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Matemática Financeira 
Com Francisco Cavalcante e Afonso Tobias 
 
Módulo 1 - Conceitos Básicos 
 
 
1.1 O Valor do Dinheiro no Tempo 
 
A Matemática Financeira surgiu da necessidade de se levar em conta o valor do dinheiro no tempo. 
 
Mas o que é o "valor do dinheiro no tempo"? 
 
Intuitivamente, sabemos que R$ 4.000,00 hoje "valem" mais que esses mesmos R$ 4.000,00 daqui a um ano, 
por exemplo. A princípio, isso nos parece muito simples, porém, poucas pessoas conseguem explicar porque isso 
ocorre. 
 
É aí que entram os juros. Os R$ 4.000,00, hoje, valem mais do que os R$ 4.000,00 daqui a um ano porque esse 
capital poderia ficar aplicado em um banco, por exemplo, e me render juros que seriam somados aos R$ 
4.000,00, resultando numa quantia, obviamente, maior que esse capital. 
 
Por exemplo: suponha que um banco me pague R$ 400,00 de juros ao ano caso eu aplique esses R$ 4.000,00 
hoje. Isso quer dizer que, daqui a um ano, quando esse capital for resgatado, o valor recebido será de R$ 
4.400,00, e não somente os R$ 4.000,00 iniciais. 
 
Isso mostra que receber os R$ 4.000,00 hoje seria equivalente a receber R$ 4.400,00 daqui a um ano, e não os 
mesmos R$ 4.000,00, já que esses, daqui a um ano, já terão perdido parte de seu valor. Os juros de R$ 400,00 
referentes ao prazo de um ano funcionariam como uma recompensa por termos de esperar todo esse tempo 
para ter o dinheiro em vez de tê-lo hoje. 
 
É esse o valor do dinheiro no tempo. Os juros fazem com que uma determinada quantia, hoje, seja equivalente 
a outra no futuro. Apesar de diferentes nos números, os valores R$ 4.000,00 hoje e R$ 4.400,00 daqui a um 
ano seriam equivalentes para juros de R$ 400,00. 
 
Um capital de R$ 4.000,00 só será equivalente a R$ 4.000,00 daqui a um ano na hipótese absurda de a taxa de 
juros ser considerada igual a 0. 
 
A Matemática Financeira, portanto, está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que por sua vez está 
ligado à existência da taxa de juros. 
 
 
1.2 – Principais Conceitos 
 
CAPITAL ou VALOR PRESENTE (VP) 
 
Capital ou Valor Presente (VP) é o Capital Inicial (Principal) em uma transação financeira, referenciado, 
geralmente, na escala horizontal do tempo, na data inicial (n=0). É, ainda, o valor a vista quando nos referimos, 
nos termos comerciais, àquele valor "com desconto" dado como opção às compras a prazo. 
 
É considerado também como o investimento inicial feito em um projeto de investimento. 
 
 No EXCEL, é indicado pela sigla VP (Valor Presente). 
 
 Na HP 12C pela tecla PV (Present Value). 
 
 JUROS (J) 
 
Os juros (J) representam a remuneração pela utilização de capitais de terceiros, ou por prazos 
concedidos. Podem ser, também, a remuneração por capital aplicado nas instituições financeiras. São 
considerados rendimento se você os recebe, e são considerados despesa se você os paga. 
 
 
TAXA DE JUROS (i) 
 
Taxa de juros (i) é o valor do juro em determinado tempo, expresso como porcentagem do capital inicial. Pode 
ser expresso da forma unitária ou percentual (0,15 ou 15%, respectivamente). Veja: 
 
Se um banco me paga R$ 400,00 de juros sobre um capital de R$ 4.000,00 aplicado durante um ano, a taxa de 
juros nada mais é do que: 
 
 
 
 
 
Isso significa que esse banco está pagando uma taxa de juros de 10% ao ano. 
 
 
 Para tratar de taxa de juros, o EXCEL utiliza a terminologia “taxa”. 
 
 A HP 12C usa a tecla “i “ ( de “Interest” = juro). 
 
 
PRAZO ou PERÍODOS (n) 
 
As transações financeiras são feitas tendo-se como referência uma unidade de tempo (como um dia, um mês, 
um semestre e etc.) e a taxa de juros cobrada nesse determinado tempo. 
 
O período de uma transação é o tempo de aplicação de cada modalidade financeira. Pode ser unitário ou 
fracionário. 
 
Por exemplo, uma aplicação em CDB de 33 dias. O prazo dessa aplicação é unitário se o banco utilizar uma taxa 
específica para 33 dias. Isso quer dizer que n=1 (1 período), pois 33 dias foi o período considerado para a taxa 
de juros como sendo uma unidade de tempo. 
 
O banco pode, ainda, considerar para essa aplicação uma taxa que corresponda a um período de um ano, por 
exemplo. 
 
Já nessa situação, o prazo da aplicação (n) será de 33/360, o que significa a proporção de tempo em relação a 
um ano, que foi considerado como unidade de tempo (tendo em vista que a taxa de juros é anual). Daí temos 
um período fracionário, pois n=33/360. Então, o prazo ou período considerado só pode ser definido se levarmos 
em consideração a taxa de juros, que pode ser definida para qualquer período. 
 
R$ 400,00 = 0,1 ou 10% 
R$ 4.000,00 
No caso de seqüência de capitais ou série de pagamentos, o “n” expressa o número de pagamentos ou 
recebimentos efetuados do começo ao fim da operação. Todos nós, obviamente, já nos deparamos com uma 
situação como, por exemplo, comprar um televisor em 5 prestações mensais. Essas 5 prestações representam o 
"n", ou seja, o número de pagamentos que serão efetuados durante toda a operação. 
 
 No EXCEL, o número de períodos é dado por “nper” 
 
 Na HP 12C é indicado pela tecla “n”. 
 
 
 
MONTANTE ou VALOR FUTURO (VF) 
 
Montante ou Valor Futuro (VF) é o valor obtido no final da transação, somando-se ao capital inicial os juros 
incorridos no período de aplicação. 
 
 No EXCEL é indicado como “VF”. 
 
 Na HP12C como “FV” (de “Future Value”). 
 
 
1.3 – Fórmulas Básicas 
 
Serão dadas as três principais fórmulas: do Montante (M), dos Juros (J) e da Taxa de Juros (i). Com 
estas três fórmulas é possível resolver diversos problemas que pareciam complicados. 
 
 
 
 
 
 
 Montante 
 Juros 
 Taxa de Juros 
Montante 
Juros 
Taxa de Juros 
 
 
 
EXEMPLO: 
 
Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado a uma taxa de 12 % a.m. Acompanhe como é realizado o cálculo dos 
juros e do Montante ao final do primeiro mês. 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Suponhamos que você aplicou R$ 1.500,00 a uma taxa de juros de 25% a.a. Veja como é calculado, no Excel, o 
rendimento de juros e quanto seria resgatado em 1 ano. 
 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 1.500,00 
3 Taxa de Juros 25% 
4 Juros R$ 375,00 J = C * i 
5 Valor Futuro (Montante) R$ 1.875,00 M = C + J 
 
 
Agora vamos verificar como é realizado este cálculo na HP 12C. 
 
Se você tem uma calculadora HP 12C, também pode utilizá-la para efetuar esse cálculo. 
 
 
 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
1500 ENTER 1500 :: > Valor do Capital 
25 % 375 :: > Usando a tecla indicada, a calculadora efetuará 25% dos 
 + 1875 1.500 do Capital. Depois é só somar os dois valores para 
 encontrar o Montante 
 
Exemplo: 
 
Você tem R$ 2.346,00 hoje, mas daqui a três meses terá que pagar uma dívida de R$ 3.123,00. Para honrar a 
sua dívida, alguém sugere que você aplique seu dinheiro para que, no futuro, tenha o que precisa. A qual taxa 
de juros você precisaria aplicar esse capital? 
 
Nesse caso, você já tem os Valores Presente e Futuro, e precisa da taxa de juros que renderia os R$ 777,00 de 
juros para a formação do Montante de R$ 3.123,00 objetivado. 
 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$2.346,00 
3 Valor Futuro R$3.123,00 
4 Taxa de Juros 33,12% i = (M/C)-1 
5 Juros R$777,00 J = C * i 
 
 
Agora vamos ver como se faz este cálculo na HP 12C. 
 
Na HP 12C você poderia fazer esse exercício usando a tecla de variação percentual. 
 
 
 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
2346 ENTER 2346 ::> Valor do Capital3123 % 33,12 ::> Depois é inserido o Valor Futuro, 
 acionada a função variação 
 percentual e encontrada a taxa 
de juros. 
 
 
 
1.4 - Diagrama de Fluxo de Caixa 
 
Mais um conceito fundamental da matemática financeira é o de fluxo de caixa. Ele é definido como o conjunto 
de entradas e saídas monetárias (pagamentos e recebimentos) referentes a uma transação financeira de uma 
empresa, projeto de investimento e etc. 
 
Nesse contexto, o diagrama de fluxo de caixa é a representação gráfica desse indispensável instrumento de 
análise de rentabilidade, custos, viabilidade econômica e financeira de projetos de investimento. O diagrama 
torna mais fácil a visualização da movimentação monetária, facilitando o processo de análise. 
 
O diagrama é universal e feito da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
Vale lembrar que: 
 
 As setas não são necessariamente proporcionais ao valor das entradas e saídas. 
 O fluxo de caixa é muito útil na análise de problemas com séries de capital. 
 Os intervalos de tempo entre os períodos são todos iguais. 
 Os valores serão colocados no início e final de cada período, dependendo da convenção utilizada, mas 
nunca durante o período. 
 
 
Exemplo: 
 
Para exemplificar o conceito de fluxo de caixa, suponha a seguinte situação: 
 
Um investidor compra um título hoje por R$ 1.000,00. Esse título lhe dá o direito de receber, durante 5 anos, a 
quantia de 10 % a.a (ao ano) sobre o valor inicial pago (denominado valor nominal ou de face), mais o capital 
inicial de volta no final do quinto ano. 
O diagrama ficaria assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No EXCEL, observe a Memória de Cálculo do Valor Futuro. 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 1,000,00 
3 Taxa de Juros (ao período) 10% 
4 Juros (ao período) R$ 100,00 J = C * i 
5 Valor Futuro (Montante) R$ 1.500,00 M = C + 5*J 
 
 
Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma: 
 
Valores de Entrada 
Tecla 
função Saída 
 
1000 ENTER 1000 ::> Insere capital 
10 % 100 ::> Calcula juros sobre o capital 
5 X 500 ::> Multiplica juros por período 
 + 1500 ::> Encontra o valor futuro 
 
 
 
 
1.5 - Regimes de Capitalização 
 
Capitalização é o ato de incluir os juros incorridos durante um período no capital inicial, resultando em um 
montante "capitalizado" (acrescido dos juros). 
 
Quando um capital é aplicado à determinada taxa, o montante resultante dessa aplicação pode "crescer" de 
duas formas: pela capitalização simples ou pela capitalização composta. 
 
 
 
Capitalização Simples 
 
Em um regime de capitalização simples os juros são sempre iguais e incidem somente sobre o capital inicial 
durante todo o período. O montante, dessa forma, cresce de maneira linear. Nessa forma de capitalização, 
geralmente os juros são pagos no final da operação. 
 
Exemplo: 
 
Aplica-se um capital de R$ 2.000,00 no início do primeiro ano e espera-se resgatá-lo daqui a 3 anos. Sabendo 
que o regime é de capitalização simples e que os juros são de 17% a.a., é fácil calcular o montante. Veja: 
 
 
 
Você pode fazer o cálculo dos juros e montante usando o EXCEL. Verifique os passos abaixo: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 
3 Taxa de Juros 17% 
4 Juros (ao período) J = C * i 
5 Número de Períodos (n) 3 
6 Valor Futuro (Montante) M = C + (J * n) 
 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 
3 Taxa de Juros 17% 
4 Juros (ao período) = B2 * B3 J = C * i 
5 Número de Períodos (n) 3 
6 Valor Futuro (Montante) = B2 + (B4 * B5) M = C + (J * n) 
 
 
Vejamos a planilha resolvida: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 
3 Taxa de Juros 17% 
4 Juros (ao período) R$ 340,00 J = C * i 
5 Número de Períodos (n) 3 
6 Valor Futuro (Montante) R$ 3.020,00 M = C + (J * n) 
 
 
 
 
 
Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma: 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
2000 ENTER 1000 ::> Valor do capital 
17 % 340 ::> Valor dos juros 
3 x 1020 
::> Juros multiplicados pelo 
número de períodos 
 + 3020 ::> Valor futuro 
 
 
Capitalização Composta 
 
Nesse regime de capitalização, o capital é remunerado a cada período, e os juros incidem sobre o capital inicial, 
acrescido dos juros acumulados até a referida data. Sendo assim, o montante, ao final da data 1(n = 1), por 
exemplo, é o capital inicial da data 2 (n = 2) e sobre ele incidirão juros novamente. 
 
O montante, neste caso, cresce em progressão geométrica, ou seja, crescimento exponencial. 
Exemplo: 
 
Vejamos o mesmo caso do exemplo anterior, mas agora usando o regime de capitalização composta, à mesma 
taxa de 17%. Os cálculos no EXCEL seriam feitos da seguinte forma: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 
3 Taxa de Juros ( i ) 17% 
4 Juros 1 (J1) R$ 340,00 J1 = C x i 
5 Montante 1 (M1) R$ 2.340,00 M1 = C + J 
6 Juros 2 (J2) R$ 397,80 J2 = M1 x i 
7 Montante 2 (M2) R$ 2.737,80 M2 = M1+J2 
8 Juros 3 (J3) R$ 465,43 J3 = M2 x i 
9 Montante 3 (M3) R$ 3.203,23 M3 = M2+J3 
 
 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 2,000,00 
3 Taxa de Juros ( i ) 17% 
4 Juros 1 (J1) = B2 * B3 J1 = C x i 
5 Montante 1 (M1) = B2 + B4 M1 = C + J1 
6 Juros 2 (J2) = B5 * B3 J2 = M1 x i 
7 Montante 2 (M2) = B5 + B6 M2 = M1+J2 
8 Juros 3 (J3) = B7 * B3 J3 = M2 x i 
9 Montante 3 (M3) = B7+ B8 M3 = M2+J3 
 
 
 
Representando essa aplicação no diagrama de fluxo de caixa, podemos ver mais facilmente. 
 
 
. 
 
 
 
Na HP 12C, os cálculos podem ser executados da seguinte forma: 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
2000 ENTER 2000 ::> Valor do capital 
17 % 340 ::> Valor dos juros 
 + 2340 ::> Montante 1 
17 % 397,8 ::> Juros 2 
 + 2737,8 ::> Montante 2 
17 % 465,43 ::> Juros 3 
 + 3203,23 ::> Montante 3 
 
 
 
Função VFPLANO 
 
Existe, ainda, uma terceira forma de se resolver esse e outros problemas com capitalização composta. Trata-se 
da função VFPLANO oferecida pelo EXCEL, que ajuda a calcular o montante resultante de uma aplicação 
composta de taxas de juros sobre um determinado capital. 
 
Para a função VFPLANO estar disponível no EXCEL, entre na Barra de Ferramentas, clique sobre o item 
Suplementos e habilite Ferramentas de Análise. 
 
Essas funções oferecidas pelo EXCEL geralmente estão agrupadas no Assistente de Função. Esse Assistente 
pode ser acionado pela Barra de Ferramentas, com um clique no ícone fx . Clicando aí, aparecerá uma caixa 
de diálogo do Assistente de Funções, onde deve ser selecionada a categoria "Financeira". 
Feito isso, escolhe-se a função "VFPLANO". Aparecerá outra caixa de diálogo, da função, onde deverão ser 
inseridas as referências das células indicadas, apenas clicando com o mouse e selecionando as células com os 
valores pedidos. 
 
 
 
 
 
 No espaço para o Capital: deve-se inserir a referência da célula que armazena o valor do capital da 
operação. 
 No espaço para o Plano: deve-se inserir o intervalo que contém os valores da taxa de juros a cada 
período. Nesse caso, serão inseridos os valores 17%, 17% e 17%, porque a taxa é igual para os três 
períodos. 
 
 A B 
1 Dados Valores 
2 Valor Presente (Capital) R$ 2.000,00 
3 Taxa de Juros 1 17% 
4 Taxa de Juros 2 17% 
5 Taxa de Juros 3 17% 
6 Montante R$ 3.203,23=VFPLANO(B2; B3:B5) 
 
 
 
Módulo 2 - Juros Simples 
 
2.1 Fórmulas: Montante, Juros e Taxas de Juros 
 
Os juros simples têm seu fundamento no regime de capitalização simples, no qual o crescimento do capital se 
dá linearmente (por isso, o cálculo dos juros simples também é chamado de cálculo linear). Trata-se de juros 
simples toda transação em que os juros incidem sempre sobre o capital inicial e são, então, iguais em todos os 
períodos. 
 
A fórmula dos juros simples é, intuitivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como já sabemos que: 
 
 
M = C + J M = C + Cin Então: 
 
 
 
Exemplo: 
 
Veja como é fácil realizar operações de cálculos com juros simples. Suponhamos que você tenha uma aplicação 
de R$ 120.000,00, que rende, a juros simples, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final do ano, se aplicou seu 
dinheiro no primeiro dia do ano? 
 
Para resolver, basta aplicar a fórmula apresentada acima. Veja: 
 
 
 
 
 
 
Daí: 
 
M= C + J M= 120.000 + 72.000 = 192.000 
 
 
Ou então use a fórmula direta: 
 
 M = 120.000 (1+ 0,15 x 4) = 192,000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao invés de usar fórmulas e fazer os cálculos, você poderia efetuar todas as operações usando a planilha do 
Excel, o que facilita bastante os cálculos e permite que você insira problemas de juros simples no meio de 
tabelas demonstrativas, balanços e etc. 
 
Além disso, o Excel calcula datas corridas, o que facilita bastante as operações envolvendo prazos não inteiros 
ou de difícil cálculo mental. 
 
Veja: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Presente (Capital) R$ 120.000,00 
3 Taxa de Juros 15% 
4 Juros (trimestrais) R$ 18.000,00 J = C * i * n 
5 Períodos 4 n = 12/3 
6 
Valor Futuro (Montante) 
R$ 
192.000,00 M = C*(1+ i * n) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na HP 12C, o cálculo poderia ser executado da seguinte forma: 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
120000 ENTER 120000 ::> Valor presente 
15 % 18000 ::> Juros para 1 trimestre 
4 X 72000 ::> Juros para 4 trimestres (1 ano) 
 + 192000 ::> Montante final (C + 4J) 
Repare que a fórmula inserida na célula do 
valor do montante nada mais é do que a 
cópia da fórmula apresentada 
anteriormente, na qual: 
B2 = capital 
B3 = taxa de juros 
B5 = n.º de períodos 
Se a sua fórmula estiver certa, apresentará 
o seguinte conteúdo editado 
=B2*(1+B3*B5) 
 
 
Exemplo: 
 
Uma outra aplicação muito útil sobre juros simples usando o Excel é o cálculo dos juros a pagar se um título é 
pago em atraso. Por exemplo, vamos imaginar que você tem dois boletos bancários vencidos e não pagos. 
O primeiro é para pagamento de um fornecedor seu, que venceu dia 7 de abril e cobra 3% a.m. em caso de 
atraso. O segundo é a fatura do cartão de crédito, que venceu dia 5 de abril, e cobra 10% a.m. por atraso no 
pagamento. Quais seriam os juros incorridos se você só pudesse pagá-los no dia 25 do mesmo mês? Os valores 
estão abaixo; 
 
 
 A B C D E F G 
1 
Títulos Valor Vencimento PGTO 
Taxa de 
Juros Juros Valor Pago 
2 
Boleto R$ 2.650,00 07/Abr 25/Abr 3% 
R$ 
47,70 R$ 2.697,70 
3 
Fatura R$ 1.478,00 05/Abr 25/Abr 10% 
R$ 
98,53 R$ 1.576,53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É importante ressaltar que o cálculo efetuado foi feito em cima do total de dias corridos entre uma data e outra, 
para uma simplificação dos cálculos a serem executados. Em uma operação real, no mercado, teriam que ser 
descontados os sábados, domingos e feriados, deixando somente os dias úteis nos cálculos. 
 
 
 
 
 
A calculadora HP12C também permite o cálculo de dias entre duas datas, função que pode ser usada para esse 
tipo de problema apresentado. Veja quais são os passos a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo dos juros incorridos é baseado no cálculo 
do período incorrido. Nesse caso, a taxa é mensal 
e o período é contado em dias. Para fazer esse 
cálculo, divide-se a taxa mensal por 30 e 
multiplica-se pelo total de dias da transação. 
 
Veja que o EXCEL calcula o número de dias 
corridos simplesmente diminuindo-se uma célula 
da outra. 
A formula editada na célula é: 
=Valor*((Tx. Juros/30)*(pgto - venc.)) 
 
Se a sua fórmula estiver correta, a célula do seu 
resultado F3 deverá apresentar o seguinte 
conteúdo: 
 =B3*((E3/30)*(D3-C3)) 
O montante final é 
nada mais que o valor 
inicial do título mais 
os juros pelo atraso no 
pagamento. 
Calculando os juros de atraso no caso da fatura do cartão: 
 
Valores 
Entrada 
Tecla 
função 
Saída 
1478 ENTER 1478 
10 % 147,8 ::> Juros por 1 mês de atraso 
30 (divisão) 4,92 ::> Juros por dia de atraso 
 (g) D.MY 4,92 ::> Transformando para o formato D.MY 
5,042002 ENTER 5,042002 ::> Data inicial (formato: D.MY) 
25,042002 (g) DYS 20 ::> Cálculo do n.º de dias entre datas 
 X Y R 20 ::> Elimina o n.º de dias na base 360 dias 
 Multiplica 98,53 ::> Juros por 20 dias de atraso 
 + 1576,53 ::> Total a ser pago no 25/04/2002 
 
 
2.2 Taxas Equivalentes 
 
Vimos no exemplo anterior que tivemos que transformar a taxa de juros ao mês para uma taxa de juros diária. 
Esse cálculo é muito usado em transações financeiras em geral e as taxas que procuramos são denominadas 
taxas equivalentes, isto é, que produzem o mesmo montante se aplicadas sobre um mesmo capital em um 
mesmo intervalo de tempo. 
 
No caso dos juros simples, o cálculo é muito fácil e simplificado pelo caráter linear desse tipo de capitalização. 
Pode sempre ser feito por meio da proporcionalidade (usando regra de três simples, por exemplo). 
 
Para efeito demonstrativo, vamos colocar a fórmula que pode ser usada para o cálculo dessas taxas. 
 
Sabendo que ocorrem taxas equivalentes quando: 
 
C . i1 . n1 = C . i2 . n2 i1 . n1 . = i2 . n2 
 
 
Se, particularmente, n1 = 1, então: 
 
 
 
i1 = i2 . n2 ou 
 
 
 
 
Se quisermos calcular, por exemplo, a taxa anual em juros simples, equivalente à taxa mensal de 2,5 % a.m., 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
Note que esse é um dos poucos casos nos quais não 
existe a necessidade de se transformar as 
porcentagens em número decimal,uma vez que 
tratamos com porcentagens dos dois lados da 
equação. 
i2 = i1 
 n2
 
Daí tiramos que a taxa equivalente é de 30% ao ano. Veja que isso é exatamente o que fizemos no exemplo 
dado para transformar a taxa mensal de juros do cartão de crédito, de 10 % a.m., em uma taxa diária de juros 
de 0,33 % a.d. (10/30). 
 
 
2.3 Juros Exatos e Juros Comerciais 
 
 
O cálculo de taxas equivalentes diárias é muito comum no nosso dia-a-dia, como visto anteriormente. Porém, o 
cálculo das taxas equivalentes tem como pressuposto o cálculo dos dias corridos da operação. Essa conta, por 
sua vez, pode ser feita de duas maneiras distintas, aplicáveis de acordo com a operação. 
 
Quando usamos como base o ano civil, com 365 dias (ou 366) e meses com números variáveis de dias, os juros 
calculados são os juros exatos. 
 
Quando usamos como base o ano comercial de 360 dias e meses com 30 dias, os juros obtidos são os juros 
comerciais. 
 
 
 
Exemplo: 
 
Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado à taxa de 20% a.a. pelo prazo de 53 dias. Verifique os juros comerciais e 
os juros exatos dessa aplicação. 
 
 
 A B 
1 Dados Valores 
2 Valor presente (Capital) R$ 5.000,00 
3 Período 53 
4 Taxa de juros 20% 
5 Taxa de juros exatos ao dia 0,05479% 
6 Taxa de juros comerciais ao dia 0,05556% 
7 Juros exatos R$ 145,21 
8 Juroscomerciais R$ 147,22 
 
 
 A taxa de juros exatos por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual dada por 365. 
 
 
 A taxa de juros comerciais por dia é calculada dividindo-se a taxa nominal anual por 360. 
 
 
 Para o cálculo de ambos os juros, simplesmente multiplique cada uma das taxas diárias equivalentes pelo 
período de aplicação. 
 
 
 
 
 
 
 
A calculadora HP 12C também permite estes cálculos. Acompanhe. 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
 F 
 X Y 
 CLX 0 ::> Limpa toda a memória financeira da 
calculadora 
 f 
9 0,000000000 ::> Estipula nove casas 
decimais 
 
20 ENTER 20,000000000 ::> Taxa de 
juros 
 
365  0,054794521 ::> Taxa de juros 
exatos/dia 
 
100  0,000547945 
5000 X 2,739726027 ::> Valor de juros 
exatos/dia 
53 X 145,205479452 ::> Valor dos juros exatos no período 
(53 dias) 
 
20 ENTER 20,000000000 
360  0,055555556 ::> Taxa de juros 
comerciais/dia 
 
100  0,000555556 
5000 X 2,777777778 ::> Valor de juros 
comerciais/dia 
 
53 X 147,222222222 ::> Valor dos juros comerciais no período (53 
dias) 
 
As aplicações para cada um dos casos dependem dos parâmetros adotados no mercado para cada caso. Um 
exemplo típico de aplicações de curtíssimo prazo, onde as taxas equivalentes diárias precisam ser calculadas, 
são as operações com HOT MONEY (empréstimos de curtíssimo prazo das instituições financeiras para 
empresas). 
 
Nesse tipo de operação, as taxas dadas são mensais, os juros são contabilizados no padrão comercial e o 
critério utilizado é o de juros simples. Normalmente os empréstimos são tomados por um dia e renovados a 
cada dia, se necessário. 
 
Veja, simplificadamente, como funciona: 
 
 A B 
1 Dados Valores 
2 Capital Emprestado R$ 25.000,00 
3 Período (dias) 2 
4 
Tx. Juros 1º dia (mês) 31 % 
::> 
Taxa disponível no mercado para empréstimos de Hot Money - 1º 
dia 
5 Tx. Diária 1º dia 1,03 % ::> Taxa equivalente diária da taxa mensal do Hot Money - 1º dia 
6 Juros 1º dia R$ 258,33 
7 Montante 1º dia R$ 25.258,33 
8 
Tx. Juros 2º dia (mês) 33 % 
::> 
Taxa disponível no mercado para empréstimos de Hot Money - 2º 
dia 
9 Tx. Diária 2º dia 1,10 % ::> Taxa equivalente diária da taxa mensal do Hot Money - 2º dia 
10 Juros 2º dia R$ 277,84 ::> Note que os juros incidem sobre o montante resultante do 1º dia, 
quando da renovação do empréstimo por mais um dia (total = 2) 11 Montante 2º dia R$ 25.536,18 
 
 
 
 
Visualize as fórmulas. 
 
 A B 
1 Dados Valores 
2 Capital emprestado R$ 25.000,00 
3 Período (dias) 2 
4 Tx. juros 1º dia (mês) 31 % 
5 Tx. diária 1º dia =B4/30 
6 Juros 1º dia =B2*1*B5 
7 Montante 1º dia R$ 25.258,33 
8 Tx. juros 2º dia (mês) 33 % 
9 Tx. diária 2º dia =B8/30 
10 Juros 2º dia =B7*1*B9 
11 Montante 2º dia R$ 25.536,18 
 
 
 
 
 
 
A calculadora HP 12C também permite este cálculo. Para demonstrar observe o cálculo do montante acumulado 
(juros 1º e 2ª dia + capital). 
 
Valores de 
Entrada 
Tecla 
função 
Saída 
 f 
 X Y 
 CLX 0,000000000 ::> Limpa toda a memória financeira da 
calculadora 
31 ENTER 31,000000000 ::> Taxa de juros 
30  1,033333333 ::> Taxa de juros comerciais/dia 
100  0,010333333 
25000 X 258,333333333 ::> Valor de juros comerciais - 1º dia 
25000 + 25.258,33333
3333 
::> Valor do montante no 1º dia (juros + 
capital) 
33 ENTER 33,000000000 
30  1,100000000 
100  0,011000000 ::> Valor de juros comerciais - 2º dia 
25.258 X 277,841666667 ::> Valor do montante no 2º dia (juros + 
capital) 
25.000 ENTER 25.000,00000
0000 
::> Capital inicial 
258 + 25.258,3333333
33 
::> Valor do montante no 1º dia (juros + 
capital) 
278 + 25.536,17500
0000 
::> Valor do montante acumulado 
(juros 1º e 2º dia + capital) 
 
 
 
2.4 Valor Atual e Valor Nominal 
 
Na matemática financeira, denomina-se valor atual o valor presente de uma operação, um título, uma 
transação financeira, uma dívida, ou ainda o preço à vista de certo produto. 
 
Na outra ponta de todos esses casos está o valor nominal, que geralmente é empregado para valores de 
títulos na data de seu vencimento, mas também pode ser estendido para todos esses outros casos citados. O 
valor nominal é o valor final da operação, que, se tirados os juros incorridos ou embutidos, torna-se igual ao 
valor presente. 
 
Veja nesse exemplo. 
 
 
 
Neste caso, temos: 
 
V + V . i . n = N V = N 
 1 + i . n 
 
 
Exemplo: 
 
Suponhamos que você tenha que pagar R$ 4.000,00 a um fornecedor em 120 dias. Como você tem um pouco 
de dinheiro em caixa, que ficaria parado, você vai até o banco e procura saber com o gerente quanto precisaria 
aplicar hoje para ter os R$ 4.000,00 em 120 dias, já que o banco dispõe de uma aplicação que paga 10% a.m. 
de juros. 
 
No EXCEL, a solução seria a seguinte: 
 
 
 A B 
1 Dados Valores 
2 Valor nominal R$ 4.000,00 
3 Taxa de juros 10% 
4 Período 4 ::> Taxa em meses, período em meses. 
5 Valor presente R$ 2.857,14 ::> Esse é o valor que tem que ser aplicado 
 na data 0, para que no final dos 120 dias 
 se tenha os R$ 4.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
Na HP 12C a solução também é simples. Veja: 
 
Valores Entrada Tecla função Saída 
4000 ENTER 4000 ::> Valor nominal 
0,1 ENTER 0,1 ::> Taxa de juros 
4 X 0,4 ::> Período 
1 + 1,4 
 (divide) 2857,14 ::> Valor presente 
 
 
 
2.5 Método Hamburguês 
 
Esse nome pode nos parecer estranho, a princípio. Entretanto, ele está diretamente ligado a nosso dia-a-dia. É o 
método utilizado na cobrança dos juros de cheques especiais. Tal cálculo, por muitas vezes, causa certa 
insegurança aos usuários desse tipo de cheque. Veremos, então, como ele procede. 
 
Os juros são calculados sobre os saldos devedores. Supondo, por exemplo, que o Sr. Alberto apresente um 
saldo devedor de R$ 400,00 do dia 02/07/00 ao dia 10/07/00. Os juros são calculados sobre esse saldo devedor, 
levando-se em consideração o número de dias nos quais ele permaneceu nessa situação (no caso, 8 dias). 
Como estamos tratando de dias, a taxa de juros utilizada deve ser a taxa diária. 
 
 
Então, se a taxa de juros mensal for de 12 % a.m., a taxa diária será de: 
 
 
 
 
 
Essa taxa diária deve, então, incidir sobre o saldo devedor pelo número de dias que ele permaneceu nessa 
situação. 
 
Teremos então: 
 
 
 
 
 
O método em questão permite o cálculo dos juros incorridos em diferentes aplicações. Essas aplicações podem 
estar em períodos diversos, porém com a mesma taxa incidente. É um método simplificado que facilita a 
contabilização de aplicações de investidores que movimentam bastante seus investimentos. 
 
A fórmula do cálculo dos juros vem da somatória de cada capital, multiplicado pelo período no qual os juros 
incidiram sobre ele, tudo multiplicado pela taxa comum. 
 
Veja abaixo: 
 
Como os capitais são todos empregados a juros simples, temos que; 
 
J = J1 + J2 + J3 +........+Jp 
  Ck . nk 
 
J = i [C1n1 + C2n2 + C3n3 +.....+Cpnp] 
i = 0,12 = 0,004 ou 0,4% 
 30 
Juros = 400,00 X 0,004 X 8 = R$12,80 
 
J 
Juros = 400,00 * 0,4 * 8 
J = i . 
p 
k = 1 
 
 
A aplicação mais prática e clara para esse método é a possibilidade de cálculo dos juros sobre os saldos 
devedores de cheques especiais. Veja que, nesse caso, os juros incorrem sobre os saldos devedores naconta 
corrente, que podem variar muito durante o mês. 
 
Assim, o saldo devedor é agora nosso capital e é sobre ele que irão incidir os juros em determinado período. Se 
somarmos cada saldo devedor multiplicado pelo período que o saldo permaneceu em conta e multiplicarmos 
tudo isso pela taxa mensal, saberemos de quanto foi a despesa com juros. 
 
 
O período de permanência de cada saldo em conta pode ser obtido no Excel subtraindo-se uma data de início de 
um novo saldo (o próximo) menos a data de início do saldo do qual se deseja calcular o prazo de permanência 
 
 
Exemplo: 
 
Veja como no Excel tudo fica mais fácil: 
 
 A B C D 
1 
Data Saldo C/C 
Dias-
devedor 
n.º dias X saldo 
dev 
2 01/Dez R$ 800,00 R$0,00 
3 05/Dez (R$ 50,00) 9 (R$ 450,00) 
4 14/Dez (R$ 250,00) 5 (R$ 1.250,00) 
5 19/Dez R$ 80,00 R$ 0,00 
6 23/Dez (R$ 120,00) 5 (R$ 600,00) 
7 28/Dez R$ 200,00 R$ 0,00 
8 31/Dez R$ 160,00 R$ 0,00 
9 Total (dias x saldo) (R$ 2.300,00) 
10 Taxa de juros (a.m.) 9,8% 
11 Total de juros a pagar no mês (R$ 225,40) 
Os valores em vermelho, entre parênteses, são valores negativos, por convenção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Essa é a soma de todos os produtos dos saldos 
devedores durante o mês vezes os seus dias de 
ocorrência (Cknk). 
A somatória é feita com uma simples função soma 
do Excel (apenas clique no botão com o símbolo de 
somatória na barra de ferramentas e depois selecione o 
intervalo que se deseja somar) ou inserindo uma 
fórmula de soma, manualmente. 
Total de despesas com juros 
pelo uso de saldo devedor 
(cheque especial). Repare que 
a fórmula inserida é 
exatamente igual à 
demonstrada anteriormente. 
Para estar certa, a célula do 
aluno tem que conter 
 = B10*D9 
 
 
 
Na HP 12C a solução também é simples. Veja 
 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
 F 
 X Y 
 
CLX 0,00 
::> Limpa toda a memória 
financeira da calculadora 
 
F 
 
2 0,00 ::> Estipula duas casas decimais 
50 ENTER 50,00 
9 X 450,00 
::> Cálculo do primeiro período de 
saldo devedor 
250 ENTER 250,00 
5 x 1.250,00 
::> Cálculo do segundo período de 
saldo devedor 
 + 1.700,00 ::> Acumulado de saldo devedores 
anteriores 
120 ENTER 120,00 
5 x 600,00 
::> Cálculo do terceiro período de 
saldo devedor 
 + 2.300,00 ::> Acumulado de saldos 
devedores 
9.8 % 225,40 
::> Total de juros a pagar no 
mês 
 
 
 
2.6 Saldo Médio 
 
Já que estamos vendo como calcular os juros do cheque especial cobrados pelos bancos, veremos agora mais 
um conceito amplamente utilizado por eles. O método do saldo médio é geralmente usado como um dos 
critérios para conceder renovação do cheque especial, novos empréstimos e vantagens preferenciais a clientes. 
 
Além de outras utilidades nas quais o cálculo do saldo médio é necessário, saber como se faz o cálculo é 
interessante porque permite uma melhor administração de suas contas para conseguir, em seu banco, 
vantagens, empréstimos e a própria renovação do cheque especial. 
A fórmula do saldo médio é a seguinte: 
 
 
SM = C1 . n1 + C2 . n2 + ...... + Cp . np 
 n1 + n2 + ...... + np 
 
 
 
Veja como a fórmula anterior pode ser aplicada no Excel. 
 
Exemplo: 
 
Tomemos como exemplo o caso anterior. Qual é o saldo médio de uma conta que apresenta tal movimentação? 
 
 A B C D 
1 Data Saldo C/C Dias/ocorrência Saldo x dias ocorrência 
2 01/Dez R$ 800,00 4 R$ 3200,00 
3 05/Dez (R$ 50,00) 9 (R$ 450,00) 
4 
14/Dez 
(R$ 
250,00) 5 (R$ 1250,00) 
5 19/Dez R$ 80,00 4 R$ 320,00 
6 
23/Dez 
(R$ 
120,00) 5 (R$ 600,00) 
7 28/Dez R$ 200,00 3 R$ 600,00 
8 31/Dez R$ 160,00 0 R$ 0,00 
9 Total 30 R$ 1820,00 
10 Saldo médio do mês R$ 60,67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na HP 12C o cálculo pode ser feito da seguinte maneira: 
 
 
 
Essa é a soma dos produtos dos saldos 
vezes seus dias de ocorrência corridos 
(C1n1 + C2n2 +...+Cpnp). A somatória 
é feita pela meio da função soma do 
Excel (apenas clique no botão com o 
símbolo de somatória na barra de 
ferramentas e depois selecione o 
intervalo que deseja somar) ou 
inserindo uma fórmula de soma, 
manualmente 
 . 
Se o seu cálculo estiver certo, a célula 
E9 tem que conter a seguinte fórmula 
"=SOMA(E2:E8)". 
Esse é o saldo médio dessa 
conta nesse mês. Repare 
que a fórmula inserida na 
célula é apenas uma cópia 
da fórmula apresentada 
acima da tabela, adaptada 
para o Excel (com 
referências no lugar dos 
números). 
Se você inserir a fórmula 
certa, a célula D10 deve 
apresentar a seguinte 
fórmula = D9/C9 
Soma dos dias de ocorrência de 
todos os saldos (n1 + n2 +...+ np) 
Valores de Entrada Tecla função Saída 
 f 
 X Y 
 CLX 0,00 ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora 
 f 
2 0,00 ::> Estipula duas casas decimais 
800 ENTER 800,00 
4 x 3.200,00 ::> Cálculo do primeiro período de saldo devedor 
50 CHS ENTER -50,00 
9 x -450,00 ::> Cálculo do segundo período de saldo devedor 
 + 2.750,00 ::> Acumulado de saldos devedores anteriores 
250 CHS ENTER -250,00 
5 x -1.250,00 ::> Cálculo do terceiro período de saldo devedor 
 + 1.500,00 ::> Acumulado do valor de saldos devedores 
80 ENTER 80,00 
4 x 320,00 ::> Cálculo do quarto período de saldo devedor 
 + 1.820,00 ::> Acumulado do valor de saldos devedores 
120 CHS ENTER -120,00 
5 x -600,00 ::> Cálculo do quinto período de saldo devedor 
 + 1.220,00 ::> Acumulado do valor de saldos devedores 
200 ENTER 200,00 
3 x 600,00 ::> Cálculo do sexto período de saldo devedor 
 + 1.820,00 ::> Acumulado do valor de saldos devedores 
160 ENTER 160,00 
0 x 0,00 ::> Cálculo do sétimo período de saldo devedor 
 + 1.820,00 ::> Acumulado do valor de saldos devedores 
30  60,67 ::> Saldo médio do mês 
 
 
 
 
Módulo 3 - Desconto simples 
 
 
3.1 Conceito 
 
A didática do desconto pode ser facilmente entendida como sendo o inverso dos juros. Isso porque, se os 
juros incidem sobre o Valor Presente de um capital, o desconto incide sobre o Valor Nominal desse capital. 
Enquanto os juros somam ao Valor Presente um valor porcentual (denominado taxa de juros) transformando-o 
em um Valor Nominal (futuro) no final da operação, o desconto faz o caminho inverso. Ele incide sobre o Valor 
Nominal, decrescendo deste um valor porcentual (denominado taxa de desconto), transformando-o em um Valor 
Presente na data da operação. 
 
Na prática, o desconto pode ser usado para o cálculo do Valor "Descontado" (e daí o nome) de um título que 
precisa ser resgatado antes do vencimento. O desconto, nesse caso, seria simplesmente a diferença entre o 
Valor Nominal que seria resgatado no vencimento e o Valor Presente conseguido pelo título liquidado 
antecipadamente. 
 
 
 
 
 
 
Desconto 
Valor nominal 
Valor 
descontado 
 
Se quisermos calcular o Valor de Venda de um título hoje (isto é, seu Valor Presente), devemos subtrair do Valor 
de resgate desse título (que é seu Valor Nominal) o valor referente ao desconto. 
 
Existem duas metodologias para o cálculo dos descontos: o Desconto Racional Simples ou "Por Dentro" e o 
Desconto Comercial Simples ou "Por Fora". 
 
 
3.2 Desconto racional ou por dentro 
 
O desconto racional pode ser entendido como a diferença entre o Valor Nominal (N) de um título ou transação e 
o seu Valor Presente,atual ou inicial. 
 
A taxa utilizada não é uma taxa de desconto e sim a própria taxa de juros. Esse tipo de desconto raramente tem 
sido utilizado pelo mercado brasileiro. 
 
Entretanto, ele consiste numa importante fonte de comparação com o Desconto Comercial. Dito isso, temos o 
desconto racional como: 
 
 
 
 
Logo, podemos calcular o desconto racional simplesmente subtraindo do Valor Nominal o Valor presente (que 
será calculado como já havíamos visto anteriormente). Nos exemplos seguintes você verá como fazer. 
 
Um título, com Valor Nominal de R$ 7.000,00, foi descontado três meses antes do seu vencimento. Se a taxa de 
juros do mercado é de 7 % a.m., qual o valor do desconto e o valor recebido antecipadamente por tal título? 
 
Veja que simplesmente aplicando as fórmulas é possível resolver esse exercício. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Forma decimal 
para taxa de juros 
 ( 7/100) 
V = 
 1 + in 
 N . 
No EXCEL, os cálculos podem ser feitos, simplificadamente, da seguinte forma: 
 
 A B C 
1 
Dados Valores 
Memória de 
Cálculo 
2 Valor nominal R$ 7.000,00 
3 Taxa de juros 7 % 
4 Período antecipado 3 
5 Valor atual R$ 5.785,12 V = N / 1 + i*n 
6 Desconto R$ 1.214,88 DR = N - V 
 
 
Verifique as fórmulas: 
 
B5 =B2/(1+(B3*B4)) 
 
B6 
 
 =B2-B5 
 
 
Repare que, no desconto racional, o desconto em si é calculado pela incidência da taxa sobre o Valor Atual ou 
Presente de um capital, até a data de antecipação do título ou transação, e o desconto é obtido pela diferença 
entre o Valor Nominal e o Valor Atual "ajustado" encontrado. 
 
Para uma melhor visualização desse argumento lembre que a fórmula usada para o cálculo do Valor Atual veio 
de: 
 
 
 
 
 
 Na HP 12C, esse exercício pode ser resolvido da seguinte forma: 
 
 
 Entrada Tecla função Saída 
7000 ENTER 7000 
0,07 ENTER 0,07 
3 (multiplica) 0,21 
1 + 1,21 
 (divide) 5785,12 
 
 
 
3.3 Desconto comercial ou por fora 
 
Desconto Comercial ou por Fora é a modalidade de desconto freqüentemente usada no mercado. No Desconto 
Comercial há uma taxa antecipada, denominada taxa de desconto, que incide sobre o Valor Nominal de um 
título ou transação trazendo-o ao Valor Presente na data antecipada. Esse método difere-se do Desconto 
Racional pois, nesse último, utilizávamos a própria taxa de juros para calcular o Valor Presente. 
 
Nesse caso, o Valor Presente é o "montante" procurado, pela incidência de uma taxa de desconto, por tantos 
períodos quanto forem especificados, sobre um Valor Base, nesse caso, o Valor Nominal. Trata-se, literalmente, 
da operação inversa à da capitalização do Capital Inicial. Essa é uma operação de descapitalização. 
 
Veja, analogicamente, a fórmula do desconto comercial: 
 
 
 
 
 
J = C . i . n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da fórmula anterior, tem-se que o Valor Atual Comercial é: 
 
 
 
 
 
Para entendermos melhor o cálculo do Desconto Comercial, vamos fazer o mesmo exercício do exemplo 
anterior. 
 
Dessa vez, porém, a taxa de desconto é que será igual a 7% a.m. 
 
Substituindo nas fórmulas, temos que: 
 
 
Dc = N . d . n 
Período de 
Antecipação ao 
Vencimento 
 
Taxa de Desconto 
Comercial 
 
Valor Nominal sobre o 
qual incide a taxa 
 
niCJ ××= .
n = número de períodos da transação 
i = taxa de juros no período (constante) 
CC DNV =
 N = R$ 7.000,00 
::> DC = R$ 1.470,00 d = 7 % a.m. DC = 7000 * 0,07 * 3 
 n = 3 meses 
::> 
 
 VC = 7000 – 1470 VC = R$ 5.530,00 
 
A diferença dos dois métodos é clara agora. 
 
No primeiro exemplo, o que incidiu sobre o Valor Nominal foi a taxa de juros. Já no segundo caso, 
foi a taxa de desconto. Note que essas taxas incidem de maneiras diferentes. 
 
Por isso que a taxa de juros e a taxa de desconto, apesar de iguais em valor no exemplo acima, não 
são equivalentes. 
 
Verifique no EXCEL como isso fica ainda mais claro e fácil de resolver: 
 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória 
2 Valor nominal R$ 7.000,00 
3 Taxa de desconto 7 % 
4 Período antecipado 3 
5 Desconto comercial R$ 1.470,00 DC = N * d * n 
6 Valor atual R$ 5.530,00 VC = N - DC 
 
 
Visualize as fórmulas. 
 
B5 =B2*B3*B4 
 
B6 =B2-B5 
 
 
Repare que o Desconto Comercial é maior que o Desconto Racional. 
 
Isso também acontece em virtude da diferença de base de incidência de cada uma das taxas. 
 
 
 
Os cálculos de Descontos Comerciais também podem ser realizados na HP 12C. Veja como fazê-los: 
 
 
Entrada Tecla função Saída 
7000 ENTER 7000 
0,07 (multiplica) 490 
3 (multiplica) 1470 
7000 (subtrai) -5530 
 CHS 5530 
 
Neste exemplo testamos a equivalência das duas taxas utilizadas em cada um dos métodos. 
 
Se, por exemplo, pegássemos o Valor Recebido pela antecipação do exercício anterior. Será que, se 
reinvestíssemos esse dinheiro a uma taxa de juros de 7 % a.m., conseguiríamos de novo os R$ 7.000,00 que 
iríamos receber? 
 
Isso é muito fácil de verificar com a ajuda do EXCEL. Vamos verificar essa aplicação dos R$ 5.530,00 por três 
meses e ver o resultado. 
 
 A B C 
1 
Dados Valores 
Memória de 
Cálculo 
2 Valor presente R$ 5.530,00 
3 Taxa de juros 7 % 
4 Período de aplicação 3 
5 Juros R$ 1.161,30 J = C * i * n 
6 Valor final R$ 6.691,30 M = C + J 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Visualize as fórmulas. 
 
 
B5 =B2*B3*B4 
 
B6 =B2+B5 
 
 
 
 
Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo. 
 
Entrada Tecla função Saída 
5530 ENTER 5530,00 
7 % 387,10 
3 x 1161,30 
 + 6691,30 
 
 
E como faríamos se quiséssemos reaplicar o dinheiro recebido na antecipação e resgatar R$ 7.000,00 daqui a 
três meses? Esse procedimento, de achar taxas equivalentes, pode ser feito de 2 formas: 
 
 A primeira delas é pela aplicação das fórmulas de equivalência entre a taxa de juros e a taxa de 
desconto. 
Calculando manualmente, ou inserindo as fórmulas no EXCEL, você acha taxas equivalentes. 
 
Veja que mesmo reaplicando a uma taxa de 
juros igual à de desconto, sob a qual o Valor 
Nominal foi descontado, não conseguimos 
reaver os R$ 7.000,00. 
Isso reitera ainda mais a posição da não - 
equivalência das taxas. 
As fórmulas são as seguintes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, sabendo que foi usada uma taxa de desconto de 7 % para o desconto do título, e que o Valor 
recebido pela liquidação foi de R$ 5.530,00, podemos facilmente agora achar a taxa correspondente e verificar a 
eficácia do método. 
 
Vamos utilizar a planilha do EXCEL para facilitar as contas. 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor presente R$ 5.530,00 
3 Taxa de desconto comercial 7,00 % 
4 Taxa de juros equivalentes 8,86 % i = d / 1-d*n 
5 Período de aplicação. 3 
6 Juros R$ 1.470,00 J = C * i * n 
7 Valor final R$ 7.000,00 M = C + J 
 
 
Visualize as fórmulas corretas. 
 
 
B4 =B3/(1-B3*B5) 
 
B6 =B2*B4*B5 
 
B7 =B2+B6 
 
 
 
Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja como fazê-lo. 
 
Entrada Tecla função Saída 
0,07 ENTER 0,07 
3 x 0,21 
 CHS -0,21 
1 + 0,79 
0,07 X Y 0,0886 
3 x 0,27 
5530 x 1470,00 
5530 + 7000,00 
 
nd
d
i
×
=
1 ni
i
d
×
=
1
e 
 
A segunda forma, mais fácil e rápida, é utilizar a função Atingir Meta. Com essa função pode-se estimar o 
valor de uma variável fixandoo valor de outra variável como objetivo. Nesse caso, você procura uma taxa de 
juros que retornaria os R$ 7.000,00 em três meses, aplicando o Capital que recebeu como pagamento pelo 
desconto do título. 
 
Esse recurso, o Atingir Meta, é muito útil na resolução de problemas mais complexos de matemática 
financeira, e permite que você veja instantaneamente qual o impacto de uma mudança na célula variável, 
neste caso, a taxa de juros. 
 
Isso pode ser muito útil na resolução de problemas de matemática financeira mais complexos. 
 
Agora você verá como é fácil usá-lo. 
 
Veja o exercício abaixo que utiliza a função Atingir Meta, como indicado na caixa abaixo da tabela. 
 
Confira no EXCEL como foi realizado o cálculo com uma taxa de 8,86 % a.m. que você necessitaria para atingir 
o seu objetivo de R$ 7.000,00. 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor presente 
3 Taxa de juros 
4 Período de aplicação 
5 Juros J = C * i * n 
6 Valor final R$ 7.000,00 M = C + J 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo resolvido: 
 
 A B C 
1 
Dados Valores 
Memória de 
Cálculo 
2 Valor presente R$ 5.530,00 
3 Taxa de juros 8,86 % 
4 Período de aplicação 3 
5 Juros R$ 1.470,00 J = C * i * n 
6 Valor final R$ 7.000,00 M = C + J 
 
 
Valor Fixado como Meta a ser 
alcançada, já que já era sabido 
que você precisaria de uma taxa 
de juros que rendesse os juros 
necessários para atingir os 
R$ 7.000,00 desejados. 
Valor estabelecido com parâmetro a variar, 
já que este era o valor procurado para que se 
pudesse atingir o valor de R$ 7.000,00 de 
Valor Final. 
Desta forma, qualquer que fosse o método utilizado para o cálculo da taxa de juros simples da operação, sua 
visualização seria a seguinte: 
 
 
 
 
As operações de desconto de um conjunto de títulos são idênticas às operações de desconto de um título só. No 
caso de um conjunto de duplicatas (chamado borderô) a serem descontadas, o seu valor líquido recebido pela 
antecipação do resgate é simplesmente a soma dos valores líquidos de todas as duplicatas que compõe o 
borderô. 
 
Vejamos como é simples. 
 
 
3.4 Operações com conjuntos de títulos 
 
Suponhamos o seguinte borderô ilustrativo de uma empresa, a ser descontado nas datas indicadas. O seu valor 
líquido será: 
 
Dica : Como estamos tratando de prazos em dias, a fórmula utilizada deve ser a diária!!! 
 
 A B C D E 
1 Dados Taxa 
2 Taxa desconto 
mensal 8 % 
 
3 Taxa desconto diária 0,27 % 
4 Duplicata Vencimento Valor nominal Desconto Valor líquido 
5 X 30 R$ 15.000,00 R$ 1.200 R$ 13.800,00 
6 Y 60 R$ 22.000,00 R$ 3.520 R$ 18.480,00 
7 Z 90 R$ 35.000,00 R$ 8.400 R$ 26.600,00 
8 Valor líquido total R$ 58.880,00 
 
Visualize as fórmulas. 
 D5 =C5*B3*B5 
 
E5 =C5-D5 
 
D6 =C6*B3*B6 E6 =C6-D6 
 
D7 = C7*B3*B7 E7 =C7-D7 
 E8 
 
=SOMA(E5:E7) 
 
 
 
 
 
 
Não se esqueça que: 
 D = N * d * n 
 Na HP 12C o cálculo seria desta forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 
 X Y ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora 
 f 
 CLX 0 ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora 
8 ENTER 8,00 ::> Input da taxa mensal de desconto de 8% 
30  0,266667 ::> Transforma a taxa mensal em taxa diária 
 STO 0 (zero) 0,266667 ::> Armazena a taxa diária na memória 0 (zero) 
15000 ENTER 15.000,00 ::> Inicia o cálculo do desconto de um dia da Duplicata "X" 
 RCL 0 (zero) 0,266667 ::> Chama da memória 0 (zero) a taxa do desconto diária 
 % 40,00 ::> Calcula o valor do desconto de um dia da Duplicata "X" 
30 X 1.200,00 ::> Calcula o valor do desconto para 30 dias 
 - 13.800,00 ::> Calcula o valor líquido da Duplicata "X" 
22000 ENTER 22.000,00 ::> Inicia o cálculo do desconto de um dia da Duplicata "Y" 
 RCL 0 (zero) 0,266667 ::> Chama da memória 0 (zero) a taxa do desconto diária 
 % 58,67 ::> Calcula o valor do desconto de um dia da Duplicata "Y" 
60 x 3.520,00 ::> Calcula o valor do desconto para 60 dias 
 - 18.480,00 ::> Calcula o valor líquido da Duplicata "Y" 
35000 ENTER 35.000,00 ::> Inicia o cálculo do desconto de um dia da Duplicata "Z" 
 RCL 0 (zero) 0,266667 ::> Chama da memória 0 (zero) a taxa do desconto diária 
 % 93,33 ::> Calcula o valor do desconto de um dia da Duplicata "Z" 
90 x 8.400,00 ::> Calcula o valor do desconto para 90 dias 
 - 26.600,00 ::> Calcula o valor líquido da Duplicata "Z" 
 
18480 + 45.080,00 ::> Inicia o cálculo da soma do valor líquido total das 
duplicatas 
13800 + 58.880,00 ::> Valor líquido total das duplicatas 
 
 
 
 
3.5 Prazo médio de um conjunto de títulos 
 
 
 
O prazo médio de um conjunto de títulos é útil por permitir que calculemos o Valor Líquido Total de um conjunto 
de duplicatas, por exemplo, sem ter que calcular os descontos de todos os títulos para depois somá-los. Com o 
prazo médio, pode-se descontar o Valor Nominal Total pelo prazo médio e se obter o Valor Líquido Total direto 
(com a mesma taxa, é claro). 
 
 
O prazo médio é calculado levando-se em conta os pesos de cada título no conjunto, e por isso baseia-se no 
conceito de média ponderada. Veja na fórmula a seguir: 
 
 
 
 
 
Nesse caso, efetuando o cálculo do prazo médio do exemplo anterior em uma tabela do EXCEL, teríamos o 
seguinte: 
 
 
 
 A B C D 
1 DADOS Taxas 
2 Taxa de desconto mensal 8 % 
3 Taxa de desconto diária 0,27 % 
4 Duplicata Vencimento Valor nominal " N x n" 
5 X 30 R$ 15.000,00 R$ 450.000,00 
6 Y 60 R$ 22.000,00 R$ 1.320.000,00 
7 Z 90 R$ 35.000,00 R$ 3.150.000,00 
8 Totais 180 R$ 72.000,00 R$ 4.920.000,00 
9 
10 Prazo médio (em dias) 68,33 
11 
Desconto total (N * d *nédio) R$ 13.120,00 
R$13.120,
00 
 
 
 
 
 
Verifique as fórmulas. 
 
 D6 =C6*B6 B9 =SOMA(B6:B8) 
 
D7 =C7*B7 C9 =SOMA(C6:B8) 
 
D8 =C8*B8 D11 =C9/B9 
D9 =SOMA(D6:D8) D12 
 
=C9*B3*B11 
 
 
 
 
 
 
 
 
A resolução do cálculo do prazo médio também pode ser feita na calculadora HP12C, pela função de somatória 
e média ponderada que esse tipo de calculadora apresenta. Clique aqui para ver como proceder. 
 
Entrada Tecla 
função 
Nova 
Entrada 
Tecla Saída 
 ( f ) ::
> 
Limpa qualquer informação 
armazenada na função. 
30 ENTER 15000 + 1 ::
> 
Entra o prazo primeiro e depois o 
Valor Nominal. 
60 ENTER 22000 + 2 ::
> 
Repete o procedimento com o 
segundo título. 
90 ENTER 35000  + 3 ::
> 
Repete o procedimento com o 
terceiro título. 
 ( g ) 68,33 ::
> 
Apertando a função, é calculada a 
média ponderada do conjunto de 
números com os quais você entrou 
na calculadora. 
 
 
 
3.6 O efeito de taxas e impostos no desconto de título e operações financeiras 
 
O último tópico desse módulo mostra como algumas taxas cobradas principalmente pelos bancos e alguns 
impostos afetam o Valor Atual, Presente ou "Descontado" de títulos e operações descontados (desconto 
comercial). 
 
 O banco que descontará o título, com 90 dias de antecedência, cobra taxa de 1,5% por despesas 
administrativas. 
 Efeito do IOF (0,0041% a.d.), que é cobrado por transações financeiras, sobre o valor do título. 
 
Vejamos como fica essa operação: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória 
2 Valor nominal R$ 7.000,00 
3 Taxa de desconto 7 % 
4 Período antecipado 3 
5 Desconto comercial R$ 1.470,00 DC = N * d * n 
6 Valor atual R$ 5.530,00 VC = N - DC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Wx
 
Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Veja com fazê-lo: 
Entrada Tecla 
funçãoSaída 
 f 
 X Y ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora 
 f 
 CLX 0,00 ::> Limpa toda a memória da calculadora 
7000 ENTER 7.000,00 ::> Input do valor nominal 
7 % 490,00 ::> Calcula o desconto mensal 
3 x 1.470,00 ::> Calcula o desconto trimestral 
 - 5.530,00 ::> Calcula o Valor Líquido da operação 
 
 
Até agora tudo fica como antes, porém, neste caso, as deduções são feitas decrescendo o Valor Líquido que 
seria recebido. 
 
Vejamos: 
 
 A B 
1 Dados Alíquotas 
2 Taxa de 
administração 1,5 % 
3 IOF 0,0041 % 
4 Dados Valores 
5 Valor nominal R$ 7.000,00 
6 Desconto comercial R$ 1.470,00 
7 Taxa administrativa R$ 105,00 
8 IOF R$ 25,83 
9 Desconto total R$ 1.600,83 
10 Prazo p/ vencimento 90 
11 Valor recebido R$ 5.399,17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valor Nominal deduzido da taxa administrativa e 
imposto. A célula deve apresentar a fórmula: 
=B5-B9 
O valor da Taxa administrativa é o Valor Nominal 
vezes a sua respectiva taxa. 
A célula deve apresentar a fórmula: 
 =B5*B2 
O Valor do IOF é igual ao valor do 
título vezes a alíquota do imposto 
vezes o prazo. 
A célula deve apresentar a fórmula: 
 =B5*B3*B10 
 
Na HP12C o cálculo seria desta forma. Verifique como faze-lo: 
 
Entrada Tecla 
função 
Saída 
 f 
 X Y ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora 
 f 
 CLX 0,00 ::> Limpa toda a memória da calculadora 
7000 ENTER 7.000,00 ::> Input do valor nominal 
1,5 % 105,00 ::> Calcula o valor da taxa administrativa 
7000 ENTER 7.000,00 ::> Input do valor nominal 
0,0041 % 0,2870 ::> Calcula o valor do IOF diário 
90 x 25,83 ::> Calcula o valor do IOF trimestral 
1470 ENTER 1.470,00 
::> Input do valor do desconto comercial calculado 
anteriormente 
105,00 + 1.575,00 ::> Soma ao desconto comercial o valor da despesa 
administrativa 
25,83 + 1.600,83 ::> Soma ao item anterior o valor do IOF 
7000 - -5.399,17 ::> Calcula o valor líquido da operação 
 
 
CHS 5.399,17 
::> Inverte o sinal 
 
Agregando taxas de periodicidades diferentes 
 
Imagine agora o seguinte problema: 
 
Você sabe que um banco cobra uma taxa de desconto de 9% e taxa administrativa de 2%. Você quer saber os 
juros simples efetivos cobrados pelo banco em uma operação de resgate de título com dois meses de 
antecedência. 
 
O problema aqui é somente definir a taxa de desconto que você inserirá na fórmula para a equivalência de taxas 
de modo que consiga a taxa de juros efetiva, já que existe, no final do desconto, a cobrança da taxa 
administrativa pelo banco. Como você não tem o valor nominal, a princípio, como agregar as duas taxas 
cobradas em uma só, para efeito de cálculo do desconto real (desconto comercial mais a taxa 
administrativa) que será abatido do Valor Nominal, qualquer que seja ele? 
 
Para problemas de antecipações de um período unitário (por exemplo: um mês para taxa de desconto 
contabilizada mensalmente; um ano para taxas de desconto contabilizadas anualmente etc.) esse problema é 
invisível, porque a taxa de desconto só incide uma única vez sobre o Valor Nominal, bem como a taxa 
administrativa, que sempre é cobrada uma única vez, no final da transação. 
 
Porém, como as antecipações unitárias não são maioria, quase sempre você tem que agregar a taxa de 
desconto, que incide "n" vezes sobre o Valor Nominal, e a taxa administrativa, que sempre incide uma única 
vez. Por esse motivo elas não podem ser somadas, pois isso significaria incidir a taxa administrativa várias 
vezes, tantos períodos quanto a própria antecipação. 
 
Para resolver esse problema, temos que fazer o seguinte: 
 
Você sabe que um banco cobra uma taxa de desconto de 9% e taxa administrativa de 2%. Você quer saber os 
juros simples efetivos cobrados pelo banco em uma operação de resgate de título com dois meses de 
antecedência. 
 
1º) Dividir a taxa administrativa pelo prazo de antecipação da operação. 
 
2º) Daí então somar a taxa administrativa fracionada à taxa de desconto comercial. 
 
3º) Usar a nova taxa de desconto real (que embute a taxa administrativa) para descontar o Valor Nominal pelo 
prazo estipulado. 
 
 
 
 
Veja como ficaria, na prática (vamos demonstrar também como seria se você somente somasse as taxas - 
Valores 1). Compare as duas formas, o certo e o errado, para sentir a diferença dos dois métodos. 
 
 
 A B C 
1 Dados Valores 1 Valores 2 
2 TDC* 9,00 % 9,00 % 
3 Taxa administrativa 2,00 % 2,00 % 
4 Prazo de antecipação 2 2 
5 TDC – REAL 11,00 % 10,00 % 
6 Taxa de Juros Efetiva 14,10 % 12,50 % 
 *TDC - Taxa de Desconto Comercial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do jeito errado, 
a TDC - Real é 
simplesmente a 
soma das duas 
taxas cobradas 
pelo banco. 
=B2+B3 
Veja que o Valor da 
Taxa de Juros 
engloba também a 
taxa administrativa, 
só que pelos dois 
períodos de 
desconto. É como 
se fosse cobrada a 
taxa administrativa 
por mês, o que não 
é verdade. 
=B5/(1-(B5*B4)) 
A diferença para o outro 
método é visivelmente 
considerável. Assim, pode-
se calcular a taxa efetiva de 
juros englobando taxas de 
escalas e incidências 
diferenciadas. 
=C5/(1-(C5*C4)) 
Observe que pelo método certo 
a taxa administrativa é dividida 
pelo número de períodos da 
operação, para que possa ser 
englobada à taxa de desconto 
comercial e incidir mais de uma 
vez sobre o Valor Nominal, 
fracionadamente. 
=C2+(C3/C4) 





=
n
AdmTx
dd comercialREAL
..
 
Na HP 12C o cálculo seria desta forma. Vejamos como fazê-lo: 
Entrad
a 
Tecla 
função 
Saída 
 f 
 X Y ::> Limpa toda a memória financeira da calculadora 
 f 
 CLX 0,00 ::> Limpa toda a memória da calculadora 
0,09 ENTER 0,09 ::> Input da taxa de desconto comercial 
0,02 + 0,11 
::> Soma-se a taxa administrativa para se apurar a Taxa de Desconto 
Comercial Real 
2 x 0,22 ::> Multiplica-se pelo prazo de dois meses 
 CHS -0,2200 ::> Inverte-se o sinal 
1 + 0,78 ::> Transforma-se em número índice 
0,11 X Y  0,1410 ::> 
Divide-se pela Taxa de Desconto Comercial Real para calcular a Taxa de 
Juros Efetiva 
0,02 ENTER 0,02 ::> Input da taxa administrativa 
2,00  0,01 ::> Calcula-se a taxa administrativa equivalente ao mês 
0,09 + 0,10 ::> Somando-se a taxa de desconto comercial calcula-se a Taxa de Desconto 
Comercial Real 
2 X 0,20 ::> Multiplica-se pelo prazo de dois meses 
 CHS -0,2000 ::> Inverte-se o sinal 
1 + 0,80 ::> Transforma-se em número índice 
0,1 X Y  0,1250 ::> Divide-se pela Taxa de Desconto Comercial Real para calcular a Taxa de 
Juros Efetiva 
 
 
 
 
Módulo 4 – Juros compostos 
 
 
4.1 Conceito 
 
Os juros compostos têm seu fundamento no regime de capitalização composta, vista no primeiro módulo, no 
qual o crescimento do capital se dá exponencialmente (por isso, o cálculo dos juros compostos também é 
chamado de cálculo exponencial). Trata-se de juros compostos toda transação na qual os juros incidem sempre 
sobre o capital inicial e os juros acumulados até a referida data são, então, diferentes em todos os períodos. 
Lembre-se do diagrama para o regime de juros compostos: 
 
VP = Valor presente ou inicial 
VF = Valor futuro (Final) 
C = Capital inicial 
Mn = Montante na data "n" 
 
 
 
 
 
4.2 A fórmula do montante 
 
Como já foi dito, os juros compostos incidem sobre o capital de maneira exponencial. Demonstrando, 
simplificadamente, o caminho para a fórmula do montante, esse fato fica evidente. Partindo do que já sabemos 
a respeito de capitalizaçãocomposta, temos: 
 
M1 = C + C * i ::> M1 = C(1 + i ) 
M2 = M1 + M1 * i M2 = M1 (1+ i ) M2 = C(1+i)2 
M3 = M2 + M2 * i M3 = M2 (1 + i ) M3 = C(1+ i )3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
...e assim sucessivamente. 
 
Essa fórmula, que só é válida para operações com taxas de juros constantes durante todo o período de 
aplicação e pagamento único, é a mais importante fórmula para a matemática financeira, já que é dela 
que se derivam as fórmulas de Valor Presente, Valor Futuro, Taxa de Juros e Prazo, que serão todas 
vistas adiante. A seguir, veremos, em um exemplo, como fazemos o cálculo do montante. 
 
Por motivo de comparação, pegaremos o primeiro exemplo do módulo de juros simples. Suponhamos que você 
tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros compostos, 15% a.t. Quanto esperaria ter no final 
do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No EXCEL, o cálculo, sem usar nenhum assistente de função, seria: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor presente ( C ) R$120.000,00 
3 Taxa de juros (a.t.) 15% 
4 Período aplicado 4,00 1 ano = 4 trimestres 
5 Valor futuro (VF) R$209.880,75 M = C * (1 + i )^n 
 
Veja a fórmula no Excel: 
B5 = B2 * ((1+B3)^B4) 
Montante na 
data "n" 
Fator de 
Acumulação de 
Capital 
( ) nn iCM ×= 1
4 
( )nn iCM ×= 1 75,880.209=nM
120.000,00 
15% 
 
As calculadoras financeiras geralmente usadas, enfatizando aqui a HP 12C, fazem os cálculos de qualquer uma 
das quatro variáveis presentes na fórmula do montante. Apesar de ainda não termos falado sobre as outras 
fórmulas, é importante saber que o cálculo pode ser feito apenas inserindo, na calculadora, três das quatro 
variáveis dessa fórmula. 
 
Importante: é sempre necessário respeitar a convenção de fluxo de caixa presente nas calculadoras 
financeiras, onde o VP e VF devem ser inseridos com sinais opostos, indicando as saídas e entradas de caixa. 
Lembre-se disso sempre! 
 
 Assim, o cálculo do valor futuro, ou montante, dessa operação é feito da seguinte forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
120.000 CHS -120.000 
-120.000 PV -120.000 ::> 
PV – do inglês "Present Value" ou Valor 
Presente (Capital Inicial) 
15 I 15 
4 N 4 
 FV 209.880,75 
::> 
 
FV – do inglês "Future Value" ou Valor Futuro 
( Montante Final) 
 
 
 
4.3 Valor presente (capital) 
 
A fórmula de valor presente é deduzida, como dito, da fórmula do montante. 
Facilmente, podemos ver que: 
 
 
 
 
 
 
 
Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$ 15.000,00. Os juros (compostos) do 
empréstimo são de 12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pago hoje? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capital ou Valor 
Presente 
) 
n 
( i n 
= 
M 
VP 
 1 
No EXCEL, o cálculo, sem usar nenhum assistente de função, seria: 
 
 
Veja a fórmula 
 
B5=B2/(1+B3)^B4 
 
 
 Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
Entrada Tecla função Saída 
15000 FV 15.000,00 ::> FV - do inglês "Future Value" ou Valor 
Futuro ( Montante Final) 12 i 12 
2 N 2 
 
PV -11.957,91 
 ::> 
 
PV - do inglês "Present Value" ou Valor 
Presente (Capital Inicial) 
 
 
4.4 Taxa de juros compostos (i) 
 
A fórmula da taxa de juros de uma operação financeira também é deduzida da fórmula do montante. Isolando o 
"i" da fórmula inicial, temos o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual a taxa de juros compostos que está embutida em um produto que tem preço à vista de R$ 1.500,00 e a 
prazo, para pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.900,00? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B C 
1 
Dados Valores Memória de Cálculo 
 
 
 
 
 
2 Valor Futuro (VF) 15.000,00 
3 Taxa de Juros (a.m.) 12% 
4 Período Aplicado 2,00 60 dias = 2 meses 
5 Valor Presente (VP) 11.957,91 C = M / (1+ i )^n 
Taxa de Juros Compostos 1
1






=
n
C
M
i
1500 
3 
1900 
1
1






=
n
C
M
i %2,8=i
 
No EXCEL, o cálculo, sem usar nenhum assistente de função, seria: 
 
 A B C 
 1 
Dados Valores 
Memória de 
cálculo 
2 Valor Futuro (VF) R$1.900,00 
3 Valor Presente (VP) R$1.500,00 
4 Período Aplicado 3,00 em meses 
5 
Taxa de Juros ( i ) 8,20% 
i = ((M/C)^(1/n))-
1 
 
 
Vejamos agora a fórmula 
 
B5=((B2/B3)^(1/B4))-1 
 
 
 Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
Entrada Tecla função Saída 
1.900 FV 1.900,00 
1.500 CHS -1.500,00 
 PV -1.500,00 
3 n 3 
 i 8,20 
 
 
 
 
4.5 Prazo 
 
 
A fórmula do prazo, também proveniente da fórmula do montante, nos permite calcular o prazo de aplicação 
entre dois valores para determinada taxa. 
 
 
Isolando-se o "n", teremos: o isolamento do "n", como é fator de radiciação, traz a necessidade de uso de 
logaritmo neperiano, porém, como os cálculos são feitos todos ou no EXCEL ou nas calculadoras financeiras, não 
nos traz problema algum. Você nem precisa se preocupar com a resolução de logaritmos, caso você não se 
lembre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )iLn
LnCLnM
n
×

=
1
logaritmo neperiano do VF 
logaritmo neperiano do VP 
logaritmo neperiano da taxa de juros 
Veja o que você precisaria para duplicar um capital de R$ 3.500,00 à taxa de juros compostos de 12% a.m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No EXCEL, o cálculo, sem usar nenhum assistente de função, seria: 
 
 A B C 
1 
Dados Valores Memória de Cálculo 
 
 
 
2 Valor Futuro (VF) R$7.000,00 
3 Valor Presente (VP) R$3.500,00 
4 Taxa de Juros ( i ) 12% 
5 Prazo de Aplicação 6,12 n = (ln(M) -ln(C)) / ln (1+i ) 
6 Prazo (dias) 183 i diário = i * 30 
 
Você pode calcular o logaritmo neperiano simplesmente digitando as letras "ln". 
 
Vamos ver como ficaram as fórmulas agora: 
 
B5=(LN(B2)-LN(B3))/LN(1+B4) 
B6=B5*30 
 
12% 
3.500,00 
7.000,00 
( )iLn
LnCLnM
n
×

=
1
mesesn 12,6=
 
 
 Na HP 12C, o cálculo é feito assim: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
30 ENTER 30,0000 
 1/x 0,0333 
 STO 0 0,0333 
0,12 ENTER 0,1200 
1 + 1,1200 
 RCL 0 0,0333 
 Yx 1,0038 
1 - 0,0038 
100 X 0,3785 ::> Cálculo da Taxa Equivalente diária de 12% a.m. 
 i 0,3785 ::> Taxa Equivalente diária em (i) 
7000 FV 7.000,00 ::> Valor Futuro (FV) 
3500 CHS PV -3.500,00 ::> Inverte o sinal e colocar em Valor Presente (PV) 
 n 184,00 ::> Prazo da aplicação em dias 
 
 
Agora que você já está habituado às fórmulas, vamos ver um pequeno treinamento de como utilizar as funções 
financeiras do EXCEL. 
 
 
 
 
4.6 Assistente de função do EXCEL 
 
 
Como alternativa ao método de cálculo das variáveis descritas acima (VF, VP, i, n ), o EXCEL oferece essas 
fórmulas prontas para uso. Utilizando o Assistente de Função do EXCEL você consegue fazer todos os cálculos 
demonstrados com muito mais facilidade, sem precisar inserir as fórmulas em cada um dos casos. 
 
 
 
O menu Assistente de Função pode ser ativado pela barra de ferramentas, clicando com o mouse no botão fx. 
Esse botão abrirá a caixa de diálogo "Colar Função", conforme a da figura abaixo, onde se deve escolher a 
categoria da função que será utilizada. 
 
 
 
 
 
 
Nesse caso, escolheremos as funções na categoria financeira, que agregam todas as funções da matemática 
financeira. Se estivermos calculando o valor futuro, por exemplo, escolheremos VF no nome dafunção e 
clicamos em OK. 
 
A próxima caixa de diálogo será onde você deverá inserir os dados das outras variáveis, clicando no espaço 
destinado ao número e no respectivo valor na própria planilha (repare que nesse caso você verá que nos 
espaços reservados para os valores constarão as referências correspondentes). 
 
 
Você já deve ter notado que o EXCEL tem uma notação para as variáveis que foram dadas acima no módulo. 
São elas: 
 
VP 
 
Valor Presente 
 
VF Valor Futuro 
 
Taxa Taxa de Juros 
 
nper Número de Períodos 
 
pgto entradas ou saídas de caixa durante o período total de transação 
 
tipo 
 
1= pgto no começo de cada período; 2 ou sem preenchimento =pgto no final do 
período 
 
 
No caso dos cálculos dessas variáveis que iremos fazer agora, só usamos valores para três das quatro variáveis 
indicadas por setas vermelhas (a quarta variável é a calculada!) 
 
 
Depois de fazer esses passos, clique no OK e o EXCEL calcula o valor pedido. 
Vamos ver agora como calcular novamente os exemplos anteriores, usando, desta vez, o Assistente de Função. 
 
 
Suponhamos que você tenha uma aplicação de R$ 120.000,00, que rende, a juros compostos, 15% a.t. Quanto 
esperaria ter no final do ano, se aplicou seu dinheiro no primeiro dia do ano? 
 
No EXCEL, o cálculo, usando o assistente de função, seria: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Lembrete 
2 Valor Presente ( C ) R$120.000,00 inserir em VP 
3 Taxa de Juros (a.t.) 15% inserir em taxa 
4 Período Aplicado 4,00 inserir em nper 
5 Valor Futuro (VF) -R$209.880,75 nome de função: VF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: para que o Excel execute os cálculos 
corretamente, o Valor Presente e Futuro devem sempre ter 
sinais opostos! (o que indica saídas e entradas de caixa). 
No caso de usar o Assistente, não é necessário inserir 
nenhuma fórmula nas células. Porém, se colocar o cursor na 
célula de resultado da função verá uma fórmula editada. 
Essa é a fórmula do EXCEL, =VF(i ; n ; pgto ; PV), pela 
qual ele próprio calcula o valor da variável desejada. 
Se seguir o procedimento citado acima, aparecerá na sua 
célula de resultado do VF o seguinte: =VF(B3;B4;;B2) 
Os valores absolutos 
de VF e VP têm 
sempre sinais 
trocados!!! 
 Não se esqueça!!! 
 Na HP 12C, este cálculo pode ser resolvido da seguinte forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
120000 PV 120.000,00 ::> Valor Presente (PV) 
15 i 15 ::> Taxa de 15% a.t. (i) 
4 n 4 ::> Período de 4 trimestres (n) 
 FV -209.880,75 ::> Calculo o Valor Futuro (FV) 
 
 
Um empréstimo deve ser pago em 60 dias. O valor a ser pago é de R$ 15.000,00. Os juros (compostos) do 
empréstimo são de 12% a.m. Qual o valor desse empréstimo se ele fosse pago hoje. 
 
No EXCEL, o cálculo, usando o assistente de função, seria: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Lembrete 
2 Valor Futuro (VF) R$15.000,00 inserir em VF 
3 Taxa de Juros (a.t.) 12% inserir em taxa 
4 Período Aplicado 2,00 inserir em nper 
5 Valor Presente (VP) -R$11.957,91 nome da função: VP 
 
VP: = VP(B3;B4;;B2) 
 
 
 
 Na HP 12C, este cálculo pode ser resolvido da seguinte forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
15000 FV 15.000,00 ::> Valor Presente (PV) 
12 i 12 :::> Taxa de 12% a.m. (i) 
2 n 2 ::> Período de 2 meses (n) 
 PV -11.957,08 ::> Calculo o Valor Futuro (FV) 
 
 
Qual a taxa de juros compostos que está embutida em um produto que tem preço à vista de R$ 1.400,00 e a 
prazo, para pagamento daqui a 90 dias, de R$ 1.550,00? 
 
 
 
 
 
No EXCEL, o cálculo, usando o assistente de função, seria: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Lembrete 
2 Valor Futuro (VF) R$ 1.550,00 inserir em VF 
3 Valor Presente (VP) -R$ 1.400,00 inserir em VP 
4 Período Aplicado 3,00 inserir em nper 
5 Taxa de Juros ( i ) 3,45 % Nome da função: taxa 
 
=TAXA(B4;;B3;B2) 
 
 
 Na HP 12C, este cálculo é feito da seguinte forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
1.550 FV 1.550,00 ::> Valor Futuro (FV) 
1.400 CHS PV -1.400,00 ::> Valor Presente (PV) 
3 N 3 ::> Período de 3 meses (n) 
 i 3,45 ::> Calculo a taxa (i) 
 
 
Veja agora quanto tempo você precisaria para duplicar um capital de R$ 4.000,00 à taxa de juros compostos de 
10% a.m. 
 
No EXCEL, o cálculo, usando o assistente de função, seria: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Valor Futuro (VF) R$ 8.000,00 insira em VF 
3 Valor Presente (VP) -R$ 4.000,00 insira em VP 
4 Taxa de Juros ( i ) 10 % insira em taxa 
5 Prazo de Aplicação 7,27 nome da função: Nper 
6 Prazo (dias) 218,18 i diário = i * 30 
 
 
Vejamos agora a fórmula: 
 
B5= NPER(B4;;B3;B2) 
B6=B5*30 
 
 
 Na HP 12C, este cálculo é feito da seguinte forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
30 ENTER 30,0000 
 1/x 0,0333 
 STO 0 0,0333 
0,10 ENTER 0,1000 
1 + 1,1000 
 RCL 0 0,0333 
 Yx 1,0032 
1 - 0,0032 
100 X 0,3182 ::> Cálculo da Taxa Equivalente diária de 10 % a.m. 
 i 0,3182 ::> Taxa Equivalente diária em (i) 
8.000 FV 8.000,00 ::> Valor Futuro (FV) 
4.000 CHS PV -4.000,00 ::> Inverte o sinal e coloca em Valor Presente (PV) 
 n 219,00 ::> Prazo da aplicação em dias 
 
 
 
4.7 Taxas equivalentes 
 
O conceito de taxas equivalentes a juros compostos é igual ao módulo de juros simples: duas taxas são 
consideradas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, por um período equivalente de tempo, para 
produzirem o mesmo montante. 
 
Como os montantes são iguais, podemos simplesmente igualar as fórmulas de cálculo do montante. 
Visualmente, temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qual seria a taxa mensal de juros compostos de uma aplicação que remunera o capital à taxa de 42 % a.a.? 
 
Como na fórmula de cálculo 
do montante as taxas são 
aplicadas sobre um mesmo 
capital, podemos eliminar o 
capital (C) da fórmula. 
Esta, portanto, é a 
fórmula de 
cálculo de taxas 
equivalentes. 
( ) ( ) 21 21 11
nn
iCiC ×=× ( ) ( ) 21 21 11
nn
ii =
( ) 11 2
1
21 =
n
n
ii
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No EXCEL, sem usar o Assistente de função, pode-se resolver o problema inserindo-se a fórmula dada: 
 
 A B C 
1 Dados Valores Memória de Cálculo 
2 Taxa de juros ( ano ) 42,00 % 
3 Prazo requerido 1 Equivalente em 1 mês 
4 Prazo dado 12 1 ano 
5 
Taxa Eq. Mensal 2,97 % 
 =(( 1+i )^( n1/n2 )) 
-1 
 
Veja como ficou a fórmula: 
 
B5=((1+B2)^(B3/B4))-1 
 
 
Como existem diversas maneiras diferentes de cálculo das taxas equivalentes, tanto no EXCEL, quanto na HP 
12C, listamos algumas delas em um apêndice, chamado Taxas Equivalentes. 
 
 
 Na HP 12C, este cálculo é feito da seguinte forma: 
 
Entrada Tecla função Saída 
 f 0,0000 
 X Y 0,0000 
 f 0,0000 
 CLX 0,0000 
1 ENTER 1,0000 ::> Prazo dado 
12 0,0833 ::> Prazo requerido 
 STO 0 0,0833 ::> Armazenado na memória zero 
1 ENTER 1,0000 ::> Para transformar em número índice 
0,42 + 1,4200 ::> Adiciona-se a taxa do período 
 RCL 0 YX 1,0297 ::> Tira a raiz 12 
1 - 0,0297 
100 x 2,9653 ::> Finaliza o cálculo da Taxa Equivalente Mensal 
 
 
 
 
 
0,42 As taxas têm que estar na 
mesma escala de tempo 
12 (meses) 
1 (mês) 
( ) 11 2
1
21 =
n
n
ii
%97,21 =i
4.8 Capitalização a juros compostos com taxa de juros variável