Introdução ao Cálculo - Aula 12 - Função 2º Grau

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Introdução ao Cálculo 
AULA 12 – Função 2º Grau 
Professora: Mariah Rissi Leitão 
E-mail: rissi.mariah@gmail.com 
FUNÇÃO 2º GRAU 
DEFINIÇÃO 
Toda função 𝑓: ℝ → ℝ definida por 
 
 
 
é uma função de segundo grau com 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 ∈ ℝ 𝑒 𝑎 ≠ 0; 
𝑓 𝑥 = 𝑎 . 𝑥2 + 𝑏. 𝑥 + 𝑐 
EXEMPLOS: 
FUNÇÃO 2ºGRAU 
 LEI DE FORMAÇÃO 
 
Toda expressão na forma 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ou f(x) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 , 
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0, é considerada uma função do 2º 
grau. 
 
 
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa) 
 
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta) 
 
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta) 
 
Toda função do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio. 
FUNÇÃO 2ºGRAU 
 PROPRIEDADES GRÁFICAS 
O gráfico da Função Polinomial do 2º Grau 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é uma 
parábola cujo eixo de simetria é uma reta vertical, paralela ao eixo y ou até 
mesmo o próprio eixo y, passando pelo vértice da parábola. 
FUNÇÃO 2ºGRAU 
 PONTOS NOTÁVEIS 
a) Valor de 𝑎 
𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎: 𝑎 > 0;
𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜: 𝑎 < 0;
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Valor de c; (coeficiente linear): 
 
 ponto 0, 𝑐 → onde passa pelo eixo y, ou seja 𝑥 = 0; 
 
 
 
 
a > 0 a < 0 
FUNÇÃO 2º GRAU 
c) Raiz da função: 
 
 Para determinarmos o zero ou a raiz de uma função basta considerarmos: 
 
 
 
 
 Sendo Observação 
 
 
OBS.: A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor 
obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber: 
 
• quando ∆ > 0 , há duas raízes reais e distintas; 
• quando ∆= 0, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais); 
• quando ∆< 0, não há raiz real. 
 
 
FUNÇÃO 2º GRAU 
FUNÇÃO 2º GRAU 
d) Coordenadas do vértice da parábola 
 
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo 
V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de 
máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são . . Veja os gráficos: 
 
EXEMPLO 
EXERCÍCIO 
1. (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. 
Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse 
público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de 
pessoas que não o conhece. Em outras palavras, sendo R a rapidez e propagação, P o 
público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato, tem-se: 𝑅(𝑥) =
 𝑘𝑥(𝑃 – 𝑥), em que k é uma constante positiva característica do boato. Considerando 
o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44000 pessoas, então a máxima 
rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de 
pessoas igual a: 
 
 a) 11000 b) 22000 c) 33000 d) 8000 e) 44000 
 
Solução: Sendo 𝑃 = 44 000 temos 𝑅(𝑥) = 𝑘𝑥(44 000 – 𝑥) 
 𝑅(𝑥) = −𝑘𝑥2 + 44 000𝑘𝑥 
Para se obter o número de pessoas onde teremos a máxima rapidez de propagação, basta 
utilizar o 𝑥𝑣 = − 𝑏/2𝑎 = −44 000/−2 = 22 000 
Letra B. 
EXERCÍCIO 
2. João possui um terreno cujos lados medem 10 m e 25 m, esse terreno fica numa 
esquina. A prefeitura da cidade vai aumentar a largura das calçadas em x metros, 
portanto vai diminuir a área do terreno do João. 
Note que o terreno é representado por um retângulo, então vamos relacionar as 
medidas dos lados com a fórmula para calcular a área de um retângulo: 
𝐴 (𝑥) = (10 − 𝑥). (25 − 𝑥) ENTÃO 𝐴(𝑥) = 𝑥² – 35𝑥 + 250 
 
Nessa função temos: x é a variável independente, os coeficientes são 𝑎 = 1, 
𝑏 = −35 e 𝑐 = 250. 
 
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. 
Solução: 
EXERCÍCIO 
2. 
O gráfico de uma função quadrática é: 
Solução: