o coeficiente , o coeficiente e o coeficiente 
 é possível fazer um esboço do gráfico da função quadrática sem descobrir pontos da parábola. Em muitas situações, o esboço é suficiente para analisar a função.
Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
Observação
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Esboçar o gráfico das funções quadráticas:
	a) 
	b)
	c)
	d) 
Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
Exemplos:
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
Solução:
	Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da párabola é voltada para cima; a função quadrática corta o eixo quando está descendo; a função corta o eixo em e possui duas raízes reais e distintas.
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
Solução:
	Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da párabola é voltada para baixo; a função quadrática corta o eixo quando está subindo; a função corta o eixo em 
	 e possui duas raízes reais e iguais.
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
Solução:
	Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da párabola é voltada para cima; a função quadrática corta o eixo quando está subindo; a função corta o eixo em 
 e possui duas raízes reais e distintas.
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Pontos Notáveis de uma Função Polinomial do 2º Grau
Solução:
	Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da párabola é voltada para baixo; a função quadrática corta o eixo quando está subindo; a função corta o eixo em e não possui raízes reais.
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Domínio e Imagem da Função Quadrática
	O domínio da função, isto é, os valores de para os quais a expressão , tem sentido, é formado por todos os números reais. O conjunto imagem é determinado a partir das coordenadas do vértice.
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Esboçar o gráfico da função , dar o domínio e o conjunto imagem.
Domínio e Imagem da Função Quadrática
Exemplo 
Solução 
	Neste exemplo, poderíamos interpretar da seguinte forma: a concavidade da párabola é voltada para cima; a função quadrática corta o eixo quando está descendo; a função corta o eixo em e possui duas raízes reais e distintas.
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Para descobrir o conjunto imagem, dependemos do vértice da parábola.
Domínio e Imagem da Função Quadrática
Solução 
Logo 
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Máximo ou Mínimo de uma Função Quadrática
	Toda função quadrática apresenta uma particularidade importante, ou seja, possui sempre um valor máximo ou um valor mínimo (valores extremos da função). Geralmente, nas aplicações das funções quadráticas, a descoberta desse valor extremo é fundamental.
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Máximo ou Mínimo de uma Função Quadrática
	Examinando os gráficos a seguir, você pode perceber que:
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	A resolução de uma inequação do 2º grau, isto é, a determinação dos valores de qua a satisfazem, envolve o estudo dos sinais de uma função do 2º grau.
	► 
	►
	►
	►
Inequação de Função Polinomial 
do 2º Grau
40
 
Inequação de Função Polinomial 
de 2º Grau
Exemplo 
41
 
	Considerando e funções da variável , chamamos de inequação-produto desiguadades como:
	►
	►
	►
	►
Inequação-Produto de Função Polinomial do 2º Grau
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	A resolução de uma inequação-produto pode ser feita com o estudo dos sinais das funções, separadamente, seguido da determinação dos sinais do produto de e 
e, posteriomente, identificando os valores de 
que satisfazem a inequação-produto.
Inequação-Produto de Função Polinomial do 2º Grau
43
 
Exemplo 
Inequação-Produto de Função Polinomial do 2º Grau
Para resolvermos a inequação é necessário encontrarmos as raízes de e separadamente para representarmos na reta real.
44
 
Inequação-Produto de Função Polinomial do 2º Grau
Na sequência teremos que encontrar as raízes de para representarmos na reta real.
45
 
Inequação-Produto de Função Polinomial do 2º Grau
Na sequência faremos o jogo de sinais e encontraremos os valores que satisfaça a inequação-produto 
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	Considerando e funções da variável , chamamos de inequação-produto desiguadades como:
	
	
	
	
Inequação-Quociente de Função Polinomial do 2º Grau
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	Na resolução de uma inequação-quociente devemos lembrar que o denominador deve ser diferente de zero e a regra de sinais é a mesma, tanto para multiplicação como para divisão, no conjunto dos reais.
Inequação-Quociente de Função Polinomial do 2º Grau
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Exemplo 
Inequação-Quociente de Função Polinomial do 2º Grau
Para resolvermos a inequação é necessário encontrarmos as raízes de e separadamente para representarmos na reta real.
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Inequação-Quociente de Função Polinomial do 2º Grau
Na sequência teremos que encontrar as raízes de para representarmos na reta real. 
Como o está no 
denominador, os valores que
encontrarmos como raízes não
podem fazer parte da solução.
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Inequação-Quociente de Função Polinomial do 2º Grau
Na sequência faremos o jogo de sinais e encontraremos os valores que satisfaça a inequação-produto .
Observação: Lembre-se que o intervalo para as raízes encontradas para a função deve ser aberto, senão, o denominador vai assumir valor zero, o que não podemos permitir que aconteça.
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 SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática Básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2002.
 DANTE, Luis Roberto. Matemática: volume único: contexto&aplicações: ensino médio. 3. ed. São Paulo: Ática, 2008.
 LEITHOLD, Lois. O cálculo com geometria analítica: volume 1. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
BRITO, Allyson J. S. Matemática Básica da Engenharia Pitágoras. 2013. Disponível em: <sites.google.com/site/engenhariaipatinga/1o-semestre/matematica>.
Referências Bibliográficas
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