Apostila de Cálculo Vetorial

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Notas de Aula de Cálculo
Cálculo Vetorial
Bárbara Rodriguez Cristiana Poffal
7 de março de 2016
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Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Resumo baseado no livro Matemática Avançada para Engenharia: álgebra linear e
cálculo vetorial - v. 2 de Dennis Zill e Michael Cullen
Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF
1 Notas de aula de Cálculo - FURG
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Sumário
1 Cálculo Vetorial 4
1.1 Funções Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Limite de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Continuidade de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Derivada de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Integral de uma Função Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Comprimento de uma Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.7 Velocidade, Direção e Módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.8 Modelando o Movimento de Projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.9 Vetor Tangente Unitário T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.11 Vetor Normal Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.12 Círculo de Curvatura e Raio de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.13 Vetor Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.14 Derivada Direcional e Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.14.1 Propriedades da Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . 11
1.15 Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.16 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.17 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.18 Funções Hamônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.19 Campo Conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.20 Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.20.1 Conceitos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.20.2 Integrais de Linha no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
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SUMÁRIO
1.20.3 Integral de Linha: Curva definida por uma função explícita . . 15
1.20.4 Forma Compacta para Escrever a Integral de Linha . . . . . . 15
1.20.5 Aplicação da Integral de Linha: Trabalho . . . . . . . . . . . . 16
1.20.6 Circulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.20.7 Integrais de Linha: Independência do Caminho . . . . . . . . 16
1.21 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.22 Integrais de Superfície . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.22.1 Integrais de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.23 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20
1.24 Teorema da Divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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Capítulo 1
Cálculo Vetorial
Neste capítulo estudam-se as funções vetoriais, o cálculo de limites,
derivadas e integrais e suas aplicações.
1.1 Funções Vetoriais
Quando um corpo se movimenta no espaço, as equações x = f(t), y =
g(t), z = h(t) fornecem as coordenadas do corpo na forma de funções do tempo que
podem ser usadas como equações paramétricas na modelagem do movimento e da
trajetória do corpo. Por meio da notação vetorial, pode-se escrever:
−→r (t) = (f(t), g(t), h(t)).
Definição 1.1.1. (Trajetória de uma partícula) Quando uma partícula se move
pelo plano durante um o intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula como
funções em I são: x = f(t), y = g(t), z = h(t), t ∈ I. Os pontos (x, y, z) =
(f(t), g(t), h(t)), t ∈ I, formam um curva no espaço que é a trajetória da partícula.
As equações e o intervalo I parametrizam a curva. A curva no espaço
também pode ser representada na forma vetorial. O vetor −→r (t) = −→OP = f(t)−→i +
g(t)
−→
j + h(t)
−→
k a partir da origem até a posição da partícula P (f(t), g(t), h(t))
no instante t é o vetor posição da partícula. As funções f(t), g(t) e h(t) são as
componentes do vetor posição.
A trajetória da partícula é a curva traçada por −→r durante o intervalo
de tempo I. A equação −→r (t) = −→OP = f(t)−→i + g(t)−→j + h(t)−→k define −→r como uma
função vetorial da variável t no intervalo I.
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1.2. LIMITE DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
Exemplo 1.1.1. Represente as funções vetoriais:
a)−→r1 (x, y) = x−→i
b) −→r2 (x, y) = x−→i + y−→j
c) −→r3 (t) = (cos(t), sen(t), t)
d) −→r4 (t) = (cos(t), sen(t), 4)
Exemplo 1.1.2. Obtenha a função vetorial que descreve a curva C de intersecção
entre as superfícies indicadas z = x2 + y2, y = x, x = t.
Observação 1.1.1. Seja D uma região no espaço e seja
−→
f uma função vetorial
definida em D. Então em cada ponto P ∈ D, −→f associa um único vetor −→f (P ). A
região D, juntamente com os vetores
−→
f (P ) constitui um campo vetorial. Diz-se que
−→
f (P ) define um campo vetorial sobre D.
1.2 Limite de uma Função Vetorial
Se lim
t→a
f(t), lim
t→a
g(t) e lim
t→a
h(t) existem, então
lim
t→a
−→r (t) =
(
lim
t→a
f(t), lim
t→a
g(t), lim
t→a
h(t)
)
.
Exemplo 1.2.1. Considere −→r (t) =
(
sen(3t)
t
, (t− 4)3, 2t ln(t)
)
. Calcule lim
t→0+
−→r (t).
1.3 Continuidade de uma Função Vetorial
Uma função vetorial é contínua em t = a se
a) lim
t→a
−→r (t) existe.
b) lim
t→a
−→r (t) = −→r (a).
1.4 Derivada de uma Função Vetorial
A função vetorial −→r (t) = (f(t), g(t), h(t)) é derivável em t, se f , g e h
são deriváveis. A derivada de −→r (t) é
−→
r′ (t) =
d
dt
−→r (t) = (f ′(t), g′(t), h′(t)).
5 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.4. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
Observação 1.4.1. Quando as funções componentes de −→r têm as primeiras deri-
vadas contínuas e −→r 6= −→0 , ∀t ∈ (a, b), então −→r é dita uma função suave e a curva
C traçada por −→r é chamada de curva suave.
Observação 1.4.2. Quando
−→
r′ (t) 6= −→0 em um ponto P , então ele é um vetor
tangente à curva em P .
Exemplo 1.4.1. Determine
−−→
r′(t) e
−−→
r′′(t) para a função vetorial
−→r (t) = (t cos(t),−sen(t), t+ cos(t)).
Exemplo 1.4.2. Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
−→r (t) = (t3 − t, 6t
t+ 1
, (2t+ 1)2) em t = 1.
1.4.1 Regras de Derivação
Considere −→r1 e −→r2 funções vetoriais diferenciáveis e u(t) uma função
escalar diferenciável. Valem as seguintes regras de derivação.
1) Regra da Soma:
d
dt
[−→r1 (t) +−→r2 (t)] =
−→
r′1 (t) +
−→
r′2 (t)
2) Regra do Produto por uma Função Escalar:
d
dt
[u(t)−→r1 (t)] = u(t) ·
−→
r′1 (t) + u
′(t) · −→r1 (t)
3) Regra do Produto de Funções Vetoriais:
d
dt
[−→r1 (t) · −→r2 (t)] = −→r1 (t) ·
−→
r′2 (t) +
−→
r′1 (t) · −→r2 (t)
4) Regra do Produto Vetorial de Funções Vetoriais:
d
dt
[−→r1 (t)×−→r2 (t)] = −→r1 (t)×
−→
r′2 (t) +
−→
r′1 (t)×−→r2 (t).
Exemplo 1.4.3. Mostre que −→r (t) = (sen(t), cos(t),√3) tem comprimento cons-
tante e é ortogonal à sua derivada.6 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.5. INTEGRAL DE UMA FUNÇÃO VETORIAL
1.5 Integral de uma Função Vetorial
A integral indefinida de −→r em relação a t é o conjunto de todas as
primitivas de −→r , denotada por ∫ −→r (t)dt. Se −→R for uma primitiva qualquer de
−→r (t), então ∫
−→r (t)dt = −→R +−→C .
Exemplo 1.5.1. Calcule a integral de:
a) −→r (t) = (cos(t), 1,−2t)
b) −→r (t) = (cos(t),−1, 3t) para t ∈ [0, pi
2
].
1.6 Comprimento de uma Curva
Se −→r (t) = (f(t), g(t), h(t)) for uma função suave, então o comprimento
da curva suave traçada por −→r é dada por:
s =
∫ b
a
√
[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 + [h′(t)]2dt
ou
s =
∫ b
a
‖−→r (t)‖dt.
Exemplo 1.6.1. Considere a hélice −→r (t) = (2 cos(t), 2sen(t), t), t > 0.
a) Calcule
−→
r′ (t).
b) Determine o comprimento s da curva de −→r (0) até um ponto arbitrário −→r (t).
c) Escreva a equação vetorial da hélice em função de s (o comprimento da curva).
d) Calcule ‖−→r′ (s)‖.
Exemplo 1.6.2. Um planador está voando para cima ao longo da hélice −→r (t) =
(cos(t), sen(t), t). Qual é a distância percorrida pelo planador ao longo sua trajetória
de t = 0 até t = 2pi?
Observação 1.6.1. Se uma curva −→r (t) for dada em termos de algum parâmetro t e
se s(t) for uma função do comprimento de arco, então talvez seja possível determinar
t como função de s: t = t(s). Então a curva pode ser parametrizada em termos de
s: −→r = −→r (t(s)).
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1.7. VELOCIDADE, DIREÇÃO E MÓDULO
1.7 Velocidade, Direção e Módulo
Se −→r (t) é o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de
uma curva suave no plano, então
−→v (t) = −→r′ (t)
é o vetor velocidade da partícula, tangente à curva. Em qualquer instante t, a
direção de −→v é a direção do movimento.
O módulo da velocidade −→v é denotado por ‖−→v ‖.
A aceleração é a derivada da velocidade
−→a (t) = −→v′ (t) = −→r′′(t).
O vetor
−→v
‖−→v ‖ é a direção do movimento no instante t.
Exemplo 1.7.1. Uma pessoa em uma asa delta está espiralando para cima de-
vido ao ar ascendente muito veloz e uma trajetória com vetor posição −→r (t) =
(3 cos(t), 3sen(t), t2), para 0 ≤ t ≤ 4pi. Determine:
a) os vetores velocidade e aceleração;
b) o módulo da velocidade da asa delta em qualquer instante;
c) os instantes, se houver, em que a aceleração é ortogonal à velocidade.
Exercício 1.7.1. O vetor aceleração −→a (t) = (−3 cos(t),−3sen(t), 2). Em t = 0,
o objeto partiu do ponto (3, 0, 0) com velocidade −→v (0) = (0, 3, 0). Determine a
posição do objeto em função do tempo t.
1.8 Modelando o Movimento de Projéteis
Para modelar o movimento do projétil, assume-se que o projétil se com-
porta como uma partícula que se move em um plano coordenado vertical e que a
única força que atua sobre o projétil durante sua trajetória no ar seja a força cons-
tante da gravidade, sempre apontando diretamente para baixo. Assumimos que o
projétil é lançado a partir da origem em t = 0 no primeiro quadrante com velocidade
inicial −→v0 . Se −→v0 fizer um ângulo α com a horizontal, então:
−→v0 = (‖−→v0‖ cos(α))−→i + (‖−→v0‖sen(α))−→j .
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1.9. VETOR TANGENTE UNITÁRIO T
A equação vetorial para o movimento ideal do projétil é
−→r (t) = (v0 cos(α))t−→i + (−gt
2
2
+ v0tsen(α))
−→
j .
Exemplo 1.8.1. Um projétil é disparado da origem sobre uma superfície horizontal
com módulo da velocidade inicial de 500m/s e com ângulo de lançamento de 60◦.
a) Escreva a equação que representa a trajetória do projétil.
b) Calcule a posição do projétil após 10s.
Exercício 1.8.1. Considerando a dedução da equação vetorial para o movimento
ideal do projétil, obtenha:
a) a altura máxima alcançada pelo projétil;
b) o tempo até atingir o chão;
c) o alcance do projétil.
1.9 Vetor Tangente Unitário T
O vetor velocidade −→v = d
−→r
dt
é tangente à curva e o vetor
−→
T =
−→v
‖−→v ‖ é
o vetor tangente unitário à curva suave.
Exemplo 1.9.1. Determine o vetor tangente unitário
−→
T da curva−→r (t) = (3 cos(t), 3sen(t), t2).
1.10 Curvatura
Corresponde à taxa com a qual o vetor unitário
−→
T muda de direção em
relação ao comprimento de arco com um indicador da curvatura de uma curva suave
C.
Definição1.10.1. Se
−→
T é o vetor unitário de uma curva suave, a função curvatura
da curva é
κ = |d
−→
T
ds
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1.11. VETOR NORMAL PRINCIPAL
κ =
1
‖−→v ‖‖
d
−→
T
dt
‖,
onde
−→
T é o vetor tangente unitário.
Exemplo 1.10.1. Determine a curvatura de um círculo de raio a.
1.11 Vetor Normal Principal
Definição 1.11.1. Se −→r (t) é uma curva suave, então a normal unitária principal é
−→
N =
d
−→
T
dt
‖d
−→
T
dt
‖
,
onde
−→
T é o vetor tangente unitário.
Observação 1.11.1. O vetor normal principal aponta para o lado côncavo da curva.
Exemplo 1.11.1. Determine os vetores tangente unitário e o normal principal para
−→r (t) = (cos(2t), sen(2t)).
1.12 Círculo de Curvatura e Raio de Curvatura
Definição 1.12.1. O raio de curvatura em um ponto P em uma curva C é o raio
do círculo que se ajusta à curva melhor que qualquer outro círculo. O círculo em P
é chamado de círculo de curvatura e o seu centro é o centro de curvatura. O raio de
curvatura é ρ =
1
κ
.
Observação 1.12.1. O círculo de curvatura tem a mesma reta tangente em P que
a curva C e o seu centro se localiza no lado côncavo da curva.
Exemplo 1.12.1. Determine e trace o gráfico do círculo osculador da parábola
y = x2 na origem.
1.13 Vetor Binormal
Definição 1.13.1. O vetor
−→
B =
−→
T ×−→N é chamado de binormal.
Exemplo 1.13.1. Determine
−→
B para −→r (t) = (3sen(t), 3 cos(t), 4t).
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1.14. DERIVADA DIRECIONAL E VETOR GRADIENTE
1.14 Derivada Direcional e Vetor Gradiente
Definição 1.14.1. O vetor gradiente de f(x, y) no ponto P0 = (x0, y0) é o vetor
−→∇f = ∂f
∂x
−→
i +
∂f
∂y
−→
j
obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P0.
Exemplo 1.14.1. Determine o gradiente de f(x, y) = xey + cos(xy) no ponto A =
(2, 0).
Teorema 1.14.1. A derivada direcionalD−→u f de f na direção do vetor−→u é calculada
por
D−→u f =
−→∇f · −→u .
1.14.1 Propriedades da Derivada Direcional
A derivada direcional de f na direção do vetor −→u pode ser calculada
como
D−→u f =
−→∇f · −→u = ‖−→∇f‖ cos(θ).
1) f aumenta mais rapidamente quando cos θ = 1 ou quando −→u está direção do
gradiente de f e tem o mesmo sentido de
−→∇f . Neste caso, D−→u f = ‖
−→∇f‖.
2) f decresce mais rapidamente no sentido oposto do
−→∇f . Neste caso, D−→u f =
−‖−→∇f‖.
3) Qualquer direção −→u ortogonal ao gradiente −→∇f 6= −→0 é uma direção de variação
zero em f porque que θ é, então igual a
pi
2
e D−→u f = 0.
Exemplo 1.14.2. Determine as direções nas quais f(x, y) =
x2
2
+
y2
2
a) cresce mais rapidamente no ponto A = (1, 1);
b) decresce mais rapidamente em (1, 1);
c) possui variação zero de f em (1, 1).
Observação 1.14.1. Se S é a superfície de nível de equação f(x, y, z) = k que
contém P0, então
−→∇f(P0) é normal a S em P0, ou seja, −→∇f(P0) é perpendicular a
qualquer vetor tangente a S no ponto P0.
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1.15. PLANO TANGENTE
Exemplo 1.14.3. Determine a taxa de variação de f(x, y, z) = xyz + e2x+y em
P0 = (−1, 2, 1) na direção do vetor −→u = (1, 1,
√
2).
1.15 Plano Tangente
Definição 1.15.1. O plano tangente no ponto P0 = (x0, y0, z0) na superfície de
nível f(x, y, z) = c de uma função diferenciável f é o plano que passa por P0 e é
normal a
−→∇f(P0).
Definição 1.15.2. A reta normal à suoerfície em P0 é a reta que passa por P0 e é
paralela a
−→∇f(P0).
Exemplo 1.15.1. Determine o plano tangente e a reta normal à superfície f(x, y, z) =
x2 + y2 + z − 9 = 0 no ponto P0 = (1, 2, 4).
1.16 Rotacional
Definição 1.16.1. O rotacional de um campo vetorial
−→
F = (P,Q,R) é o campo
vetorial
∇×−→F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
1.17 Divergente
Definição 1.17.1. O divergente de um campo vetorial
−→
F = (P,Q,R) é a função
escalar div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Notação: ∇ · −→F
Exemplo 1.17.1. Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial
−→
F =
(x2sen(yz), z cos(xz3), ye5xy).
Exemplo 1.17.2.Um fluido escoa em movimento uniforme com velocidade −→v =
x
−→
j . Verifique que todas as partículas se deslocam em linha reta e que o campo de
velocidade dado representa um escoamento incompressível.
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1.18. FUNÇÕES HAMÔNICAS
1.18 Funções Hamônicas
Quando uma função escalar f(x, y, z) tem derivadas de segunda ordem
contínuas e divgradf = 0 em um domínio é chamada de função harmônica neste
domínio. Isto é, ∇2f = 0 significa que f é uma função harmônica.
Exemplo 1.18.1. Verifique se f(x, y, z) = x2y + ey − z é harmônica.
1.19 Campo Conservativo
Definição 1.19.1. Seja
−→
F um campo vetorial em um domínio U . Se f = f(x, y, z)
é uma função diferenciável em U tal que
−→
F = ∇f
diz-se que
−→
F é um campo conservativo ou campo gradiente e a função f é chamada
de função potencial de
−→
F em U .
Teorema 1.19.1. Seja
−→
F = (f1, f2, f3) um campo vetorial contínuo em um domínio
U com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em U . Se
−→
F admite uma
função potencial f , então
−→∇ ×−→F = −→0 .
Exemplo 1.19.1. Verifique se o campo vetorial
−→
F = (yz+ 2, xz+ 1, xy+ 2z) é um
campo gradiente em R3. Em caso afirmativo, determine a função potencial f .
Exercício 1.19.1. Verifique se o campo vetorial
−→
F = (1 + ysen(x), 1 − cos(x)) é
conservativo. Em caso afirmativo, determine a função potencial.
1.20 Integrais de Linha
1.20.1 Conceitos Básicos
Considere uma curva parametrizada C : x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b.
Sejam os pontos A = (f(a), g(b)) e B = (f(b), g(b)).
Definição 1.20.1. (Curva suave) C é uma curva suave se f ′ e g′ são contínuas
em [a, b] e não simultaneamente nulas em (a, b).
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1.20. INTEGRAIS DE LINHA
Definição 1.20.2. (Curva suave por partes) C é uma curva suave por partes
for uma união de curvas suaves: C = C1 ∪ C2 ∪ · · · ∪ Cn.
Definição 1.20.3. (Curva fechada Se A = B, então a curva é dita fechada.
Definição 1.20.4. (Curva fechada simples) Se C for uma curva fechada que não
cruza por cima de si própria.
Observação 1.20.1. Se C não for uma curva fechada, então a direção positiva em
C é a direção correspondente ao crescimento dos valores de t.
1.20.2 Integrais de Linha no Plano
Seja G uma função de duas variáveis x e y definida em uma região do
plano que contenha uma curva suave C.
i) A integral de linha de G ao longo de C a partir de A para B em relação a x é
I =
∮
C
G(x, y)dx =
∫ b
a
G(f(t), g(t))f ′(t)dt.
ii) A integral de linha de G ao longo de C a partir de A para B em relação a y é
I =
∮
C
G(x, y)dy =
∫ b
a
G(f(t), g(t))g′(t)dt.
iii) A integral de linha de G ao longo de C a partir de A para B em relação ao
comprimento de arco é
I =
∮
C
G(x, y)ds =
∫ b
a
G(f(t), g(t))
√
[f ′(t)]2 + [g′(t)]2dt.
Exemplo 1.20.1. Considerando C uma semicircunferência centrada na origem com
raio 3, calcule:
a) I1 =
∮
C
(x+ 2y)dx
b) I2 =
∮
C
(x+ 2y)dy
c) I3 =
∮
C
(x+ 2y)ds
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1.20. INTEGRAIS DE LINHA
1.20.3 Integral de Linha: Curva definida por uma função ex-
plícita
Se uma curva C for definida por uma função explícita y = f(x), a ≤ x ≤
b, usa-se x como parâmetro. Assim dy = f ′(x)dx e ds =
√
1 + [f ′(x)]2dx. Portanto,
∮
C
G(x, y)dx =
∫ b
a
G(x, f(x))dx
∮
C
G(x, y)dy =
∫ b
a
G(x, f(x))f ′(x)dx
∮
C
G(x, y)ds =
∫ b
a
G(x, f(x))
√
1 + [f ′(x)]2dx.
Observação 1.20.2. Uma integral de linha ao longo de uma curva suave por par-
tes é definida como a soma das integrais sobr diversas curvas suaves cuja união
compreende C. Por exemplo, se C = C1 ∪ C2, então
∫
C
G(x, y)ds =
∫
C1
G(x, y)ds+
∫
C2
G(x, y)ds.
Observação 1.20.3. Notação:
∫
C
P (x, y)dx+
∫
C
Q(x, y)dy =
∫
C
Pdx+Qdy. Uma
integral de linha ao longo de uma curva fechada C é frequentemente representada
por
∮
C
Pdx+Qdy.
Exemplo 1.20.2. Calcule
∫
C
xydx+ x2dy, onde C : y = x2, 0 ≤ x ≤ 4.
Exemplo 1.20.3. Calcule
∮
C
3xyds, sendo C o triângulo de vértices A = (0, 0),
B = (1, 0) e C = (1, 2) no sentido anti-horário.
1.20.4 Forma Compacta para Escrever a Integral de Linha
Suponha
−→
F (x,y) = (P,Q) definida ao longo de uma curva C : x =
f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, então −→r (t) = (f(t), g(t)) é o vetor posição dos pontos de
C.
A derivada de −→r (t) é d
−→r
dt
= (f ′(t), g′(t)) e a diferencial d−→r = (dx, dy).
Como
−→
F · d−→r = Pdx+Qdy, pode-se escrever∫
C
Pdx+Qdy =
∫
C
−→
F · d−→r .
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1.20. INTEGRAIS DE LINHA
Analogamente para uma curva espacial∫
C
P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy +R(x, y, z)dz =
∫
C
−→
F · d−→r ,
onde
−→
F = (P,Q,R) e d−→r = (dx, dy, dz).
1.20.5 Aplicação da Integral de Linha: Trabalho
O trabalho W feito por uma força
−→
F causando um deslocamento em
linha reta
−→
d de um objeto é
W =
−→
F · −→d .
O trabalho W realizado ao longo de uma curva C é
W =
∫
C
−→
F · d−→r .
Exemplo 1.20.4. Determine o trabalho realizado pela força
−→
F = (y, x) atuando
ao longo de y = ln(x) de (1, 0) até (e, 1).
1.20.6 Circulação
Uma integral de linha de um campo vetorial em torno de uma curva
fechada simples C é chamada de circulação de
−→
F em torno de C, isto é,
∮
C
−→
F · d−→r .
Exemplo 1.20.5. Calcule
∮
C
(x2+y2)dx−2xydy na curva fechada C : x = 2 cos(θ); y =
2sen(θ) para 0 ≤ θ ≤ pi.
Exercício 1.20.1. Exercícios sugeridos da seção 3.8: 1, 2, 3, 5, 17, 23, 29 e 35.
1.20.7 Integrais de Linha: Independência do Caminho
Teorema 1.20.1. (Teorema Fundamental para Integrais de Linha) Suponha
que exista uma função f(x, y) tal que df = Pdx + Qdy, isto é,
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
, então
depende apenas dos pontos extremos A e B e∫
C
Pdx+Qdy = f(B)− f(A).
Observação 1.20.4. Se P , Q e R têm derivadas parciais primeiras contínuas em
uma região aberta e conexa do espaço, então
∫
C
Pdx + Qdy + Rdz é independente
do caminho se e só se
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,
∂P
∂z
=
∂R
∂x
e
∂Q
∂z
=
∂R
∂y
.
16 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.21. TEOREMA DE GREEN
Observação 1.20.5. Campo vetorial conservativo
1) Sendo
−→
F = (P,Q) é um campo vetorial e P =
∂φ
∂x
e Q =
∂φ
∂y
, ou seja,
−→
F = ∇φ.
Então
−→
F é um campo gradiente e f é a função potencial para
−→
F .
2) Se
−→
F = ∇φ, então −→F é um campo conservativo. Se −→F = (x, y, z) e −→∇×−→F = −→0 ,
então
−→
F é campo conservativo.
3) A integral de linha de
−→
F = ∇φ é independente do caminho de integração.
4) A integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é
zero.
Exemplo 1.20.6. Calcule I =
∫
C
−→
F · d−→r , onde −→F = (yz + 2, xz + 1, xy + 2z) ao
longo de qualquer caminho que une A = (0, 0, 1) e B = (1, 2, 1).
Exemplo 1.20.7. Sendo
−→
F = (sen(x),−2yz,−y2), calcule I = ∫
C
−→
F · d−→r ao longo
de qualquer caminho que une A = (0, 2, 0) e B = (2, 2, 4).
Exemplo 1.20.8. Determine I =
∫
C
−→
F · d−→r , sendo −→F = (ex+y + 1, ex+y), e C
qualque caminho de A = (1, 0) e B = (1, 1).
Exercício 1.20.2. Mostre as integrais são independentes do caminho. Calcule o
resultado.
a) I1 =
∫ (2,2)
(0,0)
x2dx+ y2dy
b) I2 =
∫ (2,4,8)
(1,1,1)
yzdx+ xzdy + xydz
Exercício 1.20.3. Calcule I =
∫
C
−→
F · d−→r , sabendo que −→F = (y − yzsen(x), x +
z cos(x), y cos(x)) e −→r (t) = (2t, (1 + cos(t))2, 4sen3(t)), 0 ≤ t ≤ pi
2
.
Exercício 1.20.4. Exercícios sugeridos da seção 3.9: ímpares até o 18.
1.21 Teorema de Green
O Teorema de Green expressa uma integral curvilínea ao longo de uma
curva fechada no plano como uma integral dupla sobre uma região limitada pela
curva.
17 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.21. TEOREMA DE GREEN
Teorema 1.21.1. Sejam C uma curva fechada simples, suave por partes, orientada
no sentido anti-horário, e R uma região fechada delimitada por C. Se
−→
F = (P,Q)
é um campo vetorial contínuo com derivadas parciais de primeira ordem contínuas
em um domínio D que contém R, então∮
C
Pdx+Qdy =
∫ ∫
R
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dxdy.
Exemplo 1.21.1. Use o teorema de Green para calcular
∮
C
y2dx+ 2x2dy, sendo C
o triângulo de vértices O = (0, 0), A = (1, 2) e B = (0, 2) no sentido anti-horário.
Exemplo 1.21.2. Calcule I =
∫
C
−→
F ·d−→r ao longo da circunferência x2+(y−1)2 = 1,
no sentido horário, sendo
−→
F = (4x2 − 9y, 9xy +√y2 +1).
Exemplo 1.21.3. Calcule o fluxo exterior do campo
−→
F = (y2, x) através do qua-
drado limitado pelas retas x = ±1 e y = ±1, usando o teorema de Green.
Exercício 1.21.1. Verifique o teorema de Green para o campo
−→
F (x, y) = (x−y, x)
e a região R limitada pela circunferência unitária C : −→r (t) = (cos(t), sen(t)), 0 ≤
t ≤ 2pi.
Exercício 1.21.2. Utilize o teorema de Green para calcular
∮
C
(
√
ydx+
√
xdy) onde
C é o contorno formado pelas retas y = 0, x = 1 e a parábola y = x2 no sentido
anti-horário.
Observação 1.21.1. Uma aplicação da direção reversa do teorema de Green está
no cálculo de áreas. Como a área de uma rgião D é
∫ ∫
D
dA, deseja-se escolher P e
Q de modo que
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
= 1. Existem as possibilidades:
1) Se P (x, y) = 0, Q(x, y) = x, então A =
∮
C
xdy.
2) Se P (x, y) = 0, Q(x, y) = −y, então A = − ∮
C
ydx.
3) Se P (x, y) = −1
2
y,Q(x, y) =
1
2
x, então A =
1
2
∮
C
xdy − ydx.
Exemplo 1.21.4. Calcule a área delimitada pela elipse
x2
4
+
y2
9
= 1.
Exemplo 1.21.5. Calcule a área do círculo −→r (t) = (a cos(t), asen(t)), 0 ≤ t ≤ 2pi.
Exercício 1.21.3. Exercícios sugeridos da seção 3.12: 2, 4, 5, 7, 9 e 13.
18 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.22. INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE
1.22 Integrais de Superfície
Definição 1.22.1. Seja f uma função na qual as derivadas parciais primeiras fx e
fy sejam contínuas em uma região fechada R, então a área da superfície sobre R é
dada por
A(S) =
∫ ∫
R
√
1 + f 2x + f
2
ydA.
A função dS =
√
1 + f 2x + f
2
ydA é chamada de diferencial de superfície.
Exemplo 1.22.1. Determine a área da superfície da parte do plano 2x+3y+4z = 12
que é limitada pelos planos coordenados no primeiro octante.
Exercício 1.22.1. Determine a área da parte do parabolóide z = x2 + y2 que está
abaixo do plano z = 9.
Exercício 1.22.2. Calcule a área da calota cortada pelo hemisfério x2+y2+z2 = 2,
z ≥ 0 pelo cilindro x2 + y2 = 1.
Exemplo 1.22.2. Calcule
∫ ∫
S
G(x, y, z)dS, sabendo que G(x, y, z) = x e S é a
porção do cilindro z = 2− x2 no primeiro octante limitada por x = 0, y = 0, y = 4
e z = 0.
Exemplo 1.22.3. Calcule
∫ ∫
S
ydS, onde S é a superfície z = x+ y2 , 0 ≤ x ≤ 1 e
0 ≤ y ≤ 2.
1.22.1 Integrais de Campos Vetoriais
Se
−→
F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) for o campo de veloci-
dade de um fluido, então o volume do fluido escoando através de um elemento de
área de superfície ∆S por unidade de comprimento é aproximado por:
(altura) · (área da base)=(−→F · −→n )∆S,
onde −→n é o vetor unitário normal à superfície.
O volume total de um fluido passando através de S por unidade de
tempo é chamado de fluxo de
−→
F através de S, sendo dado por
fluxo=
∫ ∫
S
(
−→
f · −→n )dS.
19 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.23. TEOREMA DE STOKES
Exemplo 1.22.4. Seja S a superfície exterior do parabolóide −→r = (x, y, x2 + y2),
(x, y) ∈ R, onde R = {(x, y)‖x2 + y2 ≤ 4}. Determine ∫ ∫
S
(
−→
f · −→n )dS, onde −→f é o
campo vetorial definido por
−→
f = (3x, 3y,−3z).
Exemplo 1.22.5. Calcule
∫ ∫
S
(
−→
f ·−→n )dS, onde −→f = (x, y, z) e S é a parte do plano
2x + 3y + 4z = 12 cortada por x = 0, y = 0, x = 1 e y = 2 e −→n a normal com
componente z não negativa.
Exemplo 1.22.6. Determine o fluxo do campo vetorial
−→
f = (x, y, z) através da
esfera x2 + y2 + z2 = 1.
Exercício 1.22.3. Exercícios sugeridos da seção 3.13: 1, 3, 5, 8, 15, 17 e 25.
1.23 Teorema de Stokes
Teorema 1.23.1. (Teorema de Stokes) Seja S uma superfície orientável suave
por partes limitada por uma curva fechada simples e suave por partes C. Seja
−→
F = (P,Q,R) um campo vetorial para o qual P , Q e R são contínuas e têm
derivadas parciais primeiras contínuas em uma região tridimensional contendo S.
Se C for atravessada na direção positiva, então∮
C
−→
F · d−→r =
∫ ∫
(
−→∇ ×−→F ) · −→n dS,
onde −→n é uma normal unitária a S na direção da orientação de S.
Exemplo 1.23.1. Verifique o teorema de Stokes. Considere que a superfície S
esteja orientada para cima
−→
F = (5y,−5x, 3) e S é a porção do plano z = 1 dentro
do cilindro x2 + y2 = 4.
Exemplo 1.23.2. Utilize o teorema de Stokes para calcular I =
∫
y2dx+z2dy+x2dz,
onde C é o contorno da parte do plano x+ y + z = 4, que está no primeiro octante
no sentido anti-horário.
Exemplo 1.23.3. Calcule
∫ ∫
S
(
−→∇×−→g ) ·−→n dS, sendo −→g = (xy2, x, z3) e S qualquer
superfície suave delimitada pela curva −→r (t) = (2 cos(t), 3sen(t), 1), 0 ≤ t ≤ 2pi, com
a normal apontando para cima.
Exemplo 1.23.4. Calcule
∫
C
sen(z)dx− cos(x)dy+ sen(z)dz, onde C é o perímetro
do retângulo 0 ≤ x ≤ pi,0 ≤ y ≤ 1, z = 3 no sentido horário.
20 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.23. TEOREMA DE STOKES
Exemplo 1.23.5. Calcule
∮
C
−→
F · d−→r , onde −→F = (−y2, x, z2) e C é a curva da
intersecção do plano y + z = 2 com o cilindro x2 + y2 = 1. (Oriente C para ter o
sentido anti-horário quando visto de cima.)
Exemplo 1.23.6. Use o teorema de Stokes para calcular
∫ ∫
rot
−→
F · dS, onde −→F =
(yz, xz, xy) e S é a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que está dentro do cilindro
x2 + y2 = 1 e acima do plano xy.
Exercício 1.23.1. Use o teorema de Stokes para calcular
∫
C
−→
f d−→r , para C orientada
em sentido anti-horário, sabendo que
−→
f (x, y, z) = (x + y2, y + z2, z + x2) e C é o
triângulo de vértices A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1).
Exercício 1.23.2. Seja S a parte do gráfico de z = 9− x2 − y2, z ≥ 0 com normal
exterior. Determine I =
∫ ∫
S
(
−→∇ ×−→g ) · −→n dS, sendo −→g = (3z, 4x, 2y).
Exercício 1.23.3. Use o teorema de Stokes para calcular
∫
C
−→
f · d−→r . Considere
−→
f (x, y, z) = (yz, 2xz, exy) e C como sendo a circunferência x2 + y2 = 16 e z = 5.
Exercício 1.23.4. Calcule
∮
C
[(x2 + 2y3)dx + xy2dy + 3
√
z2 + 1dz], sendo C a cir-
cunferência x = a cos(t), y = asen(t), z = 2, 0 ≤ t ≤ 2pi.
Exercício 1.23.5. Utilize o teorema de Stokes para calcular as integrais de linha:
a) I =
∮
C
(y2dx+ x2dz), onde C é o contorno da parte do plano 2x+ y+ z = 4 que
está no primeiro octante, no sentido anti-horário.
b) I =
∮
C
[(y+2z)dx+(2z+x)dy+(x+y)dz], onde C é a intersecção das superfícies
x2 + y2 + z2 = a2 e x =
a
2
. Considere os dois sentidos de percurso.
c) I =
∮
C
[xdx + ydy + z2dz], onde C é o perímetro do retângulo 0 ≤ x ≤ 2,
0 ≤ y ≤ 4, z = 4 no sentido anti-horário.
d) I =
∮
C
[ex
2
dx+ (x+ z)dy + (2x− z)dz], onde C é o contorno da parte do plano
x+ 2y + z = 4 que está no primeiro octante, no sentido anti-horário.
e) I =
∮
C
~fd~r, onde ~f = (y3 cos(xz), 2x2+z2, y(x−z)) e C é o retângulo 0 ≤ x ≤ 4,
0 ≤ z ≤ 1, no plano y = 2. Considere os dois sentidos de percurso.
f) I =
∮
C
[ydx + (y + 2z + x)dy + (x + 2y)dz], onde C é a intersecção do cilindro
x2 + y2 = 1 com o plano z = y, orientado no sentido anti-horário.
21 Notas de aula de Cálculo - FURG
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1.24. TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
g) I =
∮
C
[(y − x)dx + (x − z)dy + (x − y)dz], onde C é o retângulo de vértices
(0, 0, 5), (0, 2, 5), (−1, 0, 5) e (−1, 2, 5) no sentido horário.
h)I =
∮
C
~fd~r, onde ~f = (ex2 + 2y, ey2 + x, ez2) e C é elipse x = cos(t), y = 2sen(t),
z = 2 para 0 ≤ t ≤ 2pi.
i) I =
∮
C
[(x2+2y3)dx+(xy2)dy+ 3
√
z2 + 1dz], onde C é circunferência x = a cos(t),
y = asen(t), z = 2 para 0 ≤ t ≤ 2pi.
Exercício 1.23.6. Seja S a parte do gráfico z = 16 − x2 − y2, z ≥ 0 com normal
exterior. Determine I =
∫ ∫
S
rot~g · ~ndS, sendo ~g = (2y, y + z, z).
Exercício 1.23.7. Calcule I =
∫ ∫
S
rot~g · ~ndS, sendo ~g = (xy2, x, z3) e S qualquer
superfície suave delimitada pela curva ~r(t) = (2 cos(t), 3sen(t), 1), para 0 ≤ t ≤ 2pi.
Respostas
1.24.5 a)−16 b)3a
2pi
4
c)0 d)−16 e)±(sen(4)− 4) f)pi g)0 h) −2pi i)−5pia
4
4
1.24.6 −32pi
1.24.7 6pi
1.24 Teorema da Divergência
Teorema 1.24.1. (Teorema da Divergência) Seja D um sólido no espaço limi-
tado por uma superfície orientável S. Se −→n é a normal unitária exterior a S e se
−→
f (x, y, z) = (P,Q,R) é uma função vetorial contínua que possui derivadas parciais
de primeira ordem contínuas em um domínio que contém D, então∫ ∫
S
−→
f · −→n dS =
∫ ∫ ∫
D
div(
−→
f )dV .
ou ∫ ∫
S
[Pdydz +Qdzdx+Rdxdy] =
∫ ∫ ∫
D
[
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
]
dxdydz.
Exemplo 1.24.1. Determine o fluxo do campo vetorial
−→
f = (z, y, x) sobre a esfera
x2 + y2 + z2 = a2.
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1.24. TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
Exemplo 1.24.2. Calcule I =
∫ ∫
S
−→
f · −→n dS, onde −→f = (xy, y2 + exz2 , sen(xy))
e S é a superfície da região E limitada pelo cilindro parabólico z = 1 − x2 e pelos
planos z = 0, y = 0 e y + z = 2.
Exemplo 1.24.3. Utilizando o teorema da Divergência, calcule o fluxo de
−→
f =
(exsen(y), ex cos(y), yz2) através da superfície da caixa delimitada pelos planos x = 0,
x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 2.
Exemplo 1.24.4. Determine o valor de
∫ ∫
S
[xdydz + ydzdx+ zdxdy], onde S é a
superfície da região delimitada pelo cilindro x2 +y2 = 9 e pelos planos z = 0 e z = 3
usando o teorema da divergência.
Exemplo 1.24.5. Use o teorema da divergência para calcular a integral de superfície
I =
∫ ∫
S
−→
f · d−→S , ou seja, calcule o fluxo através de S.
a)
−→
f = (xysen(z), cos(xz), y cos(z)), S é o elipsóide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
b)
−→
f = (cos(z) + xy2, xe−z, sen(y) + x2z), S é a superfície do sólido limitado pelo
parabolóide z = x2 + y2 e o plano z = 4.
Exercício 1.24.1. Prove cada identidade, admitindo que S e E satisfaçam às condi-
ções do Teorema de Gausse que as funções escalares componentes do campo vetorial
tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas.
a)
∫ ∫
S
−→a · −→n dS = 0, onde −→a é um vetor constante.
b) V (E) =
1
3
∫ ∫
S
−→
f · −→n d−→S , onde −→f = (x, y, z).
Exercício 1.24.2. Verifique o teorema da divergência é verdadeiro para o campo
vetorial
−→
f = (x2, xy, z) na região que é delimitada pelo parabolóide de z = 4−x2−y2
e pelo plano xy.
Exercício 1.24.3. Use o teorema da divergência para calcular o fluxo de saída do
campo
−→
f (x, y, z) = (2x, 3y, z2) através do cubo de lado unitário que é determinado
pelos vetores
−→
i ,
−→
j e
−→
k .
Exercício 1.24.4. Exercícios sugeridos da seção 3.16: 5, 6, 8, 11, 12 e 13.
23 Notas de aula de Cálculo - FURG