Aula 05 - Posição, Momento e Translação

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HULA 05- Posies , MOMENTO E TRANS LAGAT
1 Espe otros continues
Em analogies com a equaccio de automatons
Alai > = ai la is
, para o came de espectros continues
if leg
'
> = 9
'
leg
' 7
Seguindo o caminho desta analogies ,
C a' la " > = Sala " - S g
' I I
" > = 8 ( g
'
- 7
" )
a-2.la
' Xa ' I = I - fdg ' leg ' Xf ' I = I
k > = AZ la
' X a' la > → la > =/ d I ' leg' X } ' la >
Ea
,
I Call a > 12=1 → 1dg ' I s g ' la > I
'
= I
< pk > = AF s pl a' Xa
' la > → Cpk > = Jds 's pl } ' Xeg ' K >
s a " I Ala ' S = a ' 8 a' all → sq
"
leg leg
' > = g
' 89 " - E ' I
2 Auto vetoes de poincare e medi das de positano
Portela mosque as auto vetoes Ix 's do operator
positive x que ratisfaz
x I xD = re ' Ix ' >
forman um conjunto complete .
0 but de um estado fisico arbitrate pode su
expandido em terms de I I xD ) :
la > = SIX' I x' Xx ' la >
Vi mosque
Pra
. ) = Isa , I a > 12
e a probable. dade de me dir a . on az moi
Pra
, on a . I = ¥
,
I Cail a > 12
. . . ng u into monas analogies , a pnobabilidade de
mediums una particular mum intervals x 't Dz
X 't Dt2
seria Pfx'tE) =/ I C x' la > Pdx '
x' - D 12
e re Cala > =L , entao
Pr - o ,x ) =/
.
!dx' I L x' la > 12
= J ! ⇐ last L x' la > dx
'
= I
ramos que o objeto s x' la > corresponded funfair
de onda do Eguaaoio de Schrodinger .
Rode - se generalized para 3D . . .
la > = Jd 's 15×51a >
on de 15 > = Ix
, y , z
>
.
x tri ) = n tr )
, y I I > = y 157 e 2- tr > = gli >
in ) e- auto veto simultcineo de x
, y , ez ,
i. e.
,
[ x
, y ] = [ y , 't ] = [ z . x ] = O .
Sip uma onda plana truncata - I Ex f I
U
' "
ex ) = ¢iPx/h
¥
re - I s x Ets
demotion ma I v " ' ) E Ex o bet correspondent .
A norma are quadra do const ve D= f.id!Einheit
= ÷ × Iii
,
= ¥
25 t
impassive tomar L → no ⇒ figg I W
" ) ¢ Ex
curiosa que o bra exist !
42 - ipx It( v " ' I 4) = figg !
,
e- 441 dx
Eh
a transformation de Fourier 4Tpl
: . him C v " I = Corps I E E
*
L → x
se 14 > E Ex
,
Corps 14 > = http )
noir consign war analogies da pcigina 2 .
3 Translating
S upon ha um estado bem localized em Torno de
re
'
,
I xD . Consider u ma operaccio que mudra este
estado para outro bem localizer do n 't dx
'
,
I x
'
t d x 'S .
Chamorros tal opera.cat de translative infinitesimal
por dx
'
,
e o operator satisfy
ffdx ' ) I x ' > = I x ' t dx
. >
Ex pan din do um bet de estado avbitrcirio la > em
terms de auto vetoes de poincare . terms
la > → frdx ' I la > = fedx. ) f d ' x ' I x' Xx ' la >
= f d ' x ' I x 't d x ' > L x ' la > = f d 3 x ' I x' X x ' - dx ' I a >mud an .ca na varia we de int .
Se K > e- normalized e frdx ' ) K > tambour o e- ,
logo Cala > = L a I fix ) frdx DID = I ,
consequent ment fed x 's e- um operator unitaiio ,
LtdxD flax' I = I
fld x " ) fld x ' ) = fed x " t dx ' )
e Lf - dx ' ) = f
- '
Rdx) .
e- espuado que fixing fldx
' I = I .
on slip , numa expansive do operator fldx ' I em
potations de dx
'
,
o operator A due see o primeiro
terms .
Vamos proper
ffdx ) = I - i his . DE
de forma que
ft f = ( I tikid x ) ( t - i K . dx )
= 1 - if K - Kt ) dx t Of tox ) = I
:
.
K = Kt i
.
K e- um operator
hermitian
.
Lfdx' ) ffdx) = I I - i kdx' ) ( t - i rid x )
= I - i K . Cdx ' t d x ) t . . . = J ( dx
.
t dx )
Acrilando rosso anratz , f = I - i K . dx ,
x fr da ) I xD = x I x 'tdx ' ) = ( n 't
drill
x 'tdx ' )
e ffdx' ) x I x ' ) = re
' ffdx ' ) I x ' ) = k ' I x' tdx ' >
. :[ x
, fax 'D I xD = die
' Ix 't dx ' ) = die ' I xD t Old x
. ) '
:
. I x , fldx ' I ] = dx
'
× ( t - i k . dx ') - ( I - i K . dx ') x = d x
'
- i x K . dx ' t i K . dx
'
x = dx
'
x ( i )
I E. di
'
.
ri . DI
'
5 = i DI
'
escolhendo dx ' = i dx ,
X , (K , d x , t Kzdxzt Kzdxz ) - (Ki d x , t Kzdxzt Kzdxz ) x , =
id
x
,
× , K , dx , - K , X , dx , = i dx ,
[ Xi
,
K , ] =
it
⇒ [ Xi
, Kj ] = i 8 ij
k i um operator com dimenscio [ ' le ] , podemos
identified
- lo como o minero de onda . Da reba -
Fao de de Broglie k = 2 = If , podemos
represented o operator fldx ) como
ffdx ' ) = I - i P.dx.tt
on de p I o operator de momentum .
Uma
veg que I=Eh , terms
[ xi
, Kj ] = i Sij ⇒ Lxi , pj ] = it sij
Da relaxing de comutacao acima venues que
r e pre ios observations in compact
-
veis .
( ⑥A)
2X
(DB) 2) 3 I K I A , BJ 12
4
( ( Dx ) ' X I D pxl273flit 12 =I
4
Vamos considers N transformation marinas , on
nipa , foremen uma transformation finite Dx I a
partin de N → no transformation infinitesimals
f ( Dx ) I x > = Ix t D x )
sir dx = fine , N transformationsinfinitesimals
semi I Lf d× ) )
"
b = - i P¥
t
fl Dx ) = figs If I DN -- fin
.
I ' - i
I'LL
]
"
N → A
= exp I figure Nbn ( i t¥
) I , In = × ⇒ x - o
= exp f b bingo lnhI - exp f b find # I
= exp I b } = exp { - i
Px#
)
Por firm , proprietorde fundamental das trans tacos
e- que trans tacos em di ferrites dingoes comutam .
Por exempla ,
f I By I ) f I Dx I ) = fl Dx I t dy I ) ( y )
f ( D x 5) f lay y
' ) = fl Dx I t Dy I )
Ati 2 ? or de -
.
limos
I fl by j ) , flax I D= I t - i Dy - Pindi t . . . ,
i
-
i PED! - PxLA t . . . ]
= - if I p , Dy , p xD x ] = - if D x Dy I py , px ]
mas de ( i ) I fl By I ) , fr Dx ID = O , logo
[ Py , p x ] = O
generalizando [ pi , pj ] = O
Se as genedares
de uma transformative comntam
,
o grupo correspondent i dito abelian .
Como [ pi , pj )
-
- O
,
I F
'
> = I px , py , p z > .
Seja pjI to
' > = p'j I F
' >
,
f I dxt) I E
' > = ( i -iz F . de
'
) I E 'S
= (I - iz F
'
. d I
'
) I pe
' >
observe mos ape was v ma mudauga de fare , I F
' > i
auto veto de fld I
' ) ! Logo I 15 , fed x-D = O
Note que a auto valor de f e- complex , L new i
hermit iano .
As sin
,
as relaxes cant nioas de cornuta scio
scio dadoes por
I Xi
, Xj ] = I pi , pj ] = O
Ix i , pj ] = it sij