JOGOS MATEMÁTICOS III

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Introdução
O estudo das funções é o tema central do nosso terceiro capítulo. A partir de agora, estudaremos conceitos que permitem entender melhor o comportamento das funções em geral. Assim, também conseguiremos aprender a identificar leis de formação de funções por meio de diagramas de flechas. Mais especificamente, trataremos das funções exponencial e logarítmica, analisando o domínio, a imagem, a lei de formação e o gráfico em cada caso.
Você terá a oportunidade de aprender os conteúdos com alguns jogos, como o Pino Vivo, os Envelopes Matemáticos, o Bingo de Equações e o Logaritmonencial, os quais são inspirados no trabalho de Borba (2008) — exceto o último, que é adaptado de Quartieri e Rehfeldt (2004). Nos dois primeiros jogos, trabalharemos com as funções de modo geral para entendermos como identificá-las graficamente. No Bingo de Equações do 2º grau, por sua vez, serão desenvolvidas suas habilidades de transformar problemas em linguagem algébrica. E, finalmente, no Logaritmonencial, você verá as principais características das funções exponenciais e logarítmicas.
Com isso, ao final do capítulo, seremos capazes de responder algumas questões relacionadas ao assunto: como identificar se uma curva em um plano representa o gráfico de uma função? Quais são os motivos para se restringir o domínio de uma função? O que caracteriza as funções exponenciais? O que são as funções logarítmicas? Onde podemos encontrá-las em situações reais?
Vamos aos estudos!
3.1 Jogo Pino Vivo e a análise de funções
Você já reparou que utilizamos inúmeras vezes a ideia de relação em nosso cotidiano? Isso acontece quando dizemos que um objeto é menor do que outro, que uma rua é perpendicular à outra, que a metragem de um tecido é mais cara do que a metragem de outros ou que jogadores de um time ganham mais do que os jogadores de outro. Nessas situações, estamos relacionando dois objetos. Observe, aliás, que esses objetos podem ser coisas, números ou, até mesmo, conjuntos.
Existem relações entre dois conjuntos, nomeadas de funções, que apresentam uma propriedade em particular: a cada elemento de um determinado conjunto, associa-se um único elemento de outro. Esse conceito é essencial ao estudo das ciências e é aplicado para modelar problemas reais. Sendo assim, o conjunto de ferramentas que permite a construção e a interpretação de gráficos de funções é de fundamental importância para o nosso estudo.
Por meio do jogo Pino Vivo, teremos a oportunidade de analisar curvas no plano cartesiano e identificar aquelas que representam gráficos de funções. Além disso, aprenderemos a reconhecer o domínio e a imagem de cada função a partir de sua lei de formação e seu gráfico.
Vale lembrar que o jogo é uma variação de um jogo de trilha tradicional. Assim, serão necessários um tabuleiro, que contém o caminho a ser percorrido pelas equipes; pinos, que representam cada grupo de participante; um dado, que indica o número de casas que os pinos devem se deslocar inicialmente; e cartelas, com questões referentes ao assunto de funções. Podemos visualizar esse esquema na figura a seguir.
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Figura 1 - Tabuleiro do jogo Pino Vivo.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
O Pino Vivo deve ser jogado em grupos, sendo que cada pino representará uma equipe. O dado deve ser lançado somente uma vez por cada grupo ao início do jogo. O número revelado no dado indica a quantidade de casas a serem movimentadas inicialmente. Depois dessa etapa, cada pino pode avançar apenas uma, duas ou três casas, de acordo com a cor da cartela escolhida pela equipe durante sua jogada.
Existem três cores de cartelas no jogo, as quais apresentam os seguintes significados:
Cartelas brancas: contêm perguntas de nível fácil. Permitem que o pino avance uma casa se a equipe acertar a questão. Se a resposta for errada, o pino deve retornar três casas;
Cartelas laranjas: contêm perguntas de nível médio. Se a equipe acertar a questão, pode avançar duas casas. Em caso de erro, o pino deve voltar duas casas. 
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Figura 2 - Cartelas para identificação, análise e determinação do domínio de funções.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Cartelas azuis: contêm perguntas de nível difícil. Caso a equipe acerte a pergunta, é permitido que o pino avance três casas. Se a resposta não for correta, o pino deve voltar uma casa. 
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Figura 3 - Cartelas para análise do sinal e determinação do domínio de funções.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Antes de iniciar o jogo, é importante considerar que o domínio de uma função real pode ser determinado apenas com a lei de formação dessa função. Dependendo da posição em que a variável aparece, é necessário estabelecer condições para que essa lei resulte em um número real.
Após jogar algumas vezes, podemos anotar as repostas e hipóteses para cotejá-las com as análises que serão realizadas na sequência. Além disso, é interessante refletirmos sobre algumas questões essenciais para compreendermos melhor quanto ao tema:
Existe um método prático para verificar se uma curva representa o gráfico de uma função? E para verificar se um diagrama representa uma função?
Quais são as características de uma função que necessita de restrição do domínio para que sua lei de formação resulte em um número real?
Graficamente, como é realizado o estudo do sinal da função? 
Como a imagem está localizada no gráfico de uma função?
Vamos discutir detalhadamente cada ponto para compreendermos as principais informações que estão representadas nos gráficos de funções de modo geral. Assim, teremos elementos para transitar entre as representações algébricas e gráficas das funções.
3.1.1 Reconhecimento de diagramas e gráficos de funções
Vamos começar analisando os quatro diagramas de flechas indicados nas cartelas brancas utilizadas no jogo Pino Vivo: como podemos identificar aqueles que representam funções? Para respondermos essa questão, precisamos retomar o conceito de função e verificar como seus elementos estão representados nos diagramas. 
Você se lembra de que o domínio de uma função é o conjunto de elementos  que são associados à elementos  de outro conjunto, chamado de contradomínio? Nos diagramas, os elementos do conjunto D estão sendo associados com flechas à elementos do conjunto E. Em outras palavras, existe uma relação entre os dois conjuntos. 
Sendo assim, para verificarmos quais das relações descrevem uma função, vamos analisar cada uma separadamente.
No primeiro exemplo de diagrama, cada elemento  do domínio  está relacionado à um elemento do contradomínio , de modo que:
ao elemento  se associa o elemento ; 
ao elemento  se associa o elemento ; 
ao elemento  se associa o elemento ; 
ao elemento  se associa o elemento .
Podemos dizer, então, que essa relação é uma função, pois a cada elemento de D se associa um únicoelemento em E. Nesse caso, a imagem da função é o conjunto , que não coincide com o contradomínio.
O segundo diagrama de flechas, por sua vez, mostra a relação entre o conjunto  e o conjunto . Notemos que tal relação não é uma função, pois ao elemento  de D se associam dois elementos em E, a saber:  e .
Já no terceiro diagrama podemos observar a relação entre o conjunto  e o conjunto . Nesse caso, a relação também não representa uma função, pois ao elemento  de D não se associa nenhum elemento em E.
Finalmente, no último diagrama, cada elemento  do domínio  está relacionado à um único elemento do contradomínio . Nesse caso, existe uma lei de formação, da forma , que relaciona cada elemento do domínio com o dobro do seu valor. Observe, também, que a imagem da função é o conjunto , que coincide com o contradomínio da função.
Geralmente, a regra que define  como função de  é indicada por uma lei de formação, como acontece no exemplo do diagrama anterior. Contudo, uma função pode estar devidamente definida sem que haja uma regra explícita para representá-la, como podemos analisar na função dada no primeiro diagrama.É válido recordar, ainda, que, pelo fato do elemento  estar associado a , costuma-se utilizar a notação , mesmo que esta não identifique o domínio e o contradomínio da função. 
Na matemática, o uso de símbolos vai além da sua presença na notação numérica. Um passo importante rumo ao raciocínio simbólico ocorreu no contexto de resolução de problemas. Os matemáticos da Renascença Italiana desenvolveram métodos algébricos, mas suas notações ainda eram rudimentares, sendo que foram necessários muitos anos para que se desenvolvesse o simbolismo algébrico atual. Vale destacarmos, com isso, os trabalhos de François Viète, que apresentou seus resultados em forma simbólica, usando letras do alfabeto para representar quantidades conhecidas e desconhecidas (STEWART, 2014).
Agora, precisamos retomar a questão feita inicialmente: existe um método prático para verificar se um diagrama representa uma função?
Como a definição impõe condições apenas para os elementos do domínio, não precisamos nos preocupar com o contradomínio. Sabemos que cada elemento  do domínio precisa ter uma única flecha que o leva a um  do contradomínio. Assim, não podem existir elementos  do domínio sem flechas ou com mais de uma. Note, além disso, que há a possibilidade do contradomínio e da imagem coincidirem, como no último diagrama analisado. Quando uma função apresenta essa característica, ela recebe a designação especial de função sobrejetora. Em termos matemáticos, uma função  é sobrejetora se todo elemento  é a imagem de, pelo menos, um elemento , tal que . O primeiro diagrama analisado, por exemplo, não é uma função sobrejetora, uma vez que existe pelo menos um elemento do contradomínio , que não é imagem de nenhum elemento do domínio.
Ainda com relação às características da imagem de uma função, podemos denominar uma função de injetora quando um elemento do contradomínio é a imagem de apenas um elemento do domínio. Ou seja, a função  é injetora se para quaisquer  e  pertencentes ao domínio tem-se que . Observe que a primeira função do diagrama não é injetora, pois dois elementos do domínio,  e , apresentam a mesma imagem: . 
No entanto, a função do último diagrama pode ser classificada como injetora, uma vez que não existem elementos do domínio com a mesma imagem. Sendo assim, a função é vista como injetora e sobrejetora e, por isso, recebe o nome de função bijetora. 
Sabendo disso, podemos analisar se as curvas apresentadas nas cartelas brancas e laranjas são, de fato, funções, ou apenas indicam relações simples. Novamente, precisamos recordar que, pela definição de função, a curva de uma função não pode associar dois valores diferentes a um único elemento  do domínio. 
Dito isso, podemos pensar na seguinte questão: existe um método prático — e mais simples — para verificarmos quais curvas no plano cartesiano são gráficos de funções? 
Segundo Stewart (2013), essa pergunta pode ser respondida por meio do Teste da Reta Vertical, que é baseado na ideia de que uma curva no plano cartesiano é o gráfico de uma função de  se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. Assim, se cada reta vertical  cruzar a curva do gráfico somente uma vez, digamos em , então temos um único valor para a imagem de , ou seja, . Porém, se a reta  cruzar a curva em dois pontos, por exemplo em  e , ela associará duas imagens diferentes a , e, pela definição, não pode representar uma função. 
A Geometria Analítica é um ramo da Matemática que relaciona os conhecimentos geométricos com os algébricos. Por exemplo, o conceito de reta da geometria pode ser analisado com uma equação que estabelece relação entre as coordenadas dos seus pontos. No caso de uma reta vertical, podemos escrever sua equação como , em que a é a intersecção com o eixo , pois a coordenada  de todo ponto sobre a reta é a (STEWART, 2013). 
Para exemplificar melhor essa ideia, vamos realizar o Teste da Reta Vertical nas duas primeiras curvas apresentadas nas cartas laranjas do jogo Pino Vivo, e verificar quantos pontos de intersecção existem entre essas curvas e uma reta vertical, paralela ao eixo das ordenadas.
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Figura 4 - Realização do Teste da Reta Vertical em curvas do plano cartesiano.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Note que a curva à esquerda não é o gráfico de uma função, pois existem retas verticais que a interceptam em dois pontos diferentes. Podemos verificar, ainda, que a reta  cruza a curva nos pontos  e , e a reta  intercepta a curva nos pontos  e . Embora não tenha sido especificado qual é a regra que define essa curva, podemos perceber que, para cada valor de , tem-se que .
Vamos analisar da mesma forma a segunda curva apresentada, à direita na figura anterior. Observe que a curva não representa o gráfico de uma função, uma vez que existem retas verticais que a cortam em dois pontos distintos. Por exemplo, a reta  cruza a curva nos pontos  e . É possível verificar, também, que a curva é um circunferência de raio 3, cujo centro está localizado no ponto . Portanto, .
Se retornarmos às cartelas brancas e laranjas, utilizando o Teste da Reta Vertical, conseguimos compreender que as demais curvas apresentadas são, de fato, funções.
Agora que aprendemos como verificar de forma prática se diagramas e curvas no plano representam, ou não, funções, entenderemos, na sequência, como restringir domínios de funções para que a função seja definida nos reais.
3.1.2 Determinação do domínio de funções
No jogo Pino Vivo, as cartelas laranjas e azuis apresentam um tipo de questão relacionada à determinação do domínio das funções, dadas as leis de formação que as definem. Porém, antes de analisarmos essas funções, precisamos compreender quais são as características de uma função que necessita de restrição do domínio para que sua lei de formação resulte em um número real.
De acordo com Lapa (2007), uma função teria seu domínio D restrito a um subconjunto (não vazio) de , com , por duas razões possíveis: significado prático da variável ou natureza da sua lei de formação. Neste caso, as expressões analíticas que definem as funções apresentam algumas operações que não podem ser efetuadas em todo o conjunto real. 
Para entendermos melhor, vamos analisar cada exemplo apresentado nas cartelas do jogo:
A função  apresenta uma particularidade que deve ser analisada: em uma raiz quadrada, o radicando deve ser um valor não negativo, uma vez que uma raiz quadrada negativa não tem significado no conjunto dos reais. Dessa forma, a função  só tem sentido para , ou seja, . Logo, seu domínio é .
A função  é uma função quadrática, da forma , com os coeficientes ,  e . Portanto, não há operações que exijam restrições no domínio da função. Além disso, podemos definir seu domínio como .
Para determinarmos o domínio da função , devemos observar os valores reais para os quais é possível achar . Como não existem números com denominadores zero, devemos excluir os valores que anulam o denominador . Em outras palavras, devemos retirar do domínio da função  os valores que são solução da equação do 2º grau: . Note que  e, portanto, . Daí, podemos definir o domínio como .
Análogo ao exemplo anterior, para determinar o domínio de , devemos encontrar os valores  para os quais é possível achar . Portanto, precisamos resolver a equação do 2º grau  e excluir os valores encontrados do domínio da função. Assim, .
Na função , devemos observar que a variável dependente  está no denominador da função, portanto, precisamos garantir que o denominador não assuma um valor nulo. Além disso, a variável também está no radicando de uma raiz quadrada, e, dessa forma, só pode assumir valores não negativos. Juntando essas duas condições, temos que , ou seja, . Logo, o domínio da função é .
Para determinarmos o domínio da função , usaremos o raciocínio análogo ao exemplo anterior. Sendo assim, precisamos resolver a inequação do 2º grau . Para acharmos os valores que satisfazem a inequação, primeiro vamos chamar de  a função quadrática que está no primeiro membro: .Agora, vamos estudar o sinal de , lembrando que suas raízes são  e . Portanto, a solução da inequação é o domínio da função  e será da forma .
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Figura 5 - Análise do sinal de y = x² - 4.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Mas ainda nos restam alguns questionamentos: graficamente, como é realizado o estudo do sinal da função? Como a imagem está localizada no gráfico de uma função? Na sequência, vamos estudar sobre isso, finalizando a análise do jogo.
3.1.3 Análise de sinal e imagem de funções
Estudar o sinal de uma função significa encontrar os valores de  para os quais ou ou . Dessa forma, para cada gráfico de função apresentado no jogo Pino Vivo, precisamos verificar os valores do domínio que satisfazem cada uma dessas três condições.
Observe novamente o primeiro gráfico apresentado nas cartelas azuis. A função é dada por duas retas paralelas ao eixo das abscissas, de modo que os valores  menores do que zero têm a mesma imagem, que é igual a ; e os valores de  maiores ou iguais a zero possuem a imagem, igual a . Portanto, podemos analisar o sinal das funções  e . Perceba, então, que não existem valores de  que tenham a imagem zero, ou seja, o ponto dado pelo par ordenado  não faz parte do gráfico da função.
Note, ainda, que, de forma prática, estudar o sinal de uma função graficamente é localizar os intervalos sobre o eixo das abscissas para os quais a curva está acima, abaixo ou tocando esse mesmo eixo. Por exemplo, no segundo gráfico apresentado nas cartelas azuis, os valores  que estão localizados em cima do eixo das abscissas são ,  e . O gráfico de  está abaixo do eixo horizontal para  menor do que  e no intervalo . Além disso, a curva está acima do eixo horizontal para  maior do que  e no intervalo . Resumidamente, podemos escrever: 
Utilizando a mesma ideia, o estudo do sinal da função do último gráfico apresentado na cartela azul é:
Além do estudo do sinal da função, podemos determinar o conjunto imagem de uma função a partir de seu gráfico. A imagem são os valores do eixo das ordenadas que foram associados a um valor de   do domínio da função. Destacamos em vermelho, na figura a seguir, a imagem de cada função dada nas cartelas azuis. 
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Figura 6 - Identificação das imagens das funções nos seus respectivos gráficos.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Observe que, no primeiro gráfico, a imagem é determinada pelo conjunto , pois não existe nenhum ponto  do gráfico cujo valor da ordenada  seja menor do que . Já o conjunto imagem da segunda função é , pois, para valores de  do domínio, uma vez que  aumenta, sua imagem também aumentará. Assim, devido à essa característica, dizemos que a função é crescente para valores do domínio no intervalo . 
A função representada no terceiro gráfico apresenta somente dois valores como imagem de elementos do domínio e, portanto, . Para determinarmos as imagens das funções dadas nos quarto e quinto gráficos, podemos pensar de maneira análoga ao primeiro. Sendo assim, suas imagens são definidas pelos conjuntos  e , respectivamente.
Por fim, o último gráfico apresenta a curva de uma função cujas imagens dos elementos de  são sempre valores menores do que . Portanto, a imagem dessa função é o conjunto . Note que, para números  do domínio — tais que  —, aumentando os valores de , os valores  da imagem diminuem. Dessa forma, dizemos que a função é decrescente para valores  do domínio no intervalo .
Você pode observar, também, que o gráfico é um importante instrumento para a análise de uma função, sendo que ele nos permite identificar suas características principais, seu domínio e sua imagem.
No próximo tópico, vamos exercitar a habilidade de construir leis de formação a partir de diagramas e explorar ainda mais as ideias de função injetora, sobrejetora e bijetora.
3.2 Jogo Envelopes Matemáticos e a construção de funções
Os diagramas de flechas nos permitem visualizar características interessantes de uma função. Por exemplo, podemos comparar o contradomínio e a imagem da função, verificando se eles são coincidentes ou não. Assim, é possível identificar facilmente se a função é injetora, sobrejetora ou bijetora. Faremos esse tipo de identificação com o jogo Envelopes Matemáticos.
O Envelopes Matemáticos é uma atividade que deve ser realizada em grupos, representados por cores diferentes. Para isso, precisamos do auxílio de um tabuleiro, cujas casas são representadas por envelopes das respectivas cores de cada equipe, como podemos ver no esquema a seguir.
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Figura 7 - Cada envelope contém diagramas de funções para determinar as regras do jogo.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Na primeira rodada, um representante de cada grupo deve pegar o cartão do primeiro envelope de sua cor e resolver a questão com a sua equipe. Se a resposta estiver correta, o grupo poderá pegar outra questão no envelope seguinte. A equipe vencedora será aquela que responder corretamente todas as questões.
Os diagramas a seguir estão nos envelopes verdes do jogo.
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Figura 8 - Diagrama de flechas que representam funções.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Podemos discutir as respostas de cada diagrama analisando qual é a lei de formação da função representada, seu domínio, sua imagem e, ainda, verificando se trata de uma função injetora, sobrejetora ou bijetora.
No primeiro diagrama, temos que cada elemento do conjunto D está associado a um elemento do conjunto E. Sendo assim, o domínio da função é , e seu contradomínio é . Note que cada elemento do domínio está sendo levado ao seu valor somado a , ou seja, . 
Podemos perceber, também, que a imagem da função é  e coincide com seu contradomínio. Portanto, trata-se de uma função sobrejetora. Observe, ainda, que todo elemento do contradomínio é a imagem de, pelo menos, um elemento , por isso, a função também é injetora. Além disso, como ela apresenta as características de sobrejetividade e injetividade, pode ser chamada de função bijetora. 
No segundo diagrama, por sua vez, temos que o domínio da função é   , e seu contradomínio é  . Note que cada elemento do domínio está sendo levado ao quadrado de seu valor somado a 3, ou seja,   . Nesse caso, a imagem da função coincide com o contradomínio, pois   . Sendo assim, trata-se de uma função sobrejetora. Porém, a função não é injetora, pois dois elementos distintos do domínio,   e   , são associados à mesma imagem:   .  
No terceiro diagrama temos uma função cujo domínio é   , e seu contradomínio é   . Nesse caso, cada elemento do domínio está sendo associado ao dobro do quadrado de seu valor, ou seja,   . Assim, a imagem da função é   , não coincidindo com o contradomínio da função, portanto, não se trata de uma função sobrejetora. Além disso, a função também não pode ser considerada injetora, pois elementos distintos do domínio possuem a mesma imagem. Para   e   , temos   ; e, para    e   , temos   .
De forma análoga, podemos analisar o quarto diagrama. Seu domínio é   , enquanto que seu contradomínio é   e sua imagem é   . Nesse caso, a função não é injetora, nem sobrejetora. Note que cada elemento positivo do domínio está associado ao seu próprio valor, já os negativos estão associados aos seus opostos. Essa é a definição de módulo de um número, e, dessa forma,   .  
Os quinto e sexto diagramas são similares quanto as características da imagem da função. Observe que, em ambos, suas imagens coincidem com o contradomínio. Além disso, cada valor da imagem só foi associada a um elemento do domínio, ou seja, não existem elementos diferentes do domínio com a mesma imagem. Logo, essas funções são bijetoras.
Mas como são as leis de formação dessas funções?
Nos mesmos diagramas, podemos perceber que os números de cada domínio apresentam imagens de valor menor ao seu, e essa redução é feita de forma proporcional. Portanto, as funções apresentam operações de divisão em suas leis de formação. Observe, ainda, que no quintodiagrama será  , e no sexto diagrama será  .
Na sequência, vamos continuar trabalhando com expressões algébricas, mas, agora, analisaremos melhor alguns enunciados de problemas.
3.3 Bingo de Equações do 2º grau
Você se lembra de que existem quatro formas de representarmos funções?
Podemos utilizar uma expressão algébrica, uma tabela de valores, gráficos, ou, até mesmo, palavras para descrever as relações entre dois conjuntos que definem funções. As representações algébricas e gráficas foram privilegiadas em nossos estudos até aqui, mas, a partir de agora, exercitaremos nossas habilidades em transformar problemas em linguagem algébrica. Para isso, vamos utilizar o jogo Bingo de Equações do 2º grau.
Vale ressaltar que essas equações nos permitem achar as raízes de funções quadráticas, por isso, é importante dominarmos a forma de resolvê-las.
Mas como funciona o jogo?
A dinâmica é a mesma de um bingo comum, mas as cartelas contêm oito equações do 2º grau no lugar dos números convencionais. Além disso, elas serão distribuídas por duplas. 
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Tabela 1 - Equações do 2º grau.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Serão, então, sorteados problemas, e as duplas devem marcar a equação do 2º grau correspondente, caso ela esteja em sua cartela. A dupla vencedora será a que primeiro preencher sua cartela.
Vamos, então, analisar atentamente os problemas correspondentes às equações da cartela da figura anterior:
 : Qual é o número cujo seu quadrado diminuído do seu triplo resulta em 28? Chamando de  o número que desejamos encontrar, temos que seu quadrado é  e seu triplo é  . Portanto,  . Resolvendo com a fórmula de Bhaskara, temos que  ou  .
 : O dobro do quadrado da quantidade de irmãos de Maria, diminuído do triplo desse número, é 104. Sendo assim, Maria tem quantos irmãos? Chamando de   o número desejado, temos que o dobro do quadrado é  e seu triplo é  . Logo,  . Resolvendo com a fórmula de Bhaskara, temos que  . Assim, Maria tem oito irmãos.
 : O quadruplo do quadrado do número de filhos de Manuel é igual a 32 vezes o número de filhos, menos 64. Então, Miguel tem quantos filhos? Chamando de   o número desejado, temos que o dobro do quadrado é  e seu triplo é  . Logo,  . Note que  . Portanto, temos que  . Assim, Manuel tem quatro filhos.
 : Se o dobro do quadrado da nota final de Miguel é 8, qual é o valor da sua nota? Denominando de   a nota de Miguel, temos que o dobro do quadrado da nota é  . Logo,  . Resolvendo a equação, temos que  . Sendo assim, a nota final de Miguel é quatro.
 : Sabemos que Joana é 5 anos mais velha do que Laura, e que o produto de suas idades é igual a 104. Assim, quantos anos tem cada uma delas? Chamando de   a idade de Joana, temos que a idade de Laura é  . Logo,  . Resolvendo a equação, temos que  . Dessa forma, a idade de Joana é 13 anos e a idade de Laura é 8.
  : Quais são os dois números que têm a propriedade do triplo do seu quadrado ser igual a 27 vezes esses números? Vamos denotar de   o número desejado, assim, o triplo do seu quadrado é da forma  . Logo,  . Resolvendo a equação, temos que  . Sendo assim, os dois números procurados são -3 e 3.
 : Quais são as dimensões de uma tela retangular de área total 9 m² , cuja largura é duas vezes e meia maior do que a sua altura? Denotando de   a altura e de  a largura da tela, temos a relação  . Como a área de um retângulo é dada pela multiplicação dos lados, temos que  . Sabemos que a área é 10 m², então,  . Resolvendo a equação, temos que  . Contudo, vamos utilizar só o valor positivo, pois não tem sentido pensar em dimensões negativas. Logo, a altura será 2 metros, e a largura será de 5 metros.
 : Madalena pensou em um número, depois o multiplicou por 3 e subtraiu 27 desse valor. No final, ainda elevou o valor resultante ao quadrado. Sabendo que o resultado obtido foi zero, qual é o número que Madalena pensou inicialmente? Vamos chamar o número que Madalena pensou inicialmente de  . Portanto, temos que  . Resolvendo a equação, temos que  . Sendo assim, Madalena pode ter pensado nos números -3 ou 3.
Até aqui, estudamos sobre as funções e suas propriedades de um modo geral. Na sequência, analisaremos de modo mais específico as propriedades das potências e dos logaritmos, para, depois, compreendermos o conceito de funções exponenciais e logarítmicas, bem como as relações entre elas.
3.4 Jogo Logaritmonencial e as funções exponencial e logarítmica
Segundo Tan (2007), a função exponencial é uma das mais importantes funções em matemática devido às suas aplicações. Algumas situações que fazem uso dessas funções são o cálculo dos juros de uma conta bancária e o estudo das taxas as quais uma pessoa aprende um certo processo.
As funções logarítmicas, assim como as exponenciais, também têm sua importância para a Matemática. Inicialmente, os logaritmos nasceram como uma ferramenta computacional e permitiam que os cientistas realizassem cálculos complexos. Atualmente, elas possuem uma vasta aplicação nas ciências em geral.
Dada a importância desses conceitos, vamos relembrar as principais propriedades das potências e dos logaritmos por meio do jogo Logaritmonencial. Ele é similar ao dominó comum, porém as 24 peças são constituídas de quatro partes, que apresentam resultados ou operações envolvendo expoentes e logaritmos, conforme pode ser melhor visualizado com a figura seguir.
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Figura 9 - Exemplos de exponenciais e logaritmos do jogo Logaritmonencial.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Todas as peças devem ser distribuídas igualmente entre os participantes. Primeiramente, um jogador é sorteado para iniciar o jogo, devendo escolher uma de suas peças, a seu critério, para colocar na mesa. Após a jogada, ele deve anotar em uma tabela de pontos o maior resultado que pode ser obtido com a peça escolhida. Em seguida, o próximo jogador deve escolher uma de suas peças para colocar na mesa, de forma que um dos lados de sua peça corresponda ao resultado do cálculo de um dos lados da peça que já estava na mesa. Dessa vez, o jogador deve marcar em uma tabela o resultado do cálculo que completou. 
Veja uma situação de jogo que ilustra sete rodadas já realizadas por dois jogadores.
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Figura 10 - Sequência resultante de sete jogadas realizadas por dois jogadores.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Se acontecer de um jogador não possuir uma peça que corresponda àquela que está na mesa, ele deve passar a vez e perder o número de pontos que o próximo jogador obterá em sua jogada. Ao final do jogo, não tendo mais possibilidades de colocar suas peças, o jogador perderá o número de pontos do maior resultado possível de cada uma das peças que restaram consigo. O vencedor será aquele que obtiver o maior número de pontos.
Vale lembrar que você pode usar uma calculadora para conferir se seus cálculos estão corretos durante o jogo.
Na sequência, faremos a análise das jogadas descritas na figura anterior e responderemos à questão: supondo que os jogadores não passaram a vez em nenhuma rodada, qual dos dois está ganhando o jogo até o momento?
3.4.1 Propriedades da exponencial e do logaritmo 
Vamos iniciar nosso estudo das propriedades da exponencial e do logaritmo analisando as operações contidas nas peças do jogo Logaritmonencial. Para facilitar as análises, precisamos, primeiramente, verificar as operações envolvendo exponenciais, e, em seguida, veremos o conceito de logaritmo e suas propriedades.
Você lembra o que significa um número elevado à outro? Por exemplo, o que significa escrever ? O número 4 é chamado de expoente, o qual indica que devemos multiplicar a base 2 por ela mesmo, sendo que o número de fatores dessa multiplicação será quatro. Isto é, . Nas cartas do jogo Logaritmonencial, podemos perceber que o número da base podem assumir valores fracionários. Nesse caso, o raciocínio seguido deve ser o mesmo. Veja os exemplos: 
O expoente pode, também, assumir valores negativos. Nesse caso, devemos usar a propriedadede que . Portanto: 
Também podemos verificar que existem cartas cujos expoentes assumem valores racionais. Mas o que precisamos fazer nessa situação?
Veja o caso da potência de base 2 com expoente . Note que o denominador 3 do número no expoente foi transformado na raiz cúbica, enquanto que o numerador continuou como expoente da base 2. É dessa forma que devemos proceder no caso de potências com expoentes racionais. Veja outro exemplo, quando o denominador é um valor racional é negativo:  .
Agora, vamos discutir o conceito de logaritmo: qual é o expoente da base 2 que faz a potência resultar em 8? Dito de outra forma, estamos procurando o valor do expoente  que satisfaz a equação: . Note, então, que , portanto, o valor do expoente   deve ser 3. O que acabamos de fazer foi procurar o logaritmo de 8 na base 2. 
Isto é, se  e  são números, tais que  e , chama-se logaritmo de   na base  , e se escreve  o valor de   tal que . Vale destacar que, se a base do logaritmo é , então se costuma omiti-la, de forma que . 
Vejamos, então, como calcular os valores de logaritmos dados nas peças do jogo Logaritmonencial:
Quanto é ? Lembre-se que . Pela definição, . Como , podemos reescrever a equação da forma . Logo, o valor de  é 3. Podemos dizer, então, que o logaritmo de 1000 na base 10 é 3.
E quanto é ? Pela definição, temos que . Como , podemos escrever a equação de forma equivalente . Logo, o valor de  é 5, e dizemos que o logaritmo de 243 na base 3 é 5.
E, ainda, quanto ao valor de ? Temos que . Portanto, utilizando a definição de logaritmo: . Assim, , e o logaritmo de 625 na base 5 é 4.
Podemos verificar nos exemplos que a definição do logaritmo gera algumas consequências. A primeira delas é que o logaritmo de 1 em qualquer base  é igual a 0, pois . Além disso, o logaritmo da própria base é igual a 1, visto que . A terceira consequência é que , pois, pela definição, , e, para a igualdade ser satisfeita, .
Tendo em vista essas considerações, podemos calcular o valor de : note que e , portanto, .
No vídeo A Aparição, um garoto recebe a ajuda de uma aparição divina para resolver seus problemas com logaritmos. Com diálogos simples e de fácil compreensão, são apresentados fatos históricos sobre os logaritmos que mostram a criação do conceito por John Napier e seu aprimoramento pelo matemático Henry Briggs. Além disso, são apresentadas aplicações do logaritmo em situações reais, como no caso da Escala Richter. Para assisti-lo, acesse: <https://www.youtube.com/watch?v=ju13iGDTIBs>.
Agora, voltemos a questão inicial: se os jogadores de Logaritmonencial não passaram a vez em nenhuma rodada, qual dos dois está ganhando o jogo até o momento? 
O primeiro jogador foi quem jogou a primeira, a terceira, a quinta e a sétima peça na mesa, lembrando que os pontos da primeira peça são obtidos do maior valor presente na peça jogada. Assim, podemos verificar que o jogador em questão tem um total de  pontos. Já o segundo jogador tem  pontos. Portanto, o primeiro está ganhando até o momento. 
Agora, com esse conhecimento, podemos estudar as funções que utilizam essas operações em suas leis de formação. 
3.4.2 Função exponencial
A função definida por , com  e , é denominada função exponencial de base  e de expoente . Como os valores do expoente podem assumir qualquer valor do conjunto dos reais, podemos defini-la como uma função real de variável real. Em linguagem matemática, temos que . 
Para construirmos o gráfico de uma função exponencial, vamos utilizar todo o nosso conhecimento sobre funções estudados até aqui. 
Primeiro, devemos encontrar o ponto do gráfico da função que intercepta o eixo das ordenadas, ou seja, o valor de  que é imagem de . Na função exponencial, temos que . Sendo assim, o gráfico de uma função exponencial da forma  sempre cortará o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 1.
Agora, observemos o que acontece com os valores da imagem de uma função exponencial de base . Se tomarmos dois números reais  e  do domínio, de modo que , isso implica que , como podemos observar em alguns exemplos na tabela a seguir.
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Tabela 2 - Valores do domínio e da imagem de funções exponenciais de base a > 1.Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
Isso significa que os valores da imagem sempre aumentam quando aumentamos, também, os valores do domínio da função. Sendo assim, a função  com  é uma função crescente.
Consideremos, agora, o que acontece com os valores da imagem de uma função exponencial de base . 
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Tabela 3 - Valores do domínio e da imagem de funções exponenciais de base 0 < a < 1.Fonte: Elaborado pela autora, 2018
Para valores do domínio tal que , temos que . Isso quer dizer que os valores da imagem diminuem quando tomamos valores do domínio cada vez maiores. Logo, as funções exponenciais da forma  com  são funções decrescentes.
Note que, pela definição de função exponencial, sua base é sempre um número positivo e diferente de 1. Como, independentemente do valor do expoente, este não pode mudar o sinal da base, o valor assumido por  sempre será um número positivo. Portanto, podemos afirmar que o gráfico da função exponencial  está sempre acima do eixo das abscissas.
Utilizando uma tabela que relaciona pontos de algumas funções exponenciais e levando em consideração as informações de nossas análises, podemos observar o gráfico a seguir.
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Figura 11 - Se 0 < a < 1, então f(x) aproxima-se de 0 quando x cresce. Se a > 1, então a f(x) tende a 0 conforme x decresce.Fonte: STEWART, 2013, p. 49.
Cabe destacarmos que as funções exponenciais de base , em que  é um número irracional cujo valor é ,  têm fundamental importância em muitos problemas teóricos e práticos das ciências em geral (TAN, 2007).
O artigo “O número , por quê?”, adaptado do texto escrito pelo importante matemático brasileiro Elon Lages Lima, trata das características e da importância do número de Euler. Com uma linguagem simples, podemos compreender o porquê da escolha do número de Euler como base de logaritmos. O texto está disponível nas páginas 28 a 30 do site: <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/funcoes_modelagem/modulo_V/euler_1.pdf>. 
            Agora, vejamos um exemplo prático do uso das funções exponenciais para o cálculo de juros compostos de uma conta bancária.
Um pessoa aplica um valor de R$ 2.000,00 no banco, a juros compostos de 1,1% ao mês. Isso significa que, ao final do primeiro mês, os juros incidentes sobre o capital inicial () são incorporados sobre ele, produzindo um montante de R$ 2.022,00 (). Ao final do segundo mês, os juros incidirão sobre o montante de R$ 2.022,00 e serão incorporados a ele. Dessa forma, o novo montante será calculado como: . 
O mesmo processo é feito para os outros meses de aplicação, contudo, será que é possível encontrar o montante final após dez meses de aplicação, sem precisarmos calcular o montante de todos os meses? 
O montante pode ser calculado a partir do investimento inicial, fazendo-se . Dessa forma, após dez meses de aplicação, o montante será de, aproximadamente, R$ 2.231,22. Podemos, anda, generalizar a fórmula, se considerarmos um capital C investido inicialmente a juros compostos com taxa  por período de tempo, então o montante após períodos será dado pela função . 
Já que aprendemos o conceito de função exponencial e estudamos as principais características dos gráficos das funções exponenciais da forma , com  e ,  na sequência, definiremos as funções logarítmicas e analisaremos seus gráficos.
3.4.3 Função logarítmica
Vimos anteriormente que a definição de logaritmo está relacionada ao conceito de exponenciais. Isso implica que, se  e  são números positivos e , a expressão  também é um número real. Sendo assim, podemos definir uma função logarítmica como a função de , tal que  (com ). Alguns exemplos de funções logarítmicas são ,  e .
No entanto, como podemos obter o gráfico dessas funções? Elas seguem algum padrão, como as funçõesexponenciais?
De acordo com Tan (2007), um modo fácil de obter o gráfico da função logarítmica  é construindo uma tabela de valores do logaritmo (base ). Entretanto, um método mais instrutivo é baseado na exploração da estreita relação entre funções logarítmicas e exponenciais.
O artigo intitulado “Logaritmo” expõe partes adaptadas de alguns textos publicados na Revista do Professor de Matemática (RPM), que apresentam aplicações interessantes e motivadoras dos logaritmos. Com a leitura, também é possível conferir como os logaritmos e as funções exponenciais estão estritamente relacionados. O texto está disponível nas páginas 75 a 83 do site: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_3_2.pdf>.
Observe que, se um ponto  faz parte do gráfico de uma função logarítmica da forma , então . Pela definição de logaritmo, uma forma equivalente de escrever essa relação é . Isso significa que o ponto  está no gráfico da função exponencial de mesma base, mas os pontos  e  são simétricos em relação à reta bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes do plano cartesiano. Portanto, conhecendo o gráfico de uma função exponencial , por simetria, obtemos os gráficos da função exponencial , conforme vemos na figura a seguir.
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Figura 12 - A função logarítmica f(x) = log_a⁡x (com a > 1) tende a 0 conforme x decresce.Fonte: STEWART, 2013, p. 89.
Portanto, podemos resumir as características da função logarítmica : 
Seu domínio é o conjunto ;
Seu gráfico intercepta o eixo das abscissas no ponto ;
Se , a função logarítmica é crescente;
Se , então a função logarítmica é decrescente.
Neste tópico, você teve a oportunidade de compreender as relações existentes entre as potências e a definição de logaritmo. Assim, pôde aprender a construir o gráfico de uma função logarítmica utilizando a ideia de inversa de uma função exponencial. Agora, já consegue fazer uso dessas propriedades como ferramentas que ajudam na resolução de problemas que envolvem as exponenciais e os logaritmos. 
Síntese
Neste terceiro capítulo, você teve a oportunidade de conhecer novas ferramentas que auxiliam na compreensão do comportamento de funções em geral. Mais especificamente, aprendeu a reconhecer as funções exponenciais e as logarítmicas por meio de suas leis de formação e da representação gráfica. A construção do gráfico da função logarítmica foi realizada utilizando a definição de logaritmo como inversa da exponencial. 
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
identificar uma função por meio da sua lei de formação ou da sua representação gráfica; 
construir gráficos de funções em geral, a partir da determinação de pontos notáveis;
determinar o domínio e o conjunto imagem de uma função; 
analisar o sinal de funções em geral;
resolver problemas envolvendo o conceito de função, transformando-os em linguagem algébrica;
identificar as características principais das funções exponenciais e logarítmicas;
construir os gráficos das funções exponenciais e logarítmicas.
Bibliografia
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LAPA, N. Matemática aplicada. São Paulo: Saraiva, 2012.
LIMA, E. L. O número e, por quê?. S./d.
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QUARTIERI, M. T.; REHFELDT, M. J. H. Jogos Matemáticos para o Ensino Médio. In: VIII ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2004, Recife. Anais eletrônicos... Recife: SBEM, 2004, p. 1 - 9. Disponível em: <http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/03/MC41839641053.pdf>. Acesso em: 09/05/2018.
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STEWART, I. Em busca do infinito: Uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Vol. 1.
TAN, S. T. Matemática Aplicada a Administração e Economia. 2. ed. São Paulo: C