P1-PROBEST_2014 -2

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Solução P1- Probabilidade e Estatística – 2014.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza 
Alexandre Street 
 
Problema 1 (1.4 pt) 
a) (0.4 pt) Se X é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso das 
seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson. 
b) (0.4 pt) Defina População e Amostra. Dê exemplo. 
c) (0.6 pt) Prove: VAR (aX+b)= a2VAR(X) 
 
 
Problema 2 (2.2 pts) 
No Callcenter de uma empresa distribuidora de telefonia, apenas 35% das chamadas são 
relacionadas a reclamações sobre erros nas faturas emitidas pela empresa. Pede-se: 
a) (0.8 pt) - Qual a probabilidade da primeira reclamação sobre erro na fatura emitida da conta, 
ocorrer até a 2ª chamada. 
a.1) (0.6 pt) - A Média, Desvio padrão e Coeficiente de variação desta variável aleatória. 
b) (0.8 pt) - E qual seria a probabilidade de ocorrer a segunda reclamação da conta na sétima 
chamada”. 
 
 
Problema 3 ( 2.0 pts) Em uma determinada fábrica constatou-se em registros passados, que uma 
determinada máquina para a produção de parafusos funciona corretamente 97%do tempo. Se a 
máquina não está funcionando corretamente, 5% dos parafusos produzidos são defeituosos, e 
quando a máquina estiver trabalhando corretamente, apenas 0,3% dos parafusos são 
defeituosos. Pede-se: 
a) (1.0 pt) Se um parafuso é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de que ele seja 
defeituoso? 
b) (1.0 pt) Uma vez que o parafuso seja defeituoso, qual é a probabilidade de que este pertence 
a máquina que esteja funcionando corretamente. 
 
 
Problema 4 ( 2.0 pts) Considere uma Variável discreta com a seguinte função de probabilidade 
 
 
 
a) (0.7 pt) Ache a constante “k” que faz uma função de probabilidade. 
b) (1.3 pt) Encontre a função de distribuição ou função de distribuição acumulada? Plotar em 
gráfico esta função acumulada. 
 
 
 
 
 
 
 
5,4,3,2,1,0 para 
1
!5!
!5
Pr)(
5







 x
kxx
xXxf
 
 
 
Problema5 (2.4 pts) Os quadros abaixo, correspondem aos resultados dos pesos dos alunos 
matriculados em uma das turmas na matéria PROBEST 2013-2: 
 
Estatística descritiva (PESO) 
 
Média 68,7 
Erro padrão 2,46 
Mediana 64 
Moda 60 
Desvio padrão 18,25 
Variância da amostra 333,00 
Curtose 8,00 
Assimetria 2,35 
Intervalo 103 
Mínimo 47 
Máximo 150 
Soma 3778 
Contagem 55 
Maior(1) 150 
Menor(1) 47 
Nível de confiança(95,0%) 4,9332 
 
Com relação aos quadros apresentados acima, responda as perguntas: 
 a) (0.3 pt) - O quantidade de alunos com peso menores ou igual a 90 kg. 
b) (0.3 pt) - A quantidade de alunos com peso maiores de 58 kg? 
c) (0.3 pt) - Que tipo de simetría podemos verificar na amostra? Porque? 
d) (0.3 pt) - Com relação a Curtose, que tipo de curva podemos verificar na amostra? Porque? 
e) (0.3 pt) - Pelos dados da amostra, qual o Coeficiente de variação? 
f) (0.3 pt) - Pelos dados da amostra, qual o peso que mais se repete? 
g) (0.6 pt) - Construa o diagrama de Pareto desta amostra, montando em blocos conforme 
o quadro do diagrama de frequência. Esboce os gráficos de frequência e % cumulativo, 
mostrando os valores correspondentes. 
 
 
Bloco Freqüência % cumulativo 
≤50 3 5,45% 
(50 - 58] 14 30,91% 
(58 - 66] 12 52,73% 
(66 - 74] 8 67,27% 
(74 - 82] 12 89,09% 
(82 - 90] 4 96,36% 
>90 2 100,00% 
 
 
 
FORMULÁRIO: 
 
TEOREMA DE BAYES: 
 
 
 
 
MÉDIA E VARIÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 = E (X2) - E(X)2 
 
 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






0
32 1
1
1
.....1
k
k a
a
aaaa que desde 
 
 
   
 
 discreta v.a.é X se Pr..
contínua v.a.é X se .
 xtodo xtodo








 



xXxxfx
dxxfx
XE
  
   
       
 
 discreta v.a.é X se Pr..
contínua v.a.é X se .
 xtodo xtodo








 



xXxuxfxu
dxxfxu
XuE
 
 
 
 
   
   
   






k
j
jj
ii
k
j
jj
ii
i
BBA
BBA
BBA
AB
A
AB
AB
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
  
   
       
2
22
2 2
todo x todo x
. se X contínua
( ) 
. .Pr se X discreta 
x f x dx
VAR X E X
x f x x X x

 
 




    
    


 
 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
 
Boa Sorte! 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(Pr)( xnx pp
x
n
xXxf 






 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  
