Apresentação ROE

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Turma 2015.3 
Apresentação sobre 
o trabalho de ROE 
 
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Descrição da Orientação dos Cristais 
 em Materiais Policristalinos. 
Parte III - Solução Geral para a 
Inversão da Figura de Polo 
Autor: Ryong-Joon Roe 
Apresentação baseada no artigo do citado autor, publicado no Journal of 
Applied Physic (v. 36, n. 6, p. 2024-2031, abril, 1965). 
 
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Introdução 
• Importância teórica e prática de se conhecer a 
distribuição de orientações dos cristais em 
materiais policristalinos (metais laminados, etc). 
• Cada figura de polos direta só mostra as 
orientações de uma única família de planos, 
em relação às direções de referência da chapa. 
• O objetivo do trabalho é apresentar um 
método que permita uma representação 
quantitativa completa da distribuição de 
orientações dos cristais, a partir das 
informações fornecidas por algumas poucas 
figuras de polos (pelo menos 3). 
• A função distribuição de orientações que 
é obtida pode ser interpretada como a 
representação analítica ou numérica da 
figura de polos inversa. 
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Função Distribuição de Orientações 
• A orientação de um cristal na amostra policristalina pode ser representada pelos 
ângulos de Euler θ, ψ e φ , conforme mostrado na figura abaixo. 
0XYZ – eixos de 
referência do cristal 
Θ , ψ , φ - ângulos de rotação 
do cristal para coincidir os 2 
sistemas de eixos (do verde 
para o vermelho) 
ψ - rotação do sistema verde 
em torno do próprio eixo z 
θ - rotação do sistema verde 
em torno do novo eixo y 
φ - rotação do sistema verde 
em torno do novo eixo z 
Sequência de rotações: 
0xyz – eixos de referência 
da amostra policristalina 
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Função Distribuição de Orientações 
• A normal a um determinado plano “i” é representada pelo vetor ri da rede 
recíproca do cristal que está sendo avaliado. A orientação do vetor ri pode estar 
referenciada às coordenadas do cristal ou às coordenadas da amostra: 
 Com referência às coordenadas 
do cristal, representadas pelos 
ângulos Θi e Φi. 
 Com referência às coordenadas 
da amostra, representadas pelos 
ângulos χi e ηi (α e β do Viana). 
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Função Distribuição de Orientações 
 

























i
isenisen
iisen
i
isenisen
iisen
cos
 
cos 
 ,,
cos
 
cos 
1 



 


















coscos
 coscoscoscoscos coscos
coscoscoscoscoscoscos
,,
sensensen
sensensensensen
sensensensensen
• Relação entre os dois conjuntos de ângulos referindo-se ao mesmo vetor ri. 
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Função Distribuição de Orientações 
• A função distribuição de orientações de todos os cristais da amostra pode ser 
representada pela função w (ξ, Ψ, ϕ ), onde: 
1),,(
2
0
2
0




dddw
l
l
 cos sendo 
 A função w (ξ, Ψ, ϕ) não pode ser determinada por métodos experimentais. 
 A ideia de ROE foi encontrar essa função w ( ξ ,Ψ, ϕ ), através do conjunto de 
distribuições das normais aos planos “i”, qi (ζi ,ηi) , obtidas experimentalmente 
por difração de Raios-X. 
 Cada família de plano “i” gera uma figura de polo, da qual se pode determinar 
a função distribuição das normais aos tais planos dessa família, qi (ζi ,ηi). 
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Função Distribuição de Orientações 
• A função de distribuição de orientações das normais aos planos “i”, que é obtida 
experimentalmente por difração de Raios-X, é representada pela equação abaixo: 
 




2
0
1
1
 ),(),(),( ididiiIiiIiiqi
Sendo que: 
ii  cos
),( iiI 
= Intensidade medida dos Raios-x difratados 
 (para um certo ângulo de Bragg fixo) 
 i
= ângulo entre a normal ao plano “i” e a normal à 
 superfície da amostra (ângulo α do Viana) 
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Função Distribuição de Orientações 
• As duas funções de distribuição de orientações podem ser expandidas em séries 
de harmônicos esféricos e harmônicos esféricos generalizados , conforme abaixo: 
e
iimm
l
l
l
lm
i
lm iPQiiqi
 

 
 )(),(
0 Função distribuição das normais aos planos “i”: 
Função de Legendre 
 

  

0
 )( ),,( 
l
l
lm
l
ln
inim
lmnlmn eeZWw

 Função distribuição das orientações dos cristais: 
Função de Jacobi 
OBS: Harmônicos esféricos são funções que representam a variação espacial de um conjunto ortogonal de soluções 
da equação de Laplace (equação diferencial parcial, que envolve várias funções incógnitas de várias variáveis independentes 
e dependente de suas derivadas), quando a solução é expressa em coordenadas esféricas (três valores de um sistema de 
referência que permite a localização de um ponto qualquer em um espaço de formato esférico). 
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Função Distribuição de Orientações 
• Os coeficientes das séries de harmônicos esféricos são determinados pelas 
expressões abaixo: 
iiddeiPiiqQ iimmli
i
lm 




  )(),(2
1
2
0
1
1



dddeeZwW inimlmnlmn )(),,(
4
1
1
1
2
0
2
0
2 


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Função Distribuição de Orientações 
• A relação entre as funções w (ξ, Ψ, ϕ) e qi (ζi ,ηi) : 
iin
l
ln
i
n
l
inim
lmn
iimm
l ePeeZ
l
eiP


 






 )()(
12
2
)(
2/1
 
ii  cos
Onde: 
equivalente a: 
 

























i
isenisen
iisen
i
isenisen
iisen
cos
 
cos 
 ,,
cos
 
cos 
1 



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Função Distribuição de Orientações 
• Integrando a equação do slide anterior, é gerada a expressão abaixo: 
iin
l
ln
i
n
llmn
i
lm ePW
l
Q 

 






 )(
12
2 2
2/1

• Medindo os (2l + 1) vetores de rede recíproca, é possível determinar os 
correspondentes Qlm
i , permitindo então encontrar os Wlmn . 
• Se todos os Wlmn são conhecidos, pode-se então determinar a função 
qi (ζi ,ηi) para qualquer estrutura . 
Portanto, deve-se considerar que: 
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Função Distribuição de Orientações 
• Considerando os elementos desimetria do caso analisado, é possível definir 
convenientemente os sistemas de referência da amostra e do cristal (O-xyz e O-
XYZ), simplificando a solução. 
• Conhecendo todos os Wlmn , deve-se escolher um novo sistema do cristal O-
X’Y’Z’, e os novos coeficientes W’lmn são combinações lineares dos antigos Wlmn . 
• A rotação do sistema antigo do cristal O-XYZ com os ângulos α, β e γ gera o novo 
sistema O-X’Y’Z’ . Além disso, chamando de Θ’i e Φ’i os ângulos polar e azimutal 
do vetor ri , vem que: 
 
 
 
• E em consequência: 
 




























i
isenisen
iisen
i
isenisen
iisen
'cos
' '
'cos '
 ,,
cos
 
cos 
1 
iin
l
ln
i
n
l
inip
lpn
iipp
l ePeeZ
l
eiP '
2/1
)'()(cos
12
2)( 

  






  imipl
lp
lpnlmplmn eeZW
l
W )(cos
12
2'
2/1










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Função Distribuição de Orientações 
• Da mesma forma, o novo sistema de referência da amostra O-x’y’z’ é obtido com 
a rotação do sistema antigo com os mesmos ângulos α, β e γ , gerando os novos 
coeficientes de expansão: 
 imipl
lp
lpnlmplmn eeZW
l
W 








 )(cos
12
2''
2/1
• Para facilitar os cálculos: Wlmn = Almn + i Blmn e Qlm
i = αlm
i + i βlm
i 
• Assim, as equações das funções distribuição passam a ser: 
 imsenimiPiiqi ilmilmml
l
l
lm
 cos )(),(
0


 
  

  

0
)( )cos()(),,(
l
l
lm
l
ln
lmnlmnlmn nmsenBnmAZw 
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Função Distribuição de Orientações 
• As relações dos coeficientes podem ser escritas como: 
 isenBiAP
l
lmnlmn
l
ln
i
n
l
i
lm 






 

 cos)(
12
2 2
2/1
 iBisenAP
l
lmnlmn
l
ln
i
n
l
i
lm 






 

 cos )(
12
2 2
2/1
• Em função das propriedades de simetria de Pl
m (z) e Zlmn (z): 
 Onde: e * representa o conjugado complexo. 
m - m 