Aula_11

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Aula 11 – Econometria
Profa. Dra. Margarida Garcia de Figueiredo
margaridagf@ufmt.br
mgfiguei@gmail.com
31/07/2014
2
Violação da Pressuposição 4: AUTOCORRELAÇÃO
Natureza da autocorrelação
Consequências
Testes para detecção
Medidas corretivas
3
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Aplicação do Método dos Mínimos Quadrados Generalizados
(MQG), através da transformação dos dados
A correção do problema depende do conhecimento que
temos sobre a natureza da interdependência dos termos de 
erro, isto é, do conhecimento da estrutura da autocorrelação.
Estudaremos 2 abordagens para a correção: (i) quando 𝝆 é conhecido; 
e (ii) quando 𝝆 não é conhecido, devendo ser estimado.
4
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
uXY ttt   21
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Considerando o modelo a seguir:
 ttt uu  1
11  
Supondo que o termo de 
erro segue o esquema
AR(1), ou seja:
(I)
1. Quando 𝝆 é conhecido:
Ele também será verdadeiro em t-1, portanto:
uXY ttt 11211   
Multplicando por 𝜌 de ambos os lados:
uXY ttt  11211   (II) Fazendo I - II
5
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
 ttttt XXYY   )()1()( 1211
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Fazendo (I) – (II):
)( 1uu ttt  
Onde:
(III)
Equação em diferenças generalizadas
 ttt uu  1
6
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
 ttt XY  *2*1*
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Podemos expressar a equação (III) como:
Modelo com variáves 
transformadas:
Estimar este modelo equivale a empregar 
os mínimos quadrados generalizados
(MQG)
)( 1
*
YYY ttt  
Onde:
)1(
*
1
 
)( 1
*
XXX ttt  
7
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
 ttttt XXYY   )()1()( 1211
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Os MQG nada mais são do que os MQO aplicados ao modelo 
transformado, de modo a atender as premissas básicas do MCRL.
Esta regressão transformada é conhecida como a “equação em diferenças
generalizadas”, pois envolve o cálculo de uma regressão na forma de 
diferenças, que é obtida subtraindo-se uma proporção (= ) do valor da
variável no período anterior de seu valor no período atual. 

Vale ressaltar que neste processo de obtenção de diferenças, 
perdemos uma observação, porque a primeira não tem antecedente. 
Se estivermos trabalhando com grandes amostras, isso não faz muita 
diferença.
8
Obs Y X
1 769 93
2 808 119
3 825 108
4 650 96
⋮ ⋮ ⋮
49 912 88
50 1400 116
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Exemplo de transformação do modelo
 ttttt XXYY   )()1()( 1211
(𝑌2−𝜌𝑌1) = 𝛽1 1 − 𝜌 + 𝛽2 𝑋2 − 𝜌𝑋1 + 𝜀𝑡
(𝑌3−𝜌𝑌2) = 𝛽1 1 − 𝜌 + 𝛽2 𝑋3 − 𝜌𝑋2 + 𝜀𝑡
(𝑌4−𝜌𝑌3) = 𝛽1 1 − 𝜌 + 𝛽2 𝑋4 − 𝜌𝑋3 + 𝜀𝑡
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
(𝑌50−𝜌𝑌49) = 𝛽1 1 − 𝜌 + 𝛽2 𝑋50 − 𝜌𝑋49 + 𝜀𝑡
9
Obs Y X
1 769 93
2 808 119
3 825 108
4 650 96
⋮ ⋮ ⋮
49 912 88
50 1400 116
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Exemplo de transformação do modelo
 ttttt XXYY   )()1()( 1211
(𝟖𝟎𝟖 − 𝜌𝟕𝟔𝟗) = 𝛽1 1 − 𝜌 + 𝛽2 𝟏𝟏𝟗 − 𝜌𝟗𝟑 + 𝜀𝑡
(𝟖𝟐𝟓 − 𝜌𝟖𝟎𝟖) = 𝛽1 1 − 𝜌 + 𝛽2 𝟏𝟎𝟖 − 𝜌𝟏𝟏𝟗 + 𝜀𝑡
(𝟔𝟓𝟎 − 𝜌𝟖𝟐𝟓) = 𝛽1 1 − 𝜌 + 𝛽2 𝟗𝟔 − 𝜌𝟏𝟎𝟖 + 𝜀𝑡
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
(𝟏𝟒𝟎𝟎 − 𝜌𝟗𝟏𝟐) = 𝛽1 1 − 𝜌 + 𝛽2 𝟏𝟏𝟔 − 𝜌𝟖𝟖 + 𝜀𝑡
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Obs Y X Y* X*
1 769 93
2 808 119 808-𝝆𝟕𝟔𝟗 119-𝝆𝟗𝟑
3 825 108 825-𝝆𝟖𝟎𝟖 108-𝝆𝟏𝟏𝟗
4 650 96 650-𝝆𝟖𝟐𝟓 96-𝝆𝟏𝟎𝟖
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
49 912 88
50 1400 116 1400-𝝆𝟗𝟏𝟐 116-𝝆𝟖𝟖
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Exemplo de transformação do modelo
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
 21 1Y
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Quando estamos trabalhando com amostras pequenas, esta perda 
de uma observação pode prejudicar a estimação do modelo, então, 
para evitá-la, podemos transformar as primeiras observações de X 
e Y, do seguinte modo:
 21 1X
Conhecida como
transformação de 
Prais-Winsten
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Obs Y X Y* X*
1 769 93 769 𝟏 − 𝝆𝟐 93 𝟏 − 𝝆𝟐
2 808 119 808-𝝆𝟕𝟔𝟗 119-𝝆𝟗𝟑
3 825 108 825-𝝆𝟖𝟎𝟖 108-𝝆𝟏𝟏𝟗
4 650 96 650-𝝆𝟖𝟐𝟓 96-𝝆𝟏𝟎𝟖
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
49 912 88
50 1400 116 1400-𝝆𝟗𝟏𝟐 116-𝝆𝟖𝟖
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
transformação de Prais-Winsten* 
*No caso de amostras pequenas
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
2. Quando não é conhecido:

Quando não conhecemos o valor de , é necessário estimá-lo, 
para podermos então aplicar o método dos MQG, conforme descrito 
anteriormente.
Existem várias formas de estimativa do parâmetro 


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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
2
1
^ d

O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
2.1 Estimativa de com base na estatística d de Durbin-Watson

É preciso ter em mente que esta relação pode não se sustentar no caso de 
amostras pequenas. Neste caso, podemos recorrer à modificação 
proposta por Theil e Nagar:
kn
kdn
22
22^ )21(



n = número de observações
k = número de parâmetros (inclui cte)
d = d de Durbin-Watson
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
 ttt uu  1
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
2.2 Estimativa de a partir dos resíduos

Se o esquema AR(1) for válido, uma forma simples de estimar
𝝆 é calcular a regressão de ut contra ut-1, da seguinte forma: 
Observe: não há necessidade de incluir o termo de intercepto 
nesta regressão
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Após estimar o valor de 𝝆 , basta transformar o 
modelo e aplicar os MQO no modelo
transformado, que nada mais é do que a 
aplicação dos Mínimos Quadrados
Generalizados (MQG)
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
EXEMPLO: BC em função da RI
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Rodar o modelo no GretL ou no 
Eviews e obter a série de 
resíduos.
Obter a primeira defasagem do 
erro (para estimativa do rô)
Obs: é importante fazer o teste 
para verificar se existe problema 
de autocorrelação
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
EXEMPLO: BC em função da RI
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Rejeita H0 a 1% de 
significância
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
EXEMPLO: BC em função da RI
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Estimar 𝝆:
7543,0
2
4913,0
1
2
1
^

d
Transformar o modelo:
Poderia estimar a regressão de ut
contra ut-1 para obter o valor de 𝝆
 ttttt XXYY   )()1()( 1211
 t )55,25625,271()1()200.1781( ^2^1^
 t )25,27146,189()1()781470.6( ^2^1^
⋮ ⋮ ⋮
Alternativamente…
20
Obs BC RI BC* RI*
1981 1.200 256,55
1982 781 271,25 781 − 𝟎, 𝟕𝟓 × 1.200 271,25 − 𝟎, 𝟕𝟓 × 256,55
1983 6.470 189,46 6.470 − 𝟎, 𝟕𝟓 × 781 189,46 − 𝟎, 𝟕𝟓 × 271,25
1984 13.090 189,74 13.090 − 𝟎, 𝟕𝟓 × 6.470 189,74 − 𝟎, 𝟕𝟓 × 189,46
⋮
2001 2.642 510,36
2002 13.126 450,88 13.126 − 𝟎, 𝟕𝟓 × 2.642 450,88 − 𝟎, 𝟕𝟓 × 510,36
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
Transformação dos dados 𝝆 = 𝟎, 𝟕𝟓𝟒𝟑
21
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃOEXEMPLO: BC em função da RI
O Método dos Mínimos Quadrados Generalizados (MQG)
O problema foi
solucionado
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Método iterativo para correção de autocorrelação (Cochrane-Orcutt)
Existem alguns métodos iterativos disponíveis para solucionar o
problema de autocorrelação, porém, um dos mais utilizados é o
desenvolvido por Cochrane-Orcutt:
1. Estima-se o modelo inicial por MQO e obtém d (Durbin-Watson)
2. Calcula-se 
3. Estima-se a equação transformada:
4. Recalcula-se 𝜌 (2) e verifica-se a convergência do valor 
5. Repetem-se os passos (2) a (4) até que a convergência seja < 0,01 
d.5,01
 ttttt XXYY   )()1()( 1211
23
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Cochrane-Orcutt - Implementação no Eviews
A implementação do método de correção iterativo de
Cochrane-Orcutt no Eviews, prevê a inserção de termos
AR(1), AR(2), etc., na especificação das variáveis da equação.
De qualquer forma, vale ressaltar que o teste BG (ou teste
LM), também detecta autocorrelação quando o mecanismo de
geração do termo de erro for o esquema de médias móveis
(MA). Neste caso, ao implementarmos o método de
Cochrane-Orcutt no Eviews, caso o problema não seja
solucionado pela inclusão de termos AR, podemos tentar a
inclusão de termos MA.
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MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Ano QM PM R
1980 1.239.329 120,17 2.111
1981 1.524.046 96,95 2.207
1982 1.681.529 73,78 2.182
1983 1.674.765 65,1 1.490
1984 1.645.339 55,64 1.455
1985 1.903.943 123,89 1.598
1986 2.315.073 113,61 1.905
1987 2.025.850 123,55 2.057
1988 1.908.884 149,45 2.196
1989 2.608.956 208,64 2.893
1990 2.894.635 105,16 3.219
1991 2.968.491 116,21 2.771
1992 2.626.606 94,42 2.605
1993 3.342.048 113,62 2.847
1994 3.756.664 120,34 3.546
1995 3.592.740 100,86 4.542
1996 3.687.703 110,42 4.924
Estimar a demanda de 
mandioca em determinada 
região. As variáveis 
explicativas consideradas 
são o preço da mandioca 
(PM) e a renda da 
população (R)
EXEMPLO
25
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Procedimento normal 
para estimativa de 
equação
26
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
27
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Será que o modelo
tem problema de 
autocorrelação?
Desconfiança devido
à natureza do 
problema. 
28
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Para testar:
Na janela da equação: 
View
Residual Tests
Serial Correlation LM test
29
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Vai abrir a janela 
para especificação 
do número de 
defasagens a 
incluir.
Começamos 
incluindo 1 
defasagem.
30
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
O resultado foi
estatisticamente
significativo a 5% 
para a presença
de autorrelação
de primeira ordem
31
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Neste caso, repetimos 
a operação para 
verificar se ocorre 
também 
autocorrelação de 
segunda ordem.
Incluímos 2 
defasagens.
32
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
O coeficiente de 
autocorrelação de 
segunda ordem não 
foi estatísticamente 
significativo, 
sugerindo que existe 
apenas 
autocorrelação de 
primeira ordem.
33
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Para implementar o 
método iterativo de 
correção, proposto
por Cochrane-
Orcutt, devemos
incluir o termo
AR(1) ao digitar a 
equação. 
34
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Modelo Estimado
Testar para verificar
se o problema foi
solucionado
35
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no Eviews
Não rejeita H0
Teste LM para
autocorrelação
O problema de 
autocorrelação
agora foi
solucionado.
36
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no GretL
Mesmo Exemplo
37
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no GretL
Habilitar
Habilitar
38
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
Implementação no GretL
O GretL
desabilita o 
teste de 
autocorrelação
quando o 
modelo é 
estimado pelo 
procedimento 
de Cochrane 
Orcutt.
39
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O MÉTODO DE NEWEY-WEST PARA CORREÇÃO DE 
ERROS-PADRÃO DE MQO 
Trata-se de uma extensão dos erros-padrão consistentes
para heterocedasticia de White. Os erros-padrão corrigidos
são conhecidos como erros-padrão consistentes para
heterocedasticidade e autocorrelação ou simplesmente como
erros-padrão de Newey-West.
Importante: Procedimento válido para grandes amostras
40
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O MÉTODO DE NEWEY-WEST PARA CORREÇÃO DE ERROS-PADRÃO 
DE MQO 
Portanto, se uma amostra for razoavelmente grande, 
podemos recorrer ao procedimento de Newey-West
para corrigir os erros-padrão dos MQO não apenas
em situações de autocorrelação, mas também em
casos de heterocedasticidade, pois o método pode
dar conta das duas, diferentemente do método de 
White, que só se aplica à heterocedasticidade.
41
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
O MÉTODO DE NEWEY-WEST PARA CORREÇÃO DE ERROS-PADRÃO 
DE MQO 
IMPLEMENTAÇÃO NO GRETL
Habilitar Erros padrão 
robustos
42
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
 ttt XY  2
)()( 1121 uuXXYY tttttt   
O MÉTODO DA PRIMEIRA DIFERENÇA 
Lembrando:
Método dos MQG ou Equação em Diferenças Generalizadas
uma regressão na forma de diferenças é obtida subtraindo-se uma proporção 
(= 𝜌) do valor da variável no período anterior, de seu valor no período atual
Se 𝝆 = 1, a equação em diferenças generalizadas se reduz à equação de 
primeira diferença:
 ttttt XXYY   )()1()( 1211
OU
43
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
 ttt XY  21
O MÉTODO DA PRIMEIRA DIFERENÇA 
Um aspecto interessante do modelo de primeira diferença é que ele não 
tem intercepto.

Contudo, se incluirmos o intercepto, seria o equivalente a dizer que o 
modelo original contém uma tendência e, neste caso, beta 1 
representará o coeficiente da variável de tendência.
Em termos rigorosos, a transformação de primeira ordem só é válida se = 1
Desta forma, existe um teste estatístico para verificar a hipótese de que
𝝆 é igual a 1, o qual é denominado estatística g.
44
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
1





n
t t
n
t t
u
e
g
1
2
2
2
^
^
O MÉTODO DA PRIMEIRA DIFERENÇA 
Teste de Hipóteses:
H0: 
HA: 1
Estatística g calculada:
Consultar tabela de Durbin-Watson 
para encontrar o limite inferior dL
Se g > dL , rejeitamos H0, concluindo
que 𝝆 não é igual a 1 e, portanto, não
devemos trabalhar com a equação em
primeira diferença.
ut são os resíduos de MQO da regressão original
et são os resíduos de MQO da regressão das 
primeiras diferenças
45
MEDIDAS CORRETIVAS PARA AUTOCORRELAÇÃO
)()( 1121 uuXXYY tttttt   
 ttt XY  2
 ttttt XXYY   )()1()( 1211
OU
uXY ttt   21
Importante: três formas diferentes
1) Equação em forma de nível:
2) Equação em diferenças generalizadas:
3) Equação em primeira diferença: