Diferencial Exata -4

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Equações Diferenciais Exatas
Def. Uma equação da forma (1), é dita uma diferencial exata numa região R do plano – xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x,y). 
Critério de determinação de uma diferencial exata 
Sejam com derivadas parciais continuas em uma região retangular R definida por e
 
Então, uma condição necessária e
Suficiente para que a eq. (1) seja
Uma diferencial exata é que: 
R
Obs: se é uma diferencial exata, ou seja: , então existe uma função f tal que:para todo (x,y) em R. Dessa igualdade tem-se:
 .
Solução:
Dada a equação diferencial , primeiro verificar se é uma diferencial exata. Ou seja: se , se for, a solução é dada por:
 . 
Onde . A solução geral é dada fazendo-se 
 Assim pode-se ter:
 ou 
 
Exercícios
Dada a equação diferencial verificar se é diferencial exata, caso afirmativo resolver.
Solução: Temos: M(x,y)= 2xy e 
Primeiro verificar se é uma diferencial exata. Ou seja: se .
Temos e portanto
Para resolver usa-se a fórmula:
 
 . 
Temos: segue-se:
 
ou Fazendo , tem-se a resposta
Geral: Ou -1)=C ou ainda 
Resolver a equação diferencial exata.
, mas .
Assim tem-se: 
Primeiro passo verificar se a equação é exata. Ou seja: se 
Temos: , logo 
 logo , portanto
Solução: é por meio da fórmula:
Temos: e 
, substituindo em
 tem-se:
 ou
ou
 . Resposta