2015.1 - Equa+º+Áes Exatas com fator integrante

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UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ 
CÁLCULO III 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS EXATAS: 
 
Notas de aula - Prof. Antonio Fábio 
 
 
 
 
 
 Uma equação diferencial de 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
é dita exata, se existe uma função 
 yxu , 
 tal que: 
     dyyxNdxyxMyxdu .,.,,  
. 
 Mas, 
  dy
y
u
dx
x
u
yxdu ..,





 
 (diferencial total) 
 Comparando a definição com a diferencial total, temos: 
 
N
y
u
M
x
u






 e 
. 
 Se M e N são funções contínuas com derivadas parciais primeiras contínuas em uma região do plano xy, então a 
equação é exata se, e somente se: 
 
x
N
y
M
xy
u
x
N
y
u
N
yx
u
y
M
x
u
M






























 
 
 
 
2
2
 
Ex.: Verificar se a equação 
  012 2  dyxdxxy ..
 é exata: 
 Solução: 
    
    exata. é equação a Como
2 1 e 2 2 2
,,,
,,
yxNyxM
xNxyxNxMxyyxM
xy
xy

 
 
 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA: 
 Se 
      










xgdyNdy
y
u
uN
y
u
ygdxMdx
x
u
uM
x
u
.... e 
. 
 
Ex. 1) Resolver a equação exata: 
  012 2  dyxdxxy ..
. 
 Solução: 
 
         
   
 
      Kyygygxygx
ygx
y
u
N
ygygyxu
ygyxyg
x
yygdxxyygdxxydxygdxMu






  
 11 Logo,
 Mas,
 é quem descobrir faltando é solução a Então
2
222
22
2
2
2
2
''
.'
,
......
 
 Então a solução é: 
  Kyyxyxu  2,
. 
 
 
 
 2 
 
 2) Resolver a equação: 
    0312 223  dyxyxdxxyy ..
 
 Solução: 
 
 
 
 
 Inicialmente vamos verificar se ela é exata; 
 
   
   
exata. é ela , se Logo, 
16 31 Se
61 2 Se
222
23
xy
x
y
NM
xyyxNxyxyxN
xyyxMxyyyxM



.,.,
,,
 
 A solução é dada por: 
 
         .... ygxyyxygdxxydxyygdxxyyygdxMf  
2333 22
 
 Então se 
        ). igualando ( 313 222223 xyxygxyxyxfygxyyxyxf y  ',,
 
 Portanto; 
    .' Kyygyg  1
 
 Logo, 
  K 23  yxyyxyxf ,
. 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 1) Verifique se cada equação abaixo é exata ou não: 
  
    0 b)
055 a)
22 

dyyxdxyx
dyyxdxy
..
.. 
 
 
 2) Resolva as equações que forem exatas: 
    
0333 .2 b)
02 a)
2
2


dyyxdxysenx
dyyxdxxyx
.cos..
.... 
 
 
 3) Seja a equação diferencial 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
. 
 Uma função 
  yxI ,
é um fator integrante da equação 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
, se a equação diferencial 
       0  dyyxNdxyxMyxI .,.,.,
 é exata. 
 Verifique se a função 
 
y
yxI
1
 ,
 é fator integrante da equação 
  012  dyyxdxy ...
: 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
4) Em alguns casos, os fatores integrantes podem ser determinados com o auxílio do teorema a seguir, que nos dá 
condições de descobrir um fator integrante quando as funções 
   yxNyxM ,, e 
 satisfazem as determinadas 
condições. 
 Seja a equação diferencial 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
 e a função 
 yxI ,
 um fator integrante; 
. Se 
   ,. xgNM
N
xy 
1
 função somente de x, então 
 
 
,,
.dxxg
eyxI 
 é um fator integrante da equação 
 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
. 
 
 
 
 
 .Se 
   ,. yhNM
M
xy 
1
 função somente de y, então 
 
 
,,
.dyyh
eyxI 


 é um fator integrante da equação 
 
    0  dyyxNdxyxM .,.,
. 
 
 Determine um fator integrante para a equação
xxyy  2'
: 
 
 
5) Encontre um fator integrante e resolva a equação 
x
yyx
y


2.
'
: