Cálculo Escola Naval 2006-2010 v1

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QUESTÕES DE CÁLCULO DA ESCOLA NAVAL DE 2006 A 2010 
 
QUESTÃO 1 EN 2010 
 
 
RESPOSTA: B 
 
RESOLUÇÃO: 
   
3 3
1 x xf 0 x f x 0 arctg x 0 x 0 x 0 x 3
3 3
x 1 x 3
                 
 
  
 
O ponto do gráfico de 1f  citado no enunciado é 
 0, 3
. 
 
3 3x x
y f x arctg x , x 1 tg y x e y ,
3 3 2 2
    
               
 
Cálculo da derivada da função inversa: 
3 2 2
2
2
y 3y sec x
tg x y sec x y ' y ' y '
3 3 y 1
      

 
A derivada de 1f  em 
 0, 3
 é 
 
2 2
2 2
sec x sec 0 1
y '
2y 1 3 1
  
 
 
A equação da reta L é dada, na forma segmentária, por: 
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 
1 x x y
y 3 x 0 y 3 1
2 2 2 3 3
         

 
Logo, a área do triângulo determinado por L e pelos eixos coordenados é: 2 3 3
S 3 u.a.
2

 
 
Uma outra forma de obter a derivada da função inversa no ponto é derivar a expressão original em 
relação a y. 
 
 
 
 
 
3 3
2
2 32
2 2 23 3
x d x dx
y f x arctg x 1 arctg x
3 dx 3 dy
9 x 1 x 3x 91 3x dx dx dx
1 1 1
3 dy dy dy 9 x 1x x 3x 9
x 1
3
   
            
   
   
                 
  
 
 
 
 
2
3
2
3 3 3 9
dx 9 1
x 3
dy 18 2
9 3 1
 
   
     
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 EN 2010 
 
 
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RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
I) FALSA 
Contra-exemplo: f tem máximo local em 
0x x
 se 
     0 0 0f ' x f '' x f ''' x 0  
 e 
   4 0f x 0
 
II) FALSA 
Contra-exemplo: 
   0 0f ' x f '' x 0 
 e 
 0f ''' x 0
, então f tem ponto de inflexão em 
0x x
. 
III) FALSA 
Contra-exemplo: Seja 
     f : 0,1 1,2 0,1 
 tal que 
 
 
 
x , se x 0,1
f x
x 1, se x 1,2
 
 
 
. f tem derivada 
estritamente positiva em todo o seu domínio, mas não é crescente em todo o seu domínio. 
 
Uma afirmativa correta seria: “Se f é contínua no intervalo I e f tem derivada estritamente positiva 
em todo ponto interior a I, então f é estritamente crescente em I.” 
IV) FALSA 
Contra-exemplo: 
     
   
 
 
 
1x a g x
x a
x a x a
x a
f x 1 x a lim f x 1
lim f x lim 1 x a e1
g x lim g x
x a


 

     

           
    
 
 
V) FALSA 
       
 
s 0 2s 0
f x f x 2s f x f x 2s
lim lim f ' x
2s 2s 
   
 
 
 
 
QUESTÃO 3 EN 2010 
 
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RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
2x 1
2
e 1
f x
ln 4 x
 


 
 
2x 1 2x 1 0
2
f
2 2
1
e 1 0 e e 2x 1 0 x
2
1
4 x 0 2 x 2 A D , 3 3,2
2
ln 4 x 0 4 x 1 x 3
           
                  
        

 
   
   
1 1 1 1
x x x x
2
1 1
g x x e g ' x e x e e 1 0
xx
x 1
0 x 0 x 1 B ,0 1,
x
   
             
   

          
 
    
1
A B , 3 3,2 ,0 1, 1, 3 3,2
2
                          
 
 
 
QUESTÃO 4 EN 2010 
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RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
1
sen6x cos x sen7x sen5x
2
  
 
     
   
1 1 1
sen6x cos xdx sen7x sen5x dx sen7x d 7x sen5x d 5x
2 14 10
1 1 cos7x cos5x
cos7x cos5x c c
14 10 14 10
        
        
 
 
 
QUESTÃO 5 EN 2010 
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RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
1 2
2
2AIB
IM M 1 2
S AB
k 2 4
S M M
 
    
 
 
    3 2
1 dmf k f 4 4 4 2 4 11 2 29 2
min2
 
        
 
 
  22 2dS d da dmS 6a 6a 12a 12 5 29 2 1740 2
mindt dt dt
        
 
 
 
QUESTÃO 6 EN 2009 
 
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RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
        
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 24 2
2 22 2
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x
dx dx dx dx
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 x
1 1 1 1
dx dx dx dx arccos x arctg x C
1 x 1 x1 x 1 x
       
      
      

         
  
 
 
 
QUESTÃO 7 EN 2009 
 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
   
2
2
dy d y 1 1 1 1
dx sen 5x cos3xdx sen8x sen 2x dx sen8x sen 2x dx
dx 3 3 2 6dx
1 cos8x cos 2x cos8x cos 2x
C C
6 8 2 48 12
 
          
 
 
        
 
 
dy cos8 0 cos 2 0 43 1 1 43
x 0 C C C 1
dx 48 12 48 48 12 48
 
             
 
dy cos8x cos 2x
1
dx 48 12
    
 
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*dy cos8x cos 2x 1 sen8x 1 sen 2xy dx 1 dx x C
dx 48 12 48 8 12 2
 
              
 
 
* *1 sen8 0 1 sen 2 0x 0 y 0 C 2 C 2
48 8 12 2
 
           
 
1 sen8x 1 sen 2x
y x 2
48 8 12 2
       
 
1 sen8 4 1 sen 2 4
x 4 y 4 2 4 2
48 8 12 2
   
          
 
O volume do cilindro será 
     
2
3V 2 2 4 2 16 2 1 m      
. 
 
 
QUESTÃO 8 EN 2009 
 
 
 
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RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
 
x
f x
ln x

 
Determinação do domínio de f: 
   f
x 0
D 0,1 1,
ln x 0 x 1

   
  
 
x 0
  
 
x
f x
ln x

 
 
 
x
0 x 1 ln x 0 f x
ln x
x
x 1 ln x 0 f x
ln x
     

    
 
Determinação dos intervalos em que a função é crescente ou decrescente. 
 
 
   
 
2 2
1
1 ln x
1 ln xx0 x 1 f ' x
ln x ln x
0 x 1 ln x 0 f ' x 0
  
            

        
 
 
   
 
 
2 2
1
1 ln x x
ln x 1xx 1 f ' x
ln x ln x
1 x e 0 ln x 1 f ' x 0
x e ln x 1 f ' x 0

   
   

       

    
 
0 x 1 f é crescente
1 x e f é decrescente
x e f é crescente
  

   
  
 
Logo, 
x e
 é um ponto de mínimo local. 
Determinação dos limites nas extremidades do domínio e no ponto de descontinuidade. 
 
x 0 x 0
x
lim f x lim 0
ln x 
 
 
 
x 1 x 1
x
limf x lim
ln x 
  
 
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 
x x x x
x 1
lim f x lim lim lim x
1ln x
x
   
    
 
Determinação da concavidade. 
 
 
 
   
   
 
2
2 4 3
1 1
ln x 1 ln x 2ln x
1 ln x ln x 2x x0 x 1 f ' x f '' x
ln x ln x x ln x
0 x 1 ln x 0 f '' x 0 concavidade para cima
 
             
        
 
 
 
 
   
   
 
 
2
2 4 3
2
2
1 1
ln x ln x 1 2ln x
ln x 1 2 ln xx xx 1 f ' x f '' x
ln x ln x x ln x
1 x e 0 ln x 2 f '' x 0 concavidade para baixo
x e ln x 2 f '' x 0 concavidade para cima
    
 
     
       
     Logo, em 2x e temos uma mudança de concavidade e consequentemente um ponto de inflexão. 
 
Analisando os resultados obtidos, conclui-se que a melhor alternativa é a letra A. 
 
 
QUESTÃO 9 EN 2009 
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RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
300
1 1
S
1 2
 
1
2
 
 
 
1
3

1
300
 
  
 
1 300
301 301
 
  
 
 
   
2 2
x x 1 1 x x
f x x arcsen f ' x 1 arcsen x arcsen
6 6 6 6 36 xx
1
6
     
              
       
 
 
 
 
300
2
301 301 300 3 3 1 2 3
f ' S f ' f ' 3 arcsen
100 100 301 6 6 6336 3
      
             
      
 
 
 
QUESTÃO 10 EN 2009 
 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
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 
     1
f x x ln x, x 0
g f g 1 k f k 1 k 1 g 1 1
  
        
 
Usando a expressão da derivada da função inversa: 
 
    
 
 
 
   
1 1 g x
g ' x
g x 1 g x 1f ' g x
g x
1 x 1
f x x ln x f ' x 1
x x
  
 

     
 
Derivando 
g '
 para obter 
g ''
 com auxílio da fórmula de derivada do quociente: 
 
 
 
 
        
  
2
g ' x g x 1 g x g ' xg x
g ' x g '' x
g x 1 g x 1
   
  
 
 
Para obtermos 
 g '' 1
, precisamos calcular 
 g ' 1
: 
 
 
 
g 1 1 1
g ' 1
g 1 1 1 1 2
  
 
 
Podemos agora calcular 
 g '' 1
: 
 
        
  
 
 2 2
1 1
1 1 1
g ' 1 g 1 1 g 1 g ' 1 12 2g '' 1 0,125
81 1g 1 1
      
   

 
Vamos ver outra forma de resolver essa questão: 
 
     1
f x x ln x, x 0
g f g 1 k f k 1 k 1 g 1 1
  
        
 
  1g f f g x x  
 
Derivando a expressão acima implicitamente: 
    f ' g x g ' x 1 
 
Derivando novamente com o auxílio da regra para derivada do produto: 
           f '' g x g ' x g ' x f ' g x g '' x 0    
 
Vamos obter agora os valores de 
 f ' 1
, 
 f '' 1
 e 
 g ' 1
: 
     
1 x 1 1 1
f x x ln x f ' x 1 f ' 1 2
x x 1
 
        
 
     
2
1 1
f ' x 1 f '' x f '' 1 1
x x
       
 
               
 
1 1
f ' g x g ' x 1 f ' g 1 g ' 1 1 f ' 1 g ' 1 1 g ' 1
f ' 1 2
          
 
Calculando o valor de 
 g '' 1
: 
                   
     
2 2
2
f '' g 1 g ' 1 f ' g 1 g '' 1 0 f '' 1 g ' 1 f ' 1 g '' 1 0
1 1
1 2 g '' 1 0 g '' 1 0,125
2 8
        
 
         
 
 
Vamos ver ainda uma terceira solução: 
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 
 
 
2
2
y ' y
y x ln x x y ln y 1 y ' y '
y y 1
y ' y '
y y y ' y ' y ' y ' y ' y y '' y '' y ''
y 1
1 1
g 1 1 x 1 y 1 y '
1 1 2
1 1
12 2y '' 0,125
1 1 8
         


          

       

 
  
    

 
 
 
QUESTÃO 11 EN 2009 
 
 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
(V) 
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     
 
2 2
2 2
y x 2 y x 2 y x 8
A 5,3 B 2,0 C 8,0
y x 8 y 0 y 0
AB 3 3 3 2
AB AC triângulo isósceles
AC 3 3 3 2
         
       
     
   
  
    
 
(F) 
   
   
 
   
2 2 2 2
2 2 2
2 2
y x
2y x 6 1 a 3 e b 6 c 3 6 9 c 3
3 6
Centro O 0,0
Focos F 0,3 e F' 0, 3
             

  
 
A circunferência citada deve ter centro 
 0,0
 e raio 3, logo terá equação 
2 2 2x y 3 
. 
(F) 
A afirmação diz que os limites laterais existem e são iguais a b, isso implica que o limite no ponto 
existe e é igual a b. Não significa entretanto que o valor da função no ponto seja b, o que só é 
verdade no caso de funções contínuas. 
Assim, uma função f é contínua em a se, e somente se, 
   
x a
lim f x f a


. 
(F) 
Para que tenhamos um ponto de inflexão, devemos ter uma mudança de concavidade no ponto. Isso 
ocorre quando há mudança de sinal da segunda derivada no ponto. 
O fato de termos 
 0f '' x 0
 não implica necessariamente em uma mudança de sinal de 
f ''
 em 
0x
. 
Citando um contra-exemplo: 
     4 3 2f x x f ' x 4x f '' x 12x    
. Nesse caso, apesar de 
 f '' 0 0
, 
f ''
 não muda de sinal em 0. Nesse caso, o ponto de abscissa 0 é um ponto de mínimo 
local e não um ponto de inflexão. 
(V) 
Considerando a lei dos senos 
a b c
ˆ ˆ ˆsen Bsen A sen C
 
, conclui-se que o determinante citado possui 
duas linhas proporcionais, logo é nulo. 
 
 
QUESTÃO 12 EN 2009 
 
 
RESPOSTA: B 
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RESOLUÇÃO: 
Vamos mostrar como resolver essa questão usando integrais, entretanto a solução mais simples 
combina geometria analítica e geometria plana, e dispensa o uso de integração. 
Vamos inicialmente identificar os limites de integração 
2 2 24x x x 4x x x x 0 x 0 x 2          
 
A área será dada por: 
 
   
2
2
2 2 22 2
0 0 0
0
2
22 2 2 02 2
0 0 0 2
0
0 02
2 2
2
x
S 4x x x dx 4x x dx xdx 2
2
2 x
4x x dx 4 2 x dx 2 1 dx 2 1 sen u 2cos udu
2
sen 2
cos 2u 1 sen 2u sen 2 0 24 cos udu 4 du 2 u 2 0
2 2 2 2 2

 

 
             
 
 
             
 
 
     
                    
2 x 2 x dx
u arcsen sen u cos udu
2 2 2
 
 
  
 
  
      
 
 
Alternativamente, podemos observar o seguinte: 
 22 2 2 2 2y 4x x y 4x x y 0 x 2 y 2 y 0            
 
Logo, essa equação representa uma semicircunferência de centro 
 2,0
 e raio 2. 
 
A área pedida é a área de um segmento circular de 
90
 em um círculo de raio 2. 
21 2 2S 2 2
4 2

    
 
 
 
QUESTÃO 13 EN 2008 
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RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
      
2 2
2 2
2 2
2 3 2 3
3 3
a b
f x
sen x cos x
2a cos x 2b sen x
f ' x a 2sen x cos x b 2cos x sen x
sen x cos x
 
 

         
 
Identificando as raízes da primeira derivada: 
 
2 2 2
2 4 2 4 4
3 3 2
2a cos x 2b sen x a a
f ' x 0 a cos x b sen x 0 tg x tg x
bsen x cos x b

           
 
Efetuando o teste da segunda derivada:  
    
  
     
2 3 2 3
2 3 2
2 3 2
2 2 2 2 2 2
f ' x 2a cos x cossec x 2b sen x sec x
f '' x 2a sen x cossec x cos x 3cossec x cossec x cotg x
2b cos x sec x sen x 3sec x sec x tg x
f '' x 2a cossec x 1 3cotg x 2b sec x 1 3tg x 0, x
    
         
    
        
 
Logo, os pontos de abscissa x tais que a
tg x
b
 
 são pontos de mínimo local. 
Dessa forma, o valor mínimo relativo será: 
2 2 2 2a a b a btg x tg x , cotg x , sec x 1 , cossec x 1
b b a b a
        
 
 
      
2 2
2 2 2 2
2 2
22 2
MIN
a b
f x a cossec x b sec x
sen x cos x
b a
f x a 1 b 1 a b a b a b
a b
   
   
            
   QUESTÃO 14 EN 2008 
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RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
2 cos 2x 14sen 2x cos xdx 4sen 2x dx 2sen 2x cos 2xdx 2 sen 2xdx
2
cos 4x cos 2x cos 4x
sen 4xdx 2 sen 2xdx 2 C cos 2x C
4 2 4

      
 
             
 
 
 
 
QUESTÃO 15 EN 2008 
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RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
     
     
 
 
      
   
2x 3x 2 2
21 x 3x2x 3x 2 2
2
2
1 3 1 2
2
f x e f 1 e P 1,e
1 2x 3 e
f ' x e x 3x 2x 3
2 2 x 3x
2 1 3 e 5e
f ' 1
42 1 3 1



   
     

      

   
   
   
 
 
2 2 2 2
1
y e 5e 5e e
L y x
x 1 4 4 4
  
     
 
 
 
2 25e 5e
f ' 1 Q 1,
4 4
  
    
 
 
 
 
 
 
     
 
 
   
   
 
2 2x 3x x 3x
2 2
2 2
1
2 2
2
22
2x 3 e 2x 3 e
f ' x ln f ' x ln
2 x 3x 2 x 3x
1
ln f ' x ln 2x 3 x 3x ln 2 ln x 3x
2
f '' x 2 1 1 2x 3
x 3x 2x 3
f ' x 2x 3 2 2 x 3x
2 2x 3 2x 3
f '' x f ' x
2x 3 2 x 3x2 x 3x
 

 
  
 
       

        
 
  
       
 
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   
 
 
   
 
    
 
22
2
2
2 2 1 3 2 1 3
f '' 1 f ' 1
2 1 3 2 1 3 12 1 3 1
5e 2 5 5 41
f '' 1 e
4 5 4 8 32
       
                  
  
        
 
 
2
2 2 2
2
5e
y
41e 41e e4L y x
x 1 32 32 32
 
  
      
 
 
2 2 2 2
1 2
5e e 41e e 41 5 1 1 1
L L x x x 81x 9 x
4 4 32 32 32 4 4 32 9
  
                  
 
 
 
 
QUESTÃO 16 EN 2008 
 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
     1 5 3f ln3 k f k ln k k k ln3 k 1        
 
   
  
   
    
   
' '
1 1
1 1
4 2 4 2
5 3 5 3
1 1 1 1
f x f ln 3
f ' 1 3f ' f x f ' f ln 3
5x 3x x 5 1 3 1 1
f ' x f ' 1 3
x x x 1 1 1
 
 
    
     
   
   
 
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de 1f  no ponto 
 ln3,1
 é 
   
'
1 1f ln 3
3
 
. 
Logo, o coeficiente angular da reta normal é 
1
3
1 3
  
. 
Assim, a equação da reta normal ao gráfico de 1f  no ponto 
 ln3,1
 é dada por: 
y 1
3 y 1 3x 3ln3 y 3x ln 27 1
x ln3

          

 
 
 
QUESTÃO 17 EN 2008 
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RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
     g ' x f '' x sen x f ' x cos x    f ' x cos x      
      
     
f x sen x 2cos x sen x
g ' x f '' x f x sen x sen 2x
f '' x f x 0 g ' x sen 2x
   
  
    
 
   
cos 2x
g x sen 2x dx C
2
    
 
 
 
QUESTÃO 18 EN 2008 
 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
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       
 
2 2
3 3 2 3 2 23
23 3 2
1 3x 2x
f x x x f ' x x x 3x 2x
3
3 x x
 
       

 
A expressão de 
f '
 indica que a função não é derivável em 0 e 1, o que é confirmado pela análise 
dos limites abaixo: 
      3 3 2
3
x 0 x 0 x 0 x 0
f x f 0 f x x x 1
lim lim lim lim 1
x 0 x x x   
 
     

 
     
 
23 3 2 2
33
3x 1 x 1 x 1 x 1
f x f 1 x x x x 1 x
lim lim lim lim
x 1 x 1 x 1x 1   
    
     
    
 
Assim, f é derivável em 
 * 1
. 
Para verificar os intervalos em que f cresce ou decresce, vamos realizar o estudo de sinais de 
f '
. 
 
     
2
2 2 23 33 4 33 3 2
2 2
3x x x
3x 2x 3 3
f ' x
3 x x 1 x x 13 x x
   
          
   
 
 
 
2
f ' x 0 x 0 ou x 1ou x 1 f é crescente
3
      
 
 
2
f ' x 0 0 x f é decrescente
3
    
 
Vamos realizar o estudo de sinais de f. 
 
f
 é positiva 
x 1 
 
f 0 x 0 ou x 1   
 
f
 é negativa 
x 0 ou 0 x 1   
 
Identificação do ponto de inflexão. 
 
 
 
         
 
 
   
 
 
     
 
 
   
   
1
23 3 2 2 3 2 23
2
2 43 33 2 3 2
2
223 3 2
2
3 2 23 3 2
4 53 33 2 3 2
2 2 2
5 533 43 3 2
2
6x 2 3 x x 3x 2x 3 x x 3x 2x
3x 2x 3f ' x f '' x
3 x x 9 x x
3x 2x
6 3x 1 x x 2
6 3x 1 x x 2 3x 2xx xf '' x
9 x x 9 x x
2x 9x 12x 3 9x 12x 4 2
f '' x
9 9 x x 1x x

         

  
 

   
      
 
     
   

 
f ''
 é negativa 
x 1 
  concavidade para baixo 
f ''
 é positiva 
x 0 ou 0 x 1  
  concavidade para cima 
Logo, em 
  1,f 1
 temos uma mudança de concavidade, ou seja, temos um ponto de inflexão. 
Identificação das assíntotas. 
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  3 3 2
3
x x x
f x x x 1
m lim lim lim 1 1
x x x  

    
     
3
3 3 2
x x x
x
n lim f x mx lim x x x lim
  
     
2 3x x 
   
23 33 2 3 2 2
2
2x x2
2 33 33
2 3
x x x x x x
x 1 1
lim lim
31 11 1 1
1 1 1x 1 1
x xx x x
 

    
 
   
 
                  
 
Logo, a reta 
1
y x 3y 3x 1 0
3
     
 é assíntota ao gráfico quando 
x 
. 
A) ERRADA: f é derivável em 
 * 1
. 
B) ERRADA: f é crescente quando 
2
x 0 ou x 1ou x 1
3
   
 
C) ERRADA: 
f
 é positiva 
x 1 
, mas o ponto 
  1,f 1
 é ponto de inflexão 
D) CORRETA 
E) ERRADA: a assíntota é 
3y 3x 1 0  
 
 
 
QUESTÃO 19 EN 2007 
 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
Relembrando as derivadas das exponenciais e logaritmos. 
       
' ' 'x x x x
a
1 1
e e , a a ln a, ln x , log x '
x x ln a
    

 
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Para efetuar a integral do problema vamos usar: x
x aa dx C
ln a
 
 
 
2 x xx x 2x x x 2x
x x x x
x x
x x
x x
a b a 2a b b a b
dx dx dx 2 dx dx
b aa b a b
a b
1 a bb a
2x C 2x C
a b ln a ln b b a
ln ln
b a
      
          
   
   
                
     
   
   
 
 
 
QUESTÃO 20 EN 2007 
 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
y1 1 x
x xy y 1 1 y x y ' y ' 0 y ' 1 1
2 x 2 y 2 y 2 x
2 y x y 2 x y 2 xy
y ' y '
2 y 2 x 2 xy x
 
                 
 
  
    

 
Se a reta tangente r é paralela ao eixo 
Ox
, então 
y ' 0
. 
 
y 0y 2 xy
y ' 0 y 2 xy 0 y y 2 x 0 y 2 x y 4x
2 xy x

           

 
 
1 1 4
x 0 x P ,
x xy y 1 3 3 3
x x 4x 4x 1 x 2 x 4x 1
1y 4x
x 0 x não convém
7
  
            
          
    

 
Verificando as alternativas, conclui-se que o ponto P pertence à reta 
y x 1 0  
. 
 
 
QUESTÃO 21 EN 2007 (corrigido) 
Sejam r e s retas do plano tais que: 
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I - r é a assíntota de coeficiente angular positivo à curva de equação2 2(x 2) (y 1)
1
9 4
 
 
 
II - s é tangente ao gráfico da função real f definida por 
     
2 4x 1f x e . 3x 2 ln 1 x 1       
 no 
ponto 
 P 1,1
. 
Se I é o ponto de interseção de r e s, então a soma de suas coordenadas vale 
A) 
4
25
 
B) 
11
17
 
C) 
12
25
 
D) 
21
25
 
E) 
16
17
 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
A curva de equação 2 2(x 2) (y 1)
1
9 4
 
 
 é uma hipérbole de centro 
 2,1
, semi-eixo real 
a 3
 e 
semi-eixo imaginário 
b 2
. 
Assim, a assíntota de coeficiente angular positivo é 
y 1 2 2 1
r y x
x 2 3 3 3

    

 
     
     
 
 
   
 
 
   
 
 
2 4x 1
2 2 3x 1 x 1
4
2x 1
4
21 1
4
f x e . 3x 2 ln 1 x 1
1 1
f ' x e 2x 3x 2 e 3 4 x 1
2 3x 2 1 x 1
3 4 x 1
f ' x e 2x 3x 2
2 3x 2 1 x 1
3 4 1 1 3 7
f ' 1 e 2 1 3 1 2 2
2 22 3 1 2 1 1 1

 


      
          
  
 
         
 
               
 
y 1 7 7 5
s y x
x 1 2 2 2

    

 
2 1 7 5 13 3 16
I r s x x x e y x y
3 3 2 2 17 17 17
           
 
 
 
QUESTÃO 22 EN 2007 
 
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RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
    
 
 
 
 
  
2L'Hôpital
x 1 x 1 x 1 x 1
2
2
2
x 1 x 1
1
ln x 1 x ln xx 1lim ln x ln x 1 lim lim lim
1 1 1 1 x
ln x xln x
1
1 ln x x 2ln x
xlim lim ln x 2ln x 0
1
      
  
     

 
   
    

 
 
 
QUESTÃO 23 EN 2007 
 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
A figura abaixo representa a seção meridiana do cone. 
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O raio da base do cone é 
OB Rsec 
 e a altura do cone é 
VO R cossec 
 
O volume do cone é 
   
 
3 3
2 2
2
3 3
32
1 R R 1
V R sec R cossec sec cossec
3 3 3 sen cos
R 1 R 1
3 3 sen sensen 1 sen
 
           
 
 
   
   
 
 
 
 
 
 
3 3 2
2
2 2
3 3
R 1 R cos 3sen 1
V ' cos 3sen cos 0
3 3sen sen sen sen
cos 0
    
           
    
  
3 3
3
MIN
3 3
ou sen sen
3 3
R 1 R 9 3
V R
3 3 23 3 2 3
3 9
     
 
      

 
Note que antes do ponto tal que 3
sen
3
 
, a derivada é negativa e depois positiva, o que 
caracteriza um ponto de mínimo local. 
 
 
QUESTÃO 24 EN 2006 
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RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
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 
 
 
 
 
 
 
2
2 2
2
2
f x x 2 arctg x
f 0 0 2 arctg 0 0
1 3 x
f ' x 1 2 0 f écrescente, x
1 x 1 x
x 0 f '' x 0 concavidade para cima2x
f '' x 2
x 0 f '' x 0 concavidade para baixo1 x
  
   

       
 
    
   
   
 
Nota-se que a alternativa (A) é a única que apresenta um gráfico que passa na origem, possui 
concavidade para cima para valores de x negativos e concavidade para baixo para valores de x 
positivos. 
 
 
QUESTÃO 25 EN 2006 
 
 
 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
  
  
 2
22x 7 x 7 x 7 x 7
x 7x 7 x 7 x 15 8
lim f x lim lim lim
x 7 x 15 64x 15 8   
   
  
   
 
    
2x 15 8
x 7 x 7 x 7
 
  
4
7 7

 
Se f é contínua em 
x 7
, então 
   
x 7
4
f 7 lim f x a
7 7
  
 
   2
6
4ln 2x
6 6 1 7
g x ln 2x g ' x 2ln 2x 2
6 67 7
2x 2x
7 7
 
 
               
     
 
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 
4 6
4ln 2
4 4 4ln 27 7
g ' 7a g ' 7 g ' 2ln 2 ln 4
4 67 27 7 2
7 7
 
  
                   
 
 
 
QUESTÃO 26 EN 2006 
 
 
 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
2x
2x
4x 2
2x 2x
e 1 du 1 1
dx arccotg u C arccotg e C
2 2 21 e 1 u
u e du 2 e dx
       
 
   
 
 
 
QUESTÃO 27 EN 2006 
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RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
 6 5 2 6
* 3
2 4 3
2 2 2
6 6 3
6 6 3
x 2 dy 6x x x 2 2x dy 1 1
8y 0, x 8 x
dx dx 2x x x
dy 1 1 dy 1 1 1 1
x 2 1 x 2 x
dx 4 dx 4 4x x x

       
          
   
         
                 
        
 
2 2
2 2 3 2 3 2 3
3 3 3
6 6
5
dy 1 1 1 1 1 1
x 1 dx x x dx x x dx x x dx
dx 4 2 2x x x
1 1 1 x x ln x
x dx ln x C C
2 x 2 6 12 2
     
               
     
  
           
   
 
 
 
QUESTÃO 28 EN 2006 
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RESPOSTA: B 
 
RESOLUÇÃO: 
   
 
3 3
2
x x
2 2
3
2
x
2
3
2
2 2
3 3
Y ' x e 3 x cos 2x e sen 2x 2
2 4 4
3 3
Y ' x e 3 x cos 2x 2sen 2x
2 4 4
3
Y ' e 3 cos 2
2 2 2 4
    
    
   
 
 
 
  
 
 
         
                
      
        
            
      
      
        
   
3 2
2sen 2 2 2
2 4 2 2
        
              
      
 
 
 
2
y
2 x y2L 2 y 2x 1 1
12 2x 1
2 2 2

         
 
 
 
A área do triângulo é    21 1 2 1 2 1
S
2 2 2 8
  
   
 
 
 
QUESTÃO 29 EN 2006 
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RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
   
           
   
2 * 2 2
2 2 2
f ' x sen cos x
g x f x , x g ' x f ' x 2x sen cos x 2x 2x sen cos x
g ' x 2x sen cos x


       
 
 
 
 
QUESTÃO 30 EN 2006 
 
 
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RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
Seja um cilindro com raio da base r e altura h, o volume é dado por 
2
2
1
V r h 1 h
r
     

. 
O custo do recipiente será dado por: 
 
   
 
2 2
2
2
2 2
3 3
2 23
3
1
P 1000 2 rh 1000 r 2000 r 1000 r 2h 3r 1000 r 2 3r
r
2 1 1
P r 1000 3 r P ' r 1000 2 3 2r 2000 3 r
r r r
1 1 1 1 9
P ' r 2000 3 r 0 r r e h
3r 3 1
3
 
              
 
      
                   
      
 
           
     
 
 