MATEMÁTICA - 1ª lista de Geometria Espacial com resoluções

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ATIVIDADE DE MATEMÁTICA 
Prof. Jonaldo Medeiros 1 
 
 
 Aluno (a):
 NÚCLEO ISOLADOS DE CAICÓ - MATEMÁTICA
 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
1) O sólido geométrico abaixo é formado pela 
justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, 
com uma face em comum. Na figura estão indicados 
os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere os seguintes pares de retas definidas por 
pontos dessa figura: as retas 
LB
 e 
GE,
 as retas 
AG
 
e 
HI,
 e as retas 
AD
 e 
GK .
 As posições relativas 
desses pares de retas são, respectivamente, 
a) concorrentes; reversas; reversas. 
b) reversas; reversas; paralelas. 
c) concorrentes, reversas; paralelas. 
d) reversas; concorrentes; reversas. 
e) concorrentes; concorrentes; reversas. 
 
2) A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano 
Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em 
Florença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de 
um dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces 
pentagonais, há a gravação de 
um tipo diferente de relógio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783) 
descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: 
em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas 
e F faces, vale a relação V A F 2.   Ao se 
aplicar a relação de Euler no poliedro da figura, o 
número de arestas não visíveis é 
a) 10. 
b) 12. 
c) 15. 
d) 16. 
e) 18. 
3) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm 
a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros 
estão justapostos por uma de suas faces, que 
coincidem perfeitamente, 
formam um poliedro 
côncavo, conforme ilustra a 
figura. 
 
 
 
 
 
Considere o número de vértices V, de faces F e de 
arestas A desse poliedro côncavo. A soma 
V F A  é igual a: 
a) 102 
b) 106 
c) 110 
d) 112 
e) 116 
 
4) O poliedro representado na figura (octaedro truncado) 
é construído a partir de um octaedro regular, cortando-
se, para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular de 
base quadrangular. A soma dos ângulos internos de 
todas as faces do octaedro truncado é: 
 
a) 2.160° 
b) 5.760° 
c) 7.920° 
d) 10.080° 
e) 13.680° 
 
 
5) O poliedro abaixo, com exatamente trinta faces 
quadrangulares numeradas de 
1 a 30, é usado como um dado, 
em um jogo. 
 
 
 
Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e 
que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma 
probabilidade de ser sorteada. 
Calcule: 
a) a probabilidade de obter um número primo ou 
múltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única 
vez; 
b) o número de vértices do poliedro. 
 
 
 
 
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6) Um tetraedro regular é um tipo particular de pirâmide 
regular no qual qualquer uma de suas faces pode ser 
considerada base, haja vista ser formado por quatro 
regiões triangulares congruentes e equiláteras. 
Considerando essa informação, a área total de um 
tetraedro regular cuja aresta mede 6 cm é, em cm
2
 
(Considere √3 = 1,7) 
a) 27,2 
b) 42,5 
c) 61,2 
d) 83,3 
e) 95,4 
 
7) Um joalheiro produzirá um ornamento para um 
pingente a partir de uma pedra preciosa, originalmente 
em forma de um cubo. Para isso, ele retirará de cada 
vértice do cubo um tetraedro cujos vértices são o 
vértice do cubo e os pontos médios das arestas que 
concorrem neste vértice. Os tetraedros serão 
descartados. 
Considerando-se as condições apresentadas, calcule: 
a) O número de faces do poliedro que constitui o 
ornamento. 
b) A fração do volume do cubo original que 
constitui cada tetraedro retirado. 
 
8) ABCDEFG é um cubo de aresta 4 cm. Unindo-se os 
pontos médios das arestas AD̅̅ ̅̅ , AE̅̅̅̅ , EF̅̅̅̅ , FG̅̅̅̅ , CG̅̅̅̅ e CD̅̅ ̅̅ , 
obtém-se um polígono cujo perímetro, em 
centímetros, é igual a 
 
a) 6√2 
b) 9√2 
c) 12√2 
d) 15√2 
e) 18√2 
 
 
9) Os produtos de plástico são muito úteis na nossa vida, 
porém causam muitos danos ao meio ambiente. 
Algumas empresas começaram a investir em 
alternativas para evitar a poluição causada pelo 
plástico. Uma dessas alternativas é a utilização do 
bioplástico na fabricação de embalagens, garrafas, 
componentes de celulares e autopeças. 
Uma embalagem produzida com bioplástico tem a 
forma de um prisma hexagonal regular com 10 cm de 
aresta da base e 6 cm de altura. Qual é o volume, em 
cm3, dessa embalagem? 
a) 150√3 d) 1.800 
b) 1.500 e) 1.800√3 
c) 900√3 
 
10) Para a premiação dos melhores administradores de 
uma galeria comercial, um designer projetou um peso 
de papel com a forma de um tetraedro regular reto, de 
aresta 20 cm que será entregue aos vencedores. Esse 
peso de papel será recoberto com placas de platina, 
nas faces laterais e com uma placa de prata na base. Se 
o preço da platina é de 30 reais por centímetro 
quadrado, e o da prata é de 50 reais por centímetro 
quadrado, assinale a alternativa que apresenta o valor 
mais próximo, em reais, do custo desse recobrimento. 
Considere 
3 1,7
 
a) 24 000 
b) 18 000 
c) 16 000 
d) 14 000 
e) 12 000 
 
11) Um galão cilíndrico, com 1 m de altura e 1 m de 
diâmetro da sua base, está cheio de um líquido até sua 
borda. Abrindo-se completamente uma torneira 
localizada na sua base, a velocidade de escoamento do 
líquido é de 15 litros/minuto. Considerando a abertura 
total da torneira e que 1 dm
3
 = 1 litro, o tempo 
estimado para o esvaziamento do galão está entre 
a) 16 e 17 minutos. 
b) 52 e 53 minutos. 
c) 66 e 67 minutos. 
d) 21 e 22 minutos. 
e) 27 e 29 minutos. 
 
12) Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm 
contém água até uma certa altura. Um objeto é 
colocado no seu interior, ficando totalmente submerso. 
Se o nível da água no cilindro subiu 3 cm, podemos 
afirmar que o volume desse objeto é de, apro-
ximadamente: 
a) 174 cm3 
b) 146 cm3 
c) 162 cm3 
d) 183 cm3 
e) 151 cm3 
 
13) Em uma pirâmide quadrangular regular, a área lateral 
é o dobro da área da base. Nesse caso, cada face 
lateral forma com o plano da base um ângulo que 
mede 
a) 15°. 
b) 30°. 
c) 45°. 
d) 60°. 
e) 75°. 
 
 
 
 
 
 
 
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14) Lúcia pediu a seu pai, o Sr. Paulo, para montar um 
aquário em seu quarto. Os dois foram a uma loja 
especializada e compraram os equipamentos 
necessários. As dimensões do aquário eram: 1,2 
metros de largura, 0,6 metros de comprimento e 0,65 
metros de altura. Depois que o aquário estava com 
água, o Sr. Paulo percebeu que tinha se esquecido de 
colocar um castelo de pedra para enfeite. Com 
cuidado, ele colocou o castelo dentro do aquário e 
percebeu que o nível da água subiu 15 cm. 
Lembrando-se de suas aulas de matemática, ele 
resolveu calcular o volume do castelo. Depois de 
efetuados os cálculos, ele percebeu que o volume do 
castelo era, em dm
3
,: 
a) 1,08 d) 1.080 
b) 10,8 e) 10.800 
c) 108 
 
15) Nesta figura estão representados dois poliedros de 
Platão: o cubo ABCDEFGH e o octaedro 
MNOPQR. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada aresta do cubo mede 6 cm e os vértices do 
octaedro são os pontos centrais das faces do cubo. 
Então, é correto afirmar que a área lateral e o volume do 
octaedro medem, respectivamente: 
a) 
2 372 3 cm e 54 cm
 
b) 
2 336 3 cm e 18 cmc) 
2 336 3 cm e 36 cm
 
d) 
2 318 2 cm e 36 cm
 
e) 
2 336 2 cm e 18 cm
 
 
16) A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 
40cm de diâmetro, durante uma chuva torrencial, é 
depois colocada em um recipiente também cilíndrico, 
cuja circunferência da base mede 24𝜋 cm. Qual é a 
altura que a água havia alcançado no pluviômetro, se 
no recipiente ela alcançou 200 mm de altura? 
a) 1,2 cm 
b) 12 cm 
c) 3,6 cm 
d) 7,2 cm 
e) 72 cm 
17) Um sólido geométrico foi construído dentro de um 
cubo de aresta 8 de maneira que dois de seus vértices, 
P e Q sejam os pontos médios respectivamente das 
arestas AD e BC e os vértices da face superior desse 
sólido coincidam com os vértices da face superior do 
cubo, como indicado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O volume desse sólido é 
a) 
64.
 
b) 
128.
 
c) 
256.
 
d) 
512.
 
e) 
1024.
 
 
18) Uma caixa sem tampa no formato de um cubo, cuja 
aresta mede 3m está sobre uma superfície plana e com 
água até uma altura de 2 m em relação à sua base, 
conforme mostra a FIG. 1. 
 
 
 
A caixa será inclinada de tal forma que a aresta 
AB
 ficará 
totalmente em contato com a superfície plana e haverá 
perda no volume de água, conforme a FIG. 2. 
 
Sabendo-se que o ângulo formado, após a inclinação, entre 
a face 
ABCD
 e a superfície plana é de 
30
 e, 
desprezando-se a espessura das faces da caixa, a 
quantidade de água que sobrará na caixa, em 
3m ,
 é de 
a) 
9.
 
b) 
18.
 
c) 
4 3.
 
d) 
9 3
.
2
 
e) 
17 3
.
4
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO 
 
Resposta da questão 1: 
[E] 
 
As retas 
LB
 e 
GE
 são as retas suporte das diagonais 
GE
 e 
LB.
 Logo, as retas 
LB
 e 
GE
 são concorrentes no ponto de 
interseção das diagonais do bloco. 
Como as retas 
AG
 e 
HI
 são coplanares e não paralelas, segue que 
AG
 e 
HI
 são concorrentes. 
Como 
AD
 e 
GK
 são distintas, não têm ponto em comum e não são coplanares, temos que 
AD
 e 
GK
 são reversas. 
 
 
Resposta da questão 2: 
[A] 
 
Número de arestas: 
 12 5 /2 30. 
 
Número de arestas visíveis: 20. 
Número de arestas não visíveis: 
30 – 20 10.
 
 
 
Resposta da questão 3: 
[D] 
 
Para o dodecaedro regular, temos: 
12 faces pentagonais. 
12 5
30
2


 arestas. 
 
Utilizando a relação de Euler, temos: 
V A F 2 2 30 12 V 20       
 (vértices) 
 
Portanto, o poliedro formado terá: 
12 12 2 22 faces (F 22)
30 30 5 55 arestas (A 55)
20 20 5 35 vértices (V 35)
   
   
   
 
 
A soma pedida será dada por: 
V F A 35 22 55 112.     
 
 
 
Resposta da questão 4: 
[C] 
 
O octaedro possui 6 vértices. Ao retirarmos uma pirâmide regular de base quadrangular de cada vértice do octaedro, obtemos 
um octaedro truncado com 
6 4 24 
 vértices. Portanto, a resposta é 
360 (24 2) 7920 .    
 
 
 
Resposta da questão 5: 
 a) O espaço amostral Ω é 
 Ω = {1, 2, 3, ..., 30} 
 Sejam os eventos: 
 A: número primo 
 B: múltiplo de 5 
Temos: 
 A = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} 
 e 
 
 
 
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 B = {5, 10, 15, 20, 25, 30} 
Donde P(A) = 
10
30
 e P(B) = 
6
30
. 
Mas A ⋂ B = { 5 }, então P(A ⋂ B) = 
1
30
. 
Logo 
 P(A⋃ B) = P(A) + P(B) - P(A ⋂ B) 
 P(A⋃ B) = 
10 6 1 1
 .
30 30 30 2
     
       
     
 
 
b) Como F = 30, o número de arestas é dado por 
 2A = 4F ⇔ A = 60 
Da relação de Euler, temos: 
 V + F = A +2 
 V = 62 - 30 = 32. 
 
 
Resposta da questão 6: 
[C] 
 
O tetraedro regular descrito no enunciado é formado por quatro faces triangulares de aresta (lado) igual a 
6 cm.
 Sua área total, 
será, portanto: 
2
2 2
tetraedro tetraedro
L 3
S 4 6 3 S 61,2 cm
4
    
 
 
 
Resposta da questão 7: 
 
 a) Após os cortes, o poliedro obtido será o da figura abaixo. 
 
 
 
Esse poliedro apresenta 
6
 faces quadrangulares e 
8
 faces triangulares, totalizando 
14
 faces. 
 
b) Considere um dos tetraedros retirados do cubo. 
 
 
 
Sendo 
a
 a medida da aresta do cubo, temos 
a
VA AB AC .
2
  
 Logo, o volume do tetraedro é dado por: 
 
 
 
 
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3
a a
1 AB AC 1 a2 2VA
3 2 3 2 2
a
.
48


    

 
 
Portanto, como o volume do cubo é 
3a ,
 segue que o volume de cada tetraedro corresponde a 
1
48
 do volume do cubo. 
 
Resposta da questão 8: 
[C] 
 
 
 
O polígono formado é um hexágono regular de lado a. 
 
2 2 2a 2 2
a 8
a 2 2
 


 
 
Portanto o perímetro do hexágono regular é: 
 
P 6.2 2
P 12 2


 
 
 
Resposta da questão 9: 
[C] 
 
O volume da embalagem é dado por 
 
2
33 10 3 6 900 3 cm .
2
 
 
 
 
 
Resposta da questão 10: 
[A] 
 
Como as faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, segue que o custo pedido é dado por 
 
 220 3
(3 30 50) 100 1,7 140
4
R$ 23.800.

     

 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 11: 
[B] 
 
 
 
Volume do galão cilíndrico. 
 
2 3V (0,5) 1 0,785 m 785L
1min ______ 15L
x ______ 785L
π     
 
Logo, x = 52,333.... minutos. 
 
Logo, 52 minutos < 52,3333... minutos < 53 minutos. 
 
 
Resposta da questão 12: 
 [E] 
 
Pelo Princípio de Arquimedes, o volume do objeto corresponde ao volume de um cilindro circular reto de raio da base igual a 
4cm
 e altura 
3cm,
 ou seja, 
 
2
3
4 3 3,14 48
151cm .
π    

 
 
Resposta da questão 13: 
 [D] 
 
Considere a figura, em que 
V
 é o vértice da pirâmide, 
O
 é o centro da base e 
M
 é o ponto médio da aresta 
AB.
 
 
 
 
Queremos calcular a medida do ângulo 
VMO.
 
Sabendo que a a área lateral é o dobro da área da base, vem que 
 
 
 
 
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2
b
AB VM
A 2 A 4 2 AB
2
VM AB.

     
 
 
 
Portanto, do triângulo 
VOM,
 obtemos 
 
AB
OM 2cosVMO cosVMO
VM AB
1
cosVMO
2
cosVMO cos60
VMO 60 .
  
 
  
  
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
Na figura, aparece destacado apenas o volume de água deslocado depois que o castelo foi colocado no aquário. 
 
 
 
Portanto, o volume v do castelo é igual ao volume de água deslocado. 
V =1,2. 0,6.0,15 = 0,108m
3
 = 108dm
3
. 
 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Seja 
J
 o ponto médio da aresta 
BG.
 
 
 
 
Como o triângulo retângulo 
ONJ
 é isósceles, segue que 
ON 3 2cm.
 
Sabendo que as faces laterais do octaedro são triângulos equiláteros congruentes, segue que a sua área lateral é 
2
2 2ON 38 2 (3 2) 3 36 3 cm .
4

    
 
 
O volume do octaedro é dado por 
2 2 31 12 ON JG 2 (3 2) 3 36cm .
3 3
       
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 16: 
 [D] 
 
Seja 
ro raio da base do recipiente. 
Se a circunferência da base do recipiente mede 
24 cm,π
 então 
 
24 2 r r 12 cm.π π   
 
 
Logo, o volume de água transferido para o recipiente é dado por 
2 312 20cm .π  
 
 
Por outro lado, como o diâmetro da base do pluviômetro mede 
40 cm,
 segue que o raio da sua base mede 
40
20 cm.
2

 
Portanto, se 
h
 é a altura que a água atingiu no pluviômetro, então 
 
2 2 14420 h 12 20 h 7,2cm.
20
π π       
 
 
Resposta da questão 17: 
 [C] 
 
O sólido indicado é um prisma reto triangular, cujo volume é igual a 
8 8
8 256.
2

 
 
 
 
Resposta da questão 18: 
[D] 
 
Considere a vista frontal, em que o ponto 
E
 é tal que 
DE
 é paralelo à superfície plana na qual a caixa está apoiada. 
 
 
 
O volume de água que sobra na caixa corresponde ao volume do prisma triangular reto cuja base é o triângulo retângulo de 
catetos 
AE
 e 
AD,
 e cuja altura é igual à aresta do cubo. 
 
Portanto, a resposta é 
 
3 31 9 3AD tg30 m .
2 2
   