equacao_diferencial_2010
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equacao_diferencial_2010


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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA ELABORADA POR: 
Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva e Prof. M.Sc. José Donizetti de Lima 
 
 2
Equação \u21d2 comparação de igualdade 
 
Equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. 
 
Definição: Chama-se equação diferencial a uma equação que estabelece uma relação entre a variável 
independente x, a função desconhecida )(xfy = e suas derivadas , onde: y\u2019 é a 14', '', ''', ,..., ny y y y y a 
derivada, y\u2019\u2019 é a 2a derivada, ..., yn é a enésima derivada. 
 
Existem muitas classificações das equações diferenciais e diferentes maneiras de resolvê-las. 
 
Algumas classificações básicas das Equações diferenciais 
 
\u2022 Todas as equações diferenciais que possuem apenas uma variável independente são ditas derivadas 
ordinárias. Então, a equação é chamada equação diferencial ordinária (E.D.O.). 
 
\u2022 Quando numa equação diferencial há mais de uma variável independente, as derivadas são parciais 
e a equação é chamada equação de derivadas parciais ou equação diferencial parcial (E.D.P.). 
 
\u2022 Uma equação diferencial também pode ser classificada quanto a ordem ou grau. 
- Quanto a ordem: A ordem da equação diferencial é definida pelo maior número de derivadas de 
função dentro da equação. (A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta 
derivada que nela aparece) 
- Quanto ao grau: O grau da equação diferencial é determinado pelo expoente da derivada que 
representa a ordem da equação diferencial. (O grau de uma equação diferencial, que pode ser 
escrita como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é a potência a que se acha 
elevada a derivada de ordem mais alta) 
Observação: Nem toda equação diferencial pode ser classificada segundo o grau. Por exemplo: 
22
2 2 1
y d y dye
dxdx
\u239b \u239e+ \u239c \u239f\u239d \u23a0 = é uma E.D.O. de 2
a ordem, mas não possui grau, pois não pode 
ser escrita sob a forma de um polinômio na função incógnita e suas derivadas, em razão da presença do 
termo . ye
 
Exemplo: 
 
1) Classifique as seguintes equações diferenciais: 
a) 62 =+ xy
dx
dy Resposta: Equação diferencial ordinária, 1a ordem, 10 grau. 
b) x
dx
dy
dx
yd 232
2
=+ Resposta: Equação diferencial ordinária, 2a ordem, 10 grau. 
c) 
dx
dy
dx
yd
dx
dyx 23
3
2
24
=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b\u2212\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b Resposta: Equação diferencial ordinária, 2a ordem, 30 grau. 
d) 
22 2
2 24
z zx
x y
\u2202 \u2202+\u2202 \u2202 5= Resposta: Equação diferencial parcial, 2
a ordem, 10 grau. 
e) 
23
43 2 0
yd dy
dxdx
+
\u239b \u239e \u2212 =\u239c \u239f\u239c \u239f\u239d \u23a0
 Resposta: Equação diferencial ordinária, 3a ordem, 20 grau. 
 
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Prof. M.Sc. Armando Paulo da Silva e Prof. M.Sc. José Donizetti de Lima 
 
 3
f) 
3 2
3 2 4
yd d y y
dx dx
+\u239b \u239e \u2212 =\u239c \u239f\u239d \u23a0 6 Resposta: Equação diferencial ordinária, 2
a ordem, 10 grau. 
g) 25dy y y
dx
+ = Resposta: Equação diferencial ordinária, 1a ordem, 10 grau. 
 
 
Exercício: 
 
1) Classifique as seguintes equações diferenciais, em ordinárias ou parciais e em relação à ordem e 
grau: 
a) xxy
dx
dy 24 =\u2212 Resposta: E.D.O., 1a ordem, 10 grau. 
b) Resposta: Não é equação diferencial. xyxy 246 =\u2212
c) 
23 2
3 22 2
d y d y dyx
dxdx dx
\u2212 = 6+ Resposta: E.D.O., 3a ordem, 10 grau. 
d) Resposta: E.D.O., 3'23)''(4''' 4 yxy =++ y a ordem, 10 grau 
 
e) Resposta: E.D.O., 254''3 =\u2212 yyx a ordem, 10 grau. 
 
f) Resposta: E.D.O, 2253 2)'()''( xyyy =\u2212+ a ordem, 30 grau. 
 
g) yx
y
z
x
z +=\u2202
\u2202+\u2202
\u2202 2
2
2
2
2
 Resposta: E.D.P, 2a ordem, 10 grau. 
h) 
y
zxz
x
z
\u2202
\u2202+=\u2202
\u2202 Resposta: E.D.P., 1a ordem, 10 grau. 
i) 
3
3 3
3
1d y y
dx d y
dx
\u2212 = 
Primeiramente devemos preparar a equação diferencial para podermos classificar sua ordem e grau: 
23 3
3
d y d yy
dx dx
\u239b \u239e \u2212 =\u239c \u239f\u239c \u239f\u239d \u23a0 3
 Resposta: E.D.O, 3a ordem, 20 grau. 
 
j) y
x
dx
dy
=2ln Resposta: E.D.O., 1a ordem, não têm grau. 
Solução: 
2
2
log 2
dy
dx
x
y ye
dy
dydxe e e x
x dx
= \u21d2 = \u21d2 = ye ; Lembre-se: logln log e abxex b a= = 
k) 5dy 3x
dx
= + Resposta: E.D.O., 1a ordem, 10 grau. 
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 4
l) 
53
3 3 4
y d y dye
dxdx
\u239b \u239e+ \u239c \u239f\u239d \u23a0 = Resposta: E.D.O., 3
a ordem, não têm grau. 
m) 
3 2
3 24 ( ) 5
d y d ysen x xy
dx dx
+ + 0= Resposta: E.D.O., 3a ordem, 10 grau. 
n) 
3 7 22
3
2 3
d y dy dyy y
dx dxdx
\u239b \u239e \u239b \u239e \u239b \u239e\u239c \u239f + +\u239c \u239f \u239c \u239f\u239c \u239f \u239d \u23a0 \u239d \u23a0\u239d \u23a0
5x= Resposta: E.D.O., 2a ordem, 30 grau. 
o) 
2 2
2 24
y y
t x
\u239b \u239e \u239b \u239e\u2202 \u2202\u239c \u239f \u239c \u239f\u2212\u239c \u239f \u239c \u239f\u2202 \u2202\u239d \u23a0 \u239d \u23a0
0= Resposta: E.D.P., 2a ordem, 10 grau. 
 
 
Resolver a equação diferencial significa determinar todas as funções que, sob a forma finita verificam 
a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis livres que, substituída na equação, transforme-a em 
uma identidade. 
 
Exemplo: xseny = é a solução da equação senxxyy \u2212=+\u2212 cos''' 
 
Essa função é solução particular da equação diferencial dada. 
 
 
 
Exercício 
 
1) Verifique se a função dada é solução da equação diferencial: 
a) e Resposta: Sim é solução particular xseny 2= 04'' =+ yy
b) e 43 33 +\u2212+ xyy
2
2
'
1
xy
y
= + Resposta: Sim 
c) e \u23a9\u23a8
\u23a7
=
=
tby
sentax
cos ya
xb
dx
dy
2
2
\u2212= Resposta: Sim 
d) e Resposta: Sim 5xy e c\u2212= + 0'5'' =+ yy
e) e 14 22 =\u2212+ yxyx 0)2()2( =\u2212++ dyyxdxyx Resposta: Sim 
f) e Resposta: Sim xey \u2212\u2212= 03''' =\u2212\u2212 yyy
g) e Resposta: Não xexy \u2212\u22c5= 03'2'' =\u2212\u2212 yyy
h) exey 35 \u2212= 03'2'' =\u2212\u2212 yyy Resposta: Não 
 
Tipos de soluções 
 
Existem 3 tipos de soluções das equações diferenciais: 
 
- Solução Geral: É a solução da equação que contém tantas constantes arbitrárias quantas forem as 
unidades de ordens da equação. Dessa forma: uma equação de 1a ordem apresenta uma constante 
arbitrária, uma equação de 2a ordem apresenta duas constantes arbitrárias. 
 
- Solução Particular: É a solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se valores 
particulares as constantes arbitrárias. 
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 5
- Solução Singular: É a solução da equação que não pode ser deduzida da solução geral. Assim 
sendo apenas alguns tipos de equações apresentam essa solução. 
 
Família de curvas: 
 
1) 22 2 2dy x dy x dx dy x dx y x c
dx
\u222b \u222b= \u21d2 = \u21d2 = \u21d2 = + é a solução geral e é solução Particular 2xy =
 
2) Determine a solução da equação xx
dx
dy 43 2 += para as condições iniciais e . 1=x 3=y
Solução Geral: 3 22y x x c= + +
Solução particular: 3 2(1,3) 3 1 2 0 2c c y x x\u21d2 = + + \u21d2 = \u21d2 = +
 
OBSERVAÇÃO: O TEXTO SOBRE CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
COMO LINEAR OU NÃO-LINEAR É EXTRAÍDO DO LIVRO: 
 
ZILL, D.G.; CULLEN, M.R. Equações diferenciais. v. 1. 3. ed. São Paulo: Makron Books, 2001. 
 
CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL COMO LINEAR OU NÃO-LINEAR 
 
Uma equação diferencial é chamada de linear quando pode ser escrita na forma 
1
1 1 01( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d y d y dya x a x a x a x y g x
dx dx dx
\u2212
\u2212 \u2212+ + + + = 
Observe que as equações diferenciais lineares são caracterizadas por duas propriedades: