Matrizes (algebra)

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Matrizes 
 
Definição – Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m x n 
elementos dispostos em m linhas e n colunas. Uma matriz é um agrupamento de 
números. Os números neste agrupamento são chamados entradas da matriz. 
 Representamos uma matriz escrevendo seus elementos, dispostos em linhas 
e colunas, dentro de colchetes ou parêntesis. 
 
Exemplos: 
 
Forma genérica da Matriz 
 
mxnmnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A


















...
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
 
 
Cada elemento da matriz A possui dois índices: 
ija
. O primeiro índice (i) indica a 
linha e o segundo (j) a coluna a que o elemento pertence 
mxnijaA )(
 
 
Ordem de uma matriz 
 
Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e 
escrevemos que a ordem de A é m×n. 
 
Exemplos: 
............... 
Matrizes especiais 
 
1) Matriz linha 
 
2) Matriz coluna 
 
3) Matriz quadrada (m = n) 
 
Uma matriz, em geral, também pode ser representada através de uma lei de 
formação (fórmula). 
 
Exemplos: 
 
Construa a matriz A = (𝑎𝑖𝑗)2×3 em que 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗 
 
Resposta: A =(
3 4 5
5 6 7
)
2×3
 
 
Exercícios: 
1)Construa a matriz B = (𝑏𝑖𝑗)3, tal que 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖² − 2𝑗² − 2 
 
Resposta 𝐵 = (
−3 −9 −19
0 −6 −16
5 −1 −11
)
3
 
2) Construa a matriz A = (𝑎𝑖𝑗 )2×4, tal que 𝑎𝑖𝑗 = {
0, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
2𝑖 + 3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
1, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
 
Resposta: 𝐴 = (
5 1 1
0 10 1
 
1
1
)
2×4
 
 
 
Matrizes especiais (cont.) 
 
3) Matriz quadrada 
Diagonais de uma matriz quadrada – As matrizes quadradas possuem duas 
diagonais: a diagonal principal e a diagonal secundária. 
Exemplos: 
 
4) Matriz diagonal 
Uma matriz quadrada é denominada diagonal quando 𝑎𝑖𝑗 = 0, para todo 𝑖 ≠ 𝑗 
Exemplos 
 
(4.1) Matriz escalar – é quando uma matriz diagonal tem os elementos da 
diagonal principal todos iguais. 
Exemplos 
 
(4.2) Matriz unidade (ou identidade -In) 
Exemplos 
 
5) Matriz triangular superior – é uma matriz quadrada na qual os elementos 
situados abaixo da diagonal principal são todos nulos. 
Exemplos 
 
6) Matriz triangular inferior – é uma matriz quadrada na qual os elementos 
situados acima da diagonal principal são iguais a zero. 
Exemplos 
 
7) Matriz transposta (At) - Se A é uma matriz de ordem m x n, denominamos 
transposta de A a matriz de ordem n x m obtida, trocando-se ordenadamente 
as linhas pelas colunas. Indica-se a transposta de 
tApor A
 
Exemplo: 
 
 
Matriz Transposta (At) 
Propriedades: 
(1) (A + B)t = At + Bt 
(2) (k.A)t = k.At 
(3) (At)t =A 
(4) (A.B)t = Bt . At 
 
Igualdade de matrizes 
 
Sejam as matrizes 
)( ijaA 
 e 
)( ijbB 
 de mesma ordem. Se cada elemento de 
A for igual ao elemento correspondente (elemento que ocupa a mesma posição) de 
B, as matrizes são ditas iguais. 
 
Exemplos: 
1) Calcule os valores dos elementos desconhecidos das matrizes de modo que 
A seja igual a B. 
 









dc
a
A
12
32 e 









45
6
c
b
B
 
 
Operações com matrizes 
A soma de duas matrizes 
)( ijaA 
e 
)( ijbB 
, de ordem (m, n) é uma matriz 
)( ijcC 
, tal que 
ijijij bac 
 
Exemplo: Sendo 







54
23
A
 e 







01
812
B
calcule A + B . Resposta: 






55
109 
Observação: A diferença A – B de duas matrizes de ordem (m, n) é uma matriz C 
tal que: 
ijijij bac 
 
Exercícios 
1) Dada a matriz 









 

210
432
011
A
obtenha a matriz X tal que tAAX  
2) Dadas 







1
0
A
, 







1
1
B
e 







2
2
C
calcule X tal que X + A – (B +C) = 0 
 
Produto de uma matriz por um escalar 
 
Se k é um escalar, o produto do escalar k pela matriz A (k.A) é a matriz obtida 
multiplicando-se por k cada elemento de A. 
 
Exemplo: Resolva: 
 
a) 2 (
3 0
−
1
2
5
3
) = 𝑏)
2
5
(
3 −4 1
5 −
1
3
0) = 
 
 
Produto de uma matriz por outra 
 
Definição: Dada a matriz 
mxnijaA )(
 e uma matriz 
nxpjkbB )(
, o produto A . B é a 
matriz 
mxpikcC )(
, tal que o elemento 
ikc
 é calculado multiplicando-se 
ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos da coluna k da 
matriz B e somando-se os produtos obtidos. 
A multiplicação de matrizes só é possível quando o número de colunas da 1a 
matriz é igual ao número de linhas da 2a matriz. 
535443
111441
.
.
xxx
xxx
CBA
CBA

 
 
Exemplos: 
Multiplicação 
Potência 
Comutativa 
 
8) Matriz Simétrica – Uma matriz quadrada é dita simétrica quando os 
elementos que ocupam posições simétricas em relação à diagonal principal 
são iguais. 
Exemplo: 𝐴 = (
1 2 5
2 7 3
5 3 0
) 
 
9) Matriz anti-simétrica – Uma matriz é dita anti-simétrica quando os elementos 
que ocupam posições simétricas em relação à diagonal principal são 
simétricos. 
Exemplo: 𝐴 = (
0 5 −6
−5 0 4
6 −4 0
) 
 
 
DETERMINANTES