Estudo das Cônicas

Prévia do material em texto

CÔNICAS
BRUMADO / BA
MAIO / 2019
Maristhela Almeida
Pedro Henrique Silva Lima
Osnar Casimiro
CÔNICAS
Relatório sobre as Cônicas – Hipérbole, parábola e Elipse, apresentado ao curso de Engenharia de Minas – Integral, do Instituto Federal da Bahia- IFBA, campus Brumado – BA, como processo avaliativo da disciplina de Geometria Analítica.
Docente
: Getúlio Silva
BRUMADO/BA
MAIO/ 2019
INTRODUÇÃO
Os que são cônicas, como surgiram e quais os estudiosos que sistematizaram esse conhecimento? As cônicassão partes importantes da Geometria em particular, e da matemática em geral, porque estão vinculadas a resoluções de problemas, desde clássicos dessa área de conhecimento, como a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo. Também está vinculada a problemas de Engenharia, Astronomia, entre outras ciências.
O conceito de cônicas surgiu na antiguidade, por volta de 300 a.C., ligados aos nomes de Aristeu, Manaecmus, Euclides de Alexandria e Apolônio de Perga, esse último é o personagem com maior impacto na história das cônicas. Apolônio que foi contemporâneo de Arquimedes e de Euclides de Alexandria, produziu uma obra prima intitulada As Cônicas, composta por 8 volumes. Entretanto dessa obra original apenas 7 volumes sobreviveram. Nessa obra Apolônio estudou as seções cônicas de uma maneira bem minuciosa, gerando todas as cônicas de um único cone de duas folhas, simplesmente variando a inclinação do plano de intersecção. Foi ele quem, além de ter estudado as retas tangentes e normais a uma cônica, criou os nomes parábolas, elipse e hipérbole. O estudo das cônicas que precede Apolônio obtinha a elipse, a parábola e a hipérbole seccionando um cone circular reto com um plano perpendicular a uma geratriz do cone, obtendo esses três tipos distintos de curvas, conforme a seção meridiana do cone fosse um ângulo agudo, um ângulo reto e um ângulo obtuso.
Foi apenas com Pierre de Fermat (1601 – 1665) que as cônicas foram descritas de maneira estritamente algébrica. Fermat aplicou uma transformação equivalente a atual rotação dos eixos para reduzir uma equação do 2º grau a sua forma mais simplificada.
DEFINIÇÃO E APLICAÇÕES
Em termos gerais, um cone é uma forma geométrica tridimensional delimitada, lateralmente, por todos dos segmentos de reta entre uma curva fechada sobre uma base plana e um ponto externo ao plano, e pela própria região plana delimitada por essa curva. Considere um plano de uma região formada por uma curva suave e fechada nesse plano. Considere, também, um ponto V fora desse plano 𝛼como na figura abaixo:
Elementos do cone
Vértice - é o ponto V, onde se encontram todos os segmentos de reta da curva.
Base – é a região plana delimitada no interior da curva, inclusive a própria curva.
Diretriz – é a curva fechada que envolve a sua base.
Geratriz – é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na diretriz.
Eixo – é o segmento de reta que passa pelo vértice V e pelo centro desta base, se este centro existir.
Conforme o teorema de Apolônio, a secção de cone por um plano qualquer é: uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole, dependendo apenas do ângulo que esse plano faz com o eixo do cone. Esse plano pode ser paralelo ao eixo (formando a hipérbole), oblíquo com o eixo e paralelo à geratriz (formando a parábola) e obliquo ao eixo, cortando apenas uma das folhas (formando a elipse).
PARÁBOLA
	É o conjunto de pontos em um plano cujas distâncias a um ponto fixo (foco) e uma reta fixa (diretriz) são iguais. O ponto na metade de caminho entre o foco e a diretriz que está na parábola é chamada de vértice.
a) Elementos da parábola
F: Foco;
d:Diretriz; 	
V: Vértice;
p: Distância do Foco a Diretriz;
Reta VF: Eixo de simetria.
LatusRectum: É a corda AA’ que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo de simetria. Também chamada de corda focal.
Equação reduzida: y² = 4px,quando o eixo de simetria coincide com o eixo xe o vértice esta na origem do plano cartesiano.
Equação reduzida: (y-k)² = 4p(x-h)², quando o eixo de simetria coincide com o eixo x e o vértice esta fora da origem do plano cartesiano.
Equação reduzida: x² = 4py,quando o eixo de simetria coincide com o eixo ye o vértice esta na origem do plano cartesiano.
Equação reduzida: (x-h)² = 4p(y-k)², quando o eixo de simetria coincide com o eixo y e o vértice esta fora da origem do plano cartesiano.
	A secção de um farol de automóvel tem o formato de uma parábola (a superfície espelhada é um parabolóide). A lâmpada situada no foco, quando acesa, emite raios luminosos que após incidirem sobre a parábola serão refletidos numa mesma direção segundo retas paralelas ao eixo da parábola.
	Se um espelho parabólico é apontado para o Sol, os raios de luz (paralelos ao eixo da parábola) serão refletidos para o mesmo ponto (foco). Pela grande quantidade de calor produzido nesta fonte, procede o nome foco(em latim focus significado fogo). Aplica – se o mesmo principio na construção de espelhos para telescópios, antes de radar e antenas parabólicas (as ondas paralelas ao eixo da parábola, se refletem na antena e confluem para o transmissor).
ELIPSE
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2a), onde 2a >d(F1, F2).
a) Elementos da elipse(F1, F2): Focos. A distância entre os focos é igual a 2c, denomina-se distância focal.
O: Centro da Elipse: É o ponto médio do segmento (F1, F2).
A1, A2, B1, B2: Vértices da elipse.
Eixo Maior: É o segmento A1, A2, e cujo comprimento é 2a.
Eixo Menor: É segmento B1, B2, e cujo comprimento é 2b.
Excentricidade: Ɛ ,como a e c são positivos e c<a então(0 <Ɛ< 1).
Quanto mais próximo de zero é o valor de Ɛ, mais e elipse se aproxima de uma circunferência. Por outro lado, quanto mais achatada for a elipse, mais o valor de Ɛ se aproxima de 1.
Equação Reduzida:,quando o centro está na origem e os focos sobre o eixo x.
Equação Reduzida:,quando o centro está na origem e os focos sobre o eixo y.
Equação Reduzida: , quando o centro está fora da origem e os focos sobre uma paralela ao eixo x.
Equação Reduzida: , quando o centro está fora da origem e os focos sobre uma paralela ao eixo y.
	A trajetória dos planetas ao redor do Sol não é circular e sim elípticas (não considerando o deslocamento do sistema solar). Foi Kepler quem desenvolveu esta teoria. No caso da Terra os semieixos são a = 153.493.000 km e b = 153.454.000 km. Donde podemos obter a excentricidade da órbita da Terra. Ɛ = c / a = 0,0167 (quase uma circunferência), no globo terrestre o equador tem aproximadamente a forma de uma circunferência e o meridiano de uma elipse.
	Arcos em forma de semi-elipse são muito empregados nas construções de pontes de concreto e pedras (desde os antigos romanos). O mais admirado monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 metros e o menor 156 metros. Começou a ser construído em 72 e foi concluído em 82. A cobertura móvel, a altura de 85 metros, era sustentada por um sistema inédito de tirantes, acionada em caso de chuva para proteger seus 40 mil espectadores.
	Na Engenharia Civil em resistência dos matérias é muito empregada a elipse de inércia, na Engenharia Elétrica são utilizados os conjuntos de elipses homo focais (elipses de mesmo foco) na teoria de correntes elétricas estacionarias, na Engenharia Mecânica são usadas engrenagens elípticas (excêntricos), entre outros.
HIPÉRBOLE
	É o lugar geométrico dos pontos de um plano, tais que o valor absoluto da diferença de suas distancias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos), do mesmo plano, é uma constante (2a), onde 2a <d(F1 e F2).
a) Elementos da hipérbole
 (F1, F2): Focos. A distância entre os focos é igual a 2c, denomina-se distância focal.
O: Centro da Hipérbole: É o pontomédio do segmento (F1, F2).
A1, A2, B1, B2: Vértices da hipérbole.
Eixo Real: É o segmento A1, A2, e cujo comprimento é 2a.
Eixo Imaginário: É segmento B1, B2, e cujo comprimento é 2b.
Do triangulo retângulo B2O A2, hachurado na figura obtemos a relação notável c² = a² + b².
Excentricidade: Ɛ , como a e c são positivos e c > a então Ɛ > 1.
Equação Reduzida: , quando o centro está na origem e os focos no eixo x.
Equação Reduzida: , quando o centro está na origem e os focos no eixo y.
Equação Reduzida:, quando o centro está fora da origem e os focos no eixo x.
Equação Reduzida:, quando o centro está fora da origem e os focos o eixo y.
Na Mecânica Celeste dependendo de sua velocidade, um determinado cometa tem uma órbita elíptica, parabólica ou hiperbólica (o foco coincide com o Sol). Conforme a figura abaixo.
	Em Mecânica dos Fluidos e em alguns problemas referentes ao fluxo estacionário de eletricidade são utilizadas hipérboles homo focais (de mesmo foco).
	O sistema LORAN (longe range navigation) e o sistema DECCA de navegação aérea usam a hipérbole. Da Terra, concomitantemente são transmitidos sinais de rádio de dois pontos fixos F1 e F2 que são captados pelo aeroplano em P, ao longo de t1 e t2 segundos, respectivamente. A diferença ente t1 e t2 determina 2a e assim se obtém a característica da hipérbole na qual está P. Igualmente na navegação marítima utilizam-se sistemas hiperbólicos: o sistema RADUX (de baixíssima frequência) e o sistema LORAC (de ondas contínuas para observação de grande precisão).
CONSIDERAÇÕES FINAIS
	O objetivo desse trabalho foi de relacionar o estudo das cônicas, com suas aplicações na prática, ou seja, entender um pouco como elas aparece em nossa vida cotidiana e como o homem pode utilizá-las em diversas áreas de conhecimento como, por exemplo, nas Engenharias, Astronomia, sistemas de navegação, transformando o mundo em que vive, projetando e construindo objetos, máquinas, utensílios, edifícios, etc. Espera-se que, unindo a teoria com as aplicações, seja possível despertar uma maior atenção para o estudo das cônicas.
REFERENCIAS
FCTUC. Departamento de Matemática. Análise Matemática IV. 2005/2006. Disponível em: < http://www.mat.uc.pt/~adsg/AM4conicas.pdf> Acesso em: 05 Maio 2019; 
LAGO, Danielle Michaelsen. Um estudo das cônicas. Dissertação de Pós Graduação (Mestrado) em Matemática. Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2017. Disponível em:<https://repositorio.bc.ufg.br/tede/bitstream/tede/7191/5/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Danielle%20Michaelsen%20Lago%20-%202017.pdf> Acesso em: 03 Maio de 2019;
LOPES, Juracélio Ferreira. Cônicas e Aplicações. Dissertação de Pós Graduação (mestrado). Universidade Estadual Paulista, 2011. Disponível em:<https://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/91061/lopes_jf_me_rcla.pdf?sequence=1&isAllowed=y> Acesso em: 03 Maio de 2019.