Sistemas Hiperestáticos I - 2018

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Sobre o autor (a) 
Vivianne Rosestolato D. Pereira Tannus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A autora deste caderno de estudos é a professora Vivianne Rosestolato 
Daruich Pereira Tannus, brasileira, natural de Porciúncula/RJ, Bacharel em 
Engenharia Civil pela Faculdade Redentor (REDENTOR, 2014/01), Mestre em 
Engenharia e Ciência dos Materiais pela Universidade Estadual Norte Fluminense 
(LAMAV/UENF, 2016), Especialista em Docência do Ensino Superior (REDENTOR, 
2015). É professora da Faculdade Redentor, nos polos Itaperuna e Campos dos 
Goytacazes desde 2014, nos cursos de Engenharia Civil, Engenharia Mecânica, 
Engenharia de Produção, Engenharia Elétrica, Arquitetura e Serviço Social. Tem 
experiência nas disciplinas de Introdução ao Cálculo, Geometria Descritiva, 
Geometria Analítica, Física I, Física II, Probabilidade e Estatística aplicada à 
Engenharia, Bioestatística, Cálculo III, Resistência dos Materiais, Topografia, 
Sistemas Isostáticos, Mecânica Geral e Aplicada, Estruturas Metálicas e Madeira, 
Sistemas Hiperestáticos I e II. Possui experiência em EaD. Atua como Engenheira 
Civil como projetista e responsável técnica. 
 
 
 
 
Apresentação 
 
 
Olá querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! 
 
Iniciando sua formação em Engenharia, você tem um novo desafio nas 
disciplinas do ciclo profissional. Nossa disciplina intitula-se Sistemas Hiperestáticos e 
aborda alguns tópicos que são ferramentas importantes para a formação profissional 
na área de Engenharia. Esses tópicos englobam, por exemplo, a análise de 
deslocamentos em pontos específicos em estruturas Isostáticas. Nesta disciplina 
aprenderemos também métodos de obtenção de reações de apoio em sistemas 
hiperestáticos planos e espaciais, bem como a influência das propriedades dos 
materiais nessas grandezas. 
É importante frisar que neste caderno você encontrará o básico dos conceitos 
necessários para iniciar projetos civis de estruturas reais. Vale ressaltar que será 
muito importante consultar as bibliografias referenciais, além de outras que forem 
recomendadas. Acima de tudo, você deverá praticar muito. 
A disciplina foi dividida em dezesseis aulas, contendo exemplos e atividades a 
serem resolvidas, sendo importante você manter uma constância em seus estudos. 
Portanto, não acumule dúvidas! Consulte o professor, participe dos fóruns, 
releia o caderno, as bibliografias recomendadas, faça os exercícios teóricos e 
práticos, assista aos vídeos sugeridos e outras fontes que você considerar 
importantes para sua aprendizagem. 
Não esqueça: aprender Sistemas Hiperestáticos (HIPER I) requer dedicação e 
prática de exercícios! Então, foque nos conceitos abordados e pratique bastante! 
Lembre-se de que disciplinas ligadas à matemática e física possuem 
inúmeras formas de resolução, além de uma grande variabilidade de situações que 
podem ser influenciadas por detalhes na estrutura. 
Desta forma, quanto mais exemplos forem resolvidos, maior será sua 
capacidade de solucionar casos e até mesmo prever o comportamento da estrutura. 
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Bons estudos! 
 
 
 
Objetivos 
 
 
Sistemas Hiperestáticos I é uma das disciplinas que compõem o ciclo 
profissional da Engenharia, na área de análise estrutural. Seu objetivo é analisar 
solicitações e deformações em estruturas planas hiperestáticas. O conhecimento 
fornecido nesta disciplina possibilita ao aluno a compreensão de conceitos 
estruturais, além de embasar escolhas de sistemas de sustentação em situações 
reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este caderno de estudos tem como objetivos: 
 
 Analisar quadros, treliças e grelhas planas e espaciais; 
 Perceber a taxa de variação de momento fletor na estrutura, 
através de funções matemáticas; 
 Analisar a influência da geometria da estrutura no deslocamento 
provocado por esforços externos; 
 Analisar a influência da elasticidade do material que compõe a 
estrutura no deslocamento provocado por esforços externos; 
 Analisar os possíveis deslocamentos em pontos da estrutura que 
permitem os mesmos; 
 Avaliar a necessidade dos tipos de vínculos para diversas 
situações; 
 Determinar as solicitações em todos os elementos estruturais de 
uma estrutura hiperestática; 
 Determinar as reações de apoio devido a cargas externas em 
estruturas hiperestáticas; 
 Interpretação e solução de problemas espaciais nas demais 
disciplinas do curso; 
 Capacitar o acadêmico na habilidade de interpretação e 
resolução de problemas concretos e abstratos, aumentando sua 
visão espacial, integrando conhecimentos multidisciplinares e 
viabilizando a representação de figuras associadas a novos 
padrões e técnicas de resolução. 
 
 
 
Sumário 
 
 
AULA 1 – FUNÇÕES DE CURVA 
1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 11 
1.1 Funções de Curvas ......................................................................................... 11 
1.2 Diagrama de Motor Fletor .............................................................................. 14 
 
AULA 2 - TIPOS DE ESTRUTURAS E SUAS APLICAÇÕES 
2 CONCEITO BÁSICO DE ANÁLISE ESTRUTURAL .......................................................... 28 
 
AULA 3 - DESLOCAMENTO E DEFORMAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
3 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................. 38 
3.1 Estados de Deformação e Carregamento .................................................... 38 
 
AULA 4 - DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR 
4 MÉTODO DE DESLOCAMENTO (CONTINUAÇÃO) .................................................... 47 
4.1 Funções e Sobreposição dos Esforços .......................................................... 47 
 
AULA 5 - ROTAÇÃO 
5 MÉTODOS DOS DESLOCAMENTOS ........................................................................... 58 
5.1 Análise de Rotação ........................................................................................ 58 
 
AULA 6 - DESLOCAMENTO VERTICAL 
6 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................. 68 
 
AULA 7 - TRANSLAÇÃO VERTICAL, HORIZONTAL E ROTAÇÃO 
7 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ............................................................................. 77 
7.1 Cálculo Dos Três Deslocamentos Possíveis Em Um Determinado Ponto .... 77 
 
AULA 8 - REVISÃO 
8 REVISÃO – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS ........................................................... 85 
 
AULA 9 - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS 
9 ESTRUTURAS ............................................................................................................... 94 
9.1 Estruturas Hipostáticas .................................................................................... 95
 
 
9.2 Estruturas Isostáticas ....................................................................................... 96 
9.3 Estruturas Hiperestáticas ................................................................................. 97 
9.4 Grau De Hiperestaticidade ............................................................................ 99 
 
AULA 10 - MÉTODO DAS FORÇAS 
10 MÉTODO .................................................................................................................. 105 
10.1 Método das Forças ...................................................................................... 105 
10.2 Metodologia de Cálculo ............................................................................. 105 
 
AULA11 - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS LINEARES 
11 ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS LINEARES .................................................................. 129 
 
AULA 12 - MÉTODOS DAS FORÇAS (CONTINUAÇÃO) 
12 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS FORÇAS ............................................................. 152 
 
AULA 13 - ANÁLISE DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
13 VIGAS HIPERESTÁTICAS – MÉTODO DAS FORÇAS ................................................. 175 
 
AULA 14 - ESTRUTURAS SIMÉTRICAS 
14 INTRODUÇÃO ESTRUTURAS SIMÉTRICAs ................................................................. 184 
 
AULA 15 - Efeitos de variação de temperatura em estruturas hiperestáticas 
15 INTRODUÇÃO EFEITOS DE VARIAÇÃO DE TEMPERATURA EM ESTRUTURAS 
HIPERESTÁTICAS ................................................................................................................ 197 
 
AULA 16 - EFEITOS DA OCORRÊNCIA DE RECALQUES DE APOIO EM ESTRUTURAS 
HIPERESTÁTICAS 
16 EFEITOS DA OCORRÊNCIA ...................................................................................... 200 
16.1 Edifício Nuncio Malzoni ............................................................................... 203 
 
 
 
 
Iconografia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções de curva 
Aula 1 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula, veremos alguns conceitos já estudados anteriormente em outras 
disciplinas e que se fazem importantes para o desenvolvimento e compreensão 
desta. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Relembrar conceitos de funções de reta. 
 Relembrar conceitos de funções de parábolas. 
 Descrever diagramas de momento fletor em funções e seus limites. 
 Determinar reações de apoio em estruturas isostáticas. 
 Determinar diagramas de momento fletor em estruturas isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
Sempre que pensamos em Engenharia Civil nos vem à mente a palavra 
CÁLCULO. E realmente, pode ser utilizada na maioria das vezes para definir 
objetivos das disciplinas deste curso. O cálculo estrutural é a coluna cervical da 
engenharia e, para que possamos desenvolver todos os conceitos necessários de 
maneira fácil e rápida, faremos uma revisão dos conteúdos pertinentes aos nossos 
assuntos desta disciplina. 
1.1 Funções de Curvas 
O primeiro conteúdo a ser revisado será a respeito de funções. Nosso 
processo de cálculo estrutural requer que os gráficos de esforços solicitantes sejam 
descritos em forma de funções, barra a barra. Por exemplo, vamos analisar o 
Diagrama de Momento Fletor da Figura 1 abaixo: 
Figura 1: Pórtico Plano com solicitações externas e DMF. 
 
Fonte: AUTOR (2018) 
 
 
 
12 
 
 
É necessário que cada elemento estrutural do pórtico 
tenha seu momento fletor descrito por uma função. Para 
facilitar o entendimento, numeramos as barras da maneira 
que acharmos melhor (Figura 2). Neste caso usaremos a 
coluna da esquerda como Barra 1 (B1), a viga como Barra 2 (B2) e a coluna 
da direita como Barra 3 (B3). 
Assim, separando os elementos: 
 
 
Agora, vamos analisar cada barra e suas respectivas funções. Como 
convenção, vamos adotar as dimensões das barras como dados do eixo x e os 
valores de momento, dados do eixo y. Adotaremos também a origem dos eixos 
sempre como o ponto inicial da estrutura, analisando da esquerda para a direita e de 
baixo para cima (Figura 3). 
Para B1 temos: 
Para x = 0, ou seja, o início do elemento 
estrutural tem um momento nulo. Assim, o par 
ordenado fica (0; 0) 
Para x = 5, ou seja, o fim do elemento estrutural, 
temos um momento com valor +300 kN.m. Assim, o 
par ordenado fica (5; 300) 
 
 
 
 
13 
 
 
Substituindo os valores na equação da reta y = ax + b, temos: 
 
 
 
 
Agora, é só substituir os valores de a e b na equação da reta! Assim, a função 
que descreve a variação do momento na Barra 1 fica: y = 60x 
Para curvas de segundo grau, 
utilizaremos o método de integração para 
descrever a função. 
O processo é bem simples e consiste 
em uma simples substituição de valores na 
fórmula 𝒚 = ∫(−𝑸𝒙 + 𝑽𝑨)𝒅𝒙, onde Q é o valor 
do carregamento distribuído que deu origem à 
parábola e VA é o valor da reação vertical do 
apoio da esquerda. 
 
Substituindo e integrando, temos: 
 
 
 
Esta etapa requer uma atenção especial para 
identificar o valor de c. Sabemos que o termo independente 
de uma função revela o ponto em que a curva toca o eixo y. 
Assim, o valor de c sempre será o primeiro valor de momento 
do elemento em análise, considerando o sinal do gráfico. Para este exemplo, 
temos como momento inicial o valor de 300kN.m. 
Assim, a função que descreve a variação do momento na Barra 2 fica: 
𝒚 = −𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝒙 + 𝟑𝟎𝟎 
 
 
 
 
14 
 
 
Para x = 0, ou seja, o início do elemento 
estrutural, temos um momento com valor de +120 
kN.m. Assim, o par ordenado fica (0; 120). 
Para x = 2, temos um momento com valor 
nulo. Assim, o segundo par ordenado fica (2; 0). 
 
 
Note que no trecho x de 2m a 3m, não há gráfico de momento. Em casos 
como este, a seção nula é excluída e não é necessária uma função para descrevê-
la. Assim: 120 = 0*a + b  b = 120 
0 = 2*a + 120  a = -60 
 
Assim, a função que descreve a variação do momento na Barra 3 fica: y = -
60x + 120. É importante ressaltar que esta é uma das inúmeras formas de se 
descrever funções de curvas. O aluno tem total liberdade para utilizar a forma que 
desejar para a obtenção das equações das curvas, desde que alcance a função 
adequada para cada elemento. 
 
Dicas de leitura sobre funções de curvas: 
<http://redentor.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/
9788581430966/pages/-22>. 
 
1.2 Diagrama de Motor Fletor 
O segundo item a ser revisado é a obtenção dos diagramas de 
momento fletor. Aqui serão vistas as convenções utilizadas e o cálculo 
de momento ponto a ponto. Em uma estrutura, são necessários valores 
de momento em pontos críticos existentes. Estes pontos são 
caracterizados por elementos estruturais ou solicitações que modificam os valores 
de momento. São eles: vínculos de apoio, rótulas, cargas concentradas, início e fim 
de carregamentos distribuídos, nós rígidos entre outros não tão frequentes. Vamos 
tomar um exemplo para demonstrar como serão feitos o processo de cálculo e as 
convenções. Seja o pórtico da Figura 6: 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Primeiro passo: calcular as reações de apoio 
Temos no apoio A uma reação vertical que será chamada de VA e, em B, duas 
reações. Uma horizontal que será nomeada HB e uma vertical, VB. Como sabemos 
que a reações de apoios são responsáveis pelo equilíbrio das solicitações, é 
conveniente que sejam arbitradas sempre em sentido contrário às ações. Assim, 
como mostra a Figura 7, nossa estrutura fica convencionada desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: nesta etapa de cálculo do somatório de momento, o aluno pode 
escolher qual sentido de giro será considerado positivo, sem qualquer alteração de 
resultados. Será utilizado neste caderno o sentido horário positivo. Esta escolha 
pode ser feita por ser tratar de um somatório de todo o momento da estrutura em 
relação a um ponto. É importante lembrar que este somatório sempre é nulo. Assim, 
tomando um sentido comopositivo tudo que for contrário será negativo e a conta 
será anulada independente da convenção. 
 
É importante observar que as reações foram calculadas 
todas como positivas. Isso se dá pelo fato de que o sentido dos 
vetores está correto. Assim, toda reação obtida com sinal 
negatvo significa que o sentido está invertido. 
 
Com as reações devidamente calculadas, iniciaremos o processo de cálculo 
de momento nos pontos críticos, previamente assinalados pelas letras de A até G 
(Figura 8). Alguns conceitos básicos de momento simplificam o processo de 
obtenção dos valores de momento. Vejamos inicialmente os casos dos pontos A e B. 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São dois apoios rotulados em extremidade. Esta 
característica garante que o valor de momento nesses dois 
pontos seja ZERO. Mas por quê? 
 
 
Sabemos que o momento em qualquer ponto da estrutura possui o mesmo 
valor quando calculado à direita e à esquerda do ponto, ou seja, antes e depois da 
posição analisada. Um apoio rotulado não possui reação de momento, assim, não 
tem um momento concentrado neste vínculo. O que poderia gerar momento em um 
apoio rotulado seriam as cargas aplicadas fora deste ponto. O ponto A por ser um 
extremo, não possui nenhum elemento estrutural localizado antes dele, ou seja, 
nenhuma solicitação capaz de gerar momento naquele ponto. Assim, todo momento 
gerado pelo conjunto de forças situados depois do ponto será anulado. 
 
O mesmo caso ocorre no ponto B. Assim, para facilitar o 
processo, sempre que houver apoio de primeiro ou segundo 
gênero em extremidade da estrutura, o valor do momento 
neste ponto será zero, a não ser que haja uma carga externa 
de momento aplicado neste ponto. 
 
18 
 
 
Analisaremos agora pontos em que se pode ter certeza de momento nulo. 
Esta análise é feita a partir do conceito citado anteriormente, a respeito da igualdade 
do momento quando calculado antes e depois do ponto. Buscando na estrutura, 
encontramos o ponto C. Ao observarmos a estrutura abaixo (antes ou à esquerda) 
do ponto C, verificamos que não existe nenhuma solicitação capaz de gerar 
momento neste ponto. Assim, podemos confirmar que o valor do momento em C é 
ZERO. 
Nos demais pontos é necessário o cálculo de momento fletor. 
Então, já temos: MA = MB = MC = 0 
 
 Cálculo do momento no ponto D: Vamos utilizar sempre o critério da 
igualdade de momento antes e depois do ponto, buscando sempre a parte mais 
simples para realização do cálculo. Observando o esquema da Figura 9, é possível 
perceber claramente que a estrutura situada antes do ponto em análise é bem mais 
simples do que a localizada à direita do ponto. Assim, podemos calcular o momento 
em D somente pela parte à esquerda (ou abaixo) do ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para convenção de sinais de diagramas de momento, 
utilizaremos um processo bastante simples. Quando analisarmos 
colunas, toda carga que “deslocar” a coluna para dentro da estrutura 
19 
 
 
será considerada como geradora de momento negativo. Desta forma, toda 
solicitação que “deslocar” a coluna para fora, provocará um momento positivo. Esta 
técnica pode ser utilizada em qualquer caso, analisando pela direita ou pela 
esquerda, além de garantir sempre o menor processo de cálculo possível em cada 
situação. Analisando a coluna AD (Figura 10), observamos que a única carga que 
gera momento em D é a de 40kN. Esta carga tende a deslocar a coluna para 
“dentro” da estrutura, gerando assim um momento negativo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo mesmo processo, vamos obter o momento no ponto E. Neste caso será 
mais simples analisar a estrutura depois do ponto E, ou seja, à direita, pois é 
composta somente por uma coluna. Assim, ME = -20*1 – HB*5(deslocando a coluna 
para dentro da estrutura) + 20*3 (“abrindo a estrutura”) ME = -160 kN.m 
MF (pela direita) = 20*2 – HB*4 = -120kN.m 
MG (pela direita) = -HB*2 = -80kN.m 
 
Com os valores de momento obtidos, é só ligar os pontos no gráfico de 
acordo com a carga que dá origem aos momentos (Figura 11). 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo 
 
 
Prezado aluno, nesta aula abordamos: 
 
 Formas simplificadas de se obter funções de reta; 
 Método de integração de cortante para obtenção de parábolas relativas 
ao DMF; 
 Como se determina reações de apoio em pórticos isostáticos; 
 Como se traça um DMF de maneira simples utilizando a convenção de 
sinais proposta. 
 
Além disso, você aprendeu que um diagrama de esforço solicitante pode ser 
descrito em formas de funções. 
Percebeu que reações de apoio verticais nem sempre precisam ser utilizadas 
para o cálculo de um diagrama de momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
SUSSEKIND, José Carlos; SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise 
Estrutural–Estruturas Isostáticas. Editora Globo, 1980. 
 
SUSSEKIND, JOSE CARLOS. Curso de Analise Estrutural. vol. I, 
Ed. Globo, SE10 Paulo, 1991. 
 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – Vol. 2: Deformações em 
Estruturas, Método das Forças–Vol. 3: Método das Deformações, Processo de 
Cross. 1977. 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 1 
Exercícios 
 
 
1. Determinar, para os pórticos a seguir, as reações de apoio, os diagramas 
de momento fletor e as funções que descrevem a variação do momento em cada 
elemento estrutural. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 1 
Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 1 
Gabarito 
 
 
B1: y = -20x B1A: y = -30x B1A: y = 20x 
B2: y = -5x² + 15x – 40 B1B: y = -60 B1B: y = 40x - 60 
B3: y = 20x - 60 B2: y = -10x² + 62x - 60 B2: y = -15x² + 55x + 100 
 B3: y = 0 B3: y = 80 – 40x 
 
 
 
 
AULA 1 
Gabarito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de estruturas e suas aplicações 
Aula 2 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Prezados alunos, nesta aula, veremos alguns conceitos básicos sobre tipos 
de estruturas hiperestáticas e suas aplicações. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Perceber os tipos de esforços que atuam nos elementos estruturais. 
 Prever deslocamentos em pontos específicos da estrutura. 
 Prever pontos que não permitem deslocamento. 
 Entender o conceito de sistemas treliçados e seus deslocamentos 
possíveis. 
 Entender o conceito de grelhas espaciais e seus deslocamentos 
possíveis. 
 Entender o conceito de pórticos espaciais e seus deslocamentos 
possíveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 CONCEITO BÁSICO DE ANÁLISE ESTRUTURAL 
Esta aula traz alguns conceitos que vão nos ajudar a analisar estruturas 
compostas por barras. A Figura 12 mostra um exemplo de um quadro ou pórtico 
plano. 
 
 
Um quadro plano é a simplificação de um modelo espacial de estrutura. Ele 
corresponde a uma parcela da estrutura que caracteriza o comportamento 
tridimensional. São estruturas representadas em duas dimensões, neste caderno 
nos eixos x e y. As cargas também estão contidas no mesmo plano incluindo forças 
com componentes nas direções dos eixos X e Y e momentos em torno do eixo Z 
(que sai do plano). A Figura 12 também mostra a deformação da estrutura devida às 
solicitações,de forma amplificada, com as componentes de deslocamentos e 
rotações dos nós. O modelo desenvolvido para representação de quadros planos 
não permite deslocamentos na direção Z e nem rotações em torno dos eixos X e Y. 
Assim sendo, existem diversos conceitos de capacidade de produção e todos com 
pontos em comum, porém, nesta aula será evidenciada a definição trazida por Slack 
et al (2002) em seu livro, que a descreve como sendo “o máximo nível de atividade 
de valor adicionado em determinado período de tempo que o processo pode realizar 
sob condições normais de operação”. Assim, o que é analisado em um modelo plano 
são os seguintes componentes: 
 H → deslocamento na direção do eixo global X; 
29 
 
 
 V → deslocamento na direção do eixo global Y; 
 R→ rotação em torno do eixo global Z. 
 
Os elementos que compõem um pórtico são unidos por 
nós rígidos, perfeitos, a menos que algum tipo de liberação seja 
indicado. Estes nos possibilitam deslocamentos e rotação 
compatíveis com cada ligação. 
 
Ligações rígidas provocam a deformação por flexão na estrutura aporticada. 
Os esforços internos também estão associados ao comportamento plano da 
estrutura. Neste tipo de estrutura, existem apenas três esforços internos (Figura 13): 
 N → esforço normal (esforço interno axial) na direção do eixo local x; 
 Q → esforço cortante (esforço interno transversal) na direção do eixo local 
y; 
 M → momento fletor (esforço interno de flexão) em torno do eixo local z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esforços internos em uma estrutura representam as tensões de ligação entre 
as partículas dos materiais. Eles representam o efeito de forças e momentos entre 
duas partes de uma estrutura reticulada, quando fazemos um “corte” em 
determinado ponto. Assim, cada lado deste “corte” possui esforços ligantes axiais, 
cortantes e de momento, posicionados de forma invertida um em relação ao outro, o 
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que caracteriza a solicitação sendo exercida de ambos os lados. Mais adiante, 
veremos a relação entre estes esforços internos e as tensões. Outro tipo de 
estrutura reticulada é a treliça, representada na Figura 14 com supostas cargas e 
reações. 
 
 
Uma treliça se caracteriza por possuir vínculos entre barras que permitem 
girar independentemente nas ligações. Na análise de uma treliça, as cargas atuantes 
são transferidas para os seus nós. Isso faz com que uma treliça apresente apenas 
esforços normais de tração ou compressão. Mais uma forma usual de estrutura 
reticulada é a grelha, as quais apresentam cargas na direção perpendicular ao 
plano, incluindo momentos. A Figura 15 traz uma grelha solicitada por um 
carregamento transversal distribuído de maneira uniforme. Os apoios de uma grelha 
apresentam apenas uma componente de força, que é na direção vertical Z, e duas 
componentes de momento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
 
Como hipótese de cálculo, consideramos que uma grelha não apresenta 
deslocamentos dentro do seu plano. A Figura 15, assim como fizemos com o pórtico, 
indica a configuração exagerada de deformação da grelha, que apresenta os 
seguintes componentes de deslocamento e rotações: 
 Vz → deslocamento na direção do eixo global Z; 
 Rx → rotação em torno do eixo global X; 
 Ry →rotação em torno do eixo global Y. 
 
Na maioria dos casos, os nós que unem os elementos estruturais de grelhas 
são rígidos. Mas isso não significa que não possa haver rótulas, responsáveis por 
liberar um ou dois componentes de rotação. Os esforços internos de uma barra de 
grelha estão mostrados na Figura 16, juntamente com a convenção adotada para os 
eixos locais de uma barra de grelha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São três os esforços internos: 
 Q→ esforço cortante (esforço interno transversal) na direção do eixo local 
z; 
 M→ momento fletor (esforço interno de flexão) em torno do eixo local y; 
 T→ momento torçor (esforço interno de torção) em torno do eixo local x. 
 
E, por último, o caso mais usual de estruturas reticuladas: o pórtico espacial 
(Figura 17). 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ele representa a união de um pórtico plano a uma grelha. É exatamente o tipo 
de estrutura que buscamos dimensionar quando se trata de uma edificação. É 
necessário analisar cada ponto de um quadro espacial pode ter três componentes de 
deslocamento. Vamos pegar, por exemplo, o ponto E da estrutura. É fácil imaginar 
que este ponto pode ser deslocado para os lados (H), assim como pode ser 
“torcido” em qualquer uma das três direções (R) ou até mesmo empurrado para 
baixo ou “puxado” para cima (V). 
 
<http://redentor.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/97
88581431277>. 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
SUSSEKIND, José Carlos; SUSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise 
Estrutural–Estruturas Isostáticas. Editora Globo, 1980. 
 
SUSSEKIND, JOSE CARLOS. Curso de Analise Estrutural. vol. I, 
Ed. Globo, SE10 Paulo, 1991. 
 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural – Vol. 2: Deformações em 
Estruturas, Método das Forças–Vol. 3: Método das Deformações, Processo de 
Cross. 1977. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 
Exercícios 
 
1. Determinar os possíveis deslocamentos nos pontos assinalados na 
estrutura. 
 
 
1º PASSO: 
Como se trata de uma análise fictícia de capacidade de deslocamento em 
pontos específicos vamos considerar os mais diversos tipos de solicitações na 
estrutura, capazes de movimentar os pontos escolhidos em todas as direções 
possíveis. 
 
2º PASSO – Ponto A: 
Primeiramente escolhemos o ponto e analisamos o tipo de apoio: É um 
vínculo conhecido como engaste deslizante. Sua principal característica é 
liberar a translação em um dos eixos, vertical ou horizontal. Nunca as 
duas simultaneamente. Neste caso específico, podemos observar uma 
capacidade de deslizamento no eixo y, assim, este apoio provoca duas reações: 
Momento Fletor e Reação Horizontal. 
 
3º PASSO – ANÁLISE DE DESLOCAMENTO: 
Conhecendo o tipo de apoio e as solicitações que ele é capaz de restringir, 
fica fácil definir quais as direções que podem ser deslocadas neste ponto. 
Se o apoio gera uma reação de momento, significa que ele combate o 
momento que chega naquele ponto, não permitindo qualquer rotação ali. Assim, não 
é possível ocorrer rotação no ponto a, pois o tipo de vínculo impede este movimento. 
Da mesma forma, este tipo de apoio gera uma reação horizontal, ou seja, 
impede o movimento neste sentido. Assim, não é possível ocorrer translação 
horizontal no ponto a. 
35 
 
 
Vimos também que este mesmo vínculo não gera uma reação vertical, ou 
seja, ele permite o movimento nesta direção. Assim, o apoio engaste deslizante só 
permite deslocamento vertical. 
Concluindo, o ponto a pode possuir va. 
 
Agora é a sua vez! 
Analise os tipos de apoio, siga este passo a passo e verifique quais as 
possibilidades de deslocamento nos demais pontos assinalados! 
 
SUGESTÃO DE LEITURA: 
<http://ceenc.blogspot.com.br/2016/02/curso-de-analise-
estrutural-1-2-e-3.html>. 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 2 
Gabarito 
 
 
Ponto B: não permite deslocamentos 
Ponto C: não permite deslocamentos 
Ponto D: RD 
Ponto E: HE, RE. 
Ponto F: RF 
Nós rígidos (G, H, J, K): permitem todos os deslocamentos (H, V, R). 
Rótula I: permitem todos os deslocamentos (HI, VI, RI).Deslocamento e deformação das 
estruturas 
Aula 3 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula, iniciaremos nossos cálculos estruturais. Sabemos 
que todo material é capaz de se deformar e, como vimos na aula 2, 
alguns tipos de vínculos permitem deslocamentos também. 
Bem, dessa forma, nosso objetivo a partir de agora é 
determinar o deslocamento, gerado por um conjunto de solicitações, em qualquer 
ponto da estrutura. E, nesta aula, realizaremos os três primeiros passos para este 
cálculo. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Compreender o início do método dos deslocamentos. 
 Determinar o módulo de rigidez de peças estruturais. 
 Escolher pontos críticos de deslocamento na estrutura. 
 Montar o estado de deformação de um pórtico isostático. 
 Montar o estado de carregamento referente ao deslocamento previsto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
 
3 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
3.1 Estados de Deformação e Carregamento 
O cálculo do deslocamento se faz necessário para que possamos avaliar se a 
deformação do elemento estrutural está dentro do permitido. Aplicaremos este 
método inicialmente em estruturas isostáticas, o que será de grande ajuda para 
nosso objetivo final desta disciplina, que é determinar reações de apoio e diagramas 
de esforços solicitantes em estruturas hiperestáticas. 
Nosso processo consiste nos seguintes passos: 
I. Escolha do ponto a ser analisado; 
II. Determinação do Estado de Deformação (E0); 
a. Reações de apoio e DMF (M0); 
III. Determinação do Estado de Carregamento (E1); 
a. Reações de apoio e DMF (M1); 
IV. Descrição dos diagramas em funções; 
a. B10 e B11 
b. B20 e B21 
c. B30 e B31 
V. Sobreposição de esforços; 
a. 𝐸𝐼𝛿𝑖 = ∫ 𝑀𝑜𝑀𝑖𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
VI. Determinação do deslocamento no ponto; 
 
a. 𝛿 = ∑𝛿𝑖 
 
 
A melhor forma de aprender cálculo estrutural é 
praticando, não se esqueça disso! Por isso, nosso conteúdo será 
explicado sempre a partir de exemplos, a fim de facilitar o 
entendimento. Então, vamos começar?! 
 
 
 
39 
 
 
Seja o pórtico plano representado na Figura: 
1º passo: Definir o módulo de 
rigidez do material, mais conhecido 
como EI. Este módulo agrega as 
informações referentes ao Módulo de 
Elasticidade do material que compõe a 
estrutura (E) com as características 
geométricas da seção transversal, 
representada pelo Momento de Inércia 
(I). O módulo de elasticidade do 
concreto varia de acordo com a sua 
resistência à compressão (fck). Se um 
concreto possui fck = 25, significa que 
sua resistência à tração é de 25 MPa. Para um fck = 50, temos uma resistência de 
50 MPa, e assim por diante. De modo geral, de acordo com a NBR 6118, podemos 
calcular este valor seguindo a seguinte fórmula: 
𝐸 = 5,6√𝑓𝑐𝑘 
 
Com fck em MPa e E em GPa. 
 
É importante ressaltar que este valor não está condicionado a um coeficiente 
de segurança. Caso seja previsto o uso deste nesta etapa de cálculo, aplicamos a 
seguinte fórmula: 
𝐸𝑐𝑠 = 0,85𝐸 
 
Para este caso, vamos considerar uma estrutura de concreto armado, com as 
seguintes propriedades: 
 Concreto fck = 30; (30MPa) 
 Seção transversal uniforme e retangular com b = 20 cm e h = 40 cm. 
 
Assim, começaremos calculando o MÓDULO DE RIGIDEZ DO MATERIAL 
(EI): 
 
40 
 
 
 Para o cálculo do E, utilizaremos a fórmula apresentada anteriormente 
SEM O COEFICIENTE DE SEGURANÇA. 
𝐸 = 5,6√𝑓𝑐𝑘 
𝐸 = 5,6√30 
𝑬 = 𝟑𝟎, 𝟔𝟕𝟐𝟒𝟔 ≈ 𝟑𝟎, 𝟔𝟕 𝑮𝑷𝒂 
 
 Para o cálculo do I, considerando a seção retangular e constante, teremos 
o mesmo Momento de Inércia para todos os elementos estruturais (duas colunas e 
uma viga). 
 
𝐼 =
𝑏ℎ³
12
 
𝐼 =
0,2 ∗ 0,4³
12
 
𝑰 = 𝟏𝟎𝟔, 𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓𝒎𝟒 
 
Com esses valores, podemos calcular nosso MÓDULO DE RIGIDEZ EI. 
EI = 30,67GPa * 106,7 * 10-5m4 
EI = 32,72*106 N.m² = 3,272*104 kN.m² 
 
É interessante que deixemos a unidade do EI em kN.m² para que fiquem 
compatíveis com os dados reais da estrutura. 
 
2º passo: 
Para calcular os valores de deslocamentos desejados, inicialmente devemos 
escolher o ponto específico. Neste caso, podemos observar um apoio de primeiro 
gênero na coluna da direita, que permite deslizamento horizontal neste ponto. Assim, 
seria interessante saber o quanto este ponto translada e se este valor é seguro. 
Então temos definido que seja analisado o deslocamento horizontal no ponto B, ou 
simplesmente HB. Para isso, usaremos como dito previamente, o método dos 
deslocamentos, ou dos esforços, que consiste em uma sobreposição de esforços 
reais e esforços virtuais para obtenção de resultados. Os esforços reais são 
calculados facilmente, utilizando as técnicas que você aprendeu em Mecânica Geral 
e Sistemas Isostáticos: Calculamos as reações da estrutura e posteriormente, seu 
41 
 
 
DMF. O cálculo das solicitações do estado real é chamado de ESTADO DE 
DEFORMAÇÃO, ou simplesmente E0. 
 
Nesta etapa verificamos toda a deformação causada na estrutura em geral, 
sem especificar nenhum ponto. 
 
Para a situação em questão, teremos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando as equações de equilíbrio: 
Para facilitar o entendimento, como se trata de EQUILIBRAR a estrutura, 
podemos montar a equação colocando de um lado da igualdade as forças 
de mesmo sentido e, do outro lado da igualdade, as que possuem sentido 
contrário às primeiras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
 
 Construindo o DMF: 
 Pontos de momento nulo: A B e E 
 MCe (momento no ponto C pela esquerda) = HA*4 = 20*4 = 80kN.m 
 MDd (momento no ponto D pela direita) = 20*2 = 40 kN.m 
 Mmáx da carga distribuída = qL²/8 = 10*4²/8 = 20 kN.m 
 
Assim, nosso DMF do Estado de Deformação, ou E0, é denominado M0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º passo: 
Calculados os esforços do Estado Real, partiremos para a análise do Estado 
Virtual, também chamado de Estado de Carregamento ou E1. Nesta etapa, vamos 
focar no ponto a ser analisado. Com os dados colhidos aqui, conseguiremos 
direcionar todas as cargas reais influentes para o deslocamento desejado. Como 
você já estudou em Resistência dos Materiais, o Princípio dos Trabalhos Virtuais 
(PVT) funciona da seguinte forma: 
 Excluímos todas as cargas reais que solicitam a estrutura; 
 Escolhemos um ponto a ser analisado; 
 Aplicamos neste ponto uma carga virtual unitária de natureza do 
deslocamento a ser calculado; 
 Determinamos as reações de apoio virtuais e o DMF virtual, chamado de 
E1. 
Então, mãos à obra! 
43 
 
 
 Já conhecemos o ponto a ser analisado, o apoio de primeiro gênero que 
chamamos de ponto B; 
 A carga virtual unitária a ser aplicada será pontual com direção horizontal, 
pois queremos saber O DESLOCAMENTO LINEAR HORIZONTAL DESTE PONTO 
(HB). 
 
Nosso estado virtual E1 fica desta maneira: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aplicando as equações de equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Construindo o DMF: 
44 
 
 
 Pontos de momento nulo: A e B 
 MCe (momento no ponto C pela esquerda) = HA*4 = 1*4 = 4kN.m 
 MDd (momento no ponto D pela direita) = 1*4 = 4 kN.m 
 
Assim, nosso DMF do Estado de Deformação, ou E0, é denominado M0: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na próxima aula, começaremos o processo de descrição dos gráficos em 
funções, conforme foi revisado naaula 1. Então, vale a pena dar uma 
relembrada para facilitar seu entendimento! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2004. 
 
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e 
Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. 
 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto 
Alegre, 1983. 
 
BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. 
M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. 
 
CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: 
Editora Guanabara Dois, 1985. 
 
POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 
1977. 376p. 
 
ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 
1970. 
 
SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramas de Momento Fletor 
Aula 4 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Prosseguindo com o exemplo da aula 3, chegou a hora de descrever os 
DMF’s em funções e limites para posterior sobreposição dos esforços, na aula 5. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Descrever diagramas de momento reais em funções. 
 Descrever diagramas de momento virtuais em funções. 
 Comparar diagramas e definir os limites de ação dos esforços. 
 Sobrepor esforços e calcular o deslocamento horizontal em apoios 
simples. 
 Analisar o sentido do deslocamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
4 MÉTODO DE DESLOCAMENTO (CONTINUAÇÃO) 
4.1 Funções e Sobreposição dos Esforços 
Primeiro, analisaremos os dois pórticos juntamente, para identificarmos quais 
os trechos serão calculados. Como vamos aplicar as funções em um produto, é 
viável que observemos quais as barras possuem momento. Para cada elemento 
estrutural do pórtico faremos um processo de integração e, por isso, se uma das 
barras de um dos estados não possuir valores de momento, automaticamente a 
correspondente do outro estado se anula. Neste caso, podemos observar que as 
três barras dos dois estados possuem valores de momento. Assim, começaremos a 
descrever as funções a partir da B1 do E0 e do E1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B1 
Intervalo da função: aqui entram os valores de x 
que marcam o início e fim do gráfico analisado. 
Marcamos o início da barra como zero e temos o fim 
em 4 metros. Assim, [0; 4] 
 
 Para B10: 
(0;0) e (4;80) 
Substituindo em y = ax + b: y = 20x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 Para B11: 
(0;0) e (4;4) 
48 
 
 
Substituindo em y = ax + b: y = x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 
Lembre-se: esta função serve para descrever o comportamento do 
momento na estrutura. Então, caso tenha insegurança com a função 
encontrada, é só substituir os limites na função no lugar do x e verificar se os 
valores de y coincidem com os pontos. 
 
Exemplo de verificação: para B10: 
y = 20x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
Para x = 0; y = 20*0 = 0 OK! 
Para x = 4; y = 20*4 = 80 OK! 
 
 B2 
Intervalo da função: aqui entram os valores de x 
que marcam o início e fim do gráfico analisado. 
Marcamos o início da barra como zero e temos o fim em 
4 metros. Assim, [0; 4] 
 
 
 Para B20: 
𝑦 = ∫−𝑄𝑥 + 𝑉𝐴. 𝑑𝑥 
 
Carga distribuída: Q = 10 kN.m 
Reação de apoio da primeira coluna: VA = 10 kN 
Momento em x = o: c = 80 kN.m 
Substituindo: 𝑦 = ∫−10𝑥 + 10. 𝑑𝑥  -5x² + 10x + 80 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 
 Para B21: 
(0;4) e (4;4) 
Substituindo em y = ax + b: y = 4 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 
49 
 
 
 B3 
Intervalo da função: aqui entram os valores 
de x que marcam o início e fim do gráfico 
analisado. Neste caso temos gráficos presentes em 
simultaneamente somente em um trecho da coluna. 
Portanto, marcamos o início da barra como zero e 
temos o fim do gráfico em 2 metros. Assim, [0; 2] 
 
 Para B30: 
(0;40) e (2;0) 
Substituindo em y = ax + b: y = 40 – 20x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟐
 
 Para B31: 
(0;4) e (4;0) 
Substituindo em y = ax + b: y = 4 - x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟐
 
 
Notem que o intervalo da barra 3 do estado virtual não foi o comprimento 
total da barra. Isto se justifica pelo fato de só haver gráfico simultaneamente 
nos dois estados de x=0 a x=2. Os intervalos de funções sempre têm que ser 
os mesmos para cada duas barras correspondentes. 
 
Notem que o intervalo da barra 3 do estado virtual não foi o comprimento total 
da barra. Isto se justifica pelo fato de só haver gráfico simultaneamente nos dois 
estados de x=0 a x=2. Os intervalos de funções sempre têm que ser os mesmos 
para cada duas barras correspondentes. 
 
Agora que já temos as funções que descrevem a variação de momento em 
cada elemento da estrutura, nos dois estados analisados, podemos começar a 
última etapa do cálculo: o deslocamento provocado por cada barra no ponto 
escolhido. Para isso, usaremos o princípio da sobreposição dos esforços. Esta 
sobreposição é feita por meio de um produto de integrais, conforme mostra a fórmula 
abaixo. 
50 
 
 
𝐄𝐈 = ∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
 
Onde: 
 é o deslocamento pretendido; 
a e b são os limites de domínio da função; 
M0 é a função do elemento analisado no Eo; 
M1 é a função do elemento analisado no E1; 
EI é o módulo de rigidez do elemento estrutural. 
 
Vamos começar pela barra 1: 
 Para B1: 
B10  y = 20x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 (esta função corresponde ao M0 da fórmula) 
B11  y = x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 (esta função corresponde ao M1 da fórmula) 
Os limites OBRIGATORIAMENTE têm que ser iguais, pois queremos analisar 
os mesmos trechos das duas estruturas. 
 
 Substituindo na fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo o valor de EI = 3,272*104 kN.m² 
 
51 
 
 
𝑩𝟏 =
𝟏𝟐𝟖𝟎
𝟑 ∗ 𝟑, 𝟐𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 
 
 
𝑩𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝟎𝟑𝟗𝟗𝒎 = 𝟏𝟑, 𝟎𝟒𝒎𝒎 
 
Este valor encontrado significa que a barra 1 provoca 
no apoio de primeiro gênero um deslocamento PARA A 
DIREITA de 13,04 mm. Sabemos que o deslocamento tem este 
sentido através do sinal positivo do resultado. A análise é feita 
em função do sentido que você escolhe a sua carga virtual lá no E1. 
Neste caso, adotamos o sentido da carga unitária para a direita, 
lembra? Vou mostrar novamente o nosso estado virtual para que você possa 
se situar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se você adotou sua carga unitária para a direita e o resultado do 
deslocamento deu positivo, significa que O SENTIDO ESTÁ CORRETO. Não se 
engane! Não pense que positivo sempre será para a direita e negativo sempre para 
a esquerda! 
 
Sempre que o resultado do deslocamento der positivo, significa que ele está 
concordando com o sentido da sua carga unitária! Se der negativo, quer 
52 
 
 
dizer que o sentido do deslocamento naquele ponto é contrário ao da sua 
carga virtual. 
 
Mas como vamos saber qual o sentido correto? Não existe sentido correto. O 
ideal é analisar, de acordo com os carregamentos, para onde o ponto escolhido 
tende a se mover, e colocar a carga virtual neste sentido. Caso não seja facilmente 
previsível, você pode escolher qualquer sentido e interpretar o resultado como foi 
explicado logo ali acima. 
 
 
53 
 
 
Para finalizar a questão, só falta calcular o deslocamento totalno apoio B. 
 
 
 
 
 
 
Então, o apoio de primeiro gênero sofreu uma translação horizontal de 
52,975 mm para a DIREITA, em função das cargas solicitantes, das 
propriedades geométricas da estrutura e do tipo de material. 
Agora é a sua vez! 
Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com os tutores ou 
professores caso haja necessidade! 
 
Boa sorte! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2004. 
 
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e 
Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. 
 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto 
Alegre, 1983. 
 
BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. 
M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. 
 
CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: 
Editora Guanabara Dois, 1985. 
 
POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 
1977. 376p. 
 
ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 
1970. 
 
SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 4 
Exercícios 
 
 
1. Calcular o deslocamento horizontal nas estruturas 
abaixo, considerando o EI constante para todos os elementos. 
Ponto a ser analisado: apoio de primeiro gênero. 
Dados: concreto fck 25, seção transversal retangular 
com b = 30 cm e h = 40 cm. 
 
 
 
 
 
 
AULA 4 
Gabarito 
 
 
a) R: 9,32mm para a direita 
b) R: 16,5mm para a esquerda 
c) R: 15,02mm para a direita 
d) R: 5,36mm para a direita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rotação 
Aula 5 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula, veremos exatamente o mesmo processo executado antes, porém 
aplicado em uma análise de rotação de algum ponto da estrutura. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Analisar pontos da estrutura sujeitos à rotação. 
 Determinar o estado real. 
 Determinar o estado virtual referente à rotação. 
 Determinar as funções de momento fletor dos estados. 
 Determinar a rotação no ponto escolhido. 
 Analisar o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
5 MÉTODOS DOS DESLOCAMENTOS 
5.1 Análise de Rotação 
Seja a estrutura abaixo: 
Para este caso, vamos trabalhar 
com as colunas de aço com seção 
transversal circular vazada, diâmetro 40 
cm e espessura 1 cm. Para a viga vamos 
adotar seção circular maciça, com 
diâmetro de 30 cm. O material vai ser o 
mesmo para toda a estrutura, com E = 
205 MPa. Assim, vamos começar 
calculando o módulo de rigidez de cada elemento. Para as colunas temos: 
I = 𝜋
(𝐷𝑒4−𝐷𝑖4)
64
= 𝜋
(0,44−0,384)
64
= 2,331 ∗ 10−4𝑚4 
 
EIc = 205 * 109 * 2,331 * 10-4 = 4,78 * 104kN.m² 
Para a viga temos: 
I = 𝜋
(𝐷4)
64
= 𝜋
(0,34)
64
= 3,976 ∗ 10−4𝑚4 
 
EIv = 205 * 109 * 3,976 * 10-4 = 8,15 * 104kN.m² 
 
O ponto a ser analisado neste caso será 
o apoio de segundo gênero. Então, vamos 
calcular qual é a rotação deste ponto devida a 
estas condições. 
 
 
I. Estado de Deformação (E0) 
 Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: 
o HB = 5kN 
o VA = 28,167kN 
o VB = 19,833kN 
59 
 
 
 
 Determinando o momento nos pontos críticos: 
o MA = 0 
o MB = 0 
o MC = 0 
o MDe = 20*2 = 40kN.m (positivo porque está abrindo a estrutura) 
o MEd = 15*3 + 5*4 = 65kN.m 
o MEd = 5*1 = 5kN.m 
 
 
II. ESTADO DE CARREGAMENTO 
É importante lembrar que o estado de carregamento varia de 
acordo com o tipo de deslocamento requerido. Neste exemplo, 
vamos analisar a rotação no apoio de segundo gênero, o que nos 
indica que teremos que aplicar uma carga de rotação (momento) no 
ponto especificado. O sentido é aleatório, seguindo o princípio da 
interpretação do resultado. Então, nossa 
estrutura fica assim: 
 Aplicando as equações de 
equilíbrio, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
 
 Determinando o momento nos pontos críticos: 
o MA = 0 
o MB = 1kN.m (abrindo a coluna) 
o MCe = 0 
o MDd = 1kN.m 
 
Assim, nosso M1 fica desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. COMPARANDO OS GRÁFICOS 
 
 
61 
 
 
Na barra 1 só temos momento no E0, assim, não é necessário achar função 
para esta barra, pois quando for multiplicar pela função do E1 que é nula, vai zerar o 
deslocamento. Isto indica que a barra 1 não colabora em nada para rotacionar o 
apoio B. Já na barra 2, temos momento por toda sua extensão em ambos os 
estados, o que garante influência do deslocamento analisado. 
 B2 
 Para B20: 
𝑦 = ∫−𝑄𝑥 + 𝑉𝐴. 𝑑𝑥 
o Carga distribuída: Q = 8 kN.m 
o Reação de apoio da primeira coluna: VA = 
28,17 kN 
o Momento em x = o: c = 40 kN.m 
𝑦 = ∫−8𝑥 + 28,17. 𝑑𝑥  -4x² + 28,167x + 40 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟔
 
 
 Para B21: 
(0;0) e (6;1) 
 
Substituindo em y = ax + b: y = x/6 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟔
 
 
 B3 
A barra 3 possui dois intervalos regidos por funções diferentes. Por isso, 
devemos calcular cada um destes trechos separadamente. Isto só ocorre no estado 
real, assim, podemos fazer somente uma função do virtual e dividir os limites de 
acordo com B30. 
 Para B3a0: 
(0;65) e (3;5) 
 
Substituindo em y = ax + b: y = 65 – 20x 
{
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟑
 
 
 Para B3b0: 
62 
 
 
(3;5) e (4;0) 
 
Substituindo em y = ax + b: y = 20 – 5x {
𝒙 = 𝟑
𝒙 = 𝟒
 
 Para B31: 
𝒚 = 𝟏 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟑
 𝒆 𝒚 = 𝟏 {
𝒙 = 𝟑
𝒙 = 𝟒
 
 
II. SOBREPONDO OS ESFORÇOS 
 Para B2: 
o -4x² + 28,167x + 40 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟔
 
o y = x/6 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟔
 
 
𝐄𝐈 = ∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
𝐄𝐈𝑩𝟐 = ∫ (−𝟒𝒙
𝟐 + 𝟐𝟖, 𝟏𝟔𝟕𝒙 + 𝟒𝟎) ∗ (
𝒙
𝟔
)𝒅𝒙
𝟔
𝟎
 
𝐄𝐈𝑩𝟐 = ∫ (−
𝟐𝒙𝟑
𝟑
+
𝟐𝟖, 𝟏𝟔𝟕𝒙²
𝟔
+
𝟐𝟎𝒙
𝟑
)𝒅𝒙
𝟔
𝟎
 
𝐄𝐈𝑩𝟐 = (−
𝒙𝟒
𝟔
+
𝟐𝟖, 𝟏𝟔𝟕𝒙³
𝟏𝟖
+
𝟏𝟎𝒙²
𝟑
)
𝟔
𝟎
⌋ 
𝑩𝟐 =
𝟐𝟒𝟐
𝐄𝐈
 
 
𝑩𝟐 =
𝟐𝟒𝟐
𝟖, 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟒 
 
 
𝑩𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟗𝟕 𝒓𝒂𝒅 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒊 − 𝒉𝒐𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
 Para B3: 
o ya = 65 – 20x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟑
 
o 𝒚𝒂 = 𝟏 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟑
 
o yb = 20 – 5x {
𝒙 = 𝟑
𝒙 = 𝟒
 
63 
 
 
o 𝒚𝒃 = 𝟏 {
𝒙 = 𝟑
𝒙 = 𝟒
 
𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙
𝒃
𝒂
= ∫ 𝑴𝟎𝒂𝑴𝟏𝒂𝒅𝒙
𝒃
𝒂
+∫ 𝑴𝟎𝒃𝑴𝟏𝒃𝒅𝒙
𝒄
𝒃
 
𝐄𝐈𝑩𝟑 = ∫ (𝟔𝟓 − 𝟐𝟎𝒙) ∗ (𝟏)𝒅𝒙 +
𝟑
𝟎
∫ (𝟐𝟎 − 𝟓𝒙) ∗ (𝟏)𝒅𝒙
𝟒
𝟑
 
𝐄𝐈𝑩𝟑 = ∫ (𝟔𝟓 − 𝟐𝟎𝒙)𝒅𝒙 +
𝟑
𝟎
∫ (𝟐𝟎 − 𝟓𝒙)𝒅𝒙
𝟒
𝟑
 
𝐄𝐈𝑩𝟑 = (𝟔𝟓𝒙 − 𝟏𝟎𝒙
𝟐) 𝟑
𝟎
⌋ + (𝟐𝟎𝒙 −
𝟓𝒙²
𝟐
)
𝟒
𝟑
⌋ 
𝑩𝟑 =
𝟐𝟏𝟓
𝟐𝐄𝐈
 
 
𝑩𝟑 =
𝟐𝟏𝟓
𝟐 ∗ 𝟒, 𝟕𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟒 
 
𝑩𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟐𝟓 𝒓𝒂𝒅 𝒏𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒂𝒏𝒕𝒊 − 𝒉𝒐𝒓á𝒓𝒊𝒐 
 
Para finalizar a questão, só falta calcular o deslocamento total no apoio B. 
𝛿 =∑𝛿𝑖 
𝛿 = 𝛿𝐵1 + 𝛿𝐵2 + 𝛿𝐵3 
𝛿 = 0 + 0,00297 + 0,00225 
𝛿 = 0,00522 𝑟𝑎𝑑 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
𝛿 = 0,299° 
 
Então, o apoio de segundo gênero sofreu uma rotação anti-horária de 0,3°,em função das cargas solicitantes, das propriedades geométricas da 
estrutura e do tipo de material. 
 
Agora é a sua vez! Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com 
os tutores ou professores caso haja necessidade! 
Boa sorte! 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2004. 
 
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e 
Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. 
 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto 
Alegre, 1983. 
 
BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. 
M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. 
 
CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: 
Editora Guanabara Dois, 1985. 
 
POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 
1977. 376p. 
 
ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 
1970. 
 
SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 5 
Exercícios 
 
 
1. Calcular a rotação nas estruturas abaixo, 
considerando o EI constante para todos os elementos. Ponto a 
ser analisado: ambos os apoios. 
O processo de cálculo é o mesmo, como se fossem duas 
questões distintas. Calcule primeira, a rotação no apoio da esquerda e depois, a 
rotação no da direita. O estado de deformação pode ser aproveitado para os dois 
cálculos, bem como suas funções. Você só terá que fazer o estado de carregamento 
relativo a cada caso e depois integrar. 
Dados: concreto fck 60, seção transversal circular com d = 40 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 5 
Gabarito 
 
 
1 - 
a) R(A): 0,0115 rad no sentido anti-horário 
R(B): 0,0291 rad no sentido horário 
 
b) R(A): 0,0089 rad no sentido horário 
R(B): 0,00236 rad no sentido anti-horário 
 
c) R(A): 0,00378 rad no sentido horário 
R(B): 0,00525 rad no sentido anti-horário 
 
d) R(A): 0,00838 rad no sentido horário 
R(B): 0,00556 rad no sentido anti-horário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocamento vertical 
Aula 6 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula, veremos o último tipo de deslocamento estrutural. O método de 
resolução é o mesmo dos deslocamentos anteriores, com a simples observação de 
aplicar uma carga vertical neste caso. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Analisar pontos da estrutura sujeitos a translação vertical. 
 Determinar o estado real. 
 Determinar o estado virtual referente à translação vertical. 
 Determinar as funções de momento fletor dos estados. 
 Determinar a translação vertical no ponto escolhido. 
 Analisar o resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
6 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
Vamos calcular o deslocamento vertical no ponto D, considerando a estrutura 
toda com a mesma seção transversal retangular de 20 cm x 40 cm e concreto fck 25. 
Começaremos novamente calculando o módulo de rigidez da estrutura: 
 Concreto fck 25  E = 5,6√25 = 28𝐺𝑃𝑎 
 𝐼 =
𝑏ℎ³
12
=
0,2∗0,4³
12
= 1,0667 ∗ 10−3𝑚4 
 𝐸𝐼 = 28𝐺𝑃𝑎 ∗ 1,0667 ∗ 10−3𝑚4 = 𝟐, 𝟗𝟖𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟒𝒌𝑵.𝒎² 
 
Com o módulo calculado, podemos começar a calcular os esforços devidos às 
cargas reais em toda a estrutura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. Estado de Deformação (E0) 
 Aplicando as equações de 
equilíbrio, teremos: 
HA = 40 kN 
o VA = 43,33 kN 
o VB = 76,67 kN 
 
 Determinando o momento nos 
pontos críticos: 
o MA = 0 
69 
 
 
o MB = 0 
o MFe = 40*2 = 80kN.m 
o MCe = 40*4 – 20*2 = 120kN.m 
o MEd = 20*1 = 20kN.m 
o MGd = 0 
 
I. Estado de Carregamento (E1) 
Sabemos que o estado de 
carregamento varia de acordo com o tipo de 
deslocamento requerido. Neste exemplo 
vamos analisar o deslocamento vertical no 
meio da viga, chamado de ponto D, o que 
nos indica que teremos que aplicar uma 
carga vertical no ponto especificado. O 
sentido é aleatório, seguindo o princípio da 
interpretação do resultado. 
Então nossa estrutura fica assim: 
 
 Aplicando as equações de equilíbrio, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Determinando o momento nos pontos críticos: 
o MA = 0 
o MB = 0 
70 
 
 
o MCe = 0 
o MD = 1,5 kN.m 
o MEd = 0 
 
Assim, nosso M1 fica desta forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. COMPARANDO OS GRÁFICOS 
Na barra 1 só temos 
momento no E0, assim, não é 
necessário achar função para 
esta barra, pois quando for 
multiplicar pela função do E1 
que é nula, vai zerar o 
deslocamento. Isso indica que a 
barra 1 não colabora em nada 
para deslocar o ponto D 
verticalmente. O mesmo ocorre 
na barra 3. Assim, neste caso, 
só será necessário encontrar as 
funções da barra 2. 
 
 B2 
o Para B20 
71 
 
 
𝑦 = ∫−𝑄𝑥 + 𝑉𝐴. 𝑑𝑥 
 
Carga distribuída: Q = 20 
kN.m 
Reação de apoio da primeira 
coluna: VA = 43,33 kN 
Momento em x = o: c = 120 
kN.m 
𝑦 = ∫−20𝑥 + 43,33. 𝑑𝑥  -10x² + 
43,33x + 120 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟑
 e {
𝒙 = 𝟑
𝒙 = 𝟔
 
 
 
 Para B21a: 
(0;0) e (3; 1,5) 
Substituindo em y = ax + b: y = 0,5x {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟑
 
 Para B21b: 
(3; 1,5) e (6;0) 
Substituindo em y = ax + b: y = 3 - 0,5x {
𝒙 = 𝟑
𝒙 = 𝟔
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. SOBREPONDO OS ESFORÇOS 
 Para B2a: 
o -10x² + 43,33x + 120 {
𝑥 = 0
𝑥 = 3
 
o y = 0,5x {
𝑥 = 0
𝑥 = 3
 
72 
 
 
EI = ∫ 𝑀0𝑀1𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
EI𝐵2 = ∫ (−10x² + 43,33x + 120) ∗ (0,5𝑥)𝑑𝑥
3
0
 
EI𝐵2 = ∫ (−5𝑥
3 + 21,667𝑥² + 60𝑥)𝑑𝑥
3
0
 
EI𝐵2 = (−
−5𝑥4
4
+ 7,22𝑥³ + 30𝑥²)
3
0
⌋ 
𝐵2 =
363,7
EI
 
𝐵2 =
363,7
2,987 ∗ 104 
 
𝐵2 = 0,01217 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
 
 Para B2b: 
o -10x² + 43,33x + 120 {
𝑥 = 0
𝑥 = 3
 
o y = 3 - 0,5x {
𝑥 = 0
𝑥 = 3
 
 
EI = ∫ 𝑀0𝑀1𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
EI𝐵2 = ∫ (−10x² + 43,33x + 120) ∗ (3 − 0,5𝑥)𝑑𝑥
6
3
 
𝐵2 =
435
EI
 
 
𝐵2 =
435
2,987 ∗ 104 
 
𝐵2 = 0,01456 𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
𝛿 =∑𝛿𝑖 
𝛿 = 𝛿𝐵2𝑎 + 𝛿𝐵2𝑏 
 
𝛿 = 0,01217 + 0,01456 = 0,02373𝑚 = 23,7𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2004. 
 
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e 
Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. 
 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto 
Alegre, 1983. 
 
BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. 
M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. 
 
CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: 
Editora Guanabara Dois, 1985. 
 
POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 
1977. 376p. 
 
ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 
1970. 
 
SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 6 
Exercícios 
 
 
Agora é a sua vez! Resolva os exercícios propostos e 
tire dúvidascom os tutores ou professores caso haja 
necessidade! Boa sorte! 
 
Exercício 1 – Calcular o deslocamento vertical no meio das vigas das 
estruturas abaixo, considerando o EI constante para todos os elementos. 
Dados: aço E = 150GPa, seção transversal circular vazada com d = 24cm e 
espessura de 3 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 6 
Gabarito 
 
 
a) R: 3,951mm para cima 
b) R: 4,512mm para baixo 
c) R: 1,441mm para baixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Translação vertical, horizontal e rotação 
Aula 7 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula iremos analisar pontos deslocáveis das três maneiras possíveis. 
Estes pontos não podem ser apoios, pois sabemos que qualquer tipo de apoio 
restringe PELO MENOS um movimento. Assim, vamos analisar os nós rígidos das 
estruturas. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Analisar pontos da estrutura sujeitos todos os deslocamentos. 
 Determinar o estado real. 
 Determinar os estados virtuais referente aos deslocamentos 
pretendidos. 
 Determinar as funções de momento fletor dos estados. 
 Determinar os deslocamentos nos pontos escolhidos. 
 Analisar os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
77 
 
 
7 MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
7.1 Cálculo Dos Três Deslocamentos Possíveis Em Um Determinado Ponto 
Como o processo já foi 
descrito detalhadamente nas aulas 
anteriores, mostraremos somente os 
passos com os resultados. Nosso 
primeiro exemplo será o pórtico 
abaixo, com concreto fck 60 e seção 
retangular 30cmx45cm. 
EI = 9,8812*104kN.m² 
Temos infinitos pontos na 
estrutura que podem deslocar nos 
três sentidos, porém, os que mais 
interessam para o cálculo estrutural 
são os apoios, como calculamos nos 
dois primeiros casos vistos, os meios 
de viga, como calculado na última aula, e os nós, que veremos agora. 
Assim, vamos calcular os três 
deslocamentos nos pontos C e D. 
I. Estado de Deformação (E0) 
Aplicando as equações de equilíbrio e 
calculando o momento nos pontos críticos da 
estrutura, teremos: 
Por se tratar da mesma estrutura sendo 
avaliado de formas diferentes, o 
 
 
 
estado real não muda, assim, vamos usá-lo para todas as análises. 
 
II. Estado de Carregamento (E1) - HC 
78 
 
 
Neste estado, escolheremos um dos 
possíveis deslocamentos para calcular. A 
escolha é aleatória, visto que os diferentes 
deslocamentos não influenciam nos valores 
entre si. Começaremos pelo deslocamento 
horizontal no ponto C. Assim, foi aplicada a 
carga horizontal unitária no ponto C. Realizando 
o equilíbrio e calculando o momento, 
chegaremos ao seguinte resultado: Observando 
os dois diagramas, podemos concluir que a 
coluna da esquerda não gera deslocamento horizontal no ponto C. Então, vamos 
calcular as funções das barras 2 e 3. 
Barra 2: 
B20 
𝑦 = ∫−10𝑥 + 36. 𝑑𝑥 
y = -5x² + 36x - 36 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
B21 
y = −
3
2
𝑥 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 
Barra 3: 
B30a 
 
 
 
 
y = 12x+28{
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟏
 
B30b 
y = 51 – 11x {
𝒙 = 𝟏
𝒙 = 𝟓
 
B30c 
y = -24 + 4x {
𝒙 = 𝟓
𝒙 = 𝟔
 
B31 
79 
 
 
y = 6 - x{
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟔
{
 
 
 
 
 
 
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟏
𝒙 = 𝟏
𝒙 = 𝟓
𝒙 = 𝟓
𝒙 = 𝟔
 
 
Calculando o deslocamento horizontal total no ponto C: 
𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
EI𝐶 = ∫ ( −5x
2 + 36x − 36) ∗ (−
3
2
𝑥)𝑑𝑥 +
4
0
∫ (12 + 28𝑥) ∗ (6 − 𝑥)𝑑𝑥
1
0
+∫ (51 − 11𝑥) ∗ (6 − 𝑥)𝑑𝑥
5
1
+∫ (−24 + 4x) ∗ (6 − x)𝑑𝑥
6
5
 
EI𝐶 = −240 +
422
3
+
824
3
−
4
3
 
H𝐶 = −
174
𝟗, 𝟖𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒
= 1,76 𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
 
 
 
I. Estado de Carregamento (E2) - HD 
Nosso segundo caso será o deslocamento horizontal no ponto D. A carga 
virtual aplicada no ponto solicitado fica desta forma: 
Realizando o equilíbrio e calculando o momento, 
chegaremos ao seguinte resultado: 
Podemos observar que o DMF deste caso é 
idêntico ao do caso anterior. Isso significa que os dois 
pontos sofrem exatamente o mesmo deslocamento. 
Assim, sem necessidade de repetir o processo, 
concluímos que: 
H𝐷= 1,76 𝑚𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
 
II. Estado de Carregamento (E3 e E4) - VC e 
VD 
80 
 
 
Nossos próximos dois casos são iguais também. Tratam-se dos 
deslocamentos verticais nos pontos C e D. Ao aplicar a carga vertical em C e, 
posteriormente em D, verificamos que o DMF fica totalmente zerado. Ou seja, os 
dois pontos não sofrem deslocamento vertical em relação ao momento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. Estado de Carregamento (E5) - RC 
No quinto estado virtual calcularemos a rotação do nó C. Aplicando o 
momento neste ponto e calculando o DMF, temos: 
 
81 
 
 
 
Comparando com o estado real, podemos perceber que somente a viga gera 
rotação relevante no ponto C. Assim, vamos calcular as funções das vigas. 
Lembrando que a viga do estado de deformação já está com sua função definida. 
Para a barra 2, temos: 
B20 
𝑦 = ∫−10𝑥 + 36. 𝑑𝑥 
y = -5x² + 36x - 36 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 
B25 
y = 0,25𝑥 − 1 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 
 
 
Calculando a rotação em C: 
𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
EI𝐶 = ∫ ( −5x
2 + 36x − 36) ∗ (0,25𝑥 − 1)𝑑𝑥
4
0
 
R𝐶 = −
424
𝟑 ∗ 𝟗, 𝟖𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒
= 0,00143 𝑟𝑎𝑑 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
 
IV. Estado de Carregamento (E6) - RD 
No quinto estado virtual calcularemos a rotação do nó C. Aplicando o 
momento neste ponto e calculando o DMF, temos: 
82 
 
 
 
 
Comparando com o estado real, podemos perceber que somente a viga gera 
rotação relevante no ponto D. Assim, vamos calcular as funções das vigas. 
Lembrando que a viga do estado de deformação já está com sua função definida. 
Para a barra 2, temos: 
 
B20 
𝑦 = ∫−10𝑥 + 36. 𝑑𝑥 
y = -5x² + 36x - 36 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 
B25 
y = 0,25𝑥 {
𝒙 = 𝟎
𝒙 = 𝟒
 
 
 
Calculando a rotação em C: 
𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
EI𝐶 = ∫ ( −5x
2 + 36x − 36) ∗ (0,25𝑥)𝑑𝑥
4
0
 
R𝐶 =
40
𝟗, 𝟖𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒
= 0,000405 𝑟𝑎𝑑 𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖 − ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2004. 
 
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e 
Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. 
 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto 
Alegre, 1983. 
 
BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. 
M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. 
 
CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: 
Editora Guanabara Dois, 1985. 
 
POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 
1977. 376p. 
 
ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 
1970. 
 
SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão 
Aula 8 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta última aula referente à primeira avaliação faremos uma revisão do quefoi apresentado anteriormente em aplicações diferentes. 
Resolveremos exercícios de deslocamentos com intuito de sanar quaisquer 
dúvidas que você possa ter. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Compreender diferentes casos de deslocabilidades em estruturas; 
 Conhecer situações distintas do método dos deslocamentos; 
 Determinar qualquer tipo de deslocamento em qualquer estrutura. 
 
 
 
 
 
85 
 
 
8 REVISÃO – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS 
Exemplo 1: Seja o pórtico abaixo com colunas em concreto fck 50 e seção 
transversal quadrada de lado 60 cm e viga feita em concreto fck 80, retangular 70 
cm x 90 cm. Vamos determinar qual é o deslocamento do apoio de primeiro gênero? 
 
I. MÓDULO DE RIGIDEZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. ESTADO DE DEFORMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III. ESTADO DE CARREGAMENTO 
 
 
IV. FUNÇÕES 
Barra 1: 
 B10 
o 𝑦 = ∫−𝑞𝑥 + 𝐻𝐴 𝑑𝑥 
o 𝑦 = ∫−20𝑥 + 280 𝑑𝑥 
o 𝑦 = −10𝑥2 + 280𝑥 + 0 {
0
7
 
 B11 
o 𝑦 = 𝑥 {
0
7
 
 
Barra 2: 
 B20 
o 𝑦 = ∫−𝑞𝑥 + 𝑉𝐴 𝑑𝑥 
o 𝑦 = ∫−30𝑥 + 119,62 𝑑𝑥 
87 
 
 
o 𝑦 = −15𝑥2 + 119,62𝑥 + 1470 {
0
13
 
 B11 
o 𝑦 = 7 {
0
13
 
 
Barra B3 (colocaremos o ponto inicial no apoio simples para simplificar as 
funções, assim, ficaria a coordenada zero no ponto B e a coordenada 7 no ponto D): 
 B30 
o 𝑦 = ∫−𝑞𝑥 + 𝐻𝐵 𝑑𝑥 
o 𝑦 = ∫−20𝑥 + 0 𝑑𝑥 
o 𝑦 = −10𝑥2 {
0
7
 
 B31 
o 𝑦 = 7 − 𝑥 {
0
7
 
 
V. DESLOCAMENTO 
𝐄𝐈 =∑∫ 𝑴𝟎𝑴𝟏𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
HB = ∫ (
(−10𝑥2 + 280𝑥) ∗ (𝑥)
𝐄𝐈𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓
𝒅𝒙
𝟕
𝟎
+∫
(−15𝑥2 + 119,62𝑥 + 1470) ∗ (7)
𝐄𝐈𝒗𝒊𝒈𝒂
𝒅𝒙 +∫
(−10𝑥2) ∗ (7 − 𝑥)
𝐄𝐈𝒑𝒊𝒍𝒂𝒓
𝒅𝒙
𝟕
𝟎
𝟏𝟑
𝟎
 
HB = 0.0608 + 0.0599 − 0.0047 
HB = 0,1160𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 
Podemos observar um deslocamento bastante relevante na estrutura, 
equivalente a 11,6 cm no apoio B. Isso se deve a vários fatores combinados. São 
eles: 
 Colunas muito altas e vão muito extenso. 
 Alto carregamento distribuído. 
 Apoios rotulados incapazes estabilizar a estrutura em relação a translações 
e rotações. 
 
Com este exemplo, fica claro o motivo pelo qual raramente estruturas 
são construídas de maneira isostática. Sistemas Isostáticos são capazes de 
suportar esforços externos, gerando reações para estabilizar as forças 
atuantes na edificação. Porém, temos outras solicitações que devem ser 
88 
 
 
combatidas. Assim, estruturas isostáticas são geralmente aplicadas em casos 
em que se faz necessária a liberação do movimento, seja para dilatação, 
para rolamento, entre outros. Alguns casos clássicos de aplicação são 
pontes e passarelas. Neste capítulo encerramos nosso conteúdo da primeira 
avaliação. Refaça os exercícios! Caso seja necessário, recorra ao material 
de apoio indicado nos capítulos anteriores e bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
Básica: 
SORIANO, H. L., LIMA, S. S. Análise de estruturas. Rio de Janeiro: Ciência 
Moderna, 2004. 
 
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas - Método das Forças e 
Método dos Deslocamentos. 2. ed. São Paulo: Ciência Moderna, 2006. 
 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural Vol. 2. Editora Globo: Porto 
Alegre, 1983. 
 
BEER, F.; JOHNSTON, E. R. Resistência dos materiais. Trad. Pereira, C. D. 
M. São Paulo: Editora Makron Books, 2004. 
 
CAMPANARI, F. A. Teoria das estruturas. vol. 1, 2, 3 e 4. Rio de Janeiro: 
Editora Guanabara Dois, 1985. 
 
POLILLO, A. Exercícios de Hiperestática. São Paulo: Ed. Página Aberta, 
1977. 376p. 
 
ROCHA, A. M. Hiperestática Plana Geral. São Paulo: Ed Página Aberta, 
1970. 
 
SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 
2007. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 8 
Exercícios 
 
 
FIXAÇÃO – determinar o deslocamento horizontal nos 
apoios simples para cada situação a seguir. 
Adotar para todos os casos colunas e vigas com 
retangulares 30 cm x 45 cm, concreto fck 40. 
 
 
 
 
91 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 8 
Gabarito 
 
 
a) R: 2,625mm para a direita 
b) R: 4,043mm para a esquerda 
c) R: 14,83mm para a esquerda 
d) R: 7,457mm para a esquerda 
e) R: 8,735mm para a direita 
f) R: 2,583mm para a direita 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas hiperestáticas 
Aula 9 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DA AULA 
 
Nesta aula teremos o primeiro contato com estruturas hiperestáticas. Veremos 
os tipos de estruturas que existem em função de sua capacidade de permanecer em 
equilíbrio e você poderá entender a diferença entre estes tipos de estruturas. 
 
OBJETIVOS DA AULA 
 
Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: 
 
 Entender os princípios da análise estrutural 
 Entender quais fatores influenciam os tipos de estruturas 
 Conhecer as condições estáticas das estruturas. 
 Identificar os tipos de apoios (vínculos) percebendo as reações de 
apoio de cada um. 
 Enxergar, de maneira geral, a capacidade que as estruturas possuem 
de inibir ou não os movimentos previstos. 
 Classificar uma estrutura como HIPO, ISO ou HIPERESTÁTICA. 
 Determinar o grau de hiperestaticidade externo (Ge) de estruturas 
planas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
94 
 
 
9 ESTRUTURAS 
Estruturas são as partes da edificação responsáveis por manter a construção 
estável, resistindo aos esforços externos. Uma estrutura ideal, quando solicitada por 
ações externas, deve ser capaz de suportar esforços de modo que não ocorra 
ruptura devido aos materiais utilizados ou devido à estabilidade global ou parcial de 
todos seus elementos. Outro fator importante para que se obtenha um elemento 
deste tipo em condições ideais é garantir que o mesmo proporcione um bom 
desempenho estrutural, tanto para resistência a deformações quanto para sua 
durabilidade, estando sempre dentro do intervalo de vida útil para a qual foi 
projetada. Primeiramente o engenheiro deve definir qual tipo de sistema construtivo 
será empregado no seu projeto e, em seguida, o material a ser utilizado. Resolvidas 
estas etapas, avançamos para primeira fase de um projeto estrutural: Análise 
Estrutural. Mas qual é o objetivo geral da Análise Estrutural? 
Vamos refletir sobre este assunto: 
1. Devemos observar que toda estrutura possui características geométricas 
(seção transversal) e mecânicas (tipos de vínculos, propriedades dos materiais, etc.) 
conhecidas. 
2. Toda estrutura está submetida a um conjunto de ações, que podem ser 
tanto cargas (forças ou binários) como deformações impostas (recalques de apoio, 
deformações devido à variação de temperatura ou retração, etc.), 
 
Assim, o engenheiro civil deve ser capaz de perceber e determinar 
numericamente os deslocamentos (translações e/ou rotações) em quaisquer pontos 
da estrutura, bem como os esforços internos decorrentes das deformações 
produzidas por estes deslocamentos (esforço normal, cortante, momento e torção), 
além de determinar também as reações de apoio. Resumindo, o objetivo principal da 
análise estrutural é prever o comportamento da estrutura em análise. As estruturas 
podem ainda ser classificadas em hipoestáticas, isostáticas (estaticamente 
determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente indeterminadas).