Aulas 01 e 02 - Senoides e Fasores

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Circuitos Elétricos II 
Aulas 01 e 02 
Senoides e Fasores 
 
 
Prof. Alberto Antônio de Souza 
 
Introdução 
Até agora, nossa análise tem-se limitado, na maior parte, 
aos circuitos CC: aqueles excitados por fontes constantes 
ou que não variam com o tempo. 
Restringimos a função de alimentação a fontes CC 
visando à simplicidade, para fins pedagógicos e também 
por motivos históricos. 
Essas fontes, fatualmente, foram o principal meio de 
fornecimento de energia elétrica até o final dos anos 
1800, onde se iniciou a batalha entre corrente contínua e 
corrente alternada, que possuíam seus defensores entre 
os engenheiros elétricos da época. 
Introdução 
Como a CA é mais eficiente e econômica para 
transmissão por longas distâncias, os sistemas CA 
acabaram vencendo essa batalha. Portanto, foi para 
poder acompanhar a sequência de fatos históricos que 
consideramos primeiro as fontes CC. 
Agora, iniciaremos a análise de circuitos nos quais a fonte 
de tensão ou de corrente varia com o tempo. Estaremos 
particularmente interessados na excitação senoidal com 
variação no tempo ou, simplesmente, excitação por uma 
senoide. 
Senoide é um sinal que possui a forma da função 
seno ou cosseno. 
Introdução 
Uma corrente senoidal é normalmente conhecida como 
corrente alternada (CA). Uma corrente desse tipo inverte-
se em intervalos de tempo regulares e possui, 
alternadamente, valores positivos e negativos. Circuitos 
acionados por fontes de tensão ou de corrente senoidais 
são chamados circuitos CA. 
Estamos interessados em senoides por uma série de 
razões. Em primeiro lugar, a própria natureza é 
caracteristicamente senoidal. Observamos variação 
senoidal no movimento de um pêndulo, na vibração de 
uma corda, nas ondas do oceano e na resposta natural de 
circuitos de segunda ordem (LC). 
Introdução 
Em segundo lugar, um sinal senoidal é fácil de ser gerado 
e transmitido, pois a forma de tensão gerada ao redor do 
mundo e fornecida às residências, às fábricas, aos 
laboratórios e assim por diante, como também é a forma 
dominante do sinal nos segmentos de energia elétrica e 
comunicação. 
Em terceiro lugar, por meio da análise de Fourier, 
qualquer sinal periódico prático pode ser representado 
por uma soma de senoides, que, portanto, desempenham 
papel importante na análise de sinais periódicos. 
Finalmente, uma senoide é fácil de ser tratada 
matematicamente. A derivada e a integral de uma senoide 
são, elas próprias, senoides. 
Senoides 
Consideremos a tensão senoidal 
v(t) = Vm senωt 
onde 
Vm = amplitude da senoide 
ω = frequência angular em radianos/s 
ωt = argumento da senoide 
 
 
 
 
 
Esboço de Vm senωt: (a) em função de ωt; (b) em função de t. 
 
 
Senoides 
Senoides 
Senoides 
Senoides 
Senoides 
Exemplo 
1) 
2) 
Fasores 
Os fasores se constituem de maneira simples para 
analisar circuitos lineares excitados por fontes 
senoidais; encontrar a solução para circuitos desse 
tipo seria impraticável de outro modo. 
A noção de resolução de circuitos CA usando fasores 
foi introduzida inicialmente por Charles Steinmetz em 
1893. 
 Antes de definirmos completamente os fasores e 
aplicálos à análise de circuitos, precisamos estar 
completamente familiarizados com números 
complexos. 
Números Complexos 
Números Complexos 
Números Complexos 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Exercícios 
Fasores 
Fasores 
V é, portanto, a representação fasorial da senoide 
v(t), como dito anteriormente. 
Em outras palavras, fasor é uma representação 
complexa da magnitude e fase de uma senoide. 
Fasores 
Uma maneira de examinar as equações 
anteriores é considerar o gráfico do seno no 
plano complexo. 
 
À medida que o tempo cresce, esse seno gira em 
um círculo de raio Vm em uma velocidade angular 
ω no sentido anti-horário, como mostrado na 
figura a seguir. 
Fasores 
Fasores 
A abaixo afirma que, para obter a senoide 
correspondente para dado fasor V, devemos 
multiplicar o fasor pelo fator de tempo ejωt e extrair 
a parte real. 
 
Como valor complexo, um fasor pode ser expresso 
em forma retangular, polar ou exponencial. 
Uma vez que um fasor tem magnitude e fase 
(“sentido”), ele se comporta como um vetor e é 
impresso em negrito. 
Fasores - Diagrama 
A representação gráfica dos 
fasores é conhecida como 
Diagrama Fasorial. 
Fasores – Domínio da Frequência 
Note que, na equação baixo, o fator de frequência 
(ou de tempo) e jωt é suprimido e a frequência não 
é mostrada explicitamente na representação no 
domínio dos fasores, pois ω é constante. 
 
 
 
Entretanto, a resposta depende de ω. Por essa 
razão, o domínio dos fasores também é conhecido 
como domínio da frequência. 
Transformação senoide-fasor. 
Derivada 
Integral 
A primeira equação possibilita a substituição de uma derivada em 
relação ao tempo com a multiplicação de jω no domínio dos 
fasores, enquanto a segunda possibilita a substituição de uma 
integral em relação ao tempo pela divisão por jω no domínio dos 
fasores. 
As duas equações são úteis na descoberta da solução em regime 
estacionário, que não requer conhecimento prévio dos valores 
iniciais da variável envolvida. Esta é uma das importantes 
aplicações dos fasores. 
Importante 
Exemplos 
Exemplos 
Exercícios 
Exemplos 
Exercícios 
Exemplos 
Exercícios 
Exemplos 
Exemplos 
Exercícios 
Exemplos 
Exemplos 
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