Estudo de integração

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DISCIPLINA: Matemática Empresarial 
PROFESSORES: Magda Leyser 
CRÉDITOS: 4 UNIDADE/EAD: 1000 
HORAS/AULA TOTAIS: 68 
ANO/SEM.: 2019/1 
 
 
O processo de integração está associado a encontrar a antiderivada conforme você pode verificar na descrição do início do capítulo 9. 
 
Assim, 
𝑑
𝑑𝑥
[𝐹(𝑥)] = 𝑓(𝑥) ou como também podemos escrever F´(x)=f(x) então integrando-se 𝑓(𝑥) obtemos as antiderivadas 𝐹(𝑥) + 𝐶 
que escreveremos como 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
O símbolo do “s” alongado que acrescentamos a frente da função 𝑓(𝑥) é denominado de sinal de interação. E com não colocamos 
limites subscrito e sobrescrito, chamaremos de integral indefinida, como os limites onde avaliaremos a função não estão definimos, a 
integral indefinida determina um conjunto de funções. Quando identificarmos os limites de integração escrevendo: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 = (𝐹(𝑏) + 𝐶) − (𝐹(𝑎) + 𝐶) 
 O símbolo 𝑑𝑥 identifica a variável que estamos derivando e integrando. 
Observe que seguindo esse raciocínio temos que no caso (𝑥2)′ = 2𝑥 resolve o problema descrito acima, pois, F(x)=2x e f(x)= 𝑥2 mas 
Também resolveriam as funções 
(𝑥2 + 1)′ = (𝑥2)′ + (1)′ = 2𝑥 + 0 = 2𝑥 
 
(𝑥2 + 15)′ = (𝑥2)′ + (15)′ = 2𝑥 + 0 = 2𝑥 
 
UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
Por esse motivo, qualquer número que acrescentarmos a 𝑥2 para descrever uma antiderivada de f(x) funcionará para solucionar uma 
possibilidade de solução, por esse motivo acrescentamos a constante C. 
 
Vamos concentrar o cálculo da integral indefinida nas seguintes regras de integração que estão no capítulo 9 
 
 
Como calcular integral indefinida da Função Potência 
 ++
=
+
C
n
x
dxx
n
n
1
1 , com 
1n
. 
Também pode ser descrito como ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =
1
𝑛+1
𝑥𝑛+1 + 𝐶 
Como calcular integral indefinida Regra do múltiplo constante 
 = dxxfkdxxkf )()(
 
 
Como calcular integral indefinida de uma Função Constante 
Ckxkdx +=
, onde k é uma constante, um número real. 
 
Exemplo 1: Apresente a integral indefinida para as funções indicadas. 
 
 
a)∫ 𝑥3 𝑑𝑥 
neste caso temos 𝑓(𝑥) = 𝑥3 é uma função potência em que n=3, assim ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3+1
+ 𝐶 =
𝑥4
4
+ 𝐶 porque quando derivarmos 
(
𝑥4
4
+ 𝐶)
′
= (
𝑥4
4
)
′
+ 𝐶′ = 
4𝑥4−1
4
+ 0 = 𝑥3 
 
b) ∫ 10𝑥5 𝑑𝑥 
A função 𝑓(𝑥) = 𝑥5 está multiplicada por 10, ou comparando com a regra da função multiplicada por constante, k=10, 
Assim, ∫ 10𝑥5 𝑑𝑥 = 10 ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 
Mas ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 é a situação da regra da função potência em que o expoente n=5 portanto∫ 𝑥5 𝑑𝑥 = 
𝑥5+1
5+1
+ 𝐶= 
𝑥6
6
+ 𝐶 
 
Juntando as duas regras descritas temos que ∫ 10𝑥5 𝑑𝑥 = 10 ∫ 𝑥5 𝑑𝑥 = 10
𝑥6
6
+ 𝐶 =
10𝑥6
6
+ 𝐶 =
5
3
𝑥6 + 𝐶 
 
c) ∫ 2𝑥−7 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥−7 𝑑𝑥 = 2
𝑥−7+1
−7+1
+ 𝐶 =
2
−6
𝑥−6 + 𝐶 = −
1
3
𝑥−6 + 𝐶 
 
d) ∫ 12 𝑑𝑥 
Temos a situação 𝑓(𝑥) = 12 , uma função constante, k=12, assim pela regra de integração de uma função constante 
 
∫ 12 𝑑𝑥 = 12𝑥 + 𝐶 
Observe que usando a derivação sobre a antiderivada 𝐹(𝑥) = 12𝑥 + 𝐶 temos 
(12𝑥 + 𝐶)′ = (12𝑥)′ + 𝐶′ = 12(𝑥)′ + 0 = 12 × 1 × 𝑥1−1 = 12 × 𝑥0 = 12 × 1 = 12 = 𝑓(𝑥) 
 
 
Até esses exemplos temos somente uma função sem operação de adição ou subtração. 
 
Como calcular integral indefinida Regra da adição de funções 
 
   
 
−=−
+=+
dxxgdxxfdxxgxf
dxxgdxxfdxxgxf
)()()()(
)()()()( 
 
e) ∫(𝑥2 + 6) 𝑑𝑥 
 
Pela regra da adição das funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 6 temos que ∫(𝑥2 + 6) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 6 𝑑𝑥 
Determinando a integral indefinida de cada função temos que: 
∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3 + 1
+ 𝐶 =
𝑥4
4
+ 𝐶 
∫ 6 𝑑𝑥 = 6𝑥 + 𝐶 
Portanto ∫(𝑥2 + 6) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 6 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
+ 𝐶 + 6𝑥 + 𝐶 =
𝑥4
4
+ 6𝑥 + 𝐶 
 
 
f) ∫(𝑥3 + 15𝑥2 − 4) 𝑑𝑥 
Aplicando a regra da soma e subtração de integração temos que: 
∫(𝑥3 + 15𝑥2 − 4) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ 15𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ 4 𝑑𝑥 
Aplicando a regra de integração a cada parcela temos: 
∫ 𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3 + 1
+ 𝐶 =
𝑥4
4
+ 𝐶 
∫ 15𝑥2 𝑑𝑥 = 15 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 15 (
𝑥2+1
2+1
+ 𝐶) = 15 (
𝑥3
3
+ 𝐶) =
15𝑥3
3
+ 15𝐶 = 5𝑥3 + 15𝐶 observe que 15C continua sendo uma constante. 
∫ 4 𝑑𝑥 = 4𝑥 + 𝐶 
Retomando o cálculo principal temos 
∫(𝑥3 + 15𝑥2 − 4) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 + ∫ 15𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ 4 𝑑𝑥 
∫(𝑥3 + 15𝑥2 − 4) 𝑑𝑥 = (
𝑥4
4
+ 𝐶) + (5𝑥3 + 15𝐶 ) − (4𝑥 + 𝐶) 
Podemos juntar as constantes de cada parcela descrevendo unicamente como C. 
∫(𝑥3 + 15𝑥2 − 4) 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
+ 5𝑥3 − 4𝑥 + 𝐶 
 
 
 
O cálculo da integral definida está associada a avaliação nos limites de integração da função determinada, que representaremos por: 
 
Sendo 𝑓(𝑥) contínua no intervalo [a,b] e 𝐹(𝑥) uma primitiva, antiderivada de 𝑓(𝑥) então ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = [𝐹]𝑎
𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎). 
 
 
Exemplo 2: Determine o valor da integral definida nos limites indicados. 
 
a) ∫ 2𝑥
3
−1
 𝑑𝑥 
Iniciamos determinando a integral indefinida para depois aplicar os limites de integração 
∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 2
𝑥1+1
1 + 1
+ 𝐶 =
2𝑥2
2
+ 𝐶 = 𝑥2 + 𝐶 = 𝐹(𝑥) 
 
∫ 2𝑥
3
−1
 𝑑𝑥 = [𝑥2 + 𝐶]−1
3 = 𝐹(3) − 𝐹(−1) = (32 + 𝐶) − ((−1)2 + 𝐶) = (9 + 𝐶) − (−1 + 𝐶) = 9 + 1 + 𝐶 − 𝐶 = 10 
 
b) ∫ 4
5
−6
 𝑑𝑥 
∫ 4 𝑑𝑥 = 4𝑥 + 𝐶 = 𝐹(𝑥) 
∫ 4
5
−6
 𝑑𝑥 = [4𝑥 + 𝐶]−6
5 = 𝐹(5) − 𝐹(−6) 
= (4 × 5 + 𝐶) − (4 × (−6) + 𝐶) 
= 20 + 𝐶 − (−24 + 𝐶) 
= 20 + 24 + 𝐶 − 𝐶 
= 44 
 
 
 
c) ∫ (3𝑥2 + 18)
8
2
 𝑑𝑥 
 
 
Iniciamos determinando a integral indefinida para depois aplicar os limites de integração 
 
∫(3𝑥2 + 18) 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 18 𝑑𝑥 usando a Regra da adição de funções, avaliando cada parcela temos 
 
que ∫(3𝑥2 + 18) 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 + ∫ 18 𝑑𝑥 usando a Regra do múltiplo constante de uma função 
Daí: 
∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =
𝑥2+1
2 + 1
+ 𝐶 =
𝑥3
3
+ 𝐶 
 
∫ 18 𝑑𝑥 = 18𝑥 + 𝐶 
 
Portanto ∫(3𝑥2 + 18) 𝑑𝑥 = 𝟑
𝑥3
3
+ 18𝑥 + 𝐶 = 𝑥3 + 18𝑥 = 𝐹(𝑥) 
Escrevendo os limites de integração 
∫ (3𝑥2 + 18)
8
2
 𝑑𝑥 = [𝑥3 + 18𝑥 + 𝐶]2
8 
 
∫ (3𝑥2 + 18)
8
2
 𝑑𝑥 = 𝐹(8) − 𝐹(2) 
∫ (3𝑥2 + 18)
8
2
 𝑑𝑥 = [83 + 18 × 8 + 𝐶] − [23 + 18 × 2 + 𝐶] 
∫ (3𝑥2 + 18)
8
2
 𝑑𝑥 = 512 + 144 + 𝐶 − 8 − 36 − 𝐶 
∫ (3𝑥2 + 18)
8
2
 𝑑𝑥 = 612 
 
d) ∫ (𝑥3 − 6𝑥2 − 10)
25
20
 𝑑𝑥 
 
 
 
∫(𝑥3 − 6𝑥2 − 10) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ 10 𝑑𝑥 
Observe que 
∫ 𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑥3+1
3 + 1
+ 𝐶 =
𝑥4
4
+ 𝐶 
∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = 
𝑥2+1
2 + 1
+ 𝐶 =
𝑥3
3
+ 𝐶 
∫ 10 𝑑𝑥 = 10𝑥 + 𝐶 
 
Assim 
∫(𝑥3 − 6𝑥2 − 10) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 − 6 ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 − ∫ 10 𝑑𝑥 
 
∫(𝑥3 − 6𝑥2 − 10) 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
+ 𝐶 − 6 (
𝑥3
3
+ 𝐶) − (10𝑥 + 𝐶) 
∫(𝑥3 − 6𝑥2 − 10) 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
−
6𝑥3
3
− 10𝑥 + 𝐶 =
𝑥4
4
− 2𝑥3 − 10𝑥 + 𝐶 = 𝐹(𝑥) 
 
Portanto a integral definida, reescrevendo os limites de integração é 
 
∫ (𝑥3 − 6𝑥2 − 10)
25
20
 𝑑𝑥 = [
𝑥4
4
− 2𝑥3 − 10𝑥 + 𝐶]
20
25
 
 
∫ (𝑥3 − 6𝑥2 − 10)
25
20
 𝑑𝑥 = 𝐹(25) − 𝐹(20) 
∫ (𝑥3 − 6𝑥2 − 10)
25
20
 𝑑𝑥 = (
254
4
− 2(25)3 − 10 × 25 + 𝐶) − (
204
4
− 2(20)3 − 10 × 20 + 𝐶) 
 
∫ (𝑥3 − 6𝑥2 − 10)
25
20
 𝑑𝑥 = (97656,25 − 31250 − 250 + 𝐶) − (40000 − 16000 − 200 + 𝐶) 
∫ (𝑥3 − 6𝑥2 − 10)
25
20
 𝑑𝑥 = 66156,25 + 𝐶 − (23800 + 𝐶) 
∫ (𝑥3 − 6𝑥2 − 10)
25
20
 𝑑𝑥 = 42356,25 
 
A interpretaçãogeométrica da integração é o cálculo da área limitada pelo gráfico da função e os eixos cartesianos. 
 
 
 
Exemplo 3: Considere o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 23 e calcule a área delimitada pelo gráfico e x=1, x=5 (retas paralelas ao eixo y) e o 
eixo x. Essa região pode ser delimitada pela ∫ 23
5
1
 𝑑𝑥 e representada pelo retângulo identificado na figura. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Considere o gráfico da função 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 30 , a reta x=1, x=5 e o eixo x. A área delimitada por essa descrição é 
determinada pela ∫ (−2𝑥 + 30)
5
1
 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
Exemplo 5: Considere o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 − 4𝑥 + 6 e calcule a área delimitada por o gráfico de 𝑓(𝑥) , o eixo x e as duas 
retas paralelas ao eixo y que passam por x=-1 e x=2, a região colorida abaixo do gráfico e acima do eixo x, delimitada pelas retas 
paralelas ao eixo y é calculada pela integral definida ∫ 5𝑥2 − 4𝑥 + 6
4
−2
 𝑑𝑥 
 
 
Exemplo 6: Considere o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 30 e a região delimitada por f(x), as retas x=-3 e x=6 além da reta 
representada pelo eixo x, mas que também é a reta y=0. A área delimitada por essa região conforme o gráfico é calculada pela 
∫ (𝑥3 − 2𝑥 + 30)
6
−3
 𝑑𝑥