Resumo dos Testes de Convergência e formulário calculo

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Resumo dos Testes de Convergência 
 
Observação: todos os limites são com n  + . 
 
NOME PROPOSIÇÃO 
Teste da Divergência Se lim un  0, então 
 nu
 diverge. 
Teste da Integral 
Seja 
 nu
 uma série com termos positivos e seja f(x) a função que resulta 
quando n for substituído por x no termo geral da série. Se f for decrescente e 
contínua para x  a, então 


 an
nu
 e 


a
dx)x(f
 
ambas convergem ou ambas divergem. 
Teste da Comparação 
Sejam 

1n
na
 e 

1n
nb
 séries com termos não-negativos tais que 
a1  b1 , a2  b2 , ... , ak  bk , ... 
Se 
 nb
 convergir, então 
 na
 converge, e se 
 na
 divergir, então 
 nb
 
diverge. 
Teste da Razão 
Seja 
 nu
 uma série com termos positivos e suponha que 
 = lim 
n
n
u
u 1
 
(a) A série converge se  < 1, 
(b) A série diverge se  > 1 ou  = + , 
(c) O teste é inconclusivo se  = 1. 
Teste da Raiz 
Seja 
 nu
 uma série com termos positivos tal que 
 = lim 
n
nu
 
(a) A série converge se  < 1, 
(b) A série diverge se  > 1 ou  = + , 
(c) O teste é inconclusivo se  = 1. 
O Teste da Comparação dos Limites 
Sejam 
 na
 e 
 nb
 séries com termos positivos tal que 
 = lim 
n
n
b
a
 
Se 0 <  < +, então as séries convergem ou divergem. 
Teste da Série Alternada 
Se an > 0 para n = 1, 2, 3, ... , então as séries 
a1 – a2 + a3 – a4 + ... 
– a1 + a2 – a3 + a4 – ... 
convergem se as seguintes condições são satisfeitas: 
(a) a1 > a2 > a3 > ... 
(b) lim an = 0 
Teste da Razão para Convergência 
Absoluta 
Seja 
 nu
 uma série com termos diferentes de zero tal que 
 = lim 
|u|
|u|
n
n 1
 
(a) A série converge absolutamente se  < 1, 
(b) A série diverge se  > 1 ou  = +, 
(c) O teste é inconclusivo se  = 1. 
 
 
 
 
FÓRMULAS DE DERIVADAS FÓRMULAS DE INTEGRAIS 
dc = 0 
d(u + v) = du + d v 
d(uv) = u d v + v d u 
d 






v
u
 = 
2v
udvvdu
 
d(f (g(x)) = f ’ (g(x))g’(x) 
d (u
n
) = n u 
n-1
 d u 
d(e
u
)= e
u
 d u 
d(a
u
) = a
u
 ln a du 
d(ln |u|) = 
1
u
 d u 
d (loga|u|) = 
alnu
1
 du 
d (sen u) = cos u d u 
d (cos u) = – sen u d u 
d (tan u) = sec
2
 u d u 
d (cot u) = – csc2 u d u 
d (sec u) = sec u tan u d u 
d (csc u) = – csc u cot u du 
d (arc sen u) = 
u '
1 – u2
 
d (arc cos u) = 
– u '
1 – u2
 
d (arc tan u) = 
u '
1 + u
2 
d (arc cot u) = 
– u '
1 + u
2 
d (arc sec u) = 
u '
u u
2
 – 1
 
d (arc csc u)= 
– u '
u u
2
 – 1
 
 duu
n
 = 
1
1


n
u n
 + C, n  –1 


1
u
 du = ln | u | + C 
 due
u
 = e
u
 + C 
 dua
u
 = 
aln
au
+ C 
sen u du = – cos u + C 
cos u du = sen u + C 
sec
2
 u du = tan u + C 
csc
2
 u du = – cot u + C 
sec u tan u du = sec u + C 
csc u cot u du = – csc u + C 
tan u du = – ln | cos u | + C 
cot u du = ln | sen u | + C 
sec u du = ln | sec u + tan u | + C 
csc u du = ln | csc u – cot u | + C 

 22
1
ua
 du = arc sen 






a
u
 + C 
  22
1
ua
 du = 
a
1
 arc tan 






a
u
 + C 

 22
1
auu
 du = 
a
1
 arc sec 






a
u
 + C 
  22
1
ua
 du = 
a2
1
 ln 
au
au


+ C 

 22
1
au
 du = ln 
22 auu 
 + C 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA 
Se tivermos a 
2
 – x 2 então fazemos x = a sen t 
Se tivermos a 
2
 + x 
2
 então fazemos x = a tan t 
Se tivermos x 
2
 – a 2 então fazemos x = a sec t 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
u dv = u v – v du