Segunda Prova - Cálculo Numérico

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[gab]2pcn2015-1 
Universidade Federal do Maranhão 
CCET - DEINF 
Prof. Carlos Gonçalves (Sl.214, Bl.6) 
Nome: GABARITO 
Matrícula: ____________________________________ 
Data: 21 de maio, 2015 – Duração: 1h40min 
NOTA 
Cálculo Numérico – Turmas: CP e EE. 
2ª Prova: SEL e Zeros de funções. 
Instruções: 
Identifique sua “Folha de Respostas” e devolva-a junto com esta folha. Escreva as respostas das questões 
legivelmente com caneta (azul ou preta). Não serão aceitas provas respondidas com grafite. 
Boa sorte. 
QUESTÕES 
1) (1,0) Dada uma matriz quadrada 𝐴 ∈ ℝ𝑛𝑥𝑛, mostre como são calculadas as três normas de matrizes. 
R. Seja 𝐴 = (𝑎𝑖,𝑗), 𝑖, 𝑗 = 1,2,⋯𝑛, então teremos as seguintes normas de matrizes: 
 ‖𝐴‖1 = ‖𝐴‖𝐶 = max
1≤𝑗≤𝑛
∑ |𝑎𝑖,𝑗|
𝑛
𝑖=1 ⟶ (norma coluna) 
 ‖𝐴‖2 = √∑ ∑ |𝑎𝑖,𝑗|
2𝑛
𝑗=1
𝑛
𝑖=1 ⟶ (norma euclidiana) 
 ‖𝐴‖∞ = ‖𝐴‖𝐿 = max
1≤𝑖≤𝑛
∑ |𝑎𝑖,𝑗|
𝑛
𝑗=1 ⟶ (norma linha) 
2) (1,0) Dentre as três normas de matrizes, qual a mais utilizada computacionalmente? Por quê? 
R. A norma linha é a mais utilizada computacionalmente por ser de fácil aplicabilidade, especialmente 
quando usada no estudo da convergência dos SEL’s. 
3) (2,0) Considere o sistema de equações lineares abaixo e determine o valor aproximado do seu vetor solu-
ção usando o método de Gauss-Seidel com 3 iterações. O que podemos afirmar sobre o condicionamento 
do sistema? 
{
2𝑥1 + 3𝑥2 − 𝑥3 = 0
−𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 3
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 1
 
R. Antes de iniciarmos as iterações propriamente ditas, devemos verificar a existência de convergência 
pelo critério de Sassenfeld, i.e., calculemos os valores de 𝛽: 
𝛽1 =∑|
𝑎𝑖𝑗
𝑎𝑖𝑖
|
3
𝑗=2
= |
3
2
| + |
−1
2
| = 2 
Como 𝛽1 > 1, então o SEL diverge pelo critério de Sassenfeld, mesmo se permutarmos as equações da 
forma mais conveniente possível, ainda assim não teremos um SEL EDD! Assim o método de Gauss-Seidel 
não pode ser usado para resolver este SEL. Todavia, a solução determinada pelo método de Gauss será: 
𝑥 = (1,667 −0,667 1,333)𝑡. 
Quanto ao condicionamento do SEL, usaremos a condição do determinante normalizado para verificar sua 
condição,i.e.: 
𝑁𝑜𝑟𝑚(𝐴) =
det⁡(𝐴)
∝1∙ 𝛼2⋯𝛼𝑚
; ⁡∝𝑚= ‖𝐴‖2 = √∑ |𝑎𝑖,𝑗|
2
𝑖=𝑚
𝑗=1,𝑛
; 
Efetuando os cálculos temos: det(𝐴) = 15; ⁡∝1= 3,742, ∝2= 4,243, ⁡∝3= 1,732, logo: 
𝑁𝑜𝑟𝑚(𝐴) =
det⁡(𝐴)
∝1∙ 𝛼2⋯𝛼𝑚
=
15
(3,742)(4,243)(1,732)
≈ 0,546 
Podemos concluir então que o SEL é bem condicionado, pois sua norma está mais próxima de 1. 
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4) (2,0) Uma função f(x) tem uma raiz real localizada no intervalo I=[2,3]. Se usarmos o Método da Bissecção 
para calcular o valor desta raiz com uma tolerância de 0,002, quantas iterações (k) serão necessárias para 
atingirmos a precisão desejada? 
R. Sabemos que no método da Bisseção (MB), após n iterações sucessivas em [𝑎0, 𝑏0], para uma tolerância 
𝜀, teremos: 
⌈
𝑏0 − 𝑎0
2𝑛+1
⌉ < 𝜀 ∴ 𝑛 ≈ ⌈
ln (
𝑏0 − 𝑎0
𝜀 )
ln2
− 1⌉ = ⌈
ln (
3 − 2
2 ∙ 10−3
)
ln2
− 1⌉ = 
⌈
ln(5 ∙ 102)
0,693
− 1⌉ = ⌈
6,215
0,693
− 1⌉ = 8 ∴ 𝑛 ≈ 8 
5) (2,0) Seja a matriz A dada por: 
𝐴 = (
−3 5 2
2,4 −5 2,4
−6 11,5 −1,4
) 
O que podemos dizer sobre o condicionamento de A? Justifique. 
R. Aplicando-se o critério do determinante normalizado para verificar sua condição, ou seja: 
𝑁𝑜𝑟𝑚(𝐴) =
det⁡(𝐴)
∝1∙ 𝛼2⋯𝛼𝑚
; ⁡∝𝑚= ‖𝐴‖2 = √∑ |𝑎𝑖,𝑗|
2
𝑖=𝑚
𝑗=1,𝑛
; 
Efetuando os cálculos temos: det(𝐴) = 1,8; ⁡∝1= 6,164, ∝2= 6,043, ⁡∝3= 13,046, logo: 
𝑁𝑜𝑟𝑚(𝐴) =
det⁡(𝐴)
∝1∙ 𝛼2⋯𝛼𝑚
=
1,8
(6,164)(6,043)(13,046)
≈ 0,004 
Podemos concluir então que o SEL é mal condicionado, pois sua norma está mais próxima de zero. 
6) (2,0) Suponha que o sistema linear abaixo: 
{
𝑥1 − 𝛼𝑥2 = 𝑐1
−𝛼𝑥1 + 𝑥2 − 𝛼𝑥3 = 𝑐2
−𝛼𝑥2 + 𝑥3 = 𝑐3
 
Seja resolvido iterativamente pelas equações: 
{
 
 𝑥1
(𝑘+1)
= 𝛼𝑥2
(𝑘) + 𝑐1
𝑥2
(𝑘+1)
= 𝛼 (𝑥1
(𝑘) + 𝑥3
(𝑘)) + 𝑐2
𝑥3
(𝑘+1)
= 𝛼𝑥2
(𝑘) + 𝑐3
 
Para que valores de α a convergência do método acima é garantida? Justifique. 
R. O método de resolução indicado é o de Jacobi-Richardson, se aplicarmos o critério das linhas, i.e., a 
norma linha dos coeficientes da matriz iterativa H deve ser menor que 1, para termos garantia de conver-
gência, logo: 
𝐻 = (
0 𝛼 0
𝛼 0 𝛼
0 𝛼 0
) < 1 ∴ ‖𝐻‖𝐿 = max
1≤𝑖≤3
{𝛼 2𝛼 𝛼} < 1 ∴ 𝛼 < 1 2⁄ 
Então, para valores de 𝛼 < 1 2⁄ , a convergência está garantida. 
 
 
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