9ª Lista

Prévia do material em texto

Nona Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo II - IFSP
2o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Funções com valores vetoriais.
Exercício 1: Desenhe a imagem.
a) F (t) = (1, t) b) F (t) = (t, t+ 1)
c) F (t) = (t, t3) d) F (t) = (t2, t)
e) F (t) = (cos(t), 2 sen(t)) f) F (t) = (et cos(t), et sen(t)), t ≥ 0
g) F (t) = (sen(t), t)
Exercício 2: Desenhe a imagem.
a) F (t) = (1, t, 1), t ∈ IR b) F (t) = (1, 1, t), t ≥ 0
c) F (t) = (t, t, 1), t ≥ 0 d) F (t) = (1, 0, t), t ∈ IR
e) F (t) = (t, t, 1 + sen(t)), t ≥ 0 f) F (t) = (t, cos(t), sen(t)), t ≥ 0
g) F (t) = (cos(t), sen(t), 2) h) F (t) = (cos(t), sen(t), e−t), t ≥ 0
Exercício 3: Calcule.
a) lim
t→1
~F (t), onde ~F (t) =
(√
t− 1
t− 1 , t
2,
t− 1
t
)
b) lim
t→0
~F (t), onde ~F (t) =
(
tg(3 t)
t
,
e2 t − 1
t
, t3
)
c) lim
t→2
~r(t), onde ~r(t) =
t3 − 8
t2 − 4
~i+
cos
(
pi
t
)
t− 2
~j + 2 t~k
Respostas:
a) (
1
2
, 1, 0) b) (3, 2, 0)
c) 3~i+
pi
4
~j + 4~k
1
Exercício 4: Calcule
d~F
dt
e
d2 ~F
dt2
.
a) ~F (t) =
(
3 t2, e−t, ln(t2 + 1)
)
b) ~F (t) =
3
√
t2~i+ cos(t2)~j + 3 t~k
c) ~F (t) = sen(5 t)~i+ cos(4 t)~j − e−2 t ~k
Respostas:
a)
d~F
dt
=
(
6 t, −e−t, 2 t
1 + t2
)
;
d2 ~F
dt2
=
(
6, e−t,
2− 2 t2
(1 + t2)2
)
b)
d~F
dt
=
2
3 3
√
t
~i− 2 t sen(t2)~j + 3~k; d
2 ~F
dt2
=
−2
9 t 3
√
t
~i− (2 sen(t2) + 4 t2 cos(t2))~j
c)
d~F
dt
= 5 cos(5 t)~i− 4 sen(4 t)~j + 2 e−2 t ~k; d
2 ~F
dt2
= −25 sen(5 t)~i− 16 cos(4 t)~j − 4 e−2 t ~k
Exercício 5: Determine a equação da reta tangente à trajetória da função dada, no ponto
dado.
a) F (t) = (cos(t), sen(t), t) e F (
pi
3
)
b) G(t) = (t2, t) e G(1)
c) F (t) =
(
1
t
,
1
t
, t2) e F(2)
Respostas:
a) (x, y, z) =
(
1
2
,
√
3
2
,
pi
3
)
+ λ
(
−
√
3
2
,
1
2
, 1
)
, λ ∈ IR
b) (x, y) = (1, 1) + λ (2, 1), λ ∈ IR
c) (x, y, z) =
(
1
2
,
1
2
, 4
)
+ λ
(
−1
4
, −1
4
, 4
)
, λ ∈ IR
Exercício 6: Calcule.
a)
∫ 1
0
[t~i+ et~j] dt; (Resp.:
1
2
~i+ (e− 1)~j)
b)
∫ 1
−1
[sen(3 t)~i+
1
1 + t2
~j + ~k] dt; (Resp.:
pi
2
~j − 2~k)
2