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Capítulo 25: Capacitância Capacitor Capacitância Calculo da capacitância Capacitores em paralelo e em série Energia armazenada em um campo elétrico Capacitor com dielétrico Dielétricos: uma visão atômica Dielétricos e a Lei de Gauss Cap. 25: Capacitância Índice Cap. 25: Capacitância Dois condutores isolados entre si e do ambiente, formam um capacitor. Quando este dispositivo está carregado, as cargas nos condutores ou placas, tem o mesmo valor absoluto q, e sinais opostos. Este tipo de dispositivo serve para armazenar cargas elétricas e fornecê-las em um momento futuro. Capacitor Cap. 25: Capacitância Sempre podemos escrever a diferença de potencial V, em termos da carga q. Capacitância C q V C é uma constante geométrica denominada de Capacitância. No SI sua unidade de medida é o coulomb por volt denominado de farad [C/V = F]. Cap. 25: Capacitância Capacitância • Quando a chave S é fechada passa a ter corrente elétrica entre os terminais devido ao campo elétrico criado pela bateria. • Os elétrons se deslocam da placa a do capacitor para o terminal positivo da bateria e a placa a fica positivamente carregada. • Os elétrons se deslocam do terminal negativo da bateria para a placa b e ela fica negativamente carregada. O capacitor está completamente carregado quando a diferença de potencial do capacitor atingir o mesmo valor da bateria. Obs: Para análise futura: as cargas não podem passar de uma placa para a outra e o capacitor conserva a carga. Cap. 25: Capacitância Cálculo da Capacitância Capacitor de placas paralelas Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em função de q. 0 int q dAnE EAq 0 Calcular a diferença de potencial V entre as placas em função de E. Calcular C a partir dos valores de q e V. d EdssdEV 0 E = cte entre as placas e tem sentido oposto ao de ds. EdV C q V Ed EA V q C 0 d A C 0 A é a área de uma das placas do Capacitor e d é a distância que separa as placas. Cap. 25: Capacitância Cálculo da Capacitância Capacitor Cilíndrico Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em função de q. 0 int q dAnE EAq 0 Calcular a diferença de potencial V entre as placas em função de E. Calcular C a partir dos valores de q e V. sdEV a b L q q V q C ln 2 0 a b L C ln 2 0 rLEq 20 a br L q V |ln 2 0 a b dr rL q V )( 2 0 -drds a b L q V ln 2 0 Cap. 25: Capacitância Cálculo da Capacitância Capacitor Esférico Calcular o campo elétrico, E, entre as placas em função de q. 0 int q dAnE EAq 0 Calcular a diferença de potencial V entre as placas em função de E. Calcular C a partir dos valores de q e V. sdEV ab abq q V q C 04 ab ab C 04 2 0 4 rEq -drds a b dr r q V )( 4 20 ba q r q V ab 11 4 | 4 00 ab abq V 04 2 04 r q E Cap. 25: Capacitância Cálculo da Capacitância A Esfera Isolada Consideremos um capacitor esférico com a casca esférica externa de raio infinito! b ab ab C 04 b a a C 1 4 0 RC 04 R é o raio da esfera, neste caso R = a. Cap. 25: Capacitância Capacitores em Paralelo Calculando as cargas em cada capacitor. VCq 11 VCq 33 VCq 22 321 qqqq 321 CCCC n j jeq CC 1 Capacitores ligados em paralelo: A diferença de potencial é a mesma em todos os capacitores, inclusive no capacitor equivalente! A carga total armazenada no circuito (carga do capacitor equivalente) é igual à soma da carga de cada um dos capacitores! VCVCVCCV 321 Cap. 25: Capacitância Capacitores em Série Calculando a diferença de potencial. 321 VVVV 321 1111 CCCCeq n j jeq CC 1 11 Capacitores ligados em série: A carga em cada um dos capacitores é igual, inclusive no capacitor equivalente. A diferença de potencial do capacitor equivalente é definida pela soma das diferenças de potencial de cada um dos capacitores. 321 C q C q C q C q eq CVq Cap. 25: Capacitância Cálculo da Capacitância Exemplo 2) pg. 119 a) Determine a capacitância equivalente da combinação de capacitores que aparece na figura abaixo, na qual, C1 = 12 F, C2 = 5,30 F e C3 = 4,50 F. Passo 1: Em paralelo. Passo 2: Em série. FCCC peq 3,173,51221 3 111 CCC peqeq FCeq 57,3 b) Determine a carga acumulada no capacitor C1 quando a diferença de potencial é de 12,5 V. CVCq eq 6,445,12)1057,3( 6123 abpeq VCqq 12123 VCqV peqab 58,2/12 CVCq ab 3111 Encontrar a carga equivalente emC123 que será a mesma em C3 e Ceq p Calcular a diferença de potencial entre A e B. Cap. 25: Capacitância Cálculo da Capacitância Exemplo 3) pg. 120 O capacitor 1, com C1 = 3,55 F, é carregado por uma bateria com diferença de potencial de 6,3 V. A bateria é removida e o capacitor é ligado, como na figura ao lado, a um capacitor 2 com C2 = 8,95 F. Determine a carga dos capacitores depois que o equilíbrio é atingido. • Calcular q0 quando apenas o capacitor 1 é carregado. CVCq 510 1024,2 • Após a chave ser fechada, sem a bateria, q0 = q1 + q2, assim como, V1 = V2 (Circuito em Paralelo). 2 2 1 1 C q C q 2 10 1 1 )( C qq C q )( 12 01 1 CC qC q Cq 35,61 Cqqq 16102 Cap. 25: Capacitância Energia armazenada em um campo elétrico A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associado ao campo elétrico que existe entre as placas. Para transferir uma carga dq’ ao capacitor (imaginando o carregamento do capacitor), é necessário que um agente externo realize um trabalho dW descrito como: C q dq C q VdqdW qq ag 2 ' ' ' 2 00 C q Wag 2 2 Como o capacitor estava inicialmente carregado, a variação de Energia Potencial pode ser descrita pela energia final acumulada no capacitor durante o processo de carga! 2 2 2 1 2 CV C q WU ag q W V ag Cap. 25: Capacitância Densidade de Energia A densidade de energia, u, é definida pela razão entre a energia acumulada e o volume necessário para acumulá-la. Volume U u Para um capacitor de placas paralelas: 2 2 0 2 2 2 1 d V Ad CV u d A C 0 2 0 2 1 Eu Densidade de Energia Cap. 25: Capacitância Energia armazenada em um campo elétrico Exemplo 5) pg 124 Uma esfera condutora isolada de raio 6,85 cm possui uma carga de 1,25 nC. a) Qual é a energia potencial armazenada no campo desse condutor? b) Qual a densidade de energia na superfície da esfera? Uma esfera isolada possui capacitância dada por: RC 04 mJ R q U 103 )4(2 0 2 Sabendo o Campo Elétrico na superfície da esfera, temos: 3 4 0 2 2 2 2 0 0 2 0 /4,25 )32(42 1 2 1 mmJ R q R q Eu Cap. 25: Capacitância Capacitor com um Dielétrico Michael Faraday, constatou que em um capacitorcontendo um material dielétrico - isolantes, plásticos, óleo mineral... – a capacitância é multiplicada por uma constante dependente da composição do dielétrico. Essa constante é chamada de constante dielétrica, . Sendo assim, sempre que uma região for totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica , o valor da permissividade do vácuo, 0, deve ser substituído por 0 em todas as equações. 0C C 00 Vantagens do uso dos dielétricos em capacitores: Facilidade em manter as placas dos capacitores separados. Aumento na capacitância, e por consequência, aumento no acumulo de cargas. Permite aumento na diferença de potencial entre as placas sem que haja ruptura. Rigidez dielétrica: Campo elétrico máximo que o material pode tolerar sem que ocorra a ruptura. Cap. 25: Capacitância Capacitor com um Dielétrico Exemplo 6) pg. 126 Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 13,5 pF é carregado por uma bateria até que haja uma diferença de potencial V = 12,5 V entre as placas. A bateria é desligada e uma placa de porcelana (κ = 6,5) é introduzida entre as placas. Qual a energia potencial do capacitor (antes e depois) da introdução da placa cerâmica? (1100 pJ; 160 pJ) Antes da introdução da placa: 2 00 2 1 VCU pJU 11000 Depois da introdução da placa: A carga é a mesma da situação inicial! 0 0 22 22 U C q C q U pJU 160 Cap. 25: Capacitância Natureza dos Dielétricos As moléculas dos materiais dielétricos podem ser polares ou apolares. Na presença de um campo elétrico todas as moléculas de um dielétrico apresentam polarização. Sendo assim, quando um campo elétrico é aplicado, os dipolos elétricos se alinham parcialmente na direção do campo. Esse alinhamento é parcial, por causa da agitação térmica que tende a desorientar os dipolos. Cap. 25: Capacitância Natureza dos Dielétricos Do ponto de vista de um capacitor: Se q = cte V diminui Se V = cte q aumenta 101 VCq 202 VCq Cap. 25: Capacitância Natureza dos Dielétricos Analise das cargas de um capacitor com a mesma diferença de potencial '0 qqq 0qSem dielétrico + + + + + - - - - - Com dielétrico 0q q ´q q´q q0 = carga do capacitor sem polarizador q = carga livre induzida na placa do capacitor devido a inserção do dielétrico. q’ = carga de polarização (fixa na sup. Do dielétrico). Cap. 25: Capacitância Natureza dos Dielétricos Na presença de um material dielétrico, podemos escrever a lei de Gauss da seguinte forma: 00 int ' qqq dAnE A qq E 0 ' Sabemos que na presença de um material dielétrico o campo elétrico diminui: /0EE A q E 0 'qq q 0 q dAnE qdAnD ED 0 Vetor Deslocamento Elétrico q é a carga livre (placa metálica). q’ é a carga de polarização (induzida no dielétrico). 0EE Cap. 25: Capacitância Natureza dos Dielétricos Exemplo 7) pg. 129 A figura ao lado mostra um capacitor de placas paralelas com área das placas A, distância de separação d, carregado por meio de uma diferença de potencial V0 de uma bateria. A bateria é removida e é introduzido um dielétrico de espessura b, com constante dielétrica . Suponha que A = 115 cm2, d= 1,24 cm, V0 = 85,5 V, b = 0,78 cm e = 2,61. Determine: a) Qual a capacitância C0 antes da introdução do dielétrico? pFC 21,80 d A C 00 b) Qual o valor da carga das placas? 00VCq pCq 702 c) Qual é o valor do campo elétrico entre as placas e o dielétrico? Na região sem a presença do dielétrico, = 1, temos: 0 q dAnE A q E 0 mkVE /9,6 Cap. 25: Capacitância Natureza dos Dielétricos Exemplo 7) pg. 129 A = 115 cm2, d= 1,24 cm, V0 = 85,5 V, b = 0,78 cm e = 2,61. C0 = 8,21 pF, q = 702 pC e E0 = 6,9 kV/m. d) Qual é o valor do campo elétrico dentro do dielétrico? e) Qual é a diferença de potencial entre as placas depois da introdução do dielétrico? f) Qual é a capacitância do capacitor com o dielétrico? A carga antes e depois da inserção é a mesma! qdAnE 10 A q E 0 1 mkVE /64,21 bEbdEsdEV 101 )( VV 3,521 pF V q C 4,13 1 1 Cap. 25: Capacitância Lista de Exercícios 5, 7, 12, 13, 15, 17, 19, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 45, 49, 50, 53, 54, 63. Referências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3. TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.
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