Funcoes_Engenharia_Funcao_Do_1_Grau

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ENGENHARIA – Uniube 
Prof. Dr. Adriano Dawison de Lima 
 
 1
1. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU. 
 
Definição: 
 
 Uma função é chamada de função do 1º grau (ou função afim) se sua sentença for dada 
por f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais com a ≠≠≠≠ 0. 
x é a variável independente. 
 y = f(x) é a variável que dependente de x. 
 
 
Função Afim: f(x) = ax + b 
 
 
a > 0 → f(x) = ax + b 
 
 
a < 0 → f(x) = - ax + b 
y = 2x + 1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
- A função é crescente, pois a > 0; 
 
- A constante a é chamada de coeficiente 
angular e representa a variação de y 
correspondente a um aumento do valor de 
x; 
 
- A constante b é chamada de coeficiente 
linear e representa, no gráfico, o ponto de 
intersecção da reta com o eixo y; 
 
- Zero da função é o valor de x para qual a 
função se anula. 
f(x) = 0 → x = 
a
b
− ; 
 
 
- Estudo do sinal: f(x) = 0 
 
 
f(x) < 0 f(x) > 0 x 
 
 
f(x) < 0 → imagem negativa 
f(x) = 0 → imagem nula 
f(x) > 0 → imagem positiva 
y = -x + 2
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
 
- A função é decrescente, pois a < 0; 
 
- Coeficiente angular é a = -1; 
 
- Coeficiente linear é b = 2; 
 
- Zero da função é 2, pois –x + 2 = 0 
 -x = - 2 .(-1) 
 x = 2 
 S = {2} 
- Estudo do sinal: 
 
 
 
f(x) < 0 {x ∈ R | x > 2} 
f(x) = 0 {x ∈ R | x = 2} 
f(x) > 0 {x ∈ R | x < 2} 
 
 
- - - - - - - 
+++++++ 
 2 
x 
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 2
 
Função Linear: f(x) = ax 
 
 
a > 0 
 
 
a < 0 
 
y = 3x
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2 -1 0 1 2 3 4 x
y
 
 
- A função é crescente, pois a > 0; 
 
- Coeficiente angular é a = 3; 
 
- Coeficiente linear é b = 0 (neste caso); 
 
- Zero da função é 0; 
 
- Estudo do sinal: 
 
 
f(x) < 0 {x ∈ R | x < 0} 
f(x) = 0 {x ∈ R | x = 0} 
f(x) > 0 {x ∈ R | x > 0} 
y = -3x
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
 
- A função é decrescente, pois a < 0; 
 
- Coeficiente angular é a = - 3; 
 
- Coeficiente linear é b = 0; 
 
- Zero da função é 0; 
 
- Estudo do sinal: 
 
 
f(x) < 0 {x ∈ R | x > 0} 
f(x) = 0 {x ∈ R | x = 0} 
f(x) > 0 {x ∈ R | x < 0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- - - - - 
+++++++ 
 0 
x 
- - - - - - - 
+++++++ 
 0 
x 
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 3
Função Constante f(x) = b 
 
 
y = 4
0
1
2
3
4
5
-2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
 
- A função é constante, pois a = 0, com isso, não a 
inclinação; 
 
- Coeficiente angular é 0, pois a = 0; 
 
- Coeficiente linear é b = 4; 
 
- Não temos Zero da função: 
 
- Não temos Estudo do sinal. 
 
 
 
� Gráficos de funções afins: 
 
 
Podemos perceber que as funções f, g e h 
possuem o mesmo coeficiente angular: 
f(x) = 2x + 3 → a = 2 
g(x) = 2x → a = 2 
h(x) = 2x - 3 → a = 2 
 
Então, as funções têm como gráfico retas 
paralelas. 
 
Definição: 
 
Se f: IR → IR é tal que f(x) = ax + b e g: IR → IR 
é tal que g(x) = a’x + b’, segue 
 
a = a’ e b ≠ b’ ⇔ as retas serão paralelas. 
 
 
 
Funções com o mesmo coeficiente 
angular
f(x) = 2x + 3
g(x) = 2x
h(x) = 2x - 3
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
y
 
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 4
Podemos perceber que as funções f e g 
possuem o mesmo coeficiente angular e mesmo 
coeficiente linear: 
f(x) = x - 3 → a = 1 e b = 3 
g(x) = x - 3 → a = 1 e b = 3 
 
Então, as funções têm como gráfico retas 
coincidentes. 
 
Definição: 
 
Se f: IR → IR é tal que f(x) = ax + b e g: IR → IR é 
tal que g(x) = a’x + b’, segue 
 
a = a’ e b = b’ ⇔ as retas serão coincidentes. 
 
 
 
 
Podemos perceber que as funções f e g 
possuem o coeficiente angular diferente: 
f(x) = 2x - 6 → a = 2 
g(x) = x - 3 → a = 1 
 
Então, as funções têm como gráfico retas 
concorrentes, ou seja, possuem um só ponto em 
comum P(3, 0). 
 
Definição: 
 
Se f: IR → IR é tal que f(x) = ax + b e g: IR → IR é 
tal que g(x) = a’x + b’, segue 
 
a ≠ a’ ⇔ as retas serão concorrentes. 
 
 
 
� Exemplos a serem resolvidos na sala de aula: 
 
1) Obter uma função a partir dos pontos A(1, 2) e B(2, 7), ou seja, f(1) = 2 e f(2) = 7. 
 
2) Determinar o ponto de intersecção das funções f(x) = 4x e g(x) = 50 + 2x. 
 
3) Seja f a função afim definida por f(x) = 3x – 2 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função 
afim g cuja reta correspondente passa por (-1, 2) e é paralela à reta r. 
 
 
 
 
 
 
Funções de mesmo coeficiente angular e 
mesmo coeficiente linear
f(x) = x - 3
g(x) = x - 3
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
y
 
Funções de mesmo coeficiente angular 
diferentes
f (x) = 2x - 6
y = x - 3
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x
y
 
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Exercícios – Função polinomial do 1º grau – Lista 3 
 
1) Identifique as funções f: IR → IR abaixo em afim, linear, identidade e constante: 
a) f(x) = 5x + 2 e) f(x) = -x + 3 
b) e) f(x) = 
3
1
2
+
x
 f) f(x) = x
7
1
 
c) f(x) = 7 g) f(x) = x 
d) f(x) = 3x h) f(x) = 2 – 4x 
 
2) Dada a função f(x) = -2x + 3, determine f(1). 
 
3) dada a função f(x) = 4x + 5, determine f(x) = 7. 
 
4) Escreva a função afim f(x) = ax + b, sabendo que: 
a) f(1) = 5 e f(-3) = - 7 b) f(-1) = 7 e f(2) = 1 c) f(1) = 5 e f(-2) = - 4 
 
5) Estude a variação de sinal (f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0) das seguintes funções do 1º grau: 
a) f(x) = x + 5 e) f(x) = - 5x 
b) f(x) = -3x + 9 f) f(x) = 4x 
c) f(x) = 2 – 3x 
d) f(x) = -2x + 10 
 
6) Considere a função f: IR → IR definida por f(x) = 5x – 3 determine: 
a) verifique se a função é crescente ou decrescente 
b) o zero da função; 
c) o ponto onde a função intersecta o eixo y; 
d) o gráfico da função; 
e) faça o estudo do sinal; 
 
7) A reta, gráfico de uma função afim, passa pelos pontos (-2, -63) e (5, 0). Determine essa função e 
calcule f(16). 
 
8) Determine a lei da função cuja reta intersecta os eixos em (-8, 0) e (0, 4) e verifique: 
a) Se a função é crescente ou decrescente; 
b) A raiz da função; 
c) o gráfico da função; 
d) Calcule f(-1). 
 
9) Dadas às funções f e g, construa o gráfico das funções e descubra o ponto de intersecção dessas 
retas: 
a) f(x) = -2x + 5 e g(x) = 2x + 5 
b) f(x) = 5x e g(x) = 2x – 6 
c) f(x) = 4x e g(x) = -x + 3 
 
10) Um comerciante teve uma despesa de $ 230,00 na compra de certa mercadoria. Como vai vender 
cada unidade por $ 5,00, o lucro final L será dado em função das x unidades vendidas. Responda: 
a) Qual a lei dessa função f; 
b) Para que valores de x têm f(x) < 0? Como podemos interpretar esse caso? 
c) Para que valores de x haverá um lucro de $ 315,00? 
d) Para que valores de x o lucro será maior que $ 280,00? 
 
11) Encontre o zero da função das seguintes equações de 1º Grau: 
a) 13(2x – 3) – 5(2– x) = 5(-3 + 6x) 
b) 
5
2
5
3
3
1
2
−=+
xx
 
12) Dada a função afim f(x) = - 2x + 3, determine: 
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 6
a) f(1) = 
b) f(0) = 
=





3
1) fc 
=





−
2
1) fd 
 
13) Dada a função afim f(x) = 2x + 3, determine os valores de x para que: 
a) f(x) = 1 
b) f(x) = 0 
c) f(x) = 
3
1
 
 
14) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 
0,50 por unidade produzida. Sendo x o número de unidades produzidas: 
a) escreva a lei da função que fornece o custo total de x peças. 
b) calcule o custo para 100 peças. 
 
15) Dadas às funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, calcule a e b de modo que os gráficos das funções se 
interceptem no ponto (1, 6). 
 
16) Seja f a função afim definida por f(x) = - 4x + 1 e cujo gráfico é a reta r. Determinar a função afim g 
cuja reta correspondente passa por (1, - 1) e é paralela à reta r. 
 
 
Respostas: 
 
1) afim, afim, constante, linear, afim, linear, identidade, afim. 
2) 1 3) ½ 
4) a. f(x) = 3x + 2 b. f(x) = - 2x + 5 c. f(x) = 3x + 2 
5) a. ]-5, ∞[, x = -5, ]- ∞, -5[ b. ]- ∞, 3[, x = 3, ]3, ∞[ c. ]- ∞, 
3
2 [, x = 
3
2
, ] 
3
2
, ∞[ d. ]- ∞, 5[, x = 5, ]5, ∞[ 
 e. ]- ∞, 0[, x = 0, ]0, ∞[ f. ]0, ∞[, x = 0, ]- ∞, 0[ 
6) a. crescente b. x = 3/5 c. b = - 3 e. ] 
5
3
, ∞[, x = 
5
3
, ]- ∞, 
5
3
 [ 
7) f(x) = 9x – 45, f(16) = 99 
8) f(x) = 4
2
+
x
 a. crescente b. x = - 8 d. f(-1) = 
2
7
 
10) a. f(x) = 5x – 230 b. para x < 46 c. para x = 109 d. para x > 102 
 
11) a. {34} b.






3
22
 
12) a.1 b. 3 c. 
3
7
 d. 4 
13) a. -1 b. 
2
3
−
 c. 
3
4
−
 
14) a. C(x) = 8 + 0,5x b. R$ 58,00 
15) a = 2 e b = 5 16) g(x) = -4x + 3 
 
 
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 7
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aos interessados: 
 - Matemática, contexto & aplicações. Luiz Roberto Dante, Volume 1 e 3 
- Cálculo, Função de uma e várias variáveis. Pedro A. Morrettin. Editora Saraiva 
 
3 
 (0,6; 2,4) 
x 
y 
0 
9. c. 
3 
f(x) = 4x 
f(x) =- x + 3 
3 
(-2, -10) 
x 
y 
0 
9. b. 
-6 
f(x) = 5x 
-2,5 
(0, 5) 
x 
y 
0 
f(x) = 2x + 5 
9. a. 
f(x) = -2x + 5 
2,5 
-8 
4 
x 
y 
0 
f(x) = 4
2
+
x
 
8. c. 
-3 
0,6 x 
y 
0 
f(x) = 5x - 3 
6. d. 
 f(x) = 2x - 6