Lista de calculo vetorial

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FURG � Universidade Federal do Rio Grande
IMEF � Instituto de Matemática, Estatística e Física
Cálculo Diferencial e Integral II - T:C
Prof.: Cristiana Andrade Poffal
Lista I
Cálculo Vetorial
Questão 1. Sejam
~f(t) = ~at+~bt2 e ~g(t) = t~i+ sen(t)~j + cos(t)~k com ~a =~i+~j e ~b = 2~i−~j, 0 ≤ t ≤ 2pi. Calcule:
a)
~f(t) + ~g(t)
b) ~a · ~f(t) +~b · ~g(t)
c)
~f(t)× ~g(t)
Questão 2. Obtenha a equação cartesiana das curvas:
a) ~r(t) =
(
1
2
t, 3t+ 5
)
b) ~r(t) =
(
t− 1, t2 − 2t+ 2)
Questão 3. Determine o centro e o raio da circunferência x2 + y2 − 2x+ 5y − 3 = 0 e escreva sua equação vetorial.
Questão 4. Calcule os limites:
a) lim
t→−1
[
t3 + 4t2 + 4t
(t+ 2)(t− 3)
~i+~j
]
b) lim
t→2
1
t− 2
[
(t2 − 4)~i+ (t− 2)~j
]
c) lim
t→1
[√
t− 1
t− 1
~i+ (2t − 1)~j + t~k
]
Questão 5. Calcule as integrais:
a) I1 =
∫ 1
0
[
t3~i+ 7~j + (t+ 1)~k
]
dt
b) I2 =
∫ pi
3
0
[
sec(t) tan(t)~i+ tan(t)~j + 2 sen(t) cos(t)~k
]
dt
Questão 6. Reparametrize pelo comprimento de arco as curvas:
a) ~r(t) =
(
2t, 2
3
√
8t3, t2
)
, t ∈ [0, 3]
b)~r(t) =
(
et cos(t), et sen(t), et
)
Questão 7. A função vetorial ~r representa o vetor posição de uma partícula se movendo, em cada instante t. Para cada item,
determine:
a) o vetor velocidade;
b) o vetor aceleração;
c) a velocidade escalar em t = t1;
d) dois vetores tangentes unitários à trajetória da partícula em t = t1.
1) ~r = (2 + cos(6t), 2 + sen(6t)), t1 =
pi
9
2) ~r = (e2t, t2), t1 = 0
3) ~r = (1, t− 1, t2 + 1), t1 = 2
Questão 8. Dois carros R1 e R2 percorrem, respectivamente, as BR-01 e BR-02, tendo seus movimentos descritos por
~r1 = (10t, 50t
2) e ~r2 = (7t, 70t− 50), t ≥ 0.
a) No ponto P onde as estradas BR-01 e BR-02 se cruzam está situado um ponto de fiscalização de velocidades. Encontre este
ponto P .
b) Os dois carros chegam junto ao ponto P?
c) Sabendo que o limite de velocidade em qualquer estrada é de 80 km/h, qual dos dois será multado no ponto P?
Questão 9. Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posição
~r1 = (1 + t, 2 + 3t) e ~r2 = (1− t, 3 + t2), t ≥ 0.
a) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
b) Em que pontos elas se cruzam?
c) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro é mínima e qual é esta velocidade?
Questão 10. Seja ~r(t) = (2 cos(ωt), 4 sen(ωt)), onde ω é uma constante não nula. Mostre que
d2~r
dt2
= −ω2~r.
Questão 11. Calcule o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações
dadas durante o intervalo de tempo especificado:
a) ~r = (a(cos(t) + t sen(t)), a(sen(t)− t cos(t)), 0 ≤ t ≤ 2pi.
b) ~r = (sen(t), t, 1− cos(t)), 0 ≤ t ≤ 2pi.
Questão 12. A velocidade de uma partícula que se move em um fluido é descrita por meio de um campo de velocidade
~v = (v1, v2, v3), onde as componentes v1,v2 e v3 são funções de x, y, z e do tempo t. Se a velocidade da partícula for
~v(t) = (6xt2,−4ty2, 2t(z + 1)), obtenha ~r(t).
Questão 13. Considere a partícula que se move ao longo das equações paramétricas:
x(t) = cos(t) + t sen(t), y(t) = sen(t)− t cos(t), t ≥ 0
a) Determine o vetor tangente unitário.
b) Obtenha o vetor normal principal.
c) Calcule
~T e ~N em t =
pi
2
.
Questão 14. Considere uma partícula se movendo com vetor posição ~r(t). Se ~v(t) é a velocidade da partícula e v = ‖~v‖,
então o vetor aceleração ~a(t) é ~a(t) = v′ ~T (t) + v ~T ′(t).
Questão 15. Sabendo que a curvatura κ =
‖ ~T ′(t) ‖
‖ ~v ‖ . Mostre que ~a(t) =
dv
dt
~T (t) + κv2 ~N(t).
Questão 16. Determine o vetor gradiente das funções nos pontos indicados:
a) z = sen(3x+ y); P = (0, pi
2
)
b)f(u, v, w) = u2 + v2 − w2 + uvw; P = (0, 1, 0)
Questão 17. Determine as direções nas quais as funções crescem e decrescem mais rapidamente em P0.
a)f(x, y) = x2y + exy sen(y); P0 = (1, 0)
b)f(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(xz); P0 = (1, 1, 1)
Questão 18. Em quais direções a derivada de f(x, y) =
x2 − y2
x2 + y2
em P = (1, 1) é igual a zero?
Questão 19. Determine, se existir, o plano tangente a f(x, y) =
√
1− x2 − y2 nos pontos P1 = (0, 0, 1) e P2 = ( 12 , 12 ,
√
2
2
).
Questão 20. Determine as equações paramétricas para a reta normal a z = 4x2 + 9y2 + 1 no ponto
(
1
2
, 1
3
, 3
)
.
Questão 21. Determine o domínio das funções vetoriais:
a)
~f(x, y) = (x, y,
√
4− x2 − y2)
b) ~g(x, y) =
(
1
x
, xy, ln(4− x2 − y2))
c)
~h(x, y) = (x2 + y2, x
√
y, xy)
Questão 22. Determine a divergência e o rotacional de:
a)
~f(x, y, z) = (2x+ 4z, y − z, 3x− yz)
b) ~g(x, y) = (ex cos(y), ex sen(y))
c)
~h(x, y, z) = xy2z(~i+ 2~j + 3~k)
Questão 23. Supondo que ~v representa a velocidade de um fluido em movimento, diz-se que ~v representa um fluxo incom-
pressível se ∇ · ~v = 0. Verifique se ~v representa um possível fluxo incompressível.
a)~v(x, y) = (2y − 3, x2)
b)~v(x, y, z) = (2xy,−2yz, 2z)
Questão 24. Supondo que ~v representa a velocidade de um fluido em movimento. O rotacional de ~v pode ser interpretado
como uma medida do movimento angular de um fluido e a condição
~∇×~v = ~0 para um campo ~v, caracteriza fluxos irrotacionais.
Verifique se ~v representa um possível fluxo irrotacional.
a)~v(x, y, z) = (yz, xz, xy)
b)~v(x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz)
Questão 25. Verifique se os campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo, determine uma função
potencial.
a)~v(x, y, z) = (2x, 5yz, x2y2z2)
b)~v(x, y, z) = (ln(xy), ln(yz), ln(xz))
c) ~v(x, y, z) = (ex, 2ey, 3exyz)
Questão 26. Qualquer função escalar f para a qual ∇2f = 0 é dita harmônica. Verifique que a função f(x, y, z) =
1√
x2 + y2 + z2
é harmônica, exceto na origem.
Questão 27. Para um escoamento no plano xy, a componente horizontal da velocidade é 2xy + x2 + y2. Determine uma
possível componente vertical para escoamento incompressível.